高考數(shù)學(xué)考前最后一輪基礎(chǔ)知識(shí)鞏固之第七章第4課空間中的垂直關(guān)系

第4課空間中的垂直關(guān)系

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明和解決有關(guān)問(wèn)

題。

2.線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)互相轉(zhuǎn)化，善于

利用轉(zhuǎn)化思想。

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.“直線/垂直于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是al±a”的必要條件。

2.如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是平行或相交。

3.已知a、B是兩個(gè)平面，直線優(yōu)若以①②/〃(3,③a_L0中兩個(gè)為條

件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)。

4.在正方體中，與正方體的一條對(duì)角線垂直的面對(duì)角線的條數(shù)是6o

5.兩個(gè)平面互相垂直，一條直線和其中一個(gè)平面平行，則這條直線和另一個(gè)平面的位置關(guān)系

是平行、相交或在另一個(gè)平面內(nèi)O

6.在正方體ABC。-ABC。中，寫(xiě)出過(guò)頂點(diǎn)A的一個(gè)平面ABD,使該平面與正方

1111f—

體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所

有可能的情況)。

【X例導(dǎo)析】

例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD,底面ABCD,PD=DC,E是PC的

中點(diǎn)，作EFLPB交PB于點(diǎn)F.

(1)證明PA//平面EDB；(2)證明PB,平面EFD；

解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象

能力和推理論證能力.

證明：(1)連結(jié)人€；用(：交8口于0,連結(jié)￡0.

..,底面ABCD是正方形，.,.點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)

在APAC中,E0是中位線，；.PA//E0

而EOu平面EDB且PAZ平面EDB,

所以,PA//平面EDB

(2)：PD,底面ABCD且。Cu底面ABCD,PD1DC

???PEbDC,可知KPDC是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線，

：.DELPC.①

同樣由PD_L底面ABCD,得PD±BC.

?.?底面ABCD是正方形,有DCLBC,平面PDC.

而。Eu平面PDC,BCLDE.②

由①和②推得￡史J■平面PBC.而P3u平面PBC,DELP3

又E尸_LP8且。E口EP=E，所以PBL平面EFD.

例2.如圖，Z\ABC為正三角形，EC,平面ABC,BD〃CE,CE=CA=2BD,

M是EA的中點(diǎn)，

求證：(1)DE=DA；(2)平面BDM,平面ECA；

-1-/6

(3)平面DEAJ_平面ECA。

分析：(1)證明DE=DA,可以通過(guò)圖形分割，證明△DEFg^DBA。(2)證明面面垂直的關(guān)

鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由(1)知DMXEA,取AC中點(diǎn)N,連結(jié)MN、

NB,易得四邊形MNBD是矩形。從而證明DM_L平面ECA。

證明：(1)如圖，取EC中點(diǎn)F,連結(jié)DF。

,rECI平面ABC,BD〃CE,得DBJ_平面ABCo

/.DBXAB,EC_LBCo

1

VBD/7CE,BD=-CE=FC,

2

則四邊形FCBD是矩形，DF±ECO

又BA=BC=DF,.".RtADEF^RtAABD,所以DE=DAO

(2)取AC中點(diǎn)N,連結(jié)MN、NB,

1

???M是EA的中點(diǎn)，.?.MN^EC。

2

1

由BD]EC,且BD,平面ABC,可得四邊形MNBD是矩形，于是DMLMN。

VDE=DA,M是￡人的中點(diǎn)，ADMXEA.又EAPlMN=M,

；.DM，平面ECA,而DMu平面BDM,則平面ECA_L平面BDM。

(3)?.?DM,平面ECA,DMu平面DEA,

平面DEA_L平面ECAo

點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問(wèn)題解決。

例3.如圖，直三棱柱ABC—ARG中，AC=BC=1,

ZACB=90°,AA=、叵，D是AB中點(diǎn).

111

(1)求證CD,平面AB；(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB上什么位置時(shí)，

111

會(huì)使得ABJ平面QDF?并證明你的結(jié)論。

分析：(1)由于QD所在平面々Bg垂直平面AR,只要證明QD垂直交線A月，由直線與

平面垂直判定定理可得平面仲。(2)由(1)得Cp_LAB_只要過(guò)D作AB】的垂線，

它與BB】的交點(diǎn)即為所求的F點(diǎn)位置。

證明：(1)如圖，?「ABC—AB,是直三棱柱，

???AC=BC=1,且NACB=90°。

1111111

又D是AB的中點(diǎn)，???CD，AB。

11111

-2-/6

?.?AAJ_平面ABC,CDu平面ABC,

iiiiiiii

AAA±CD,，CD_L平面AABB。

11111

(2)解：作DE，AB1交嗎于E,延長(zhǎng)DE交BB1于F,連結(jié)QF,則ABJ平面QDF,點(diǎn)

F即為所求。

「CD，平面AABB,ABu平面AABB,

11111

.\CD±AB,又ABJ_DF,DFpCD=D,

1111

.?.ABJ平面qDF。

點(diǎn)評(píng)：本題(1)的證明中，證得CJUAR后，由ABC—ARQ是直三棱柱知平面平

面AAgB,立得QD,平面AARF。(2)是開(kāi)放性探索問(wèn)題，注意采用逆向思維的方法分析問(wèn)

題。

備用題.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，

(1)點(diǎn)石是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是3c的中點(diǎn)，將AAED,ADCF分別沿DE,DF折起，使A,C

兩點(diǎn)重合于點(diǎn)4,求證：A'D±EF.

(2)當(dāng)3石=8/時(shí)，求三棱錐A'—EK)的體積.

4

變式題.如圖，在矩形ABC。中，A5=2,AD=1,E是CD的中點(diǎn)，以AE為折痕將AZME

向上折起，使D為D',且平面。'AEJ_平面ABCE.求證：AD'1EB.

解：在RtABCE中，BE=4BCT+CE^=,

在mAAD'E中，AE=yjD'Az+D'E?=&,

-3-/6

■:AB2=22=BE2+AE*2,

???AE1BE.

?.?平面AED平面ABCE,且交線為AE,

Z.BE，平面AED'.

?;AD'u平面AED',

:.AD'YBE.

【反饋演練】

1.下列命題中錯(cuò)誤的是(3)。

(1)若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線

(2)若一平面經(jīng)過(guò)另一平面的垂線，則兩個(gè)平面互相垂直

(3)若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則此直線垂直于這一平面

(4)若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直

2.設(shè)x,y,z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若

X1Z，且為真命題的是①③④(填所有正確條件的代號(hào))

①x為直線，y,z為平面②x,y,z為平面

③x,y為直線，z為平面④x,y為平面，z為直線

⑤x,y,z為直線

3.二面角a—a—B的平面角為120°,衡a內(nèi)，ABLa于B,AB=2在平面B內(nèi)，CD±a

于D,CD=3,BD=1,M是棱a上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+CM的最小值為J石。

4.已知三棱錐尸-ABC中，頂點(diǎn)尸在底面的射影。是三角形ABC的內(nèi)心，奚奇?zhèn)€三棱錐

有三個(gè)命題：①側(cè)棱R4=P3=PC；②側(cè)棱外、PB、PC兩兩垂直；③各側(cè)面與底面所成的

二面角相等。其中錯(cuò)誤的是①②。

5.在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可以有4個(gè)。

6.若A8的中點(diǎn)M到平面a的距離為4cm,點(diǎn)4到平面a的距離為，則點(diǎn)8到平面a的

距離為或14cma

7.三棱錐尸-A3C中，側(cè)棱抬、尸3、PC兩兩垂直，底面A3c內(nèi)一點(diǎn)S到三個(gè)側(cè)面的距離

分別是2、3、6,那么PS=L

8.在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C,如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,

那么這個(gè)球面的表面積是3兀G.

9.命題A：底面為正三角形，面旗在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。

命題A的等價(jià)命題B可以是：底面為正三角形，且的三棱錐是正三棱錐。

答案：側(cè)棱相等(或側(cè)棱與底面所成角相等……)

10.a、8是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面a及6之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷：

①m，n②③④m，a以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出

你認(rèn)為正確的廠個(gè)命題:。

答案：m_La,nj_B,a0nmj_n或m_Ln,m±a,nj_0naJ_B

11.已知三棱錐P-ABC中，PCJ_底面ABC,AB=BC,

D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DELAP于E.

(1)求證：APJ_平面BDE；

-4-/6

(2)求證：平面BDE_L平面BDF；

(3)若AE：EP=1：2,求截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分的體積比.

解：(1)：PC_L底面ABC,BDu平面ABC,，PC_LBD.

由AB=BC,D為AC的中點(diǎn)，得BD_LAC.又PCCAC=C,；.BD_L平面PAC.又PAu平面、

PAC,.\BD±PA,由已知DE_LPA,DECBD=D,；.AP_L平面BDE.

(2)由BD_L平面PAC,DEu平面PAC,得BD_LDE.由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF〃AP.

由已知，DE±AP,ADEXDF.BDADF=D,；.DE_L平面BDF.

又?.?口￡<=平面BDE,平面BDE_L平面BDF.

(3)設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為％和h2.則

h：h=EP：AP=2：3,

12

VV3'hi'SAPBF21

/.=EPBF=--------------------------=---------=—.

VV17c3-23

P-ABCA-PBC—,rl-D

32APBC

故截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分體積的比為1：2或2：1

點(diǎn)評(píng)：值得注意的是，“截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分的體積比”并沒(méi)有說(shuō)明先后順

序，因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個(gè)，不要犯這種“會(huì)而不全”的錯(cuò)誤.

12.在直角梯形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB<CD,SD_L平面ABCD,AB=AD=a,SD=、，篤a,在

線段SA上取一點(diǎn)E(不含端點(diǎn))使