新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強化測試（新高考專用） 數(shù)列的綜合應(yīng)用2

專題40數(shù)列的綜合應(yīng)用

知考綱要求

識

梳

方法技巧

理

題題型一：數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實際應(yīng)用

型題型二：等差、等比數(shù)列的綜合

歸題型三：數(shù)列與其他知識的交匯

類

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強單選題：共8題

化多選題：共4題

測填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，會解決等差、等比數(shù)列的綜合問題.

2.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.

【方法技巧】

1.數(shù)列應(yīng)用問題常見模型

（1）等差模型：后一個量比前一個量增加（或減少）的是同一個固定值.

（2）等比模型：后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù).

（3）遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，那么應(yīng)考慮a“與斯

+1（或者相鄰三項）之間的遞推關(guān)系，或者S“與S”+1（或者相鄰三項）之間的遞推關(guān)系.

2.對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系.數(shù)列的求和主要是等差、等比

數(shù)列的求和及裂項相消法求和與錯位相減法求和，本題中利用裂項相消法求數(shù)列的和，然后利用m=1,分0

證明不等式成立.另外本題在探求｛%｝與｛c,｝的通項公式時，考查累加、累乘兩種基本方法.

3.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項或前N項和，

再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明.

二、【題型歸類】

【題型一】數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實際應(yīng)用

【典例1】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板（稱為天心

石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后

一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形

石板(不含天心石)()

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

【典例2】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20

dmX12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX

6dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和Si=240dm2,對折2次共可以得到5dm義12dm,10dmX6dm,

20dmX3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和$2=180do?,以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格

圖形的種數(shù)為；如果對折〃次，那么錯誤"=dm，

【典例3】《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、

立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為尺，

最后三個節(jié)氣日影長之和為尺，今年3月20日為春分時節(jié)，其日影長為()

A.尺B.尺

C.尺D.尺

【題型二】等差、等比數(shù)列的綜合

【典例1］設(shè)｛為｝是等差數(shù)列，且“i=ln2,a2+a3=51n2.

(1)求他”｝的通項公式；

(2)求em+ea2H-----Fea,,.

【典例2】設(shè)S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項和,已知他=3,a?+i=2a?+l.

(1)證明：｛a,,+1｝為等比數(shù)列；

(2)求伍,｝的通項公式，并判斷〃，a?,S.是否成等差數(shù)列？說明理由.

【典例3】已知等差數(shù)列｛?！埃偷缺葦?shù)列出“｝滿足ai=2,初=4,贏=21og26“，”WN*.

(1)求數(shù)列｛“〃｝,｛兒｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝中不在數(shù)列｛兒｝中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列｛以｝,記數(shù)列｛c“｝的前“項和為S”，求Sioo.

【題型三】數(shù)列與其他知識的交匯

【典例1］已知數(shù)列｛a.｝是公比不等于1的正項等比數(shù)列，且lgai+lg02021=0)若函數(shù)Hx)=

7，"2，則火。1)+/(。2)"1-----MS021)=()

1十X，

A.2020B.4040

C.2021D.4042

【典例2］已知S,是數(shù)列｛a〃｝的前〃項和>ai=11且V〃GN*>2S”=(〃+1>?'h?=

［Cln冗ICln冗］

■cos------十sin------1

貝22J-貝數(shù)歹I」｛九｝的前2020項之和72020=.

]

【典例3]設(shè)數(shù)列｛劣｝的通項公式為服=2〃一1，記數(shù)列的前〃項和為Tn，若對任意的

“dN*，不等式4T“Va2-q恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】已知數(shù)列｛斯｝滿足。"+即=即+”(隕,〃WN*)且ai=l，若因表示不超過x的最大整

ir^2n+3^l

數(shù)，則數(shù)列1丁j的前10項和為()

.?113

A.12B.

5

C.24D.40

【訓(xùn)練二】(多選)已知在△Z8C中，4，囪分別是邊胡，圓的中點，/2,&分別是線段NM，

B\B的中點，…，4，&分別是線段4一/，8一i8(〃eN*，”>1)的中點，設(shè)數(shù)列｛為｝，｛為｝滿

足而區(qū)=斯昂+6,局(〃CN*)，給出下列四個結(jié)論，其中正確的是()

A.數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，數(shù)列》“｝是遞減數(shù)列

B.數(shù)列｛為+兒｝是等比數(shù)列

C.數(shù)歹!J?。?"GN*，”>1)既有最小值,又有最大值

bn

D.若在厶/臺。中，C=90。，CA=CB，則瓦褊最小時，斯+兒=g

【訓(xùn)練三】某地區(qū)2018年人口總數(shù)為45萬.實施“二孩”政策后，專家估計人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：

從2019年開始到2028年，每年人口總數(shù)比上一年增加萬人，從2029年開始到2038年，每年人口總數(shù)為

上一年的99%.

(1)求實施“二孩”政策后第“年的人口總數(shù)飆(單位：萬人)的表達式(注：2019年為第一年)；

(2)若“二孩”政策實施后的2019年到2038年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實施，問到

2038年結(jié)束后是否需要調(diào)整政策？(參考數(shù)據(jù)：|。心)

【訓(xùn)練四】己知在等差數(shù)列｛斯｝中，。2=5,。4+期=22,在數(shù)列｛b｝中，6尸3,瓦=2%_1+1(〃22).

(1)分別求數(shù)列｛&｝,｛兒｝的通項公式；

(2)定義x=[x]+(x),[幻是x的整數(shù)部分，(x)是x的小數(shù)部分，且0<(x)<l.記數(shù)列匕,｝滿足0,=島力，求

數(shù)列｛c“｝的前〃項和.

【訓(xùn)練五】由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列｛?,,｝滿足。3=5,0敗=2磯

(1)求數(shù)列｛如｝的通項公式；

(2)若數(shù)列》“｝的通項公式為兒=2",將數(shù)列｛?！埃?｛?。乃许棸凑铡爱?dāng)〃為奇數(shù)時，兒放在前面；當(dāng)〃為

偶數(shù)時，放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數(shù)列｛c0｝,bl,m，6,岳，b3,G，。4,ba,…,

求數(shù)列｛以｝的前(4〃+3)項和T4n+3.

【訓(xùn)練六】已知等差數(shù)列｛飆｝的公差為2,前〃項和為S”且S，S2,S4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項公式；

(2)令瓦=(—求數(shù)列｛兒｝的前n項和T,,.

四、【強化測試】

【單選題】

1.等比數(shù)列｛”“｝中，a5,田是函數(shù)/(x)=N—4x+3的兩個零點，則?砂等于()

A.-3B.3C.-4D.4

2.已知等差數(shù)列｛?。那啊椇蜑镾,”公差為一2,且“7是43與“9的等比中項，則So的值為()

A.-110B.-90C.90D.110

3.若等差數(shù)列｛?,｝的公差1W0且G，43,a7成等比數(shù)列，則絲等于()

a\

321

A.-B.-C.~D.2

232

4.某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費

和設(shè)備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實驗室

比第二實驗室的改建費用高42萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高168萬元，并要求每個實驗室

改建費用不能超過1700萬元.則該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要()

A.3233萬元B.4706萬元

C.4709萬元D.4808萬元

5.某食品加工廠2019年獲利20萬元，經(jīng)調(diào)整食品結(jié)構(gòu)，開發(fā)新產(chǎn)品，計劃從2020年開始每年比上一年

獲利增加20%,則從()年開始這家加工廠年獲利超過60萬元，已知坨2g0,lg3?=1()

A.2024年B.2025年

C.2026年D.2027年

6.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入''兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

即尸(1)=F(2)=1,F(〃)=尸(〃-1)+尸(〃-2)(〃》3,"GN*).此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)

用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列｛&｝,則數(shù)列｛斯｝的前2019項的和為()

A.672B.673

C.1346D.2019

7.已知等差數(shù)列｛斯｝的公差為一2,前〃項和為若及，四為某三角形的三邊長，且該三角形有一個

內(nèi)角為120。，則S,的最大值為()

A.5B.11

C.20D.25

8.定義：若數(shù)列｛%｝對任意的正整數(shù)〃,都有|。“+1|+同=的為常數(shù)）,則稱|叫為“絕對和數(shù)列”，d叫做

“絕對公和".已知''絕對和數(shù)列”｛斯｝中，ai=2,絕對公和為3,則其前2019項的和S2019的最小值為

（）

A.-2019B.-3010

C.-3025D.-3027

【多選題】

9.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.“三角

垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列｛&｝,則（）

A.44=12

B.〃"+1=4"+〃+1

C.<7IOO=5050

D.2a”+i1—

10.已知數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，前〃項和為滿足〃1+5俏=58,下列選項正確的有（）

A.aio—0B.Sio最小

C.Si=Si2D.&o=O

11.若數(shù)列｛?！埃凉M足：對任意的“6N*且〃23,總存在i,JGN*,使得%=出+次,壬/,Y”，尸〃），則稱

數(shù)列｛斯｝是“7數(shù)列”.則下列數(shù)列是“7數(shù)歹『’的為（）

A.｛2〃｝B.｛n2｝

c.｛3”D.Il2JJ

12.一個彈性小球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回原來的高度的2再落下.設(shè)它第〃次著地時，

3

經(jīng)過的總路程記為S”則當(dāng)“22時，下面說法正確的是（）

A.5n<500B.S“W500

C.S“的最小值為等D.S.的最大值為400

【填空題】

13.若數(shù)列｛說滿足」一一-=0，則稱｛嚴(yán)｝為“夢想數(shù)列”.已知正項數(shù)歹取：｝為“夢想數(shù)列”，

斯+1Unbn

且61+62+63=1，則兒+6+兒=.

14.已知在數(shù)列｛%中，斯+產(chǎn)2斯一1"=2，設(shè)其前〃項和為S,，若對任意的〃￡N*，⑸+1

一〃）42〃一3恒成立，則k的最小值為

15.若數(shù)列｛呢｝滿足42—卜1<的一32V…<4〃一，則稱數(shù)列｛?！ǎ秊椤安畎脒f增”數(shù)列.若

數(shù)列｛斯｝為“差半遞增”數(shù)列，且其通項z與前〃項和S7滿足S7=2z+2，-l（〃￡N*）,則實

數(shù)/的取值范圍是.

16.已知等差數(shù)列｛a.｝的首項m及公差d都是實數(shù)，且滿足學(xué)+g+2=0,則d的取值范圍是.

【解答題】

17.已知S〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，且〃3=3,S7=14.

⑴求?！ê汀?；

(2)若bn=2%,求｛瓦｝的前n項和Tn.

18.已知如=a〃+a"2爐_|----\~abn