中考數學總復習《特殊平行四邊形》專項測試題(附答案)

第頁中考數學總復習《特殊平行四邊形》專項測試題(附答案)（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1.掌握矩形、菱形、正方形的概念和性質；2.了解平行四邊形、矩形、菱形、正方形形之間的關系；3.探索并掌握四邊形是矩形、菱形、正方形的條條件考點1：矩形的性質和判定（1）性質：矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質，還具有自己獨特的性質：①邊的性質：對邊平行且相等．②角的性質：四個角都是直角．③對角線性質：對角線互相平分且相等．④對稱性：矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．直角三角形中角所對的邊等于斜邊的一半．點評：這兩條直角三角形的性質在教材上是應用矩形的對角線推得，用三角形知識也可推得．考點2：矩形的判定判定①：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．判定②：對角線相等的平行四邊形是矩形．判定③：有三個角是直角的四邊形是矩形．考點3：菱形的性質（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角?？键c4：菱形的判定定理（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊相等的四邊形是菱形?？键c5：菱形的面積S=ah=mn/2（菱形底邊長為a，高為h，兩條對角線長分別為m和n）考點6：正方形的性質：1、正方形具有平行四邊形和菱形的所有性質。2、正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。3、正方形對邊平行且相等。4、正方形的對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；5、正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.考點7：正方形的判定：1）有一個角是直角的菱形是正方形；2）對角線相等的菱形是正方形；3）一組鄰邊相等的矩形是正方形；4）對角線互相垂直的矩形是正方形；5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.正方形的面積公式：面積=邊長×邊長=12【題型1：矩形的性質和判定】【典例1】（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中E為線段CD的中點，連接AC，AE，延長AE，BC交于點F，連接DF，∠ACF＝90°．（1）求證：四邊形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．1．（2023?呼和浩特）如圖，矩形ABCD中對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（）A． B．3 C． D．2．（2023?杭州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．若∠AOB＝60°，則＝（）A． B． C． D．3．（2023?南通）如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點B，D為圓心，線段BC，DC長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，連接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，則∠ABE的正切值為（）A． B． C． D．4．（2023?新疆）如圖，AD和BC相交于點O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，點E、F分別是AO、DO的中點．（1）求證：OE＝OF；（2）當∠A＝30°時，求證：四邊形BECF是矩形．5．（2022?泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．（1）求證：AF與DE互相平分；（2）當線段AF與BC滿足怎樣的數量關系時，四邊形ADFE為矩形？請說明理由．【題型2：菱形的性質和判定】【典例2】（2022?廣元）如圖，在四邊形ABCD中AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．1．（2023?麗水）如圖，在菱形ABCD中AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長為（）A． B．1 C． D．2．（2023?西藏）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC＝60°，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．3．（2023?樂山）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結OE．若AC＝6，BD＝8，則OE＝（）A．2 B． C．3 D．44．（2023?溫州）圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）的會徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合而成．作菱形CDEF，使點D，E，F(xiàn)分別在邊OC，OB，BC上，過點E作EH⊥AB于點H．當AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2時，EH的長為（）A． B． C． D．5．（2023?湘西州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM∥DN，且分別交對角線AC于點M，N，連接MD，BN．（1）求證：∠DMN＝∠BNM；（2）若∠BAC＝∠DAC．求證：四邊形BMDN是菱形．6．（2022?聊城）如圖，△ABC中點D是AB上一點，點E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F．（1）求證：AD＝CF；（2）連接AF，CD．如果點D是AB的中點，那么當AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形，證明你的結論．【題型2：正方形的性質和判定】【典例2】（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．1．（2023?常德）如圖1，在正方形ABCD中對角線AC、BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點，且EF∥AD，連接AF，DE．若∠FAC＝15°，則∠AED的度數為（）A．80° B．90° C．105° D．115°2．（2021?玉林）一個四邊形順次添加下列條件中的三個條件便得到正方形：a．兩組對邊分別相等b．一組對邊平行且相等c．一組鄰邊相等d．一個角是直角順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c則正確的是（）A．僅① B．僅③ C．①② D．②③3．（2023?丹東）如圖，在正方形ABCD中AB＝12，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點G，若BE＝CF＝5，則BG的長為．一．選擇題（共9小題）1．矩形的兩條對角線的夾角為60度，對角線長為15，則矩形的較短邊長為（）A．12 B．10 C．7.5 D．52．如圖，在菱形ABCD中點E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長為（）A．24 B．18 C．12 D．93．用邊長為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的（）A． B． C． D．不能確定4．下列說法中不正確的是（）A．有一個角是直角的平行四邊形是正方形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形 C．對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形 D．對邊分別相等的四邊形是平行四邊形5．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝3，BC＝4，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．6．菱形具有而矩形不具有的性質是（）A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直7．如圖，在菱形ABCD中AB＝5，對角線AC＝6．若過點A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為（）A．4 B．2.4 C．4.8 D．58．如圖所示，在正方形ABCD中O是對角線AC、BD的交點，過O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，則EF的長為（）A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，點E、F分別在矩形ABCD的邊AB、BC上，且∠EFD＝90°，若BF＝3，BE＝4，CD＝9，則FC的長為（）A．12 B．13 C．14 D．15二．填空題（共4小題）10．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥BD，交BC于點E，若，CE＝1，則BE的長為．11．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動點，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點P，則∠APD的度數為；連接CP，線段CP的最小值為．12．如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A、點C到直線l的距離分別為1和2，則正方形的邊長是．13．已知：如圖，在長方形ABCD中AB＝4，AD＝6，延長BC到點E，使CE＝2，連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，當點P運動秒時，△ABP和△DCE全等．三．解答題（共3小題）14．如圖，在四邊形ABCD中∠BAC＝90°，E是BC的中點，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點F．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB＝6，AC＝8，求EF的長．15．如圖所示，O是矩形ABCD的對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD．（1）求證：OE⊥DC．（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面積．16．將兩張長為8，寬為4的矩形紙片如圖疊放．（1）判斷四邊形AGCH的形狀，并說明理由；（2）求四邊形AGCH的面積．一．選擇題（共7小題）1．如圖，在正方形ABCD中E、F分別是AB，BC的中點，CE，DF交于點G，連接AG，下列結論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正確的結論是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③2．已知：如圖，正方形ABCD中AB＝4，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動點（點E，F(xiàn)不與線段BC，CD的端點重合）且BE＝CF，連接OE，OF，EF．在點E，F(xiàn)運動的過程中有下列四個結論：①△OEF始終是等腰直角三角形；②△OEF面積的最小值是2；③至少存在一個△ECF，使得△ECF的周長是4+2；④四邊形OECF的面積始終是4．所有正確結論的序號是（）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④3．如圖，正方形ABCD和長方形AEFG的面積相等，且四邊形BEFH也是正方形，歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到了：BH2＝CH×GH．設AB＝a，CH＝b．若ab＝5，則圖中陰影部分的周長是（）A．6 B．8 C．10 D．204．如圖，在正方形ABCD中AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接AF，DE，點G，H分別為DE，AF的中點，連接GH，則GH的長為（）A． B．1 C． D．25．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中點D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，點H是AF的中點，則CH的長是（）A．5 B．3.5 C．4 D．6．如圖，在矩形ABCD中AB＝2，AD＝1，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．27．如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連接OE，下列結論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S?ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD，其中成立的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共5小題）8．如圖，在正方形ABCD中AB＝3cm，延長BC到點E，使CE＝1cm，連接DE，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向終點A運動．設點P的運動時間為t秒，當△PBC和△DCE全等時，t的值為．9．如圖，在菱形ABCD中∠B＝45°，E、F分別是邊CD，BC上的動點，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點，連接GH．若GH的最小值為3，則BC的長為．10．如圖，在菱形ABCD中對角線AC，BD交于點O，點E為AB的中點，點F在OD上，DF＝OF，連接EF交OA于點G，若OG＝1，連接CE，S△BEC＝12，則線段CE的長為．11．如圖，在平面直角坐標系中矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0），（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，點Q是坐標平面內的任意一點．若以O，D，P，Q為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時，則點Q的坐標為．12．如圖，在△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點D在AB邊上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點E、F，連接EF，則線段EF的最小值等于．三．解答題（共5小題）13．【問題情境】：如圖1，點E為正方形ABCD內一點，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，將直角三角形ABE繞點A逆時針方向旋轉α度（0≤α≤180°）點B、E的對應點分別為點B′、E′．【問題解決】：（1）如圖2，在旋轉的過程中點B′落在了AC上，求此時CB′的長；（2）若α＝90°，如圖3，得到△ADE′（此時B′與D重合），延長BE交DE′于點F①試判斷四邊形AEFE′的形狀，并說明理由；②連接CE，求CE的長；（3）在直角三角形ABE繞點A逆時針方向旋轉過程中直接寫出線段CE′長度的取值范圍．14．已知：如圖（1），在平面直角坐標系中點A、點B分別在x軸、y軸的正半軸上，點C在第一象限，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A坐標為（m，0），點C橫坐標為n，且m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．（1）分別求出點A、點B、點C的坐標；（2）如圖（2），點D為邊AB中點，以點D為頂點的直角∠EDF兩邊分別交邊BC于E，交邊AC于F，①求證：DE＝DF；②求證：S四邊形DECF＝S△ABC；（3）在坐標平面內有點G（點G不與點A重合），使得△BCG是以BC為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出滿足條件的點G的坐標．15．綜合與實踐：【思考嘗試】（1）數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，AH⊥CE于點H，GD⊥DF交AH于點G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數量關系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中E是邊AB上一點，AH⊥CE于點H，點M在CH上，且AH＝HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數量關系，請你思考并解答這個問題．16．回答問題（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數量關系，小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論是；（2）【靈活運用】如圖2，若在四邊形ABCD中AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3，仍然滿足EF＝BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數量關系．17．（1）如圖1，在正方形ABCD中點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF，則的值為；（2）如圖2，在矩形ABCD中AD＝5，CD＝3，點E是AD上的一點，連接CE，BD，且CE⊥BD，則的值為；（3）如圖3，在四邊形ABCD中∠A＝∠B＝90°，點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，求證：；（4）如圖4，在Rt△ABD中∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，將△ABD沿BD翻折，點A落在點C處得△CBD，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．請問．是定值嗎？若是，直接寫出這個定值，若不是，請說明理由．1．（2023?湘潭）如圖，菱形ABCD中連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數為（）A．20° B．60° C．70° D．80°2．（2023?內蒙古）如圖，在菱形ABCD中AB＝4，∠A＝120°，順次連接菱形ABCD各邊中點E、F、G、H，則四邊形EFGH的周長為（）A．4+2 B．6+2 C．4+4 D．6+43．（2023?西藏）如圖，矩形ABCD中AC和BD相交于點O，AD＝3，AB＝4，點E是CD邊上一點，過點E作EH⊥BD于點H，EG⊥AC于點G，則EH+EG的值是（）A．2.4 B．2.5 C．3 D．44．（2023?青島）如圖，在正方形ABCD中點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AF，DE相交于點M，G為BC上一點，N為EG的中點．若BG＝3，CG＝1，則線段MN的長度為（）A． B． C．2 D．5．（2023?臺灣）如圖，矩形ABCD中AB＝6，AD＝8，且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作AB的垂線交AB于E點，過P點作AD的垂線交AD于F點，則EF的長度最小為多少（）A． B． C．5 D．76．（2023?綿陽）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中點G是BC上的一點，且BG＝3GC，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F，則tan∠EDF的值為（）A． B． C． D．7．（2023?宜賓）如圖，邊長為6的正方形ABCD中M為對角線BD上的一點，連接AM并延長交CD于點P，若PM＝PC，則AM的長為（）A．3（﹣1） B．3（3﹣2） C．6（﹣1） D．6（3﹣2）8．（2023?黑龍江）如圖，在矩形ABCD中對角線AC，BD相交于點O，試添加一個條件，使得矩形ABCD為正方形．9．（2023?寧夏）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中點E在AD上，連接EB，EC．則圖中陰影部分的面積是．10．（2023?廣西）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點，M，N分別是EF，AF的中點，則MN的最大值為．11．（2023?揚州）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3：5，那么線段FC的長為．12．（2023?岳陽）如圖，點M在?ABCD的邊AD上，BM＝CM，請從以下三個選項中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，選擇一個合適的選項作為已知條件，使?ABCD為矩形．（1）你添加的條件是（填序號）；（2）添加條件后，請證明?ABCD為矩形．13．（2023?張家界）如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．（1）求證：AE∥BF；（2）若DF＝FC時，求證：四邊形DECF是菱形．14．（2023?十堰）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，分別以點B，C為圓心，AC，BD長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接BP，CP．（1）試判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；（2）請說明當?ABCD的對角線滿足什么條件時，四邊形BPCO是正方形？15．（2023?云南）如圖，平行四邊形ABCD中AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．參考答案與解析1.掌握矩形、菱形、正方形的概念和性質；2.了解平行四邊形、矩形、菱形、正方形形之間的關系；3.探索并掌握四邊形是矩形、菱形、正方形的條條件考點1：矩形的性質和判定（1）性質：矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質，還具有自己獨特的性質：①邊的性質：對邊平行且相等．②角的性質：四個角都是直角．③對角線性質：對角線互相平分且相等．④對稱性：矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．直角三角形中角所對的邊等于斜邊的一半．點評：這兩條直角三角形的性質在教材上是應用矩形的對角線推得，用三角形知識也可推得．考點2：矩形的判定判定①：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．判定②：對角線相等的平行四邊形是矩形．判定③：有三個角是直角的四邊形是矩形．考點3：菱形的性質（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。考點4：菱形的判定定理（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊相等的四邊形是菱形?？键c5：菱形的面積S=ah=mn/2（菱形底邊長為a，高為h，兩條對角線長分別為m和n）考點6：正方形的性質：1、正方形具有平行四邊形和菱形的所有性質。2、正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。3、正方形對邊平行且相等。4、正方形的對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；5、正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.考點7：正方形的判定：1）有一個角是直角的菱形是正方形；2）對角線相等的菱形是正方形；3）一組鄰邊相等的矩形是正方形；4）對角線互相垂直的矩形是正方形；5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.正方形的面積公式：面積=邊長×邊長=12【題型1：矩形的性質和判定】【典例1】（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中E為線段CD的中點，連接AC，AE，延長AE，BC交于點F，連接DF，∠ACF＝90°．（1）求證：四邊形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．【答案】（1）證明過程見解答；（2）45．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE∵E為線段CD的中點∴DE＝CE∴△ADE≌△FCE（AAS）∴AE＝FE∴四邊形ACFD是平行四邊形∵∠ACF＝90°∴四邊形ACFD是矩形；（2）解：∵四邊形ACFD是矩形∴∠CFD＝90°，AC＝DF∵CD＝13，CF＝5∴DF＝＝＝12∵△ADE≌△FCE∵△CEF的面積＝△ACF的面積＝5×12＝15平行四邊形ABCD的面積＝BC?AC＝5×12＝60∴四邊形ABCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積﹣△CEF的面積＝60﹣15＝45．1．（2023?呼和浩特）如圖，矩形ABCD中對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（）A． B．3 C． D．【答案】A【解答】解：由題意，連接BM，記BD與MN交于點O．∵線段MN垂直平分BD∴BO＝DO，BM＝DM．∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC．∴∠MDO＝∠NBO．又∠DOM＝∠BON∴△DMO≌△BNO（ASA）．∴DM＝BN＝BM＝2．在Rt△BAM中∴AB＝＝．∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．故選：A．2．（2023?杭州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．若∠AOB＝60°，則＝（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝DO∵∠AOB＝60°∴△ABO是等邊三角形∴∠BAO＝60°∴∠ACB＝30°∴BC＝AB∴＝故選：D．3．（2023?南通）如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點B，D為圓心，線段BC，DC長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，連接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，則∠ABE的正切值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵BE＝BC，DE＝CD，BD＝BD∴△CBD≌△EBD（SSS）∴∠CBD＝∠EBD∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°∴∠ADB＝∠CBD∴∠ADB＝∠EBD∴OB＝OD設AO＝x，則OD＝8﹣x∴OB＝8﹣x由勾股定理得：AB2+AO2＝OB2∴42+x2＝（8﹣x）2∴x＝3∴tan∠ABE＝＝．故選：C．4．（2023?新疆）如圖，AD和BC相交于點O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，點E、F分別是AO、DO的中點．（1）求證：OE＝OF；（2）當∠A＝30°時，求證：四邊形BECF是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】證明：（1）∵∠ABO＝∠DCO＝90°∴AB∥CD∴∠A＝∠D在△AOB與△DOC中∴△AOB≌△DOC（AAS）∴AO＝DO∵點E、F分別是AO、DO的中點∴∴OE＝OF；（2）∵OB＝OC，OE＝OF∴四邊形BECF是平行四邊形∵∠A＝30°∴∵OE＝OF∴∴∠EBF＝90°∴四邊形BECF是矩形．5．（2022?泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．（1）求證：AF與DE互相平分；（2）當線段AF與BC滿足怎樣的數量關系時，四邊形ADFE為矩形？請說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：∵點D是AB的中點∴AD＝AB∵點E是AC的中點，點F是BC的中點∴EF是△ABC的中位線∴EF∥AB，EF＝AB∴EF＝AD∴四邊形ADFE是平行四邊形∴AF與DE互相平分；（2）解：當AF＝BC時，四邊形ADFE為矩形理由：∵線段DE為△ABC的中位線∴DE＝BC∵AF＝BC∴AF＝DE由（1）得：四邊形ADFE是平行四邊形∴四邊形ADFE為矩形．【題型2：菱形的性質和判定】【典例2】（2022?廣元）如圖，在四邊形ABCD中AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．【答案】（1）見解析過程；（2）2．【解答】（1）證明：∵E為AB中點∴AB＝2AE＝2BE∵AB＝2CD∴CD＝AE又∵AE∥CD∴四邊形AECD是平行四邊形∵AC平分∠DAB∴∠DAC＝∠EAC∵AB∥CD∴∠DCA＝∠CAB∴∠DCA＝∠DAC∴AD＝CD∴平行四邊形AECD是菱形；（2）∵四邊形AECD是菱形，∠D＝120°∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等邊三角形∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°∴∠ACB＝90°∴AC＝BC＝2∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．1．（2023?麗水）如圖，在菱形ABCD中AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長為（）A． B．1 C． D．【答案】D【解答】解：如圖，連接BD交AC于點O∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD∴∠AOB＝90°∴OB＝AB＝∴OA＝＝＝∴AC＝2OA＝故選：D．2．（2023?西藏）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC＝60°，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F∵兩條紙條寬度相同∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD∴四邊形ABCD是菱形，在Rt△AEB中∠AEB＝90°，∠ABC＝60°，AE＝3cm∴AB＝（cm）∴BC＝2cm∴四邊形ABCD的面積＝AE?BC＝6cm2．故選：D．3．（2023?樂山）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結OE．若AC＝6，BD＝8，則OE＝（）A．2 B． C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD∵AC＝6，BD＝8∴OC＝3，OB＝4∴CB＝＝5∵E為邊BC的中點∴OE＝BC＝．故選：B．4．（2023?溫州）圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）的會徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合而成．作菱形CDEF，使點D，E，F(xiàn)分別在邊OC，OB，BC上，過點E作EH⊥AB于點H．當AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2時，EH的長為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形CDEF是菱形，DE＝2∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°∴OD＝2DE＝4，OE＝DE＝2∴CO＝CD+DO＝6∴BC＝AB＝CD＝3，OB＝BC＝3∵∠A＝90°∴＝＝3∵EF∥CD∴∠BEF＝∠BOC＝30°∴∵EH⊥AB∴EH∥OA∴△BHE∽△BAO∴∴∴EH＝故選：C．5．（2023?湘西州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM∥DN，且分別交對角線AC于點M，N，連接MD，BN．（1）求證：∠DMN＝∠BNM；（2）若∠BAC＝∠DAC．求證：四邊形BMDN是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】證明：（1）連接BD，交AC于點O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OB＝OD∵BM∥DN∴∠MBO＝∠NDO又∠BOM＝∠DON∴△BOM≌△DON（ASA）∴BM＝DN∴四邊形BMDN為平行四邊形∴BN∥DM∴∠DMN＝∠BNM；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BC∥AD∴∠BCA＝∠DAC∵∠BAC＝∠DAC∴∠BAC＝∠BCA∴AB＝BC∴四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴MN⊥BD∴平行四邊形BMDN是菱形．6．（2022?聊城）如圖，△ABC中點D是AB上一點，點E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F．（1）求證：AD＝CF；（2）連接AF，CD．如果點D是AB的中點，那么當AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形，證明你的結論．【答案】（1）證明見解答過程；（2）當AC⊥BC時，四邊形ADCF是菱形，證明見解答過程．【解答】（1）證明：∵CF∥AB∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA∵點E是AC的中點∴AE＝CE∴△ADE≌△CFE（AAS）∴AD＝CF；（2）解：當AC⊥BC時，四邊形ADCF是菱形，證明如下：由（1）知，AD＝CF∵AD∥CF∴四邊形ADCF是平行四邊形∵AC⊥BC∴△ABC是直角三角形∵點D是AB的中點∴CD＝AB＝AD∴四邊形ADCF是菱形．【題型2：正方形的性質和判定】【典例2】（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．【答案】證明過程見解答部分．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD∵BE＝DF∴OE＝OF∴四邊形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC∴平行四邊形AECF是矩形，即∠AEC＝90°∴菱形AECF是正方形．1．（2023?常德）如圖1，在正方形ABCD中對角線AC、BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點，且EF∥AD，連接AF，DE．若∠FAC＝15°，則∠AED的度數為（）A．80° B．90° C．105° D．115°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°∵EF∥BC∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°∴∠OEF＝∠OFE＝45°∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF∵OA＝OD∴AE＝DF在△AEF和△DFE中AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE∴△AEF≌△DFE（SAS）∴∠CAF＝∠FDE＝15°∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．故選：C．2．（2021?玉林）一個四邊形順次添加下列條件中的三個條件便得到正方形：a．兩組對邊分別相等b．一組對邊平行且相等c．一組鄰邊相等d．一個角是直角順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c則正確的是（）A．僅① B．僅③ C．①② D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，再添加d即一個角是直角的菱形是正方形，故①正確；②由b得到一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，添加d即有一個角是直角的平行四邊形是矩形，再添加c即一組鄰邊相等的矩形是正方形，故②正確；③由a得到兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加b得到一組對邊平行且相等的平行四邊形仍是平行四邊形，再添加c即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方形，故③不正確；故選：C．3．（2023?丹東）如圖，在正方形ABCD中AB＝12，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點G，若BE＝CF＝5，則BG的長為．【答案】．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC∵BE＝CF∴△ABE≌△BCF（SAS）∴∠BAE＝∠CBF∵∠CBF+∠ABG＝90°∴∠BAE+∠ABG＝90°∴∠BGE＝90°∴∠BGE＝∠C又∵∠EBG＝∠FBC∴△EBG∽△FBC∴∵BC＝AB＝12，CF＝BE＝5∴BF＝∴∴．故答案為：．一．選擇題（共9小題）1．矩形的兩條對角線的夾角為60度，對角線長為15，則矩形的較短邊長為（）A．12 B．10 C．7.5 D．5【答案】C【解答】解：如圖所示：矩形ABCD，對角線AC＝BD＝15，∠AOD＝∠BOC＝60°∵四邊形ABCD是矩形∴OA＝OD＝OC＝OB＝×15＝7.5（矩形的對角線互相平分且相等）又∵∠AOD＝∠BOC＝60°∴OA＝OD＝AD＝7.5∵∠COD＝120°＞∠AOD＝60°∴AD＜DC所以該矩形較短的一邊長為7.5故選：C．2．如圖，在菱形ABCD中點E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長為（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【解答】解：∵E、F分別是AC、AB的中點∴EF是△ABC的中位線∴BC＝2EF＝2×3＝6∴菱形ABCD的周長＝4×6＝24．故選：A．3．用邊長為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的（）A． B． C． D．不能確定【答案】A【解答】解：讀圖可得，陰影部分的面積為原正方形的面積的一半，則陰影部分的面積為1×1÷2＝；是原正方形的面積的一半；故選：A．4．下列說法中不正確的是（）A．有一個角是直角的平行四邊形是正方形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形 C．對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形 D．對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【答案】A【解答】解：A、一個角是直角的平行四邊形是矩形，故原說法錯誤，此選項符合題意；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，故原說法正確，此選項不合題意；C、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原說法正確，此選項不合題意；D、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故原說法正確，此選項不合題意；故選：A．5．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝3，BC＝4，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝3，BC＝4∴矩形ABCD的面積為12，AC＝∴AO＝DO＝AC＝∵對角線AC，BD交于點O∴△AOD的面積為3∵EO⊥AO，EF⊥DO∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF∴3＝××EO+×EF∴5（EO+EF）＝12∴EO+EF＝故選：C．6．菱形具有而矩形不具有的性質是（）A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【答案】D【解答】解：A、對邊相等，是菱形和矩形都具有的性質，故選項A不符合題意；B、對角相等，是矩形和菱形都具有的性質，故選項B不符合題意；C、對角線互相平分，是矩形和菱形都具有的性質，故選項C不符合題意；D、對角線互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性質，故選項D符合題意；故選：D．7．如圖，在菱形ABCD中AB＝5，對角線AC＝6．若過點A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為（）A．4 B．2.4 C．4.8 D．5【答案】C【解答】解：連接BD，交AC于O點∵四邊形ABCD是菱形∴AB＝BC＝CD＝AD＝5∴AC⊥BD，AO＝AC，BD＝2BO∴∠AOB＝90°∵AC＝6∴AO＝3∴BO＝＝4∴DB＝8∴菱形ABCD的面積是×AC?DB＝×6×8＝24∴BC?AE＝24∵BC＝AB＝5∴AE＝故選：C．8．如圖所示，在正方形ABCD中O是對角線AC、BD的交點，過O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，則EF的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD又∵OE⊥OF∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF∴∠EOB＝∠COF∴△BEO≌△CFO（ASA）∴BE＝CF＝3又∵AB＝BC∴AE＝BF＝4∴Rt△BEF中EF＝＝＝5．故選：C．9．如圖，點E、F分別在矩形ABCD的邊AB、BC上，且∠EFD＝90°，若BF＝3，BE＝4，CD＝9，則FC的長為（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【解答】解：∵∠EFD＝90°∴∠EFD＝∠B＝∠C＝90°∴∠EFB+∠DFC＝90°＝∠DFC+∠FDC∴∠EFB＝∠FDC∴△BEF∽△CFD∴∴∴CF＝12故選：A．二．填空題（共4小題）10．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥BD，交BC于點E，若，CE＝1，則BE的長為2．【答案】2．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°∴∴，∠EBO＝∠ACB∵OE⊥BD∴∠BOE＝∠CBA＝90°∴△BOE∽△CBA∴即解得BE＝2或BE＝﹣3（舍去）故答案為：2．11．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動點，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點P，則∠APD的度數為90°；連接CP，線段CP的最小值為﹣1．【答案】90°，﹣1．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°在△ADE和△DCF中∴△ADE≌△DCF（SAS）∴∠DAE＝∠CDF∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°∴∠ADF+∠DAE＝90°∴∠APD＝90°取AD的中點O，連接OP，則OP＝AD＝×2＝1（不變）根據兩點之間線段最短得C、P、O三點共線時線段CP的值最小在Rt△COD中根據勾股定理得，CO＝＝＝所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案為：90°，﹣1．12．如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A、點C到直線l的距離分別為1和2，則正方形的邊長是．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵∠CBF+∠FCB＝90°∠CBF+∠ABE＝90°∴∠ABE＝∠FCB，同理∠BAE＝∠FBC∵AB＝BC∴△ABE≌△BCF（ASA）∴BE＝CF在直角△ABE中AE＝1，BE＝2∴AB＝．故答案為：．13．已知：如圖，在長方形ABCD中AB＝4，AD＝6，延長BC到點E，使CE＝2，連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，當點P運動1或7秒時，△ABP和△DCE全等．【答案】1或7．【解答】解：設點P運動t秒時，△ABP和△DCE全等．∵AB＝CD，∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根據SAS證得△ABP≌△DCE由題意得：BP＝2t＝2∴t＝1∵AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根據SAS證得△BAP≌△DCE由題意得：AP＝16﹣2t＝2解得t＝7．即當t的值為1或7秒時．△ABP和△DCE全等．故答案為：1或7．三．解答題（共3小題）14．如圖，在四邊形ABCD中∠BAC＝90°，E是BC的中點，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點F．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB＝6，AC＝8，求EF的長．【答案】（1）見解答；（2）．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，AE∥DC∴四邊形AECD是平行四邊形∵∠BAC＝90°，E是BC的中點∴AE＝CE＝BC∴四邊形AECD是菱形；（2）解：過A作AH⊥BC于點H，如圖所示∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8∴BC＝＝10∵△ABC的面積＝BC×AH＝AB×AC∴AH＝＝∵點E是BC的中點，四邊形AECD是菱形∴CD＝CE∵S?AECD＝CE?AH＝CD?EF∴EF＝AH＝．15．如圖所示，O是矩形ABCD的對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD．（1）求證：OE⊥DC．（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面積．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD∴DE∥OC，CE∥OD∴四邊形ODEC是平行四邊形∵四邊形ABCD是矩形∴OD＝OC＝OA＝OB∴四邊形ODEC是菱形∴OE⊥DC（2）∵DE＝2，且四邊形ODEC是菱形∴OD＝OC＝DE＝2＝OA∴AC＝4∵∠AOD＝120，AO＝DO∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90°∴CD＝2，AD＝CD＝2∴S矩形ABCD＝2×2＝416．將兩張長為8，寬為4的矩形紙片如圖疊放．（1）判斷四邊形AGCH的形狀，并說明理由；（2）求四邊形AGCH的面積．【答案】（1）四邊形AGCH是菱形，理由見解析過程；（2）20．【解答】解：（1）四邊形AGCH是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形AFCE是矩形∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE∴四邊形AGCH是平行四邊形∵S平行四邊形AGCH＝GC?AB＝AG?CF，AB＝CF∴GC＝AG∴平行四邊形AGCH是菱形；（2）由①可知，GC＝AG設GC＝AG＝x，則BG＝8﹣x在Rt△ABG中AB＝4由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2解得：x＝5∴GC＝5∴S菱形AGCH＝GC?AB＝5×4＝20．一．選擇題（共7小題）1．如圖，在正方形ABCD中E、F分別是AB，BC的中點，CE，DF交于點G，連接AG，下列結論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正確的結論是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點∴BE＝AB，CF＝BC∴BE＝CF在△CBE與△DCF中∴△CBE≌△DCF（SAS）∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；∵∠BCE+∠ECD＝90°∴∠ECD+∠CDF＝90°∴∠CGD＝90°∴CE⊥DF，故②正確；∴∠EGD＝90°延長CE交DA的延長線于H∵點E是AB的中點∴AE＝BE∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE∴△AEH≌△BEC（AAS）∴BC＝AH＝AD∵AG是斜邊的中線∴AG＝DH＝AD∴∠ADG＝∠AGD∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°∴∠AGE＝∠CDF．故③正確；∵CF＝BC＝CD∴∠CDF≠30°∴∠ADG≠60°∵AD＝AG∴△ADG不是等邊三角形∴∠EAG≠30°，故④錯誤；故選：D．2．已知：如圖，正方形ABCD中AB＝4，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動點（點E，F(xiàn)不與線段BC，CD的端點重合）且BE＝CF，連接OE，OF，EF．在點E，F(xiàn)運動的過程中有下列四個結論：①△OEF始終是等腰直角三角形；②△OEF面積的最小值是2；③至少存在一個△ECF，使得△ECF的周長是4+2；④四邊形OECF的面積始終是4．所有正確結論的序號是（）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，AC，BD相交于點O∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°在△OBE和△OCF中∴△OBE≌△OCF（SAS）∴OE＝OF∵∠BOE＝∠COF∴∠EOF＝∠BOC＝90°∴△OEF是等腰直角三角形；故①正確；②∵當OE⊥BC時，OE最小，此時OE＝OF＝BC＝2∴△OEF面積的最小值是×2×2＝2故②正確；③∵BE＝CF∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝4假設存在一個△ECF，使得△ECF的周長是4+2則EF＝2由①得△OEF是等腰直角三角形∴OE＝＝．∵OB＝2，OE的最小值是2∴存在一個△ECF，使得△ECF的周長是4+2．故③正確；④由①知：△OBE≌△OCF∴S四邊形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4故④正確；故選：D．3．如圖，正方形ABCD和長方形AEFG的面積相等，且四邊形BEFH也是正方形，歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到了：BH2＝CH×GH．設AB＝a，CH＝b．若ab＝5，則圖中陰影部分的周長是（）A．6 B．8 C．10 D．20【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD，四邊形BEFH為正方形，AB＝a，CH＝b∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝a+a﹣b＝2a﹣b∴S正方形ABCD＝AB2＝a2S長方形AEFG＝AE?EF＝（2a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣3ab+b2∵正方形ABCD和長方形AEFG的面積相等∴a2＝2a2﹣3ab+b2整理得：a2+b2＝3ab∴（a+b）2＝5ab∵ab＝5∴（a+b）2＝5×5∴a+b＝5∴陰影部分的周長為：2（CD+CH）＝2（a+b）＝10．故選：C．4．如圖，在正方形ABCD中AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接AF，DE，點G，H分別為DE，AF的中點，連接GH，則GH的長為（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解答】解：連接AG并延長交CD于M，連接FM∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG∵G為DE的中點∴GE＝GD在△AGE和MGD中∴△AGE≌△MGD（AAS）∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD∴CM＝CD＝2∵點H為AF的中點∴GH＝FM∵F為BC的中點∴CF＝BC＝2∴FM＝＝2∴GH＝故選：C．5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中點D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，點H是AF的中點，則CH的長是（）A．5 B．3.5 C．4 D．【答案】A【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中點D在CG上，BC＝1，CE＝7∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝7，∠E＝90°延長AD交EF于M，連接AC、CF則AM＝BC+CE＝1+7＝8，F(xiàn)M＝EF﹣AB＝7﹣1＝6，∠AMF＝90°∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形∴∠ACD＝∠GCF＝45°∴∠ACF＝90°∵H為AF的中點∴CH＝AF在Rt△AMF中由勾股定理得：AF＝＝＝10∴CH＝5故選：A．6．如圖，在矩形ABCD中AB＝2，AD＝1，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【答案】C【解答】解：如圖：當點F與點C重合時，點P在P1處，CP1＝DP1當點F與點E重合時，點P在P2處，EP2＝DP2∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．當點F在EC上除點C、E的位置處時，有DP＝FP．由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴點P的運動軌跡是線段P1P2∴當BP⊥P1P2時，PB取得最小值．∵矩形ABCD中AB＝2，AD＝1，E為AB的中點∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2∴BP的最小值為BP1的長．在等腰直角BCP1中CP1＝BC＝1．∴BP1＝．∴PB的最小值是．故選：C．7．如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連接OE，下列結論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S?ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD，其中成立的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】見試題解答內容【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ADC＝60°∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE為等邊三角形∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE∵AB＝BC∴EC＝AE∴∠EAC＝∠ECA＝30°∴∠CAD＝30°，故①正確；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°∴∠BAC＝90°∴BO＞AB∴OD＞AB，故②錯誤；∴S?ABCD＝AB?AC＝AC?CD，故③正確；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB∴E是BC的中點∴S△BEO：S△BCD＝1：4∴S四邊形OECD：S△BCD＝3：4∴S四邊形OECD：S?ABCD＝3：8∵S△AOD：S?ABCD＝1：4∴S四邊形OECD＝S△AOD，故④正確．故選：C．二．填空題（共5小題）8．如圖，在正方形ABCD中AB＝3cm，延長BC到點E，使CE＝1cm，連接DE，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向終點A運動．設點P的運動時間為t秒，當△PBC和△DCE全等時，t的值為2或7．【答案】2或7．【解答】解：∵△DCE是直角三角形∴△PBC為直角三角形∴點P只能在AB上或者CD上當點P在AB上時，有BP＝CE∴BP＝CE＝1∴AP＝2∴t＝2÷1＝2當點P在CD上時，有CP＝CE＝1∴t＝（3+3+1）÷1＝7故答案為：2或7．9．如圖，在菱形ABCD中∠B＝45°，E、F分別是邊CD，BC上的動點，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點，連接GH．若GH的最小值為3，則BC的長為．【答案】．【解答】解：連接AF∵G，H分別為AE，EF的中點∴GH∥AF，且要使GH最小，只要AF最小當AF⊥BC時，AF最小∵GH的最小值為3∴AF＝6∵∠B＝45°∴∠BAF＝45°∴BF＝AF＝6∴∵四邊形ABCD是菱形∴．故答案為：．10．如圖，在菱形ABCD中對角線AC，BD交于點O，點E為AB的中點，點F在OD上，DF＝OF，連接EF交OA于點G，若OG＝1，連接CE，S△BEC＝12，則線段CE的長為3．【答案】3．【解答】解：作EM⊥OA于M∵四邊形ABCD是菱形∴BD⊥OA，OD＝OB，OA＝OC∴EM∥OB∴AM：MO＝AE：EB∵AE＝BE∴AM＝OM∴EM是△ABO的中位線∴EM＝∵DF＝OF∴OF＝OD∴EM＝OF∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF∴△EMG≌△FOG（AAS）∴MG＝OG＝1∴OM＝2OG＝2∴OA＝2OM＝4∴AC＝2OA＝8∵AE＝BE∴△BAC的面積＝2×△BEC的面積＝2×12＝24∴AC?OB＝24∴OB＝6∴EM＝OB＝3∵CM＝OM+OC＝2+4＝6∴CE＝＝3．故答案為：3．11．如圖，在平面直角坐標系中矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0），（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，點Q是坐標平面內的任意一點．若以O，D，P，Q為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時，則點Q的坐標為（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【解答】解：∵A（10，0），C（0，4）∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10∵點D是OA的中點∴OD＝5①如圖1所示，以OP為對角線，點P在點D的左側時，PD＝OD＝5過點P作PE⊥x軸于點E，則PE＝OC＝4．在Rt△PDE中由勾股定理得：∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2∴點P的坐標為（2，4）此時，點Q的坐標為（﹣3，4）；②如圖2所示，以OQ為對角線，點P在點D的左側時，OP＝OD＝5．過點P作PE⊥x軸于點E，則PE＝4．在Rt△POE中由勾股定理得：∴點P的坐標為（3，4）此時，點Q的坐標為（8，4）；③如圖3所示，以OP為對角線，點P在點D的右側時，PD＝OD＝5過點P作PE⊥x軸于點E，則PE＝4．在Rt△PDE中由勾股定理得：∴OE＝OD+DE＝5+3＝8∴點P的坐標為（8，4）此時，點Q的坐標為（3，4）；綜上所述，點Q的坐標為（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；故答案為：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．12．如圖，在△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點D在AB邊上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點E、F，連接EF，則線段EF的最小值等于4.8．【答案】4.8．【解答】解：如圖，連接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB＝＝10∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°∴四邊形CFDE是矩形∴EF＝CD由垂線段最短可得CD⊥AB時，線段EF的值最小∵S△ABC＝BC?AC＝AB?CD∴×8×6＝×10×CD解得CD＝4.8∴EF＝4.8．故答案為：4.8．三．解答題（共5小題）13．【問題情境】：如圖1，點E為正方形ABCD內一點，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，將直角三角形ABE繞點A逆時針方向旋轉α度（0≤α≤180°）點B、E的對應點分別為點B′、E′．【問題解決】：（1）如圖2，在旋轉的過程中點B′落在了AC上，求此時CB′的長；（2）若α＝90°，如圖3，得到△ADE′（此時B′與D重合），延長BE交DE′于點F①試判斷四邊形AEFE′的形狀，并說明理由；②連接CE，求CE的長；（3）在直角三角形ABE繞點A逆時針方向旋轉過程中直接寫出線段CE′長度的取值范圍．【答案】（1）2﹣2；（2）①正方形，理由見解析；②2；（3）2≤CE'≤2+2．【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°∴AB＝＝＝2∵四邊形ABD是正方形∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°∴AC＝AB＝2由旋轉的性質得：AB'＝AB＝2∴CB′＝AC﹣AB'＝2﹣2；（2）①四邊形AEFE′是正方形，理由如下：由旋轉的性質得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°∴四邊形AEFE′是矩形又∵AE'＝AE∴四邊形AEFE′是正方形；②過點C作CG⊥BE于點G，如圖3所示：則∠BGC＝90°＝∠AEB∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°∴∠BCG＝∠ABE在△BCG和△ABE中∴△BCG≌△ABE（AAS）∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2∴CE＝＝＝2；（3）∵直角三角形ABE繞點A逆時針方向旋轉α度（0≤α≤180°）點B、E的對應點分別為點B′、E′∴當α＝0°時，E'與E重合，CE'最短＝2；當E'落在CA的延長線上時，AE'＝AE＝2，CE'最長＝AC+AE'＝2+2∴線段CE′長度的取值范圍是2≤CE'≤2+2．14．已知：如圖（1），在平面直角坐標系中點A、點B分別在x軸、y軸的正半軸上，點C在第一象限，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A坐標為（m，0），點C橫坐標為n，且m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．（1）分別求出點A、點B、點C的坐標；（2）如圖（2），點D為邊AB中點，以點D為頂點的直角∠EDF兩邊分別交邊BC于E，交邊AC于F，①求證：DE＝DF；②求證：S四邊形DECF＝S△ABC；（3）在坐標平面內有點G（點G不與點A重合），使得△BCG是以BC為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出滿足條件的點G的坐標．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝0∴m＝1，n＝4∴點A（1，0），CM＝4如圖（1），過點C作CM⊥OB，CN⊥OA∵CM⊥OB，CN⊥OA，∠AOB＝90°∴四邊形OMCN是矩形∴∠MCN＝90°＝∠ACB，CM＝ON＝4，CN＝OM∴AN＝3∴∠BCM＝∠ACN，且AC＝BC，∠BMC＝∠ANC∴△BCM≌△ACN（AAS）∴CM＝CN＝4＝OM，AN＝BM＝3∴點B（0，7），點C（4，4）；（2）①如圖（2），連接CD∵AC＝BC，∠ACB＝90°，點D為邊AB中點∴BD＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠ACD＝45°，AB⊥CD∵∠EDF＝90°＝∠BDC∴∠BDE＝∠CDF，且BD＝CD，∠ABC＝∠DCA∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DE＝DF②∵△BDE≌△CDF∴S△BDE＝S△CDF∴S△BDE+S△EDC＝S△CDF+S△EDC∴S△BDC＝S四邊形EDFC∵AD＝BD∴S△BDC＝S△ABC∴S四邊形DECF＝S△ABC；（3）如圖（3）若∠GBC＝90°，BG＝BC時，且點G在BC下方，過點G作GF⊥OB，過點C作CE⊥OB∵∠GBF+∠EBC＝90°，∠GBF+∠BGF＝90°∴∠EBC＝∠BGF，且∠BEC＝∠BFG＝90°，BG＝BC∴△BGF≌△CBE（AAS）∴BF＝CE＝4，GF＝BE∴OF＝3∴點G（﹣3，3）若∠GBC＝90°，BG＝BC時，且點G在BC上方同理可求點G（3，11）若∠GCB＝90°，CG＝BC時，點G在BC上方同理可求點G（7，8）15．綜合與實踐：【思考嘗試】（1）數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，AH⊥CE于點H，GD⊥DF交AH于點G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數量關系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中E是邊AB上一點，AH⊥CE于點H，點M在CH上，且AH＝HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數量關系，請你思考并解答這個問題．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）四邊形ABCD是正方形理由：∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC＝90°∵GD⊥DF∴∠FDG＝90°∴∠ADG＝∠CDF又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°∴△ADG≌△CDF（AAS）∴AD＝CD∴四邊形ABCD是正方形；（2）HF＝AH+CF理由：∵DF⊥CE于點F，AH⊥CE于點H，GD⊥DF交AH于點G∴四邊形HFDG是矩形∴∠G＝∠DFC＝90°∵四邊形ABCD是正方形∴AD＝CD，∠ADC＝90°∴∠ADG＝∠CDF∴△ADG≌△CDF（AAS）∴AG＝CF，DG＝DF∴矩形HFDG是正方形∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；（3）連接AC，如圖∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°∵AH⊥CE，AH＝HM∴△AHM是等腰直角三角形∴∠HAM＝45°∴∠HAB＝∠MAC∵∴△AHB∽△AMC∴即BH＝CM．16．回答問題（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數量關系，小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論是∠BAE+∠FAD＝∠EAF；（2）【靈活運用】如圖2，若在四邊形ABCD中AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3，仍然滿足EF＝BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數量關系．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）結論：∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：如圖1，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG∵EF＝BE+DF∴EF＝DF+DG＝FG在△AEF和△AGF中∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案為：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG在△AEF和△AGF中∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）結論：∠EAF＝180°﹣∠DAB．理由：如圖3，在DC延長線上取一點G，使得DG＝BE，連接AG∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°∴∠ADC＝∠ABE在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE在△AEF和△AGF中∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∠FAE＝∠FAG∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°即2∠FAE+∠DAB＝360°∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．17．（1）如圖1，在正方形ABCD中點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF，則的值為1；（2）如圖2，在矩形ABCD中AD＝5，CD＝3，點E是AD上的一點，連接CE，BD，且CE⊥BD，則的值為；（3）如圖3，在四邊形ABCD中∠A＝∠B＝90°，點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，求證：；（4）如圖4，在Rt△ABD中∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，將△ABD沿BD翻折，點A落在點C處得△CBD，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．請問．是定值嗎？若是，直接寫出這個定值，若不是，請說明理由．【答案】（1）1；（2）；（3）見解析；（4）是定值．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形∴AD＝DC，∠A＝∠FDC＝90°∵DE⊥CF∴∠ADE+∠DFC＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°∴∠ADE＝∠DCF在△ADE與△DCF中∴△ADE≌△DCF（ASA）∴DE＝CF∴故答案為：1；（2）解：∵四邊形ABCD為矩形∴∠A＝∠EDC＝90°∵CE⊥BD∴∠ADB+∠CED＝90°，∠CED+∠DCE＝90°∴∠ADB＝∠DCE∴△ADB∽△DCE∴故答案為：；（3）證明：如圖，過點作CH⊥AD，交AD延長線于H∵∠H＝∠A＝∠B＝90°∴四邊形ABCH為矩形∴CH＝AB∵CG⊥EG∴∠G＝90°＝∠A＝∠H∵∠ADE＝∠GDF∵∠GFD＝∠HFC∴∠ADE＝∠HCF∴△ADE∽△HCF∴；（4）解：是定值，理由如下：連接AC交BD于H，CF與DE交于G，CF與DB交于P∵將△ABD沿BD翻折，點A落在點C處得△CBD∴AC⊥BD∴∠BAH+∠CAF＝90°，∠BAH+∠EBD＝90°，∠CHP＝90°∴∠CAF＝∠DBE∵CF⊥DE∴∠PGD＝90°＝∠CHP∵∠HPC＝∠GPD∴∠ACF＝∠BDE∴△ACF∽△BDE∴∵AB＝3，AD＝9由勾股定理得BD＝＝3∴∴AH＝∴AC＝2AH＝∴1．（2023?湘潭）如圖，菱形ABCD中連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數為（）A．20° B．60° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形∴AB∥CD，AC⊥BD∴∠DCA＝∠1＝20°∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°故選：C．2．（2023?內蒙古）如圖，在菱形ABCD中AB＝4，∠A＝120°，順次連接菱形ABCD各邊中點E、F、G、H，則四邊形EFGH的周長為（）A．4+2 B．6+2 C．4+4 D．6+4【答案】C【解答】解：連接AC、BD交于O∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°∴∠ABC＝60°∵AB＝BC∴△ABC是等邊三角形∴AC＝AB＝4∵∠AO