同構函數(shù)問題-2024屆高考數(shù)學拓展含答案

同構函數(shù)問題-2024屆高考數(shù)學

拓展

同構麴數(shù)問題

題目|jJ(2023?南寧模擬)已知a,￡C_R,則“&+戶>0”是,+戶>cosa—cos/?”的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

「題耳叵已知①6可，共從工<3則方程d=礦的解的組數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無窮多個

藏目叵若2°+log2a=a+21og/,則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<62

題目畫設a,b都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若aeO<bln伉則()

A.ab>eB.6>eaC.ab<eD.b<ea

題目叵(多選)已知a>b>l,若e0—2a=ae0+i—%。，則()

A.ln(a-6)<0B.ln(a+b)>lC.3a+3~b>273D.3a-1<36

題目尼］若/(1)=ze"—a(c+Inx)有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是.

題目區(qū)(2023?邵陽模擬)已知函數(shù)/(c)=e"」?+1,g(c)=野+2.

(1)討論函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

(2)若/(⑼恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

題目］五|(2023?濰坊模擬)已知函數(shù)/(力)=e"Tlnx,g(x)=x2—x.

(1)討論/(力的單調(diào)性；

(2)證明：當力G(0,2)時，fQ)Wg3).

題目I包已知函數(shù)/(力)=e*+(1—a)x—InQN(Q>0).

(1)當a=1時,求曲線g=/Q)在點(1,/(l))處的切線方程；

(2)若對于任意的力>0,有/Q)>0,求正數(shù)a的取值范圍.

題目|國3已知函數(shù)/(劣)=/lnx.

(1)求/Q)的最小值；

⑵當力>2時，證明：—^—ex>InQ—1).

x—1

題目工口已知Q>0,函數(shù)/(2)=/e*—ac.

(1)當Q=1時,求曲線g=/Q)在力=1處的切線方程；

(2)若/(力)>ln/一c+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

同構麴數(shù)問題

題目［〔（2023?南寧模擬）已知a,R,則％+6＞0”是,+戶＞cosa-cos0”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】。

題目5）已知①eN,geM力v9,則方程xy=y工的解的組數(shù)為（)

A.0B.1C.2D.無窮多個

【答案】B

題目3〕若20+1082。=4匕+21084人則（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】8

題目可設即6都為正數(shù)，6為自然對數(shù)的底數(shù),若&6"＜從11b,則（)

A.ab>eB.6>eaC.aft<eD.b<ea

【答案】8

題目5](多選)已知a>b>1,若ea—2a=aeb+1—如。,則（）

A.ln(a—6)<0B.ln(a+&)>1C.3a+3~b>2A/3D,3a-1<3b

【答案】

［題目6）若/（c）=xex—a{x+Inx）有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】（e,+8）

題目［7］（2023?邵陽模擬）已知函數(shù)/（力=e"1—0+1,g（x）=皿+2.

XX

⑴討論函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

（2）若/（力）＞gQ）恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】解：⑴???g3）=巫+2的定義域為（0,+oo）,

X

g'㈤=1?

由g，Q)>0,得0V力Ve,

由g'(①)V0,得出〉e.

/.g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,

在(e,+00)上單調(diào)遞減.

(2)由/Q)>gQ),

即e"+一2+1>巫+2,

XX

得a4xex+1—1nx—x=^nx+x+1—(Inx+x+1)+1,

令力=lnx+x+1,tER,

即a4e,—t+1恒成立,

令(p(t)=6t—t+1,tER,

則(pf(t)=e“—1,

當北(一8,0)時，/⑶VO;

當力G(0,+8)時，d(t)>0,

.”⑴在(—co,0)上單調(diào)遞減，在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

9⑴min=0(。)=2,故Q?2.

題目叵（2023?濰坊模擬）已知函數(shù)/Q）=e—Inx,g（,x）=^-x.

（1）討論/（⑼的單調(diào)性；

（2）證明：當力G（0,2）時，f（x）<g（c）.

【答案】⑴解：函數(shù)/㈤的定義域為（0,+8）,

『㈤=e3"-11]1x+——-

x

=e，T（ln/+'）,

記h^x）=Inx+—x>0,

x9

則h'（x）=--^=塵注，

XX

所以當0VnV1時，"（/）<0,函數(shù)h{x}單調(diào)遞減；

當力>1時，〃3）>o,函數(shù)h{x）單調(diào)遞增，

所以h{x}>無⑴=1,

所以于'（力）=e'T（lnc+工）>0,

所以函數(shù)/（2）在（0,+oo）上單調(diào)遞增.

（2）證明原不等式為e"Tlnxx2—x=x（x—1）,

即證￡w在（°，2）上恒成立,

設夕㈤=%,x€(-00,1),

e

貝丘，3)=亙*='匕

ee

所以當力V1時，“(/)>0,0(/)單調(diào)遞增,

令t{x}=Inx—x+l,xE(0,2),

則t'(x)=—-1=^^,

XX

當0V6V1時，//(力)>0,t{x}單調(diào)遞增;

當1V6V2時，//(/)<0,t{x}單調(diào)遞減，

所以力(力)max=%(l)=。,

所以Inx^x—1,

且在區(qū)間(0⑵上有[必必：1，

1^—1<1,

所以可得到0(lnx)^<p(x—1),

所以當cG(0,2)時，有『(%)4g(6)成立.

目已知函數(shù)/(①)=4+(1—a)x—InQX(Q>0).

⑴當Q=1時,求曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)若對于任意的/>0,有/Q)>0,求正數(shù)a的取值范圍.

【答案】解：(1)當Q=1時,/(力)=ex—ln/,得(e)=ex—~,

x

切點坐標為(1,e),斜率為7(l)=e—1,

所求切線方程為g—e=(e—1)(%—1),

即(e—l)x—y+l=0.

(2)/3)>0,

即ex+x—ax—\nax0(a>0,rc>0)

0ex+x>arc+Inax[a>0,rc>0)

oex+x>elnQ*+lnax(a>0,x>0).

令g(力)=e'+/,顯然g(x)是增函數(shù)，

于是上式可化為gQ)>g(lnax),

即n>Inax(a>0,6>0)

<=>Ina^x—ln力(Q>0,N>0).

令9(/)=2—Inx(x>0),

貝ij(pr(re)=1———=———-

xx

易知pQ）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+oo）上單調(diào)遞增,

故0（C）min=0⑴—1,于是InQ41,

可得0Va《e.故正數(shù)a的取值范圍為（0,e].

題目ING已知函數(shù)/（/）=/lnx-

（1）求/（力）的最小值；

（2）當%>2時，證明：-^-e">ln（x-1）.

x—

【答案】⑴解：/（力的定義域為（0,+oo）,

『（2）=1+Inx,

當cC（0,L）時，（（T）<0,

當力G,+8)時，/3)>0,

“㈤在（0上單調(diào)遞減,

在（工，+8）上單調(diào)遞增,

e/e

證明

(2)-：x>2,：.x-l>l9

要證一^~rex>ln(rc—1),

x—1

即證xex>(x—l)ln(rc—1),

即證exlnex>(x—l)ln(rr—1),

即證—

由(1)知/(名)在(―,+8)上單調(diào)遞增,

且ex>工，/一1>上，即證erc>x—1,

ee

令(p(x)—ex—(x—1)(x>2),

(prQ)=e*—1>0,(p(x)在(2,+oo)上單調(diào)遞增,

:.(p(x)>0⑵=e2—1>0,

???e。*6—1,即證原不等式成立.

題目I11］已知Q>。，函數(shù)/(①)—xex—ax.

⑴當a=1時，求曲線4=/（2）在/=1處的切線方程;

（2）若/（力）＞ln/一%+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】解：（1）當a=l時，

/(①)=xe—x,

所以fr(%)=(2+l)ex—1,

所以/'(l)=2e—l,/(l)=e—1,

所以切線方程為?/—(e—1)

=(2e-l)(a:-l),

即(2e—l)x—y—e=Q.

(2)由題意得力e”—arc>Inx—x+1,

即xex—lnx+x—l^ax,

因為2>0,所以ce'Tn'+*T>%

X

In力+力