湖南省武岡市實驗中學(xué)2022年中考數(shù)學(xué)模擬預(yù)測題含解析

2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF//CB,交AB于點F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周長為（）

24

1

3.若2m-〃=6,則代數(shù)式的值為（）

A.1B.2C.3D.4

4.要使分式一、有意義，則x的取值應(yīng)滿足（）

x+2

A.x=-2B.xr2C.x>-2D.xr-2

Kw

5.若關(guān)于x的分式方程一二=2———的解為正數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)m的值為（）

x—21-x

A.1,2,3B.1,2C.1,3D.2,3

6.《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)的重要著作，方程術(shù)是它的最高成就，其中記載：今有牛五、羊二，直金十兩；牛

二、羊五，直金八兩。問：牛、羊各直金幾何？譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，

值金8兩。問：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金j兩，則列方程組錯誤的是（）

5x+2y=10[5x+2y=107x+7y=185x+2y=8

B

2x+5y=8.[7x+7y=182x+5y=82x+5y=10

7.下列四個不等式組中,解集在數(shù)軸上表示如圖所示的是（)

x>2fx<2[x>2x<2

BCD.

x>-3[x<-3[x<-3x>-3

8.若點P（-3,y；）和點Q（-1,y2）在正比例函數(shù)y=-k2x（k#））圖象上，則力與y2的大小關(guān)系為（）

A.y,>y2B.y>y2C.yr<y2D.y<y2

9.如圖，AB是。O的直徑，點C、D是圓上兩點，且NAOC=126。，則NCDB=（）

A.54°B.64°C.27°D.37°

10.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,半徑為4,則這個正六邊形的邊心距OM的長為（）

A.2B.2^/3C.D.4事

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.2017年5月5日我國自主研發(fā)的大型飛機C919成功首飛，如圖給出了一種機翼的示意圖，用含有m、n的式子

表示AB的長為.

12.如圖，在RSA8C中，ZACB=90°,BC=2,4c=6,在AC上取一點O,使40=4,將線段A0繞點4按順時

針方向旋轉(zhuǎn)，點。的對應(yīng)點是點P，連接BP,取3尸的中點尸，連接C尸，當(dāng)點尸旋轉(zhuǎn)至CA的延長線上時，CF的長

是,在旋轉(zhuǎn)過程中，C尸的最大長度是.

B

P

13.如果點（）、（）是二次函數(shù)y=2x2+%伏是常數(shù)）圖象上的兩點，那么乂

A-4,y8-3,*y.(填

或“=”)

14.已知方程3元2—9x+機=0的一個根為1,則機的值為,

15.己知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表所示:

X.??-5-4-3-2-1???

y???-8-3010???

當(dāng)yV-3時，x的取值范圍是.

16.計算（J7+JT）（J7-JT）的結(jié)果等壬一.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）某數(shù)學(xué)教師為了解所教班級學(xué)生完成數(shù)學(xué)課前預(yù)習(xí)的具體情況，對該班部分學(xué)生進(jìn)行了一學(xué)期的跟蹤調(diào)查,

將調(diào)查結(jié)果分為四類并給出相應(yīng)分?jǐn)?shù)，A：很好，95分；B：較好75分；C：一般，60分；D：較差，30分.并將調(diào)

查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題：

（I）該教師調(diào)查的總?cè)藬?shù)為,圖②中的m值為；

（II）求樣本中分?jǐn)?shù)值的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).

18.（8分）已知拋物線y=ax2+bx+2過點A（5,0）和點B（-3,-4）,與y軸交于點C.

（1）求拋物線y=ax2+bx+2的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（3）點E是點B關(guān)于y軸的對稱點，連接AE、BE,點P是折線EB-BC上的一個動點，

①當(dāng)點P在線段BC上時，連接EP,若EPLBC,請直接寫出線段BP與線段AE的關(guān)系；

②過點P作x軸的垂線與過點C作的y軸的垂線交于點M,當(dāng)點M不與點C重合時，點M關(guān)于直線PC的對稱點為

點M，，如果點M”恰好在坐標(biāo)軸上，請直接寫出此時點P的坐標(biāo).

19.（8分）在△ABC中，NACB=45。.點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD,以AD為一邊且

在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

（1）如果AB=AC.如圖①，且點D在線段BC上運動.試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）如果ABWAC,如圖②，且點D在線段BC上運動.（1）中結(jié)論是否成立，為什么？

（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設(shè)AC=4嫄，BC=3,CD=x,求線段CP

的長.（用含x的式子表示）

20.（8分）觀察猜想:

在RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D在邊BC上，連接AD,把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點D落在點

E處，如圖①所示，則線段CE和線段BD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.探究證明：

在（1）的條件下，若點D在線段BC的延長線上，請判斷（1）中結(jié)論是還成立嗎？請在圖②中畫出圖形，并證明你

的判斷.拓展延伸:

如圖③，NBACW90。，若ABrAC,ZACB=45°,AC=3,其他條件不變，過點D作DF_LAD交CE于點F,請直

接寫出線段CF長度的最大值.

21.（8分）在RSABC中，ZACB=90°,以點A為圓心，AC為半徑，作。A交AB于點D,交CA的延長線于點

E,過點E作AB的平行線EF交。A于點F,連接AF、BF、DF

E

（1）求證：BF是。A的切線.（2）當(dāng)/CAB等于多少度時，四邊形ADFE為菱形？請給予證明.

22.（10分）問題情境：課堂上，同學(xué)們研究幾何變量之間的函數(shù)關(guān)系問題：如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相

交于點O,AC=4,BD=1.點P是AC上的一個動點，過點P作MNLAC,垂足為點P（點M在邊AD、DC上，點

N在邊AB、BC上）.設(shè)AP的長為x（0金"）,△AMN的面積為y.

-_-(0<x<2)

建立模型：（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=j

-_-(2<x<4)

解決問題：（1）為進(jìn)一步研究y隨x變化的規(guī)律，小明想畫出此函數(shù)的圖象.請你補充列表，并在如圖的坐標(biāo)系中

畫出此函數(shù)的圖象：

1357

X01134

2222

19157

00

y8—8—y—8

（3）觀察所畫的圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：,

y=x

23.（12分）解方程組彳，。.

X2+y-2=n0

24.近日，深圳市人民政府發(fā)布了《深圳市可持續(xù)發(fā)展規(guī)劃》，提出了要做可持續(xù)發(fā)展的全球創(chuàng)新城市的目標(biāo)，某初中

學(xué)校了解學(xué)生的創(chuàng)新意識，組織了全校學(xué)生參加創(chuàng)新能力大賽，從中抽取了部分學(xué)生成績，分為5組：A組50?60；

B組60?70；C組70?80；D組80?90：E組90?100,統(tǒng)計后得到如圖所示的頻數(shù)分布直方圖（每組含最小值不含

最大值）和扇形統(tǒng)計圖.抽取學(xué)生的總?cè)藬?shù)是人，扇形C的圓心角是。；補全頻數(shù)直方圖；該校共有

2200名學(xué)生，若成績在70分以下（不含70分）的學(xué)生創(chuàng)新意識不強，有待進(jìn)一步培養(yǎng)，則該校創(chuàng)新意識不強的學(xué)生

約有多少人？

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、A

【解析】

【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長=4BC問題得解.

【詳解】是AC中點，

：EF〃BC,交AB于點F,

.^.EF是△ABC的中位線，

；.BC=2EF=2x3=6,

二菱形ABCD的周長是4x6=24,

故選A.

【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)及菱形的周長公式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

2、A

【解析】

分析：根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

詳解：從上邊看外面是正方形，里面是沒有圓心的圓，

故選A.

點睛：本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.

3、D

【解析】

11

先對m._"+1變形得到-(2m-n)+1,再將2m-n=6整體代入進(jìn)行計算，即可得到答案.

【詳解】

1

m——n+i

2

1

--(2m-zj)+1

2

1

當(dāng)2m-〃=6時，原式=]x6+l=3+l=4,故選：D.

【點睛】

本題考查代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入法.

4、D

【解析】

試題分析：：分式」■一有意義，，x+l網(wǎng)，即x的取值應(yīng)滿足：xr-l.故選D.

x+2

考點：分式有意義的條件.

5、C

【解析】

試題分析：解分式方程得：等式的兩邊都乘以(x-2),得x=2(x-2)+m,解得x=4-m,且x=4-n#2,

Xw

已知關(guān)于X的分式方一=2----------的解為正數(shù)，得m=l,m=3,故選C.

x-22-x

考點：分式方程的解.

6、D

【解析】

由5頭牛、2只羊，值金10兩可得：5x+2y=10,由2頭牛、5只羊，值金8兩可得2x+5y=8,則7頭牛、7只羊，值

金18兩，據(jù)此可知7x+7y=18,據(jù)此可得答案.

【詳解】

解：設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，

由5頭牛、2只羊，值金10兩可得：5x+2y=10,

由2頭牛、5只羊，值金8兩可得2x+5y=8,

則7頭牛、7只羊，值金18兩，據(jù)此可知7x+7y=18,

5x+2y=8

所以方程組入J錯誤，

2x+5y=10

故選：D.

【點睛】

本題主要考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是理解題意找到相等關(guān)系及等式的基本性質(zhì).

7、D

【解析】

此題涉及的知識點是不等式組的表示方法，根據(jù)規(guī)律可得答案.

【詳解】

x<2

由解集在數(shù)軸上的表示可知，該不等式組為〈

x>--3

故選D.

【點睛】

本題重點考查學(xué)生對于在數(shù)軸上表示不等式的解集的掌握程度，不等式組的解集的表示方法：大小小大取中間是解題

關(guān)鍵.

8、A

【解析】

分別將點P(-3,yj和點Q(-1,y2)代入正比例函數(shù)y=-k2x,求出y1與y2的值比較大小即可.

【詳解】

??,點P(-3,y])和點Q(-1,y2)在正比例函數(shù)y=-k2x(k#))圖象上，

.'.yj=-kzx(-3)=3k2,

y2=-kzx(-1)=k2,

邦，

??4〉丫2?

故答案選A.

【點睛】

本題考查了正比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握正比例函數(shù)的知識點.

9、C

【解析】

由NAOC=126。，可求得NBOC的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得NCDB的度數(shù).

【詳解】

解：VZAOC=126°,

..ZBOC=1800-ZAOC=54°,

1

■:NCDB=-ZBOC=27°

2

故選：C.

【點睛】

此題考查了圓周角定理.注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

10、B

【解析】

分析：連接OC、OB,證出△BOC是等邊三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可.

詳解：

如圖所示，連接OC、OB

A

'：多邊形ABCDEF是正六邊形，

/.ZBOC=60°,

VOC=OB,

.'.△BOC是等邊三角形，

ZOBM=60°,

/.OM=OBsinNOBM=4xg=23.

故選B.

點睛：考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由三角函數(shù)求出

OM是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

…+走…

3

【解析】

過點C作CE1CF延長BA交CE于點E,先求得DF的長,可得到AE的長，最后可求得AB的長.

【詳解】

解：延長BA交CE于點E,設(shè)CF_LBF于點F,如圖所示.

在RSBDF中，BF=n,NDBF=30°,

二DF=BF-tanNDBF=史〃.

3

在RtAACE中，ZAEC=90°,NACE=45。,

；.AE=CE=BF=n,

AB=BE-AE=CD+DF-AE=m+n-n.

3

故答案為：m+^-n-n.

【點睛】

此題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于做輔助線.

12、^26,V10+2.

【解析】

當(dāng)點尸旋轉(zhuǎn)至C4的延長線上時，CP=20,BC=2,利用勾股定理求出BP,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半，可得的長：取48的中點M,連接和CM,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CM

的長，利用三角形中位線定理，可得尸"的長，再根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)M、尸、C三點共線且拉在線段C尸上時CF最大，

即可得到結(jié)論.

【詳解】

當(dāng)點尸旋轉(zhuǎn)至。的延長線上時，如圖2.

?.?在直角ABC尸中，/5CP=90°,CP=4C+A尸=6+4=20,BC=2,

:BP=JCP2+BC2="102+22=25/26，

???5尸的中點是F,

1-

：.CF=-BP=s/26.

取A5的中點連接和CM,如圖2.

；在直角△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=2,

：.AB=QAC2+BC2=2加.

?.?M為43中點，

1-

???將線段AO繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點D的對應(yīng)點是點P,

：.AP=AD=4,

為4B中點，尸為5尸中點，

1

,\FM=-AP=2.

2

當(dāng)且僅當(dāng)M、F,C三點共線且M在線段CF上時C尸最大,

此時CF=CM+FM=回+2.

故答案為莊，曬+2.

【點睛】

考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖

形全等.也考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及勾股定理.根據(jù)題意正確畫出對應(yīng)圖形是解題的關(guān)鍵.

13、>

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)解析式可知函數(shù)圖象對稱軸是x=0,且開口向上，分析可知兩點均在對稱軸左側(cè)的圖象上；接下來，結(jié)

合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷對稱軸左側(cè)圖象的增減性，

【詳解】

解：二次函數(shù)丁=2》2+后的函數(shù)圖象對稱軸是x=0,且開口向上，

...在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，

；3>-4,

故答案為〉.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖像和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

14、1

【解析】

欲求m,可將該方程的已知根1代入兩根之積公式和兩根之和公式列出方程組，解方程組即可求出m值.

【詳解】

設(shè)方程的另一根為X],又..3小，

x+1=3

?

,m,

xT=——

>3

解得m=l.

故答案為1.

【點睛】

本題的考點是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，主要考查利用韋達(dá)定理解題.此題也可將x=l直接代入方程

3x2-9x+m=0中求出m的值.

15、x<-4或x>l

【解析】

觀察表格求出拋物線的對稱軸，確定開口方向，利用二次函數(shù)的對稱性判斷出x=l時，y=-3,然后寫出y<-3時，x

的取值范圍即可.

【詳解】

由表可知，二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-2,拋物線的開口向下，

且x=l時，y=-3,

所以，y<-3時，x的取值范圍為x<-4或x>l.

故答案為x<-4或x>l.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，觀察圖表得到y(tǒng)=-3時的另一個x的值是解題的關(guān)鍵.

16、4

【解析】

利用平方差公式計算.

【詳解】

解：原式=(J7)2-(JT)2

=7-3

=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題考查了二次根式的混合運算.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(I)25、40；(II)平均數(shù)為68.2分，眾數(shù)為75分，中位數(shù)為75分.

【解析】

(1)由直方圖可知A的總?cè)藬?shù)為5,再依據(jù)其所占比例20%可求解總?cè)藬?shù)；由直方圖中B的人數(shù)為10及總?cè)藬?shù)可知m

的值；

(2)根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】

(I)該教師調(diào)查的總?cè)藬?shù)為(2+3)+20%=25(人),

6+4

m%舌gxl00%=40%,即m=40,

25

故答案為：25、40；

(II)由條形圖知95分的有5人、75分的有10人、60分的有6人、30分的有4人,

95x5+75x10+60x6+30x4

則樣本分知的平均數(shù)為=68.2（分）,

25

眾數(shù)為75分，中位數(shù)為第13個數(shù)據(jù)，即75分.

【點睛】

理解兩幅統(tǒng)計圖中各數(shù)據(jù)的含義及其對應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

18、(1)y=-；X2+,.；X+2；(2)y=2x+2；(3)①線段BP與線段AE的關(guān)系是相互垂直；②點P的坐標(biāo)為：(-4+2、？

To而

-8+4,7）（-4-27，-8-4、F或（0,-4）或（-”，-4）.

T

【解析】

(1)將A(5,0)和點B(-3,-4)代入y=ax2+bx+2,即可求解；

(2)C點坐?標(biāo)為(0,2),把點B、C的坐標(biāo)代入直線方程y=kx+b即可求解；

(3)①AE直線的斜率kA.IS=AIS2,而直線BC斜率的k.=2即可求解；

②考慮當(dāng)P點在線段BC上時和在線段BE上時兩種情況，利用PM，=PM即可求解.

【詳解】

(1)將A(5,0)和點B(-3,-4)代入y=ax2+bx+2,

解得…=高3，b卷11

311

故函數(shù)的表達(dá)式為y=-言2+昔x+2；

（2）C點坐標(biāo)為（0,2）,把點B、C的坐標(biāo)代入直線方程y=kx+b,

解得：k=2,b=2,

故：直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+2,

（3）①E是點B關(guān)于y軸的對稱點，E坐標(biāo)為（3,-4）,

則AE直線的斜率kAE=2,而直線BC斜率的kAE=2,

..AE〃BC,而EP_LBC,.\BP±AE

而BP=AE,.?.線段BP與線段AE的關(guān)系是相互垂直；

②設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,

當(dāng)P點在線段BC上時，

P坐標(biāo)為（m,2m+2）,M坐標(biāo)為（m,2）,貝ijPM=2m,

直線MMUBC,.飛皿尸總，

直線MM，的方程為：y=-￡—+（2+,m）,

則M，坐標(biāo)為（0,2+^-m）或（4+m,0）,

由題意得：PMf=PM=2m,-

PM”=42+?jm2=（2m）2,此式不成立，

或PM'2=m2+（2m+2）2=（2m）2,

解得：m=-4±2\[^,

故點P的坐標(biāo)為（-4±2質(zhì)，-8±4>/3）；

當(dāng)P點在線段BE上時，

點P坐標(biāo)為（m,-4）,點M坐標(biāo)為（m,2）,

則PM=6,

直線MM，的方程不變，為y=--|-x+（2總1?）,

2+^-m)或(4+m,0),

則坐標(biāo)為（0,

PM'2=m2+(64-m)2=(2m)2,

解得：m=0,或-停

或PM々=42+42=(6)2,無解;

故點P的坐標(biāo)為（0,-4）或（-等，-4）；

綜上所述：

點P的坐標(biāo)為：（-4+班，-8+4^3）Eg（-4-2731-8-W1）或（0,-4）或（-等，-4）.

b

【點睛】

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖

形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.

19、（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直,理由見解析；（2）ABrAC時，CFJ_BD的結(jié)論成立，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由NACB=15。，AB=AC,得NABD=NACB=15。；可得NBAC=90。，由正方形ADEF,可得

ZDAF=90°,AD=AF,ZDAF=ZDAC+ZCAF；ZBAC=ZBAD+ZDAC；WZCAF=ZBAD.可證

△DAB^AFAC（SAS）,得NACF=NABD=15°,WZBCF=ZACB+ZACF=90°.即CF_LBD.

（2）過點A作AGLAC交BC于點G,可得出AC=AG,易證：△GAD^^CAF,所以

ZACF=ZAGD=15°,ZBCF=ZACB+ZACF=90°.即CF±BD.

（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設(shè)AC=1Q,BC=3,CD=x,

求線段CP的長.考慮點D的位置，分兩種情況去解答.①點D在線段BC上運動，已知NBCA=15。,

可求出AQ=CQ=L即DQ=l-x,易證△AQDs^DCP,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解問題.②點D在

線段BC延長線上運動時，由NBCA=15。，可求出AQ=CQ=1,則DQ=l+x.過A作AQLBC交CB

延長線于點Q,AGD^AACF,得CF_LBD,由△AQDs^DCP,得再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求

解問題.

【詳解】

（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直；

證明如下：

VAB=AC,ZACB=15°,

.*.ZABC=15°.

由正方形ADEF得AD=AF,

.?ZDAF=ZBAC=90°,

/.ZDAB=ZFAC,

..△DAB^AFAC（SAS）,

二ZACF=ZABD.

:.ZBCF=ZACB+ZACF=90°.

即CF±BD.

(2)ABRAC時，CF_LBD的結(jié)論成立.

理由是：

過點A作GA1AC交BC于點G,

,.ZACB=15°,

,ZAGD=15°,

AAC=AG,

同理可證：AGADgaCAF

ZACF=ZAGD=15°,ZBCF=ZACB+ZACF=90°,

即CF±BD.

(3)過點A作AQ±BC交CB的延長線于點Q,

①點D在線段BC上運動時，

VZBCA=15°,可求出AQ=CQ=L

.*.DQ=1-x,△AQD^ADCP,

.Ct_CD

??函下，

.CP_x

"4-x4，

2

ACP=-^-+x-

②點D在線段BC延長線上運動時，

VZBCA=15O,

..AQ=CQ=1,

/.DQ=l+x.

過A作AQLBC,

.,.ZQ=ZFAD=90°,

,.ZC,AF=ZC,CD=9O0,ZACT=ZCCD,

，ZADQ=ZAFC,,

則4AQD^AACF.

ACFIBD,

..△AQD^ADCP,

.CPCD

，，DQ=AQ，

【點睛】

綜合性題型，解題關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)全等、相似、正方形等知識點.

1

20、(1)CE=BD,CE±BD.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由見解析；(3)

4

【解析】

分析：(1)線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE,ZBAD=ZCAE,得到

△BAD^ACAE,CE=BD,ZACE=ZB,得到NBCE=/BCA+NACE=90°,于是有CE=BD,CE1BD.

(2)證明的方法與(1)類似.

(3)過A作AMLBC于M,ENLAM于N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NDAE=90。，AD=AE,利用等角的余角相等得到

ZNAE=ZADM,易證得RtAAMD絲RtAENA,貝!jNE=MA,由于NACB=45。，則AM=MC,所以MC=NE,易得

MDAM

四邊形MCEN為矩形，得到NDCF=90。，由此得到RSAMDsRsDCF,得=訴==”，設(shè)DC=x,MD=l-x,利

CFDC

用相似比可得到CF=-X2+L再利用二次函數(shù)即可求得CF的最大值.

詳解：(1)①：AB=AC,ZBAC=90°,

線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,

；.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

/.△BAD^ACAE,

.\CE=BD,ZACE=ZB,

ZBCE=ZBCA+ZACE=90°,

ABDICE；

故答案為CE=BD,CE±BD.

E

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：

如圖，??,線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,

AAE=AD,ZDAE=90°,

VAB=AC,ZBAC=90°

.\ZCAE=ZBAD,

AAACE^AABD,

ACE=BD,ZACE=ZB,

AZBCE=90°,即CE_LBD,

，線段CE,BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系分別為：CE=BD,CE1BD.

(3)如圖3,過A作AM_LBC于M,EN_LAM于N,

鄴

???線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE

/.ZDAE=90°,AD=AE,

AZNAE=ZADM,

易證得RtAAMD^RtAENA,

ANE=AM,

ZACB=45°,

AAAMC為等腰直角三角形，

AAM=MC,

AMC=NE,

VAM±BC,EN±AM,

ANE/7MC,

???四邊形MCEN為平行四邊形，

??ZAMC=90°,

???四邊形MCEN為矩形，

:.ZDCF=90°,

ARtAAMDSRSDCF,

.MD_AM

^~CF~~DCf

設(shè)DC=x,

VZACB=45°,AC=V2,

AAM=CM=1,MD=l-x,

.1

??一f

CFx

11

??CF=-X2+X=-(X--?)2+—，

24

11

.?.當(dāng)X=K時有最大值，CF最大值為7.

24

點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到

旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形全等及相似的判定與性質(zhì).

21、(1)證明見解析；(2)當(dāng)NCAB=60。時，四邊形ADFE為菱形；證明見解析；

【解析】

分析(1)首先利用平行線的性質(zhì)得到NFAB=/CAB,然后利用SAS證得兩三角形全等，得出對應(yīng)角相等即可；

(2)當(dāng)NCAB=60。時，四邊形ADFE為菱形，根據(jù)NCAB=60。，得至l」/FAB=NCAB=/CAB=60。，從而得到

EF=AD=AE,利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判斷四邊形ADFE是菱形.

詳解：(1)證明：VEF/7AB

/.ZFAB=ZEFA,ZCAB=ZE

VAE=AF

/.ZEFA=ZE

..ZFAB=ZCAB

VAC=AF,AB=AB

.,.△ABC絲△ABF

ZAFB=ZACB=90°,ABF是。A的切線.

（2）當(dāng)NCAB=60。時，四邊形ADFE為菱形.

理由：VEF^AB

.".ZE=ZCAB=60°

VAE=AF

/.△AEF是等邊三角形

，AE=EF,

VAE=AD

；.EF=AD

四邊形ADFE是平行四邊形

VAE=EF

.?.平行四邊形ADFE為菱形.

點睛：本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定方法及

全等三角形的判定方法，難度不大.

1X2（0<X<2）

22、⑴①y=；Q；②y=,2];（1）見解析；（3）見解析

%2+2x（2<尤44）

【解析】

（1）根據(jù)線段相似的關(guān)系得出函數(shù)關(guān)系式（1）代入①中函數(shù)表達(dá)式即可填表（3）畫圖像，分析即可.

【詳解】

（1）設(shè)AP=x

①