高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 圓的方程講義文（全國(guó)版）

§9.3圓的方程

【考試要求】1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方

程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓

圓心C(a,6)

標(biāo)準(zhǔn)(^―a)2+(y—Z?)2=r(r>0)

半徑為2

方程圓心c3'

一般x+y+Dx+Ey+F=0(Z^+^-^O)

半徑r--4?

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)㈤與圓GG~a)2+(y—6)2=產(chǎn)之間存在著下列關(guān)系：

⑴1始＞/-=＞也在圓外,即(於一a)'+(%—6)在圓外；

(2)：MC\=ro也在圓上,即(&-a)"'+(%—在圓上；

(3)\MC\在圓內(nèi),即(加一a)'+(%—在圓內(nèi).

【常用結(jié)論】

1.以4(汨，%),6(次，％)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x—為)(x—質(zhì))+(7—%)(y—%)=0.

2.圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(I)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)

(2)圓/+/=才的半徑為a(X)

(3)方程Ax+Bxy+Cy^-Dx+Ey+F^Q表示圓的充要條件是力=今0,6=0,〃+/一

4"＞0.(V)

(4)若點(diǎn)加施，㈤在圓外，則/+點(diǎn)+〃為+詼+?().(V)

【教材改編題】

1.圓f+/—4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()

A.(2,3),3B.(-2,3),小

C.(-2,-3),13D.(2,-3),y/13

答案D

解析圓的方程可化為(*-2)2+5+3)2=13,所以圓心坐標(biāo)是(2,-3),半徑

2.圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是()

A.(X—1)2+(y—1)2=1

B.(x+l)2+(y+l)2=l

C.(x+1)'+(y+1”=2

D.a-l)2+(y-l)2=2

答案D

解析因?yàn)閳A心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)，所以該圓的半徑二=歸于=蛆，則該圓的方程為(x—

D2+(y-D2=2.

3.若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x—而'+3+42=4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)卬的取值范圍為

答案(一電，啦)

解析,?原點(diǎn)(0,0)在圓(x—向2+(/+加2=4的內(nèi)部，

(0—ni)"+(0+/??)X4,

解得一帀〈成帀.

■探究核心題型

題型一圓的方程

例1⑴(2022?深圳模擬)已知圓M與直線3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切，圓心在直

線y=-x—4上，則圓"的方程為()

A.(x+3)2+(y-l)2=l

B.(x—3)~+(y+1/=1

C.(x+3”+(y+1)'=1

D.(x-3)2+(y-l)2=l

答案C

解析到兩直線3*—4y=0,3x-4y+10=0的距離都相等的直線方程為3x—4y+5=0,

3A~4y+5=0,

聯(lián)立

,y=—x—4,

x——3>

解得

尸T.

又兩平行線間的距離為2,所以圓材的半徑為1,從而圓"的方程為(*+3)2+5+1)2=1.

(2)已知圓的圓心在直線x—2y—3=0上，且過(guò)點(diǎn)1(2,-3),6(—2,—5),則圓的一般方

程為.

答案f+/+2x+4y—5=0

解析方法一設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—aV+Q—6)2=#,

2—a2+—3—6'—r,

由題意得，-2-a2+-5—62=產(chǎn)，

W—26—3=0,

a=-1,

解得｛b=-2,

￡=10,

故所求圓的方程為(x+l)2+(y+2)2=10,

即x+y+2%+4y—5=0.

方法二線段47的垂直平分線方程為

2x+y+4=0,

得交點(diǎn)坐標(biāo)。(一1,-2),

又點(diǎn)。到點(diǎn)/的距離d=瓜,

所以圓的方程為(x+l)2+5+2)2=10,

即x+y+2x+4y-5=0.

【教師備選】

1.已知圓少經(jīng)過(guò)三點(diǎn)力(0,1),8(2,0),以0,-1),則圓K的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

答案C

解析方法一(待定系數(shù)法)

設(shè)圓C的一般方程為*+/+厠+。+尸=0(^+^—4冷0),

1+￡+b=0,T，

則由題意得|4+2P+/、=0,解得《

￡=0,

、-0,

1戶=一1.

3

所以圓￡的一般方程為1=0,

方法二(幾何法)

因?yàn)閳A￡經(jīng)過(guò)點(diǎn)前0,1),8(2,0),所以圓￡的圓心在線段48的垂直平分線y—；=2(x-l)

上.

由題意知圓萬(wàn)的圓心在X軸上,

所以圓￡的圓心坐標(biāo)為(*0).

則圓￡的半徑為IEB\=?2-計(jì)+0-0號(hào)

所以圓K的標(biāo)準(zhǔn)方程為(*一|)+/=||.

2.在平面直角坐標(biāo)系X。中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x—制+26+1=0相切的所有圓中,

半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

A.f+(y—1>=4B.f+(y—1戶=2

C.x+(y-l)2=8D.x+(j-1尸=16

答案B

解析由直線x—"+26+1=0可得該直線過(guò)定點(diǎn)加一1,2),設(shè)圓心為8(0,1),由題意可知

要使所求圓的半徑最大，則&=I網(wǎng)=弋T—02+2—1三心,所以半徑最大的圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁+3—1尸=2.

思維升華(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a,6)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a,b,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于〃E,尸的方程組，進(jìn)而求出〃，E,b的值.

跟蹤訓(xùn)練1(1)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為1,且過(guò)點(diǎn)4(1,2)的圓的方程是()

A./+(y—2)2=1

B.V+(y+2)2=l

C.U-l)2+(y-3)2=l

D./+(y-3)2=4

答案A

解析根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為v+(y—6)2=1,因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)水1,2),所以J+(2—6)2=1,

解得方=2,所以所求圓的方程為f+(y-2)2=l.

(2)(2022?長(zhǎng)春模擬)若圓，的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x—3y=0和x軸都相

切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x—3"+(7—1>=1

B.(A-2)2+(y-l)2=l

C.(x+2)2+(y-l)2=l

D.(x-2)2+(y+1尸=1

答案B

解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,8)(a>0,6>0),

由圓與直線4x—3y=0相切，可得圓心到直線的距離d="三切

D

化簡(jiǎn)得14a—3引=5,①

又圓與x軸相切，可得|引=「=1,解得6=1或6=—1(舍去)，

把Z?=1代入①得4a—3=5或4a—3=-5,

解得a=2或a=-舍去)，

所以圓心坐標(biāo)為⑵1),

則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為U-2)2+(y-l)2=l.

題型二與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題

例2已知比△/%的斜邊為4?,且/(一1,0),8(3,0).求：

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊比'的中點(diǎn)"的軌跡方程.

解(1)方法一設(shè)C(x,力，因?yàn)?B,C三點(diǎn)不共線，所以產(chǎn)領(lǐng).

因?yàn)閬A比；且6G〃1斜率均存在，

所以kac?kix=-1,

又廉二止7'解=言’

所以々.白=_1，

x+1才一3

化簡(jiǎn)得f+4-2x—3=0.

因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為

Y+7—2x—3=0("。).

方法二設(shè)4?的中點(diǎn)為〃由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得〃(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|斷：=*/16|

=2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是以〃(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于4B,。三點(diǎn)不共

線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).

所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x—l)2+/=4(yN0).

⑵設(shè)M(x,y),。(加，㈤，

因?yàn)?(3,0),〃是線段理的中點(diǎn)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=W±,尸空，

所以xo—2x—3>y<)—2y.

由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(才-1)2+/=4(/0),

將x°=2x—3,%=2y代入得(2*-4尸+(2/)2=4,

即(x—2)2+/—1d。).

因此動(dòng)點(diǎn)"的軌跡方程為

(x—2)?+/=1(/0).

【教師備選】

已知圓/+/=4上一定點(diǎn)力(2,0),6(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P,0為圓上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求線段4戶中點(diǎn)的軌跡方程；

⑵若NPBQ=90°,求線段圖中點(diǎn)的軌跡方程.

解(1)設(shè)4戶的中點(diǎn)為做x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)尸坐標(biāo)為(2萬(wàn)—2,2力.

因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓f+/=4上，

所以(2X-2)2+(202=4.

故線段/卩中點(diǎn)的軌跡方程為5一1)2+/=1.

(2)設(shè)図的中點(diǎn)為Mx,y).

在Rt△隰中，丨網(wǎng)=丨期|.

設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接6M圖略)，

則ONLPQ,

所以丨陽(yáng)2=1刎纟+|剛2

=|如2+|則2,

所以x+/+(%—1)"+(y—1)2=4.

故線段圖中點(diǎn)的軌跡方程為

x+y—X—y—1=0.

思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：

(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.

(4)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.

跟蹤訓(xùn)練2(1)當(dāng)點(diǎn)夕在圓/+?=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接它與定點(diǎn)0(3,0),則線段偌的中點(diǎn)M

的軌跡方程是()

A.(x+3)2+y—1

B.U-3)2+/=1

C.(2A~3)2+4y=l

D.(2x+3)2+4〃=1

答案C

解析設(shè)M(x,y),P(x.,jb),

因?yàn)橹频闹悬c(diǎn)為業(yè)

刖+3

x=2

所以

Jb+0

尸丁

\XQ=2,X—3,

所以_n

[yo—2y,

又因?yàn)橄υ趫Ax+y=l上，

所以(2萬(wàn)-3)2+4/=1,

所以M的軌跡方程即為(2X—3)2+4/=1.

(2)自圓G(*—3尸+3+4)2=4外一點(diǎn)P(x,力引該圓的一條切線，切點(diǎn)為。，図的長(zhǎng)度等

于點(diǎn)尸到原點(diǎn)。的距離，則點(diǎn)產(chǎn)的軌跡方程為()

A.8x-6y—21=0B.8x+6y-21=0

C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0

答案D

解析由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3,-4),半徑r=2,連接戶G8(圖略)，

因?yàn)镻Q\=\PO\,且閭丄8,

所以：如「+/=|闈2,

所以/+/+4=(x—3/+(y+4)z,

即6x-8y-21=0,

所以點(diǎn)夕的軌跡方程為6x—8y-21=0.

題型三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

命題點(diǎn)1利用幾何性質(zhì)求最值

例3已知"(x,。為圓C：/+/—48-14了+45=0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)0(—2,3).

(D求，囲I的最大值和最小值；

⑵求博的最大值和最小值;

⑶求y-x的最大值和最小值.

解(1)由圓。：x+y-4才-14y+45=0,

可得(X—2)2+(y—71=8,

二圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2木.

又|QC\=72+27-3』啦,

，幽叱=4啦+2/=6啦，

%“=4帀-2m=2帀.

(2)可知曷表示直線，圖的斜率k.

設(shè)直線)網(wǎng)的方程為y—3=4(x+2),

即攵x—y+24+3=0.

???直線陽(yáng)與圓。有交點(diǎn)，

,12洋+3￡2m,

可得2—4忘“<2+，5,

二曷的最大值為2+小，最小值為2—41

(3)設(shè)y—x=b,則x—y+b=0.

當(dāng)直線y=x+6與圓。相切H寸，截距8取到最值，.〉/27+〃-=2/,

弋1+-1

Ab=9或b=l.

的最大值為9,最小值為1.

命題點(diǎn)2利用函數(shù)求最值

例4(2022?湘潭質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)P(x,。是圓7+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)4(2,0),6(一

2,0).則以?的的最大值為—

答案12

解析由題意，得瓦1=(2—3-y),

麗=(一2一3—力，

所以蘇?~PB=x+y-\,

由于點(diǎn)P(x,。是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程9+5—3)2=1,

故f=-(y-3)2+l,

所以広I?^=-(y-3)2+l+y-4

=6y—12.

易知2Wj<4,所以當(dāng)尸4時(shí)，湯?麻)值最大，最大值為6X4—12=12.

延伸探究若將本題改為“設(shè)點(diǎn)產(chǎn)(無(wú)力是圓(*-31+/=4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)力(0,2),6(0,

-2)"，貝lj|反1+成］的最大值為一

答案10

解析由題意，知萬(wàn)1=(一/2一力，

PB=(.—X,—2—y),

所以磁+崩=(一2%-2y),

由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn)，

故其坐標(biāo)滿足方程(*—3/+/=4,

故y=—(X—3)2+4,

所以丨PA+PB\川4五4爐=2加一5.

由圓的方程(*-3尸+/=4,

易知1WA<5,

所以當(dāng)x=5時(shí)，|羽+閑I的值最大，最大值為八;6X5—5=10.

【教師備選】

1.已知圓G(x—3)2+(y-4)2=1和兩點(diǎn)4(一切,0),B(m,0)(?>0).若圓。上存在點(diǎn)卩，使

得/加3=90°,則小的最大值為()

A.7B.6C.5D.4

答案B

解析?.?在Rt△力陽(yáng)中，原點(diǎn)。為斜邊中點(diǎn)，

AB\=2皿(〃>0),

|OC\一良m=|網(wǎng)W丨g+r,

又C(3,4),r—l,

；.4W|6P|W6,即4W腔6.

2.若點(diǎn)產(chǎn)為圓/+/=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，J(-l,0),6(1,0)為兩個(gè)定點(diǎn)，財(cái)川+陽(yáng)|的最

大值為()

A.2B.2啦C.4A/2D.4

答案B

解析由已知得線段16為圓的直徑.

所以丨川?+|陽(yáng)|2=4,

由基本不等式得

(/)l-I-Z7M._刃,PB

(2丿、2-2，

所以|用|+|陽(yáng)區(qū)2*,

當(dāng)且僅當(dāng)I協(xié)1=1陽(yáng)1=/時(shí)，等號(hào)成立.

思維升華與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求解方法

(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如口=口t=ax+by,(x-aT+S—O'形式的最值問(wèn)題.

X-a

(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選

用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如|円川+|河(其中照/V均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路:

①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和

轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱性解決.

跟蹤訓(xùn)練3⑴已知4(-2,0),8(2,0),點(diǎn)尸是圓C：(x-3)2+(y-小產(chǎn)=1上的動(dòng)點(diǎn)，則

|"「+|朋2的最小值為()

A.9B.14C.16D.26

答案D

解析設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P1x,力，

則AP\2+|BP\2=U+2)2+/+(%-2)2+/

=2(/+/)+8=2|^|2+8.

圓。的圓心為C(3,小)，半徑為r=l,OC=4,

所以的最小值為(OC—二產(chǎn)二(4-1)2=9,

所以|明』團(tuán)|2的最小值為26.

(2)已知x,y滿足丁+7-4/-2"—4=0,則出誓邊的最大值為()

XIJ

172913JT3

A.2B.~^C.-D.—-

答案B

解析由V+/—4x—2y—4=0

得(x-2)2+(y-l)2=9.

2x+3y+3jT

=2+3X=2+3AA

x+3x+3

其中4(—3,1)為定點(diǎn)，點(diǎn)〃(x,y)為圓上一點(diǎn).

設(shè)過(guò)定點(diǎn)力的直線厶y—l=A(x+3)與圓相切,

5"3

則近”=3,解得衣=土彳,

33

所以一

*2x+3y+3g曰亠/士丄317

所以一言一的最大值為2+3XT=—

x+344

課時(shí)精練

q基礎(chǔ)保分練

1.圓/+/+4x-6y-3=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為()

A.(4,-6),16B.(2,-3),4

C.(-2,3),4D.(2,-3),16

答案C

解析將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(1+2尸+(7-3)2=16,則圓心坐標(biāo)為(一2,3),半徑

為4.

2.圓(x—l)2+(y-2)2=l關(guān)于直線尸x對(duì)稱的圓的方程為()

A.(入-2)2+(y-1尸=1

B.a+l)2+(y-2)2=l

C.(什2)旺(Li)'1

D.U-l)2+(y+2)2=l

答案A

解析已知圓的圓心C(l,2)關(guān)于直線尸x對(duì)稱的點(diǎn)為C'(2,1),

所以圓(x—庁+你一2y=1關(guān)于直線尸了對(duì)稱的圓的方程為(x—2)2+(7—1)2=1.

3.已知圓。的半徑為2,圓心在x軸正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓。相切，則圓C的

方程為()

A.x+y—2x—3=0

B.f+/+4x=0

C.x+y+2x—3=0

D.f+/—4彳=0

答案D

3a+413a+4

解析設(shè)圓心為(a,0)(a>0)，由題意知圓心到直線3x+4y+4=0的距離d=

=r=2,解得a=2,所以圓心坐標(biāo)為(2,0),則圓。的方程為(*-2)2+/=4,化簡(jiǎn)得/+/

—4x=0.

4.點(diǎn)卩(4,一2)與圓f+/=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=l

B.(A—2)2+(y+l)2=4

C.(x+4”+(j—2尸=4

D.U+2)z+(y-l)2=l

答案A

解析設(shè)圓上任一點(diǎn)為。(施，％),

國(guó)的中點(diǎn)為財(cái)(x,y),

C4+選

I*=2

則

—2+為

尸2

XO=2L4,

解得

yo—2y+2.

因?yàn)辄c(diǎn)。在圓「+/=4上，

所以/+/=4,

即(2x—4)?+(2y+2)2=4,

化簡(jiǎn)得(>-2)?+(y+1)2=1.

5.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為4(-1,2),5(2,1),以3,4),則下列關(guān)于的外接圓圓

"的說(shuō)法不正確的是()

A.圓"的圓心坐標(biāo)為(1,3)

B.圓M的半徑為季

C.圓"關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

D.點(diǎn)⑵3)在圓"內(nèi)

答案C

解析設(shè)△/回的外接圓圓M的方程為f+/+以+0+尸=o,

卩+4—什26+尸=0,%一2,

則,4+1+2什6+6=0,解得|f=-6,

〔9+16+3屏4-0,〔尸=5.

所以△/窮的外接圓圓，”的方程為f+/-2x—6y+5=0,即5—1)2+(y-3)物的圓心坐標(biāo)

為(1,3),圓M的半徑為乖，因?yàn)橹本€x+y=0不經(jīng)過(guò)圓材的圓心(1,3),所以圓“不關(guān)于直

線x+y=0對(duì)稱.因?yàn)?2—1/+(3—3)2=1<5,故點(diǎn)⑵3)在圓"內(nèi).

6.已知圓GV+/+―+ay—3=0(a,6為正實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線厶x+y+2=0的

13

對(duì)稱點(diǎn)都在圓江則尹準(zhǔn)最小值為()

C.2D.4+24

答案A

解析由圓C：f+/+6x+ay—3=0可得圓心，(一?，一1)，

由題意可得，直線/經(jīng)過(guò)圓的圓心《一次一胃，

b7

則一5—,+2=0,從而a+6=4,

所吟+%/+⑸(H)

屮+*3)由(4+2小)=1+乎，

當(dāng)且僅當(dāng)a=2(朮-1),6=2(3—朮)時(shí)等號(hào)成立.

所以丄+5的最小值為1+坐.

ab2

7.已知圓。的圓心在x軸上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-1,1),庾1,3),若M5,4)在圓。內(nèi)，則如

的取值范圍為.

答案(0,4)

解析設(shè)圓心為C(a,0),由！。1=丨曲

得(a+l)2+『=(a—1y+32,解得a=2.

半徑r=丨=72+1

故圓，的方程為(x-2)2+7=10.

由題意知(力L2)?+解得0＜成4.

8.已知4(0,2),點(diǎn)戶在直線x+y+2=0上，點(diǎn)0在圓C：x?+/—4x—2尸。上，貝『必|

+PQ的最小值是.

答案2小

解析因?yàn)閳AC-./+/—4萬(wàn)—2尸0,

故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑的圓.

設(shè)點(diǎn)/(0,2)關(guān)于直線矛+什2=0的對(duì)稱點(diǎn)為4(m，ri),

f勿+0〃+2

卜2=0,

5=—4

<解得

Z7~2

、加一0'

故4(-4,-2).

連接力。交圓C于。(圖略)，由對(duì)稱性可知

\PA\+\PQ\=\A,P\+PQ\^\A,Q\

=\A'C\-r=2\[5.

9.已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(一I，1)和8(—2,—2),且圓心在直線厶x+y—1=0上.

(1)求圓心為，的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)點(diǎn)一在圓C上，點(diǎn)。在直線x-y+5=0上，求丨聞的最小值.

解(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(X—a)'+(y—Z?)2=r(r>0),

???圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(一1，1)和8(—2,-2),

且圓心在直線7：x+y—1=0上，

(—1-5'+(1—A)z=r,

4-2—a2+(―2—Z?)2=r,

La+6-1=0,

解得a=3,b=—2,r=5,

，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3)2+(y+2)2=25.

(2)???圓心。到直線x~y+5=0的距離為

公卓坦=5m>5,

.?.直線與圓C相離，

；?PQ的最小值為"一「=5小一5.

10.已知點(diǎn)知一3,0),8(3,0),動(dòng)點(diǎn)已滿足|朋=2|關(guān).

(1)若點(diǎn)卩的軌跡為曲線G求此曲線的方程；

⑵若點(diǎn)。在直線厶：x+y+3=0上，直線厶經(jīng)過(guò)點(diǎn)。且與曲線。只有一個(gè)公共點(diǎn)必求丨刷

的最小值.

解(1)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y),

則~x+3_2+y=2yl~%—3~2+y,

化簡(jiǎn)可得(x—5>+/=16,此方程即為所求.

(2)曲線。是以點(diǎn)⑸0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示.

由題意知直線厶是此圓的切線，

連接必

則QM=732T飢2=屮°『一］6,

當(dāng)IQM最小時(shí)，丨&|最小，此時(shí)CQL厶，

財(cái)=罕=4隹

V2

則丨QM的最小值為寸32—16=4.

應(yīng)技能提升練

11.點(diǎn)1為圓（彳-1）2+/=1上的動(dòng)點(diǎn)，必是圓的切線，為1=1,則點(diǎn)〃的軌跡方程是（）

A.（x—1y+/=4

B.U-1）2+/=2

C.y—2x

D.y=~2x

答案B

解析?.?|陽(yáng)|=1,

點(diǎn)戶和圓心的距離恒為地，

又圓心坐標(biāo)為（1,0）,設(shè)圖x,y）,

.?.由兩點(diǎn)間的距離公式，得（X-1）2+/=2.

12.等邊△?1比的面積為次及，且△?1%的內(nèi)心為機(jī)若平面內(nèi)的點(diǎn)A'滿足丨網(wǎng)』=1,則法?礪

的最小值為（）

A.—5—2^3B.-5—

C.-6—2y/3D.—6—4^3

答案A

解析設(shè)等邊州的邊長(zhǎng)為a,

則面積5=奉/=舶

解得a=6.

以所在直線為x軸，四的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

由M為図的內(nèi)心，

則M在勿上，且aif=^oc,

則4(-3,0),6(3,0),C(0,3小)，M(0,m),

由丨網(wǎng)1=1,則點(diǎn)4在以M為圓心，1為半徑的圓上.

設(shè)N(x,y),則x+(y—^/3)'=1,

即1+/一2弧+2=0,

且4―1WK1+m，

又渤=(—3—x,—y),礪=(3—x,—y),

所以加,帥=(x+3)(x—3)+y

—x+/—9=2^3y—11

224義(鎘-1)-11=-5-2小

13.已知圓C過(guò)點(diǎn)加1,一2)且與兩坐標(biāo)軸均相切，則下列敘述不正確的是()

A.滿足條件的圓C的圓心在一條直線上

B.滿足條件的圓C有且只有一個(gè)

C.點(diǎn)(2,—1)在滿足條件的圓C上

1).滿足條件的圓。有且只有兩個(gè)，它們的圓心距為4位

答案B

解析因?yàn)閳A。和兩個(gè)坐標(biāo)軸都相切，且過(guò)點(diǎn)加1,-2),所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a)(a>0),

故圓心在直線y=-x上，A正確；圓C的方程為(x—a)2+(y+a)z=a2,把點(diǎn)"的坐標(biāo)代入

可得a2-6a+5=0,解得a=l或a=5,則圓心坐標(biāo)為(1,-1)或(5,—5),所以滿足條件

的圓C有且只有