(期中名校真題)第五單元三角形(講義)-2023-2024學年四年級下冊數學期中備考高頻易錯考點大串講（人教版）

第五單元三角形板塊一：知識精講1．三角形的特性【知識點歸納】三角形具有穩(wěn)定性．三內角之和等于180度，根據角可以分為銳角三角形（每個角小于90°），直角三角形（有一個角等于90°），鈍角三角形（有一個角大于90°）．任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2．三角形的分類【知識點歸納】1．按角分判定法一：銳角三角形：三個角都小于90°．直角三角形：可記作Rt△．其中一個角必須等于90°．鈍角三角形：有一個角大于90°．判定法二：銳角三角形：最大角小于90°．直角三角形：最大角等于90°．鈍角三角形：最大角大于90°．其中銳角三角形和鈍角三角形統稱為斜三角形．2．按邊分不等邊三角形；等腰三角形；等邊三角形．3．三角形的內角和【知識點歸納】三角形內角和為180°．直角三角形的兩個銳角互余．4．三角形邊的關系【知識點歸納】1、兩點間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫做兩點間的距離。2、三角形任意兩邊的和大于第三邊。板塊二：典題精練1．王老師用一根鐵絲圍成一個邊長15厘米的正方形。如果用這根鐵絲圍成一個正三角形，這個正三角形的每條邊長多少厘米？2．空調的室外機需要一個支架。王叔叔根據三角形的穩(wěn)定性決定將其做成三角形形狀。已經有兩根鋁合金，它們的長度分別是7分米和12分米，第三根鋁合金最長是多少分米？（取整數）3．說理分析題。下面的三角形有部分被擋住了，你能確定哪個一定是直角三角形嗎？說出你的理由。4．將一根12cm長的線剪成3段（每段長為整厘米數），哪幾種剪法剪出的線能圍成三角形（接頭處長度忽略不計）？請寫下來。5．聰聰想找一根小棒，它既可以和長、的兩根小棒圍成三角形，也可以和長、的兩根小棒圍成三角形，這根小棒的長度可能是多少厘米？（小棒長為整厘米數）6．在一個直角三角形中，一個銳角的度數是另一個銳角的4倍，求這兩個銳角的度數。7．在直角三角形中，一個銳角是另一個銳角的2倍，較大的銳角是多少度？8．如圖，用9枚釘子釘成水平和豎直間隔都為1厘米的正方陣．用一根橡皮筋將3枚不共線的釘子連結起來就形成一個三角形．在這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三角形共有多少個?9．王老師準備了一條10厘米長的鐵絲，用來做一個三角形框架。小明說：如果用這條鐵絲圍成一個三角形，那么這個三角形的任何一條邊一定小于5厘米。小明說得對嗎？請你寫出小明的思考過程。10．一個等腰三角形，其中一個角的度數是30°，求另外兩個角的度數．11．在一個等腰三角形中，已知一個角是72°，則另外兩個角分別是多少度？12．一個等腰三角形的周長是30厘米，如果三角形的腰長是8厘米，那么這個三角形的底邊長是多少厘米？13．一個等腰三角形的周長是98厘米，底邊長22厘米，一條腰長多少厘米？14．一根繩子長18cm，可以圍成邊長是幾厘米的等邊三角形？如果剪成整厘米圍成等腰三角形，有幾種情況？（正三角形除外）15．我們知道，三角形的內角和是180°，一個平角也是180°，請你利用以上兩個結論完成題目：如圖，延長三角形ABC的邊BC到點D，請?zhí)骄俊螦CD、∠A、∠B三者之間的關系，并說明理由。16．用三根小棒圍成一個三角形，其中兩根小棒分別為4厘米和8厘米，如果第三根棒取整厘米數，它最短是多少厘米？最長是多少厘米？17．李叔叔用一根72cm長的鐵絲圍成一個等邊三角形，這等邊三角形的邊長是多少厘米？如果用這根鐵絲圍成一個底邊30厘米的等腰三角形，那么這個等腰三角形的每條腰長多少厘米？18．李伯伯用一根鐵絲圍成一個邊長是10cm的正方形。如果用這根鐵絲圍成一個底邊是16cm的等腰三角形，等腰三角形的腰長是多少cm？19．算出下面三角形中∠3的度數．（1）∠1=35°，∠2=55°．（2）已知∠1和∠3是直角三角形中的兩個銳角，∠1=25°．20．如圖，把三角形的邊延長到點。你能說明嗎？21．李爺爺家有一塊三角形的菜地，菜地的最大角是90°，是最小角的3倍，求這塊菜地每個角的度數．22．用一根長12.6厘米的鐵絲圍成一個等腰三角形，如果底長是4.6厘米，則腰長是多少厘米？23．一根鐵絲圍成一個邊長為25厘米的正方形，如果改圍成一個底邊長是10厘米的等腰三角形，那么腰長是多少厘米？24．活動課上，同學們用小棒擺了8個三角形（如下圖）；如果用這些小棒擺正方形，可以擺出多少個正方形？25．三角形ABC是等腰直角三角形，已知∠1＝60°，求∠2、∠3、∠4的度數。26．在下面三角形中，∠1＝38°，∠2＋∠3＝90°，求∠3和∠4各是多少度？27．建筑工人要做一個三角形的鋼架，已經找到兩根鋼材，第一根長4米，第二根長6米，第三根鋼材可能長多少米（長為整米數）？28．用一根鐵絲可圍成一個邊長為8cm的等邊三角形，如果將這根鐵絲圍成一個正方形，這個正方形的邊長是多少厘米？29．根據三角形內角和是180°，求出下面的四邊形和正六邊形的內角和．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．20厘米【分析】等邊三角形也叫正三角形。根據題意，先利用正方形的邊長×4求出正方形的周長，也是等邊三角形的周長，等邊三角形的三條邊相等，利用周長除以3即可。據此解答?！驹斀狻?5×4÷3＝60÷3＝20（厘米）答：這個正三角形的每條邊長20厘米。【點睛】本題考查了等邊三角形的特征及周長的應用。牢記正方形周長計算公式和等邊三角形三邊關系是解決此題的關鍵。2．18分米【分析】三角形三邊的關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；據此解答?！驹斀狻?＋12＝19（分米），19分米＞18分米12－7＝5（分米），5分米＜6分米第三邊長度大于6分米小于18分米，最長為18分米答：第三根鋁合金最長是18分米?！军c睛】掌握三角形三邊的關系是解答本題的關鍵。3．②；因為露出的一個角是直角?！痉治觥夸J角三角形：三個角都是銳角的三角形；直角三角形：有一個角是直角的三角形；鈍角三角形：有一個角是鈍角的三角形；據此判斷選擇?！驹斀狻繄D①，可能是直角三角形，也可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，因為露出的一個角是銳角，其他兩個角，可能是一個直角，一個銳角；也可能是兩個銳角；也可能是一個鈍角，一個銳角；圖②，是直角三角形，因為露出的一個角是直角；圖③，是鈍角三角形，因為露出的一個角是鈍角；所以，圖一定是直角三角形，因為露出的一個角是直角。【點睛】熟練掌握三角形的分類標準，是解答此題的關鍵。4．第一種剪法：4cm、4cm、4cm。第二種剪法：5cm、4cm、3cm。第三種剪法：5cm、5cm、2cm?！窘馕觥柯?．、、【分析】先由條件“可以和長、的兩根小棒圍成三角形”及三角形的三邊關系，可知小棒長度，即小棒長度小于；小棒長度，即小棒長度大于。再由條件“可以和長、的兩根小棒圍成三角形”，同理可得小棒長度大于且小于。同時滿足兩個條件的小棒長度有、、。【詳解】

符合第一個條件的小棒要比長比短。

符合第二個條件的小棒要比長比短。綜上所述，符合兩個條件的小棒要比長比短。答：這根小棒的長度可能是、或。【點睛】三角形的三邊關系為三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差一定小于第三邊。6．18°；72°【分析】有一個角是直角的三角形是直角三角形，根據三角形內角和是180°可知此三角形中剩余兩個銳角的和應是90°，其中一個銳角的度數是另一個銳角的4倍，可知這個較小銳角的度數為90°÷5＝18°，另一個銳角的度數為18°×4＝72°。【詳解】90°÷5＝18°18°×4＝72°答：這兩個銳角的度數分別是18°和72°?！军c睛】明確直角三角形兩銳角和是90°，并能根據兩個銳角的倍數關系求出其中一個銳角的度數是解答本題的關鍵。7．60°【分析】直角三角形有一個角是90°，再結合三角形的內角和是180°進行計算即可。【詳解】180°－90°＝90°1＋2＝3（份）90°÷3＝30°30×2＝60°答：較大的銳角是60°【點睛】熟練掌握直角三角形的特點和三角形的內角和是解答此題的關鍵。8．32【詳解】我們分三種情況來找面積為1平方厘米的三角形，這些三角形的底與高分別為1厘米或2厘米，利用正方形的對稱性：(1)等腰直角三角形，如下圖a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共計8個，其中以AC，CF，FG，GA為底的各一個，以BF，DH為底的各兩個．(2)直角三角形，如圖b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共計16個，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB為斜邊的各兩個．(3)鈍角三角形，如圖c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共計8個，其中以AE、CG為邊的各四個．于是，綜上所述，共有面積為1平方厘米的三角形32個．9．說得的對；思考過程見詳解【分析】三角形任意兩邊的長度之和大于第三邊，任意兩邊的長度之差小于第三邊，此題依此解答即可?！驹斀狻咳绻切沃杏幸粭l邊等于5厘米，10－5＝5（厘米），則另外兩邊之和就等于5厘米，因此不滿足。如果三角形中有一條邊大于5厘米，則另外兩邊之和就小于5厘米，因此不滿足。如果三角形中有一條邊小于5厘米，則另外兩邊之和就大于5厘米，另外兩邊之差就小于5厘米，因此滿足。由此可知，這個三角形的任何一條邊一定小于5厘米，即小明說得對?！军c睛】熟練掌握三角形三邊的關系，是解答本題的關鍵。10．當頂角為30°時：(180°－30°)÷2＝75°當底角為30°時：180°－30°×2＝120°答：另外兩個角分別為75°、75°或30°、120°．【詳解】易錯點撥：本題應用分類討論思想，分頂角為30°和底角為30°兩種情況，解題時易丟掉一種情況而漏解．11．72°、36°或54°、54°【分析】已知等腰三角形的一個角是72°，要分兩種情況考慮：72°的角可能是頂角，也可能是底角，據此根據三角形內角和是180°和等腰三角形的兩個底角相等的性質進行計算即可解答問題?！驹斀狻慨?2°是底角時：180°－72°×2＝180°－144°＝36°當72°時頂角時：（180°－72°）÷2＝108°÷2＝54°答：當72°是底角時，另外兩個角是72°、36°，當72°是頂角時，另外兩個角54°、54°【點睛】此題考查了等腰三角形的性質和三角形內角和定理的計算應用，當沒有規(guī)定已知角是頂角還是底角時，要分情況進行討論。12．14厘米【分析】等腰三角形的兩條腰相等，用三角形的周長減去這兩條腰的長度，就等于三角形的底邊長?！驹斀狻?0﹣8﹣8＝14（厘米），答：三角形的底邊是14厘米?！军c睛】此題考查了等腰三角形的性質以及三角形的周長計算方法的靈活應用。13．38厘米【分析】等腰三角形的兩腰相等，因此用等腰三角形的周長減去底邊長后，再除以2即可，依此計算。【詳解】98－22＝76（厘米）76÷2＝38（厘米）答：一條腰長38厘米。【點睛】此題考查的是根據等腰三角形的周長和底長求腰長，熟練掌握等腰三角形的特點是解答本題的關鍵。14．邊長是6cm的等邊三角形；等腰三角形有3種情況：邊長分別是①5cm、5cm和8cm；②7cm、7cm和4cm；③8cm、8cm和2cm【分析】等邊三角形的三邊相等，所以用繩子的長除以3即可；等腰三角形的兩腰相等，只要滿足兩腰相等，三邊的總長是18即可，據此解答。【詳解】因為等邊三角形的三邊相等，所以可以圍成邊長是6cm的等邊三角形；因為等腰三角形的兩腰相等，所以等腰三角形有3種情況：邊長分別是①5cm、5cm和8cm；②7cm、7cm和4cm；③8cm、8cm和2cm?！军c睛】熟練掌握等邊三角形、等腰三角形的特征并靈活運用是解答本題的關鍵。15．見詳解【分析】本題主要考查三角形的內角和定理，三個內角的和是180°以及它的推論：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和，三角形的外角可以轉化成三角形的內角來考慮。【詳解】結合圖示可知，三角形的內角和是180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°。一個平角是180°，所以∠ACD＋∠ACB＝180°。綜上所述，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝∠ACD＋∠ACB，導出∠A＋∠B＝∠ACD，即：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和?！军c睛】正確理解三角形的外角性質是解題的關鍵，可以結合圖形來考慮。16．最短是5厘米，最長是11厘米【分析】根據三角形的特征，任意兩邊之和大于第三邊，已知一個三角形的三條邊的長度都是整厘米數，其中兩條邊的長分別是4厘米和8厘米，它的第三邊最長是4＋8﹣1＝11厘米，任意兩邊之差小于第三邊最短是8﹣4＋1＝5厘米；由此解答?！驹斀狻吭谌切沃?，任意兩邊之和大于第三邊，已知一個三角形的三條邊的長度都是整厘米數，其中兩條邊的長分別是4厘米和8厘米，因此它的第三邊最長是4＋8﹣1＝11（厘米），最短是8﹣4＋1＝5（厘米），答：它的第三條邊，最短是5厘米，最長是11厘米?！军c睛】考查了三角形的特性，此題解答關鍵是根據在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的特征解決問題。17．24厘米；21厘米【分析】根據題意可知，等邊三角形的邊長是（72÷3）厘米，等腰三角形的腰長是[（72－30）÷2]厘米?！驹斀狻?2÷3＝24（厘米）（72－30）÷2＝42÷2＝21（厘米）答：等邊三角形的邊長是24厘米，等腰三角形的腰長是21厘米?！军c睛】正確理解等邊三角形、等腰三角形的意義及特征，是解答此題的關鍵。18．12cm【分析】鐵絲長度＝邊長×4，腰長＝（鐵絲長度－底邊長度）÷2?！驹斀狻浚?×10－16）÷2＝（40－16）÷2＝24÷2＝12（cm）答：等腰三角形的腰長是12cm。【點睛】本題考查的是正方形的周長和等腰三角形的周長，解答本題的關鍵是明白正方形四邊相等的特征，等腰三角形兩個腰相等的特征。19．90°；65°．【詳解】試題分析：（1）根據三角形的內角和定理即可求解；（2）根據直角三角形中的兩個銳角互余即可求解．解：（1）因為∠1=35°，∠2=55°，所以∠3=180°﹣35°﹣55°=90°；（2）因為∠1和∠3是直角三角形中的兩個銳角，∠1=25°，所以∠3=90°﹣25°=65°．點評：考查了三角形的內角和定理：三角形的內角和等于180°，以及直角三角形的兩個銳角互余的性質．20．見詳解。【分析】如圖：根據平角的含義，等于180°的角是平角，所以∠1和∠4拼成的是平角。三角形的三個內角的和是180°，所以∠2＋∠3＋∠4＝180°，又因為∠1和∠4組成一個平角，所以∠1＋∠4＝180°，∠4沒變，所以∠1＝∠2＋∠3，據此解答即可?！驹斀狻恳驗椤?和∠4拼成的是平角，所以∠1＋∠4＝180°。因為∠2＋∠3＋∠4＝180°，∠1＋∠4＝180°∠4＝∠4所以∠1＝∠2＋∠3。【點睛】解題關鍵是靈活運用三角形的內角和定理和平角的特征解答。21．90°；30°；60°【詳解】∠1=90°∠2=90°÷3=30°∠3=180°-90°-30°=60°22．4厘米【解析】12.6厘米是等腰三角形的周長，減去底邊長4.6厘米，得到兩條腰的長度，除以2得到腰長?！驹斀狻浚?2.6－4.6）÷2＝8÷2＝4（厘米）答：腰長是4厘米?！军c睛】本題考查的是等腰三角形的基本特征，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。23．45厘米【分析】先根據正方形的周長＝邊長×4，求出這根鐵絲的長度。再根據等腰三角形的腰長＝（周長－底邊）÷2進行解答?！驹斀狻?5×4＝100（厘米）（100－10）÷2＝90÷2＝45（厘米）答：腰長45厘米。【點睛】本題考查正方形和等腰三角形的周長公式的應用，關鍵是熟記公式。24．6個【分析】根據題意，觀察圖形可知，每個三角形需要3根小棒，那么8個三角形需要（3×8）根小棒；正方形有4條邊，所以可以擺（3×8÷4）個正方形?！驹斀狻?×8÷4＝6（個）答：可以擺出6個正方形。【點睛】熟記：三角形有3條邊，正方形有4條邊，是解答此題