數(shù)列中的數(shù)學文化-2024年新高考數(shù)學題型歸納與方法總結 解析版

數(shù)列與數(shù)學文化

一、知識點梳理

新課程標準進一步明確了數(shù)學文化在教學中的地位，數(shù)學文化作為素養(yǎng)考查的四大內涵之一，以數(shù)學文化為

背景的試題將是新高考的考察內容，數(shù)列與數(shù)學文化有著緊密的聯(lián)系，本專輯總結了數(shù)學文化在數(shù)列中出現(xiàn)

的真題和模擬題。

二、題型精講精練

廁工（單選題）（2022?全國.統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，DD是桁，相鄰

桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中

是舉，Oa，DG,C5,3A是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為第=0.5,告=甌第=自,舞

C/Oj"Ai

=融.已知瓦能網(wǎng)成公差為01的等差數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則網(wǎng)=（）

圖1

A.0.75B.0.8

【答案】。

【分析】設0。尸。。尸。3尸34=1,則可得關于網(wǎng)的方程，求出其解后可得正確的選項?

【詳解】設ODkDC}=CBX=BA}=1,則CC產(chǎn)kuBB}=k2>AA}=fc3,

皿+CG+g+AA_

依題意，有fc—0.2=fcfc—0.1=總,且0.725,

3b3OR+DG+CBi+84―

所以+牛-0.3=0725,故自=0.9,故選：。

4

謝2（單選題）（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測,成為我國第

一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛b,｝：瓦=1

+—,b,—1H---^—―,b3—1H----4—，…，依此類推，其中a代N"（/c=1,2,…）.貝I］（）

0'七+2s+dr

A.6i<b5B.b3Vb8C.bG<b2D.bA<b7

【答案】。

【分析】根據(jù)四eN*（A:=L2,…），再利用數(shù)列也“｝與ak的關系判斷｛fej中各項的大小，即可求解.

【詳解】［方法一］:常規(guī)解法

因為4戶1<*（6=1,2,…）,

所以<Z|H■?-L,>———，得到仇>62,

。2?的+4

1*2

同理czi+—>-----^――,可得b2<b:i,&i>b;i

的g+工

的

又因為—>----—,電-|-----^—―<a［-\----^―：—,

右。2-1~71-的+不-7T

故b2Vb4,b3>b4;

以此類推，可得b：i>fe5>b>…,b7>6，故4錯誤;

仇,b7Ab8,故8錯誤；

—>----'—,得b.<瓦，故。錯誤；

。）~_L1

a｝H-------—>ffiH-----------------j—，得b4Vb7,故D正確.

電+―7F電+----yr

的+苞為+匕

［方法二］:特值法

不妨設an-1,則瓦=2也=弓，b3-［"也=2,“5=圣也=77，b7-等b產(chǎn)整，b.t<b7故D正確.

2o0010Z1J4

【題型訓練-刷模擬】

一、單頻

題目曰（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考模擬預測）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數(shù)的一種古老的方法.

這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個數(shù)2不動，剔除掉所有2的倍數(shù);接著，在剩余的數(shù)

中2后面的一個數(shù)3不動,剔除掉所有3的倍數(shù);接下來,再在剩余的數(shù)中對3后面的一個數(shù)5作同樣處

理；……，依次進行同樣的剔除.剔除到最后,剩下的便全是素數(shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20

的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（）

A.130B.132C.134D.141

【答案】3

【分析】利用等差數(shù)列求和公式及素數(shù)的定義即可求解.

【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為S尸’9X（：+20）=209,

2到20的全部素數(shù)和為$2=2+3+5+7+11+13+17+19=77,

所以挑選2到20的全部素數(shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為209—77=132.

故選：B.

題目乜〕（2023?廣東深圳??？级＃┧未凭茦I(yè)很發(fā)達,為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的,形成堆

垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術.有這么一道關于“堆垛”求和的問題:將半

徑相等的圓球堆成一個三角垛,底層是每邊為幾個圓球的三角形,向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一

個圓球，記自上而下第九層的圓球總數(shù)為冊,容易發(fā)現(xiàn)：Qi=1,02=3,。3=6,則aw—ar=（）

?2?

C.35D.30

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，歸納推理，第71層的圓球總數(shù)個數(shù)表達式，再將71=10,5,代入求解即可.

【詳解】當n=l時，第1層的圓球總數(shù)為5=1,

當71=2時，第2層的圓球總數(shù)為＜12=1+2=3,

當n=3時，第3層的圓球總數(shù)為口3=1+2+3=6,

所以第ri層的圓球總數(shù)為a?=1+2+…+n=1J,

當門=5時，a產(chǎn)號”=15,當一1。時，即尸山等^=55,

故。1（）。5=40?

故選：B.

題目01（2023?湖南郴州.校聯(lián)考模擬預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽,是歷史上首次

在卡塔爾和中東國家境內舉行,也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足

球賽.某網(wǎng)站全程轉播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活

動，派發(fā)規(guī)則如下:①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個;②對于不符

合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有

空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（）

A.102B.103C.104D.105

【答案】C

【分析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為{a“},求出其通項，結

合條件列不等式求出結果.

【詳解】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為{%},

由已知冊一1是2的倍數(shù)，也是7的倍數(shù)，

故a?—1為14的倍數(shù)，

所以an—l首項為0,公差為14的等差數(shù)列，

所以an—14n—13,

令1W1456，可得1414n-13&1456，又n€N*

解得14H&104,且nCN*,

故獲得精品足球的人數(shù)為104.

故選：C.

題目（2023?全國?模擬預測）離子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一個或幾個電子后達到

的穩(wěn)定結構，得到電子為陰離子，失去電子為陽離子，在外界作用下陰離子與陽離子之間可以相互轉化.

科學家們在試驗過程中發(fā)現(xiàn)，在特定外界作用下，1個陰離子可以轉化為1個陽離子和1個陰離子，1個陽

?3?

離子可以轉化為1個陰離子，如果再次施加同樣的外界作用，又能產(chǎn)生同樣的轉化.若一開始有1個陰離

子和1個陽離子，則在9次該作用下，陰離子的個數(shù)為（）

A.87B.89C.91D.93

【答案】3

【分析】作用后的陽離子個數(shù)是作用前陰離子個數(shù)，作用后的陰離子個數(shù)是作用前陰陽離子個數(shù)之和，然

后逐次推斷即可.

【詳解】由題目知，作用后的陽離子個數(shù)是作用前陰離子個數(shù)，作用后的陰離子個數(shù)是作用前陰陽離子個

數(shù)之和。

現(xiàn)在有1個陰離子和1個陽離子，經(jīng)過逐次作用后：

作用次數(shù)陽離子個數(shù)陰離子個數(shù)

011

112

223

335

458

5813

61321

72134

83455

95589

則在9次該作用下，陰離子的個數(shù)為89.

故選：B.

題目%（2023?四川?校聯(lián)考模擬預測）“勾股樹”，也被稱為畢達哥拉斯樹，是根據(jù)勾股定理所畫出來的一個

可以無限重復的樹形圖形.如圖所示，以正方形ABCD的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個等腰直角

三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長向外作兩個正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個

正方形，且4B=16,則這127個正方形中，最小的正方形邊長為（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【答案】。

【分析】由題意可得不同邊長的正方形的個數(shù)，構成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而可得小正方形

的種類數(shù)，再由正方形的邊長構成以16為首項，烏為公比的等比數(shù)列，即可得到結果.

?4?

【詳解】依題意，不同邊長的正方形的個數(shù)，構成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以1+2+2?+…

+2rtT=127,即=127,解得九=7,即有7種邊長不同的正方形；又正方形的邊長構成以16為首項，

孚為公比的等比數(shù)列.

因此，最小的正方形邊長&7=16x:2.

故選:。

題目音；（2023?河北?統(tǒng)考模擬預測）數(shù)學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中,提出了

一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2,4,7,11,16,從第二

項起，每一項與前一項的差組成新數(shù)列2,3,4,5，新數(shù)列2,3,4,5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2,4,7,11,16

為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列｛冊｝,其前七項分別為2,2,3,5,8,12,17.則該數(shù)列的第20項為

（）

A.173B.171C.155D.151

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得到｛%｝的通項公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意得新數(shù)列為0,123,4…，則二階等差數(shù)列｛冊｝的通項公式為a,尸包二巴也+2,

雨19X18,0m

則的（）=——2---F2=173

故選：A.

題目?1（2023?湖北襄陽?襄陽四中?？既＃轫憫獓姨栒?，某地出臺了相關的優(yōu)惠政策鼓勵“個體經(jīng)

濟”.個體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進貨，因質優(yōu)價廉，供不應求.

據(jù)測算:他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%,并且每月月底需扣除生活費800元，余款作為

資金全部用于下月再進貨,如此繼續(xù),預計到2023年5月底他的年所得收入（扣除當月生活費且還完貸

款）為（）元（參考數(shù)據(jù)：1.2%7.5,1.2%9）

A.35200B.43200C.30000D.32000

【答案】。

【分析】根據(jù)題意，由條件可得數(shù)列｛?+L4000｝是首項為4800,公比為1.2的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的

通項公式即可得到結果.

【詳解】設2022年6月底小王手中有現(xiàn)款為a｝=（1+20%）x8000-800=8800元，

設2022年6月底為第一個月，以此類推，設第九個月底小王手中有現(xiàn)款為a?,第n+1個月月底小王手中

有現(xiàn)款為a?+1,

則a”+產(chǎn)1?2a,-800，即a?+I-4000=1.2（%—4000）,

所以數(shù)列｛冊+1—4000｝是首項為4800,公比為1.2的等比數(shù)列，

1]

/.52-4000=4800x1.2",即a12=4000+4800x1.2=40000,

年所得收入為40000-8000=32000元.

故選：D.

題目T]（2023?河南?洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）歐拉是18世紀最優(yōu)秀的數(shù)學家之一,幾乎每個

數(shù)學領域都可以看到歐拉的名字，例如初等幾何中的歐拉線、多面體中的歐拉定理、微分方程中的歐拉方

程，以及數(shù)論中的歐拉函數(shù)等等.個數(shù)叫互質數(shù)）的正整數(shù)（包括1）的個數(shù)，記作@5）.例如:小于或等

于4的正整數(shù)中與4互質的正整數(shù)有1,3這兩個，即。（4）=2.記&為數(shù)列m（6"）｝的前n項和,則Si2=

■5?

（）

A.4（312+212）B.1-（612-1）C.^-（312+1）D.-y（312-l）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，得到『（6"）=2x6"T,結合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】由題意，若正整數(shù)TH&6",且與6"不互質，則這個數(shù)為偶數(shù)或3的倍數(shù)，共有春x6”個，所以p（6"）

=:X6"=2X6"T,

M

即數(shù)列｛w（6"）｝是首項為2,公比為6的等比數(shù)列，所以SM=二）='（臚-1）.

o-10

故選：B.

題目§）（2023?浙江溫州?樂清市知臨中學?？级＃皸钶x三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，如圖是由“楊

輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記冊為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構成的數(shù)列｛%｝的第ri項，則aso的

值為（）

A.1275B.1276C.1270D.1280

【答案】/

【分析】根據(jù)題意分析可得即一%T=n,n>2,利用累加法運算求解.

【詳解】由題意可得：Q產(chǎn)四=2,的一。2=3,4—。3=4,…,即即一“_]=n,n>2,

所以&0=%+（。2—。1）+…+（。49-g8）+（Qso—。伏））=1+2+…+49+50=---=1275.

故選：4

題目工1（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預測）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術”，就是關于高

階等差數(shù)列求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個,第三層

比第二層多3個，以此類推，記第九層貨物的個數(shù)為即,則數(shù)列（包名

的前2023項和為（）

I嫌

卜2口-（忐月B,2"（矗）]C.4"（嬴月D.4[1-（忐月

【答案】。

（分析】由累加法可得4,利用裂項相消求和法求出snf即可得解.

【詳解】由題意知電一。1=2,的一。2=3,…,廝一%_尸九，n>2,nEN*且的=1,

則由累加法可知，%—。尸2+3+…+九,

所m以一*1-+2c+?“—+.九-（九^一1-）=n（"n+^l）"2'n+kl=；4^（2九7+1）=J心11

（九+I）?_

S=41l———----—H---F—-----------1=411---------1

nI22222〃n2（n+l）2J⑺+1/卜

16,

.,.S2023=4[1-(^J)].

故選：D.

題目（2023?湖南長沙?長沙一中?？寄M預測）等比數(shù)列的歷史由來已久，我國古代數(shù)學文獻《孫子算

經(jīng)》、《九章算術》、《算法統(tǒng)宗》中都有相關問題的記載.現(xiàn)在我們不僅可以通過代數(shù)計算來研究等比數(shù)

歹U,還可以構造出等比數(shù)列的圖象,從圖形的角度更為直觀的認識它.以前n項和為S“，且％>0,0Vq

<1的等比數(shù)列｛冊｝為例，先畫出直線OQ：y=qx,并確定重軸上一點4］（5,0）,過點4作y軸的平行

線,交直線OQ于點打,則AR=axq.再過點P、作平行于x軸，長度等于aq的線段R%,……，不斷重復

上述步驟,可以得到點列｛￡｝,｛%｝和｛4“｝.下列說法錯誤的是（）

2

A.\A2A3\=aiqB.括蕾

C.點A,的坐標為(S,“0)D.\PnAn\=Sn-at

【答案】。

【分析】根據(jù)題設描述，確定題圖中相關線段的數(shù)量關系，結合直線斜率定義、等比數(shù)列前71項和判斷各項

的正誤即可.

【詳解】選項A,由題設及圖象知：|44|=|￡朋3|=|只％|故正確;

選項3,因為修駕表示直線OQ:y=q工斜率，即為q,故正確:

I

選項。，點4的橫坐標為QAI+1441+…+I4-A,I=為+aq+處/+…+aq"T=s”,故正確;

選項。，由區(qū)4|=EMJ+\MnA,\,

而QAJ+眼峪|=S“+i,Q4|=S”,則\PnM,\=Sn+l-Sn,

又△44M為等腰直角三角形，即\AnM?\=/41=Sn-at,

綜上，=S”+1—佝，故錯誤.

故選:D

題目叵1（2023?湖北黃岡?淹水縣第一中學?？既＃┛搪┦侵袊糯脕碛嫊r的儀器，利用附有刻度的浮

箭隨著受水壺的水面上升來指示時間.為了使受水壺得到均勻水流,古代的科學家們發(fā)明了一種三級漏

壺，壺形都為正四棱臺，自上而下,三個漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞

減1寸.設三個漏壺的側面與底面所成銳二面角依次為仇，名,%,則（）

?7?

A.仇+。3=2%B.sin6i+sin93=2sin%

C.cos仇+cos%=2cosaD.tana+tan%=2tan(92

【答案】D

【分析】連結OF,過邊4Bi的中點E作EG±OF,垂足為G,則NGPE就是漏壺的側面與底面所成銳二

面角的一個平面角，記為6,設漏壺上口寬為a,下底寬為b,高為h,在RtAEFG中，根據(jù)等差數(shù)列即可求

解.

【詳解】三級漏壺，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上口寬依次遞減1寸(約3.3厘米)，下底寬和

深度也依次遞減1寸，

如圖，在正四棱臺ABCD-48G。中，O為正方形ABCD的中心，P是邊的中點，

連結O尸，過邊的中點E作EGLOF,垂足為G,

則/GEE就是漏壺的側面與底面所成銳二面角的一個平面南，記為0,

設漏壺上口寬為a,下底寬為b,高為九,在用△EFG中，GF="2tan(9=^V，

因為自上而下三個漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，所以a-b為定值，

又因為三個漏壺的高八成等差數(shù)列，所以2tan%=tan仇+tan/.

故選：O.

題目其J(2023?安徽亳州?安徽省亳州市第一中學校考模擬預測)元代數(shù)學家朱世杰所創(chuàng)立的“招差術”是

我國古代數(shù)學領域的一項重要成就，曾被科學家牛頓加以利用，在世界上產(chǎn)生了深遠的影響.已知利用

“招差術”得到以下公式：+＞依+1)=+1)(九+2),具體原理如下：k(k+1)=

fc=i3

1、

3x4—1x2x3)H---Fn(n+1)(n+2)—(九一l)n(n+1)]=—n(n+1)(n+2)，類比上述方法，

3k=i

+l)(k+2)的值是()

A.90B.210C.420D.756

18,

【答案】。

【分析】由類比把通項n(n+1)(九+2)化為

n(n+1)(n+2)=%i(n+l)(n+2)[(n+3)—(n—1)]=

-^-[n(n+1)(TI+2)(n+3)—(n—l)n(n+l)(n+2)],相加即可求和.

4

【詳解】n(n+1)(n+2)=~n(n+l)(n+2)[(n+3)—(n—1)]=

+1)(?i+2)(n+3)—(72—1)72(72+1)(7i+2)]):k(卜+l)(/c+2)=｝[(lx2x3x4—0x1X2x

3)+(2x3x4x5-lx2x3x4)+---+(5x6x7x8-4x5x6x7)]=-^x5x6x7x8=420.

故選：。

題目間(2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預測)北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術”，就是關于高

階等差數(shù)列求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個,第三層

比第二層多3個，以此類推，記第m層貨物的個數(shù)為%，則使得%>2n+2成立的"的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

[分析】由題設及累加可得an—ai=2+3H----Fn，應用等差數(shù)列前九項和公式及已知不等關系求"范圍，

即可得結果.

。2=2

【詳解】由題意，的一電=3且的=1,

''?

=

%—an-in

累加可得an—%=2+3+…+??,,所以冊=1+2+…+九=—-―-一,

....1),>2"+2，得論>4,即71min=5.

故選：C.

題目(2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模)我國古代數(shù)學家對兀近似值的確定做出了巨大貢獻,早在東漢初年

的數(shù)學古籍《周髀算經(jīng)》里便記載“徑一周三”，并稱之為“古率”，即“直徑為1的圓,周長為3”,之后三國時

期數(shù)學家劉徽證明了圓內接正六邊形的周長是圓直徑的三倍，說明“徑一周三”實際上是圓的內接正六邊

形的周長與圓直徑的比值，而不是圓周率.若將圓內接正71邊形的周長與其外接圓的直徑之比記為廝

⑺)3),則下列說法錯誤的是()

A.aA=2A/2B.an<0n+1

C.存在teN*,當n>￡時，a?>2V3D.存在N",使得即_尸a2n+3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設外接圓的半徑為H,求出｛%｝的通項公式，代入即可判斷工。，利用導數(shù)求解單調性即

可判斷BC

【詳解】解：根據(jù)題意，正九邊形內接于圓，設圓的半徑為R,則正門邊形的周長d=2n/?sin—,則%=旦

n2R

.兀

=nsm-,

n

對于A,當71=4時，。4=4Xsin子=2A/2,A正確;

4

?9?

對于&設/(x)=xsin—(a;>3)，其導數(shù)/Q)=sin———cos—=cos—(tan———),

XXXXXXX

接下來證明sinx<x<tanx(0<x<,

令m{x}=sin力—rr,n(x)=x—tana;,(0<x<-y],

則m{x)—COST—1<0,n(T)=1----=―"衛(wèi)-<0,

cosxcosx

故m(rc),n(x)均為0VrrV手上的單調遞減函數(shù)，所以m(x)<m(0),n(x)<n(0),

故sinx<x<tanx(0<x<-y),

則有當力)3時，有tan2>匹，故/(c)>0,函數(shù)/(力)在[3,+8)上為增函數(shù)，

XX

故數(shù)列{%}為遞增數(shù)列，則有an<an+1,3正確；

對于C,當0V力〈與時，sinzVi,對于/(力)=xsin—(x>3)，必有/(z)<a;X—=兀V2/，對于數(shù)列

{%}，必有%V2/，。錯誤；

對于。，當九二4時，QMT=QU=Hsin■，%+3=S產(chǎn)Hsin/，。正確：

故選：C.

二、填空題

題目工屋；（2023?湖南長沙?長沙市明德中學校考三模）中國古代數(shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記

載「三百七十八里關,初行健步不為難，次日腳痛減一半,如此六日過其關.”則此人在第六天行走的路程

是里（用數(shù)字作答）.

【答案】6

【分析】根據(jù)題意分析，看成首項外，公比q=］的等比數(shù)列｛%｝,已知S6=378,繼而求出5,即可得出答

案.

【詳解】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列｛%｝,

九￡尸\九W6,其公比q=￡,令數(shù)列｛a“｝的前幾項和為Sn,

則尻=378,而S產(chǎn)"1一丁）=需，

12

因此41=378,解彳尋Q尸192,

所以此人在第六天行走的路程曲=5*今=6（里）.

故答案為：6

題目互1（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題，

“今有金筑，長五尺.斬本一尺，重四斤.斬末一尺,重二斤.問次一尺各重幾何?”意思是“現(xiàn)有一根金

杖，長五尺,一頭粗，一頭細.在粗的一端截下1尺，重4斤;在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各

重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件，若金杖由粗到細是均勻變化的，估計此金杖總重量約為斤.

【答案】15

【分析】根據(jù)題意，每節(jié)重量構成等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式得解.

【詳解】由題意知每節(jié)的重量構成等差數(shù)列，

■10?

設首項為2,則第5項為4,

所以總重量為DX5=15斤.

故答案為：15

題目回（2023?云南?云南師大附中校考模擬預測）幻方又稱為魔方，方陣或廳平方,最早記載于中國公元

前500年的春秋時期《大戴禮》中，宋代數(shù)學家楊輝稱之為縱橫圖.如圖所示，將1,2,3,…，9填入3X3的

方格內，使三行三列兩對角線的三個數(shù)之和都等于15,便得到一個3階幻方;一般地，將連續(xù)的正整數(shù)

1,2,3,…，》填入nxrt的方格內，使得每行每列每條對角線上的數(shù)字的和相等，這個正方形就叫做71

階幻方.記n階幻方的一條對角線上的數(shù)字之和為S”（如：S3=15），則Si0=.

而一

：；3>7

HRH

【答案】505

【分析】利用等差數(shù)列求和公式得出n階幻方的所有數(shù)之和，再計算每行數(shù)之和即可得出對角線上數(shù)字之

和.

【詳解】九階幻方共有然個數(shù)，其和為1+2+…+川=?（，+1）,

?二九階幻方共有n行，

n2（n"+l）?

??.每行的和為S,尸1=小/，..?S卡*+1）=505

故答案為：505

題目工手：（2023?廣西南寧?南寧三中校考一模）唐代酒宴上的助興游戲“擊鼓傳花”，也稱傳彩球.游戲規(guī)則

君:鼓響時,眾人開始依次傳花,至鼓停為止,此時花在誰手中，誰就上臺表演節(jié)目.甲、乙、丙三人玩擊鼓

傳花,鼓響時，第1次由甲將花傳出，每次傳花時，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經(jīng)

過6次傳遞后,花又在甲手中的概率為.

【答案噴

【分析】設第n次傳球后球在甲手中的概率為根據(jù)題意找出月的遞推關系，寫出R的通項公式，然后

求區(qū)即可.

【詳解】設第n次傳球后球在甲手中的概率為R,neN".則R+產(chǎn)0+（1—R）x,得2+1=―

+￡,E+LW（2一'1）.

一次傳球后，花不在甲手上，故.=（）,所以數(shù)列歸一導是以一：為首項，公比為一寺的等比數(shù)列，所以

"33'2'.

n3v2>3°3、21332

故答案為：需

題目為（2023?全國?模擬預測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為

“兔子數(shù)列”，即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛

燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域也有著廣泛的

?11?

應用.斐波那契數(shù)列｛a“｝滿足：5=a2=1,an+2=an+i+an(n€N*),則1+a-i+a^+at+a,^…+(12022是斐波

那契數(shù)列｛4,｝中的第項.

【答案】2023

【分析】利用遞推關系a產(chǎn)a2=1,將所求關系式中的“1”換為a?,再利用a“+2=a,t+1+a?(nGN')即可求得答

案.

【詳解】由an+2—a?+l+a?(nGN")可得1+as+as+ay+agH---Fa2o22

=。2+。3+。5+。7+的+--^a2022=。.1+。5+。7+。9+-------F(22022

=Q6+Q7+Q9+F6Z2022=，**=。2。21+。2022=。2023?

故答案為：2023.

題目包1(2023?浙江金華?統(tǒng)考模擬預測)數(shù)學王子高斯在小時候計算1+2+--+100時，他是這樣計算的：

1+100=2+99=???=50+51,共有50組,故和為5050,事實上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對稱性.若

函數(shù)片/⑺圖象關于()2)對稱，$“=5+1)|/(白丁)+/(三7)+-+/(曰)](旌河),則《

/fbIXlbIX1(/11.Q]

n

【答案】

2(n4-l)

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性可得/Q)+/(1—⑼=4,由題意得/("1)+=4，根據(jù)Sn=

(n+l￡/(*r)S=(n+1)?(衛(wèi)^可得S產(chǎn)2n(n+D，即專=f(1"*)，結合裂項

相消求和法即可求解.

【詳解】由函數(shù)/3)圖象關于點(看2)對稱，得++c)=4,

得/(①)+一工)=4,所以/(^-)+=4.

因為S=(n+(n+1這/(衛(wèi)青1),

i=l,￡,'1：=]1

所—黨(*)+(…)?(”!)=(…恪心^)+卻(需i)]=m

+靖(+)+，(百)]=*+1),

所以&=2nd+D,則專=而占=g!1

n+1

所以■+…+專=丸(10：)+…+1

n

n

故答案為：

2(n+1)

題目區(qū)；(2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模)歐拉是瑞士數(shù)學家和物理學家，近代數(shù)學先驅之一，在許多數(shù)學的分支

中經(jīng)常可以見到以他的名字命名的重要函數(shù)、公式和定理.如著名的歐拉函數(shù)勿⑺)：對于正整數(shù)n,

RS)表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質的數(shù)的個數(shù),如砥5)=4,磯9)=6.那么，數(shù)列｛刎5")｝的

前71項和為.

【答案】(n-J>5"+]

【分析】利用錯位相減法求和.

【詳解】在[1,5,中，與5n不互質的數(shù)有5x1,5X2,5x3,…,5x5n，共有個，

?12?

所以w(5")=5n-5n-1=4-5”T,

所以n『(5")=(4n)?5"T,

設數(shù)列伍。(5")｝的前n項和為Sn,

所以s,=4x50+8x51+12x52+--+4nx5n-1,

5S?=4x5'+8x52+12X53+???+4nx5",

兩式相減可得一4Sn=4+4x(5J4-52+???+5n~,)-4n-5”,

所以&=一1一(51+5.2+...4-5n-')+n-5n=-l-V7+n-5n,

LD

即S.=(n—[)5+],

故答案為：(n—二>5"+].

題目區(qū)I(2023?黑龍江大慶?大慶實驗中學?？寄M預測)古印度數(shù)學家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提

出如下問題:某人給一個人布施,初日施2子安貝(古印度貨幣單位)，以后逐日倍增，問一月共施幾何？在

這個問題中，以一個月31天計算，記此人第n日布施了％子安貝(其中1<nW31,n6N*),數(shù)列｛斯｝的

前n項和為Sn.若關于n的不等式Sn-62<成+廠切田恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為.

【答案】(一8,15)

[分析]先求得數(shù)列｛即｝的通項公式和前ri項和S”，化簡題給不等式為t<蒜+2n+l-l，求得畀+

2n+1-l的最小值,進而得到實數(shù)t的取值范圍.

【詳解】由題意可知，數(shù)列｛a,J是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

故a“=27,(1<n<31,nSAT*).

所以S“=2(：=2n+1-2.

n+,2,,+2n+,

由S?-62<a^+1-tari+l,得2-64<2-t-2,

整理得[<半?+2的一1對任意1&C&31,且?恒成立.

2"+】

又44-2n+l-l>2./-6￡..2n+1-1=15,

2?+1y2+1

當且僅當2計1=8,即n=2時等號成立，

所以tV15,即實數(shù)t的取值范圍是(一oo,15)

故答案為：(一8,15)

三、解鑰R

題目?0(2023?云南昆明?統(tǒng)考模擬預測)雪花是一種美麗的結晶體，放大任意一片雪花的局部，會發(fā)現(xiàn)雪花

的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案，其

作法如下：

將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到

?13?

圖②；

將圖②的每條邊三等分，重復上述的作圖方法,得到圖③:

按上述方法,所得到的曲線稱為科赫雪花曲線｛Kochsnowflake).

圖①圖②圖③

現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為E、2、…、2、….小明為了研究圖形R的面積，把圖形2

的面積記為時,假設的=1,并作了如下探究：

RPn

邊數(shù)31248192

從￡起,每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)31248

11

從2起,每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積1

V￥于

根據(jù)小明的假設與思路，解答下列問題.

(1)填寫表格最后一歹I」,并寫出a“與冊_](門e2)的關系式;

(2)根據(jù)(1)得到的遞推公式，求｛%｝的通項公式；

(3)從第幾個圖形開始,雪花曲線所圍成的面積大于需.

500

參考數(shù)據(jù)(lg3?0.477,lg2?0.301)

n1，

【答案】⑴填表見解析;0n=*+*X(y)-(nGN,n>2)

⑶第7個

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)的規(guī)律及等比數(shù)列的通項公式填寫表格最后一列，進而得出a“與a,1的關系式;

(2)利用累加法求解;

(3)由題意票■，利用指數(shù)函數(shù)的性質及對數(shù)的運算性質求解.

500

【詳解】(1)圖形E、與、…、2、…的邊數(shù)是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，則圖形2的邊數(shù)為3X

4"-1;

從P2起，每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，則2比前一個

圖形多出的三角形的個數(shù)為3x4-2;

從P2起,每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是以：■為首項，春為公比的等比數(shù)列，則P?

比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是y-1.

P1P2P3P4???Pn,

邊數(shù)31248192???3x4”T

■14?

從P2起,每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)31248???3x4n~2

11111、"T

從P2起,每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積