新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試（新高考專用） 直線平面垂直的判定與性質(zhì)2

專題44直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

知考綱要求

識

考點預測

梳

理常用結(jié)論

方法技巧

題題型一：線面垂直的判定與性質(zhì)

型題型二：面面垂直的判定與性質(zhì)

歸題型三：垂直關(guān)系的綜合應用

類

訓練一：

培

訓練二：

優(yōu)

訓練三：

訓

練訓練四：

訓練五：

訓練六：

強

單選題：共8題

化

多選題：共題

測4

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.

2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單的應用.

【考點預測】

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個/丄。-

11b

判定定平面內(nèi)的兩條相交直

戸/丄a

aC]b=O

理線垂直，那么該直線7

aua

與此平面垂直f

bua.

b

性質(zhì)定垂直于同一個平面的a-La

，=a〃b

理兩條直線平行泮6丄q

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，

一條直線垂直于平面，則它們所成的角是立；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成

的角是0°.

(2)范圍：回一

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①。6/；②。4ua,OBuS；③。/丄/,OBLI,則二面角。一/一夕的平部不\

面角是NZOA

(3)二面角的平面角a的范圍：0°<a<180°.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個平面過另一個

3/丄a]

判定定理平面的垂線,那么這兩個1,0a丄￡

平面垂直￡

兩個平面垂直，如果一個

平面內(nèi)有一直線垂直于a丄4-

an￡=a0/丄&

性質(zhì)定理這兩個平面的交線,那么

b/丄。

這條直線與另一個平面

4luB.

垂直

【常用結(jié)論】

1.三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂

直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

【方法技巧】

1.證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性a丄丄㈤；③面面平行

的性質(zhì)(a丄a,a〃夕丄￡);④面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

2.面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化

①兩種方法：

(i)面面垂直的定義；

(ii)面面垂直的判定定理(“丄夕，aUa=a丄用.

②一個轉(zhuǎn)化：

在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然

后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

3.面面垂直性質(zhì)的應用

①兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.

②兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

4.對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進

行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設.

二、【題型歸類】

【題型一】線面垂直的判定與性質(zhì)

【典例1】如圖，在三棱錐P-48C中，AB=BC=2^2，PA=PB=PC=AC=4，。為ZC的中

點.證明：PO丄平面45c.

【典例2］如圖，在長方體Z8C。-48Goi中，點E，尸分別在棱09，63上，且，

8廣=2用i.證明：當時，跖丄NC.

【典例3］如圖，在三棱錐488中，AB丄4D，BCLBD，平面/8D丄平;

面BCD，點、E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱2。，8。上，且EF±AD./\/

求證：(1)EF〃平面Z8C；(2)1。丄ZC

c

【題型二】面面垂直的判定與性質(zhì)

【典例1】如圖，在四棱錐A48CZ)中，PAmABCD,底面N8CZ)為菱形，￡為8的中點.

(1)求證：8。丄平面以C；

(2)若//8C=60。，求證：平面丄平面山￡.

【典例2】如圖，在四棱錐P-/8C。中，底面/8CZ)為矩形，平面以。丄平面Z8C。，PALPD,P4=PD,

E為AD的中點.

(1)求證：PELBC；

(2)求證：平面必8丄平面PCD

【典例3］如圖，在三棱錐/-8C￡>中，△/8C是等邊三角形，/&W=N8Cr>=90。，點尸是/C的中點,

連接8P,0P.證明：平面”8丄平面8OP.

【題型三】垂直關(guān)系的綜合應用

【典例1】在四棱錐P—N8CD中，△〃￡)是等邊三角形，且平面RW丄平面A8CD,AD=2AB=2BC,

/BAD=NABC=90°.

(1)在/。上是否存在一點M,使得平面PCM丄平面/8C￡),若存在，請證明；若不存在，請說明理由；

(2)若△尸CD的面積為8幣,求四棱錐P-ABCD的體積.

【典例2】如圖，在四棱錐S—Z8CD中，四邊形N8CZ)是邊長為2的菱形，NABC=6Q°,△SAD為正三

角形.側(cè)面“。丄底面Z8CD,E,尸分別為棱Z。，S8的中點.

(1)求證：4F〃平面6EC；

(2)求證：平面AS8丄平面CSB；

(3)在棱S3上是否存在一點M,使得8。丄平面牘IC?若存在，求旦鳥的值；若不存在，請說明理由.

BS

【典例3】如圖，在四棱錐尸一/88中，底面ZBCD為四邊形，△”。是邊長為2的正三角形，BC丄CD,

BC=CD,PD丄AB,平面尸80丄平面/BCD

(1)求證：丄平面48c

(2)若二面角C—PB-D的平面角的余弦值為好,求PD的長.

6

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】如圖，棱長為1的正方體NBCO-MBiG。中，P為線段48上的動點，則下列結(jié)

論正確的是()

A.平面。仇|尸丄平面〃%---------/G

B.N/PA的取值范圍是1°，2P

C.三棱錐Bi-OPC的體積為定值

D.DCilDiP

【訓練二】棱長為1的正方體Z8C。一481cA中，E,F,G分別是48,BC,SG的中點.

下列說法正確的是()

A.尸點在直線8G上運動時，三棱錐〃一。iPC體積不變

B.0點在直線跖上運動時，直線G0始終與平面44iGC平行

C.平面囪8。丄平面/CD

D.三棱錐D-EFG的體積為纟

O

【訓練三】如圖，在四棱錐s—48C。中，四邊形是邊長為2的菱形，ZABC=60°,

△S/。為正三角形.側(cè)面丄底面/BCD,E,b分別為棱SB的中點.

(1)求證：/戶〃平面SEC；

(2)求證：平面ZS8丄平面CSa

(3)在棱S3上是否存在一點〃，使得8。丄平面朋47?若存在，求鴇

的值；若不存在，請說明理由.

【訓練四】如圖⑴，在平面四邊形/8DC中，N4BC=ND=90。,AB=BC=2,CD=1,將△/BC沿8C

邊折起如圖(2),使，點M,N分別為/C,4。的中點.在題目橫線上選擇下述其中一個條件，然

后解答此題.①AD=S，②4C為四面體48OC外接球的直徑，③平面N5C丄平面BCD

圖⑴圖⑵

(1)判斷直線與平面48。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求三棱錐A-MNB的體積.

【訓練五】如圖，在四棱錐P一48CD中，以丄平面488,PA=AB=BC=gAD=CD=\,ZADC=

120°,點/是NC與5。的交點，點N在線段尸8上，且PN=%B.

4

(1)證明：仞V〃平面「。C；

(2)在線段8c上是否存在一點0,使得平面丄平面以￡),若存在，求出點。的位置；若不存在，請說

明理由.

【訓練六】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱4小丄底面/8C,"為棱ZC的中點.AB=BC,AC=2,

AAi

(1)求證：81c〃平面小8A/；

(2)求證:4cl丄平面48M；

(3)在棱BBi上是否存在點N,使得平面NCN丄平面/小GC?如果存在，求此時豐的值；如果不存在，請

DD\

說明理由.

四、【強化測試】

【單選題】

1.已知平面a和直線/，則a內(nèi)至少有一條直線與/()

A.平行B.相交

C.垂直D.異面

2.如圖所示，在正方體山CbDi中，點。，〃，N分別是線段8。，。。|，Z)iG的中

點，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是()

A.與ZC，A/N均垂直

B.與NC垂直，與MN不垂直

C.與NC不垂直，與腦V垂直

D.與ZC，MN均不垂直

3.如圖，在三棱柱ABC-A\B\C\'t''側(cè)棱丄底面461。，底面三角形NiBCi是正三角形，

E是8c的中點，則下列敘述正確的是（）

A.CG與SE是異面直線

B.NC丄平面/8囪4

C.AEA.B\C\

D.4G〃平面ZBiE

4.如圖，在正四面體218c中，D,E,尸分別是Z8,BC,。的中點，下面四個結(jié)論不成立的是（）

A.8c〃平面PDF

B.D尸丄平面ME

C.平面PDF丄平面以￡

D.平面P0E丄平面N8C

5.如圖，在正四面體尸一/BC中，D,E,尸分別是48,BC,C4的中點，下面四個結(jié)論不成立的是（）

A.8c〃平面FB.。尸丄平面R4E

C.平面尸ZW丄平面R4ED.平面尸DE丄平面/8C

6.如圖，在斜三棱柱中，N8/C=90。，BCyVAC,則G在底面48C上的射影，必在（）

A.直線上

B.直線2c上

C.直線/C上

D.△/8C內(nèi)部

7.如圖，四棱錐尸一48C。的底面為矩形，PZ）丄底面AD=1,PD=4B=2,點E是PB的中點,

過4D,E三點的平面a與平面尸8c的交線為/,則下列說法錯誤的是（）

A./〃平面為。

B.4E〃平面PCD

c.直線為與/所成角的余弦值為《

D.平面a截四棱錐尸一/BCD所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為］

8.一種特殊的四面體叫做“鱉朧”，它的四個面均為直角三角形.在四面體a中，設E，

戶分別是P8，PC上的點，連接NE'AF，EF（此外不再增加任何連線）,則圖中直角三角形最

多有（）

A.6個B.8個

C.10個D.12個

【多選題】

9.如圖，山垂直于以N8為直徑的圓所在平面，。為圓上異于48的任意

一點，NE丄PC,垂足為E,點尸是P8上一點，則下列判斷中正確的是（）

A.8C丄平面HC

B/E丄EF

C.AC1PB

D.平面ZEE丄平面P8C

10.在正方體48cgi中，設M為的中點，則下列說法不正確的是（）

A.AtM±BD

B.4M〃平面

C.AiM±ABi

D.A\M丄平面ZBG。

11.如圖，在長方體/BCD-/山iCQi中，AA\=AB=A,BC=2,M,N分別

為棱G。，CG的中點，則（）

A.J,M,N,8四點共面

B.平面丄平面CDDiCi

C.直線BN與81M所成的角為60°

D.8N〃平面/。加

12.如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方體的頂點，則滿

足MN丄O尸的是（）

【填空題】

13.已知△/SC在平面a內(nèi)，ZA=90°,D4丄平面a,則直線。與。8的位置關(guān)系是.

14.如圖，在三棱柱Z8C-481G中，已知24丄平面N8C,8C=CG,當?shù)酌嫘?1G滿足條件

時，有“囪丄BG.（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

15.如圖，在四棱錐S—/8CD中，底面四邊形/8CD為矩形，S4丄平面N88,P,。分別是線段8S,

的中點，點R在線段S。上.若/S=4,AD=2,ARA.PQ,貝/R=.

16.如圖，在△/8C中，ADYBC,垂足為。，DEVAB,垂足為E.現(xiàn)將△48C沿4。折起，使得BC丄BD,

若三棱錐N—88外接球的球心為0,半徑為1,則△OOE面積的最大值為.

【解答題】

17.如圖，在三棱錐中，ABLAD,BC丄BD,平面48。丄平面BCD,點E,F(E與4,。不重合)

分別在棱