高考數(shù)學(xué)考前最后一輪基礎(chǔ)知識鞏固之第九章第1課橢圓

第1課橢圓

【考點導(dǎo)讀】

1.掌握橢圓的第一定義和幾何圖形,掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握橢圓簡

單的幾何性質(zhì)；

2.了解運用曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的思想方法；能運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理

一些簡單的實際問題.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.已知AABC的頂點B、C在橢圓可+山=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一

個焦點在BC邊上，則4ABC的周長是44

2.橢圓X2+4y2=1的離心率為1

3.已知橢圓中心在原點，一個焦點為F(—2/5,0),且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的

一八V2

標(biāo)準(zhǔn)方程是—+~

164

X2V21?5

4.已知橢圓次+勺=1的離心率e則％的值為左=4或左=—a

5橢圓相+刀=1的焦點廠尸，P為橢圓上的一點，已知PFLPF,則的面

259121212

積為9—

【X例導(dǎo)析】

35

例1.(1)求經(jīng)過點(一丁學(xué)，且9x2+4山=45與橢圓有共同焦點的橢圓方程。

(2)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，點P(3,0)在該橢圓上，

求橢圓的方程。

【分析】由所給條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟是：①定位，即確定橢圓的焦點在哪軸上；

②定量，即根據(jù)條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值;③寫出方程.

V2

解：(1)???橢圓焦點在y軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+尸=1(。＞人＞0),

由橢圓的定刈2________________________

2a=卜，+(”2+^(-|)2+(|-2)2=?師+，

...Q=10,又C=2,...Z72=Q2—。2=10—4=6,

-1-/7

V2X2<

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+H=L

10o

(2)方法一：①若焦點在x軸上，設(shè)方程為之+==1(。〉匕〉0),?.?點P(3,0)在

Q2￡?2

9元2

該橢圓上；.一=1即。2=9又。=3匕，，加=1,橢圓的方程為k+y2=1.②若焦點在y

。29

軸上，設(shè)方程為二+二=lQ〉b〉0)J.?點P(3,0)在該橢圓上.??3=1即枚=9又。=38,

〃2b2/72

V2

成=81.?.橢圓的方程為%+丁=1

o19

方法二：設(shè)橢圓方程為-2+珍2=1(4>0,5>0,478).?.?點p(3,0)在該橢圓上

11X2一丫2X2

9A=1,即A=A，又。=3b_B=1或――,。2=81橢圓的方程為——+產(chǎn)=1或——+――=1.

9ol9o19

【點撥】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法，若焦點在x軸上，設(shè)方程為

上+==lQ〉b〉O),若焦點在y軸上，設(shè)方程為22+二=1(?！?0),有時為了運算

方便，也可設(shè)為AX2+6y2=1,其中

A>0,B>0,A^B.

例2.設(shè)橢圓>總=1(?！怠?的左焦點、右焦點分別為小J點P在橢圓上,

方；=29,求證："勺l的面積S=^tanb

【分析】有關(guān)橢圓的焦半徑問題用定義解決比較方便.

解：設(shè)貝〔又

PF=m,PF=n,S=mnsin20,FF=2c由余弦定理得

12212

2

(2c)=加2+〃2—2mncos20

22

(m+n)-2mn-2mncos0(2a)-2mn(l+cos20)于是

2加〃(l+cos29)=4〃2-4。2二4人2,所以

-2-/7

2b2_12b2.

mn=..............-,從而有S=—?-----------?sin2U=b7?tanUn

1+cos2021+cos20

【點撥】①解與△PFF?(P為橢圓上的點)有關(guān)的問題,常用正弦定理或余弦定理，并且結(jié)合

PF+PF=2a來浜能。②注意解題過程中的整體消元方法.

%2V2.

例3.點A、B分別是橢圓一片+；八=1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓

3620

上，且位于1軸上方，PA1PFo

(1)求點P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于IMBI,求橢圓上的點到點M的

距離d的最小值。

【分析】①列方程組求得P坐標(biāo)；②解幾中的最值問題通?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，要

注意橢圓上點坐標(biāo)的X圍.

解：(1)由已知可得點知一6,0),F(0,4)

設(shè)點p(x,y),則A戶=(x+6,y),FP=(X-4,y)，由已知可得

X2V2

——+——=1

<3620

(x+6)(x-4)+y2=0

3

則2x2+9%—18=0,%=2或6.

35聒

由于V>0,只能x=于是丁二三一.

點P的坐標(biāo)是(*1,)

(2)直線AP的方程是九-v'3y+6=0.

|m+6|

設(shè)點M(m,0),則M到直線AP的距離是.

|m+61.

于是?2二)忸—6|,又一6WmW6,解得根=2.

橢圓上的點(X,y)到點M的距離d有

549

6?2=(%-2)2+)2=-4X+4+20——X2=—(%-—)2+15,

992

-3-/7

由于一6/機(jī)W6,...當(dāng)x=■時,d取得最小值JIS'

點撥:本題考查了二次曲線上的動點與定點的距離X圍問題，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題.

例4.如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全

長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.

(1)若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計的拱

寬1是多少？

(2)若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)

計拱高h(yuǎn)和拱寬1,才能使半個橢圓形隧

例4圖

道的土方工程量最最??？

4單位：米,

兀

(半個橢圓的面積公式為S=/，柱體體積為：底面積乘以高.本題結(jié)果精確到。」

米)

X2V2

解：(1)如圖建立直角坐標(biāo)系，則點P(11,4.5),橢圓方程為菽+a=1.

將b=h=6與點P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=上/,此時/=2a=?33.3.因此隧

道的拱寬約為33.3米.

(2)解法一:

X2V21124.521

由橢圓方程+--=1,得---+—-1-

Q2。2Q2。2

因為上+4.52〉2x11x4.5

即"299,且/=2。,//=瓦

。2b2ab

所以s=%=nab>99K

〒一〒?

當(dāng)S取最小值時，有上=￡=1,得。=11/力=%?

a2b222

止匕時/=2a=2272?31.1,A=Z7?6.4

故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小.

X2V21124.52?,81。2

解法二:由橢圓方程菽+記='得于是彳

a2-121

Q1121221_______

a2b2=_(。2-⑵+______+242)2—(2,1212+242)=81x121,

4a2-1214

1?l2

即ab>99,當(dāng)S取最小值時，有〃2-121=----------,

Q2—121

_9篤

得〃二11J2,b二6_.以下同解一.

-4-/7

反饋練習(xí)：

1.如果X2+外;2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值X圍是(0,1)

2.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F、F,過F作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若4FPF為等腰

1、2212

直角三角形，則橢圓的離心率是嫄T

X2V2

3.橢圓封+-5-=1的焦點為F和F,點P在橢圓上.如果線段PF的中點在y軸上，那么|PF|

iZJ1211

是［PF?］的2倍

V2J10OS

4.若橢圓-=1的禺心率e=,則m的值為3或_

5m53

X2v2、/3

5..橢圓+-^-=1的右焦點到直線y=的距禺為a-

犬

6.與橢圓工2+一V2=1具有相同的離心率且過點(2,-&l)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是%才2+<V2=1

43Qo

%2V2

7.已知數(shù)列AABC的兩頂點A、C是橢圓運+去=1的二個焦點，頂點B在橢圓上，則

sin5_4

sinA+sinC5

8.橢圓器+?=1上的點到直線x+2y-<2=0的最大距離是而

X24

9.若動點(x,y)在曲線2==l(b>0)上變化，則xz2y的最大值為《彳+4(0<8<4)

4bl［2b324)

4.'52/5

10.已知P點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為一J和一J，過「

點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程.

分析：討論橢圓方程的類型，根據(jù)題設(shè)求出。和b(或a2和從)的值.從而求得橢圓方程.

解：設(shè)兩焦點為八F,且/|=|=2,.

121I131213

從橢圓定義知2a=|PF|+|PF|=2V5.即Q

-5-/7

從『q〉知『馬垂直焦點所在的對稱軸,

所以在MAP尸尸中，sinZPFF=四

2112|PF|2

可求出2C=\PF\-COS-從而匕2=。2-C2=12

1261116d33

.%23y23x2yi

?,?所求橢圓方程為石~+,=1或+---=1.

u.設(shè)p是橢圓￡+山=1(。>1)短軸的一個端點，。為橢圓上的一個動點，求|pg的

最大值。

解析：依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則|PQ|=口+G-1￡,又因為Q在橢圓上，

所以，X2=a2(l—y2),|PQ12=a2(1—y2)+y2—2y+l=(1—a2)y2—2y+l+a2,

11

=(1—a2)(y------)2—......+l+a2o

1一。21—。2

r-11〃2J-2-1

因為|y|Wl,a>l,若a2小,則■J----《1,當(dāng)——時，|PQ|取最大值」——,