2021年高考數(shù)學(xué)（文）二輪復(fù)習(xí)講義+分層訓(xùn)練

解密04函數(shù)的應(yīng)用

真題再現(xiàn)

1.(2020?海南高考真題)基本再生數(shù)Ro與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感

染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)

模型：1(f)=e”描述累計感染病例數(shù)/⑺隨時間r(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,T近似滿足Ro

=l+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出Ro=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1

倍需要的時間約為(ln2Y).69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【詳解】

328—1

因為4=3.28,T=6,風(fēng)=1+出,所以廠=———-=0.38,所以==e"38,

6

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為％天，

則6。幽.)=2eo.38r,所以=2,所以0.38%=In2,

In20.69

所以％=亡1.8天.

038038

故選：B.

2.(2020?全國高考真題(文))Logis方c模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公

布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)/?)?的單位：天)的Logisfic模型：/(')=i+e—鼠的，其中K

為最大確診病例數(shù).當(dāng)/(/*)=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則/*約為()(lnl9~3)

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【詳解】

/?）="￡（』），所以4*）=]+e：（f=0-95K,則6。訓(xùn)』）=19,

所以，0.23“*—53）=11119^3,解得/*士言+53y66.

故選：C.

強化集訓(xùn)

1.（2021?山西呂梁市?高三一模（文））函數(shù)〃耳=2'+165的零點％?。—1,可，4€^，則。=（

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】

113

已知/（1）=2+^—5<0,/（2）=4+--5<0；/（3）=8+1-5>0,所以/（2）?/（3）<0,可知函

數(shù)零點所在區(qū)間為[2,3],故。=3.

故選：C.

3尤_尤？—|-2%^^*0

2.（2020?遼寧丹東市?高三二模（文））關(guān)于函數(shù)/'（%）=--',，有下述四個結(jié)論：

2cos%,x<0

①〃九）是周期函數(shù).

②/（九）在[—石1]上單調(diào)遞增.

③/（%）的值域為（—8,2].

④若函數(shù)y=/(九)—7篦有且僅有兩個不同的零點，貝Ume(2,4).

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【詳解】

當(dāng)x>0時，/(x)=—%3+3x+2,

所以/(%)=—3/+3=—3(尤2—1),

令/(x)=0得：1=1或%=—1,

所以當(dāng)xe(O,l)時,/(%)>0,/(%)遞增,

當(dāng)X?1,+00)時,f(x)<0,/(尤)遞減,

且/(*)1mx="1)=4，

則/(尤)的圖象如圖所示：

由圖可知:

/(九)不是周期函數(shù)，故①錯誤;

/(九)在[—萬』上單調(diào)遞增，故②正確；

/(%)的值域為(—,4],故③錯誤；

若函數(shù)y=/(尤)-%有且僅有兩個不同的零點，即函數(shù)>=巾與函數(shù)y=/(%)有兩個交點，所以由圖可知:

e(2,4),故④正確.

綜上，②④正確.

故選：C.

_3x+2x<]

3.(2020?天津高三一模)已知函數(shù)/'(%)='—若關(guān)于x的方程/(x)=ox-a恰有1個實

Inx,x>l

根，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[-1,O]U[1,H<?)B.(YO,T([0,1]

C.[-1,1]D.(-co,-l]ul,+co)

【答案】A

【詳解】

2

由y-x-3x+2y'—2x-3,y|x=1=2-3=-l,

由y=111%得；/=工，,，4i=：=].

作出函數(shù)/(X)的圖象，和直線丁=四一。，直線y="—a恒過(1,0)點，知ae[—1,0]工+8)時，關(guān)于x

的方程/(x)=ax-a恰有1個實根，

故選：A.

2卜+2|_2_4<x<-1

4.(2020?河北邯鄲市?高三二模(文))已知i一'若函數(shù)

log2(x+l),-l<x<4,

g(x)=/2(x)—時(x)—1恰有5個零點,則實數(shù)機的取值范圍是()

A.],|]B.C.(0,2)D.(0,2]

【答案】B

【詳解】

解：作出函數(shù)〃尤)的圖象如圖所示，

令=f,

則由圖可知，當(dāng)1)(2,log25]時，方程/(x)=只有一個根；當(dāng)fe{-Q「(O,2]時，方程

/(%)=/有兩個根；當(dāng)1,0]時，方程〃尤)=/只有一個根；

顯然/■=0不是方程r—mt—1—Q的根;

若/=—1是方程「—根,—i=o的根，則機=0,此時"±1,結(jié)合圖象可知，此時方程/(九)=1和方程

〃尤)=-1共有4個根，則函數(shù)g(x)有4個零點，不滿足題意；

Ag("=/⑴―對⑴—1恰有5個零點等價于方程/(%)=/恰有5個實根,等價于方程廣—皿―1=0

的一個根在(—1,0)，一個根在(0,2],

=m>0

令h（t）=F-m-L則<4（0）=-1<0

/7（2）=4-2m-l>0

3

/.0<m<—,

2

故選：B.

5.(2020?哈爾濱市?黑龍江實驗中學(xué)高三三模(文))已知函數(shù)y=l+21nx]xeJe]的圖象上存在點”，

函數(shù)的圖象上存在點"，且點M,N關(guān)于原點對稱，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.0』+gB.[0,e2-3]C.1+0/-3D.l+，，+f

【答案】B

【詳解】

函數(shù)y=-/+a的圖象與函數(shù)》=必一。的圖象關(guān)于原點對稱，

則原題等價于函數(shù)V=1+21nx(xeJe"的圖象與函數(shù)y=一一。的圖象有交點，

/

即方程1+2111%=%2-。xe有解,

/Je口有解,

即a二%2一1-21nJTxG

令/"(x)=k-l-21nxxe

2（一）.

則/'(%)=lx--=

x

當(dāng)xe-,1時，/,(x)<0,

當(dāng)XG[l,e],/'(尤)>0,故/(x).=/(1)=0,

由了+1,f(e)=e2-3,

故當(dāng)x=e時，3

故a的取值范圍為[0,e2—3].

故選：B.

logix,x>0

3

6.（2020?內(nèi)蒙古鄂爾多斯市?高三二模（文））已知函數(shù)/（%）=<X，若關(guān)于X的方程/[/（%）]=。

/1

a-|,x40

3

有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(—j0)(0,1)B.(-oo,0)1J(l,+oo)

C.(—8,0)D.(0,1)0(1,+?))

【答案】B

【詳解】

解：設(shè)/=/(%),則/。)=。有且只有一個實數(shù)根.

當(dāng)a<0時，當(dāng)XW0時，=<0,由/⑺=0即l°gj=。，解得:1,

結(jié)合圖象可知，此時當(dāng)￡=1時，得〃力=1，則x=§是唯一解，滿足題意;

當(dāng)〃=0時，此時當(dāng)無<。時,此時函數(shù)有無數(shù)個零點，不符合題意;

當(dāng)〃>0時，當(dāng)]<0時，/(X)￡,,+8),此時/(X)最小值為。，

結(jié)合圖象可知，要使得關(guān)于X的方程力/(x)]=0有且只有一個實數(shù)根，止匕時

綜上所述：?<0或々>1.

故選:B.

7.(2020?陜西西安市?西安中學(xué)高三三模(文))設(shè)函數(shù)〃力是定義在夫上的偶函數(shù),且/(1+2)=/(2—%),

(萬丫

當(dāng)xe[—2,0]時，/(%)=旺一1,若在區(qū)間(—2,6)內(nèi)關(guān)于尤的方程/(力—1鳴,(％+2)=0">0且

I27

awl)有且只有4個不同的根，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[-71]B.—C.(1,8)D.

【答案】D

【詳解】

:對于任意的xeR,都有2)=/(2+x),

.■./(x+4)=/[2+(x+2)]=/[(x+2)-2]=/(%)

；?函數(shù)”可是一個周期函數(shù)，且T=4.

又?.?當(dāng)xe[—2,0]時，=-1,且函數(shù)/(可是定義在R上的偶函數(shù)，

若在區(qū)間(—2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程/(x)-loga(x+2)=0恰有4個不同的實數(shù)解，

則函數(shù)丁=/("與y=抽“(X+2)(4>1)在區(qū)間(—2,6)上有四個不同的交點，如下圖所示：

又2)=〃2)=〃6)=1,

則對于函數(shù)y=log“(x+2),

由題意可得，當(dāng)x=6時的函數(shù)值小于1,

即log08<1,

由此解得：a>8,

.'.a的范圍是（8,+8）

故選：D.

8.（2020.廣西桂林市.高三一模（文））已知函數(shù)/（x）=23r,若函數(shù)g（x）=/（W）—2/"一〃，有兩個

零點，則實數(shù)用的取值范圍為（）

J12E2；

（I-A/5i+F

122J

【答案】D

【詳解】

令g(x)=。,即/(國)-2/"-時=0,

又因為/(x)=23f,

所以2到M_24dM甸=0，即23Tx=2H「甸，

所以3—國=4—同-m|,即|x|=|m2-m|-1,

因為函數(shù)g(x)=-m)有兩個零點，

則|乂=帆2-問一1有兩個零點，即y=\x\與y一機|一1有兩個交點,

所以帆~一同一1>0,即/—“2>1或療—“2<—1,

/

顯然根2—加>1的解集為-8,,十。，

/

m2一根<—1無解,

故選：D

9.(202。全國高三零模(理))為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計學(xué)家勞

倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線OL時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線

時，表示收入完全不平等.記區(qū)域A為不平等區(qū)域，a表示其面積，S為△OKL的面積，將Gini=￡稱

為基尼系數(shù).

累

計

收

入

百

分

比

累計人口百分比(%)

對于下列說法：

①Gini越小，則國民分配越公平；

②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為丁=/(%),則對Vxe(0,D,均有△衛(wèi)>1；

X

③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=/(無e[0,l]),則Gini=；；

④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=無3(X€[0,1]),則Gini=1.

其中正確的是：

A.①④B.②③C,①③④D.①②④

【答案】A

【詳解】

對于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式Gini=￡,可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積。越小，國民分配越公平，所

以①正確.對于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得VxeQD，均有/(X)＜X,可得也＜1,

X

1

所以②錯誤.對于③，因為4=「5一/)心=(!/一%3汴=:，所以Gini=/