線性代數(shù)課件第一行列式課件

關(guān)于線性代數(shù)課件第一行列式第一章行列式?行列式的定義?行列式的性質(zhì)?克萊姆（Cramer）法則主要內(nèi)容：?行列式按行（列）展開第2頁,共64頁，2024年2月25日，星期天§1·1行列式定義用消元法解二元一次方程組：一、二階和三階行列式

分母為的系數(shù)交叉相乘相減：第3頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定義二階行列式：主對(duì)角線元素圖示記憶法例第4頁,共64頁，2024年2月25日，星期天用消元法解三元線性方程組：可得的分母為(若不為零）：定義三階行列式：＋－圖示記憶法第5頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例

解例

計(jì)算三階行列式的例子：第6頁,共64頁，2024年2月25日，星期天對(duì)于數(shù)碼is和it：逆序數(shù)：一個(gè)排列中逆序的個(gè)數(shù)，例

求132、436512的逆序數(shù)解逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，n階（級(jí)）排列：由n個(gè)不同的數(shù)碼1,2,…n組成的有序數(shù)組132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。（二）排列與逆序數(shù)大前小后叫逆序(反序)記為：為奇數(shù)的稱為奇排列?？梢姡航粨Q任何兩個(gè)元素（對(duì)換）改變了排列的奇偶性！第7頁,共64頁，2024年2月25日，星期天分析表1-1排列123132213231312321逆序無322121，3131，3232，31，21逆序數(shù)011223奇偶性偶偶偶奇奇奇?一個(gè)對(duì)換改變排列的奇偶性；?3!個(gè)排列中，奇、偶排列各占一半。第8頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定理1

對(duì)換改變排列的奇偶性。證（1）設(shè)元素i,j相鄰：?若i<j,則新排列增加一個(gè)逆序;?若i>j,則新排列減少一個(gè)逆序。—改變了奇偶性（2）設(shè)元素i,j不相鄰：共作了2s+1次相鄰對(duì)換，由（1）知，排列改變了奇偶性。第9頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定理2

n

個(gè)數(shù)碼構(gòu)成n!

個(gè)n級(jí)排列，

奇偶排列各占一半（n!/2

個(gè)）。證設(shè)有p

個(gè)奇排列，q

個(gè)偶排列，p

個(gè)奇排列p

個(gè)偶排列q

個(gè)偶排列q個(gè)奇排列第10頁,共64頁，2024年2月25日，星期天（三）n階行列式定義2階：3階：n階：1階：

第11頁,共64頁，2024年2月25日，星期天幾種特殊行列式：例

解

由定義，只有左下三角形行列式第12頁,共64頁，2024年2月25日，星期天右上三角形行列式等于對(duì)角線上元素之乘積(P.9)類似可得：特別：

對(duì)角形行列式等于對(duì)角線上元素之乘積(P.10)OO第13頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例第14頁,共64頁，2024年2月25日，星期天的一般項(xiàng)還可記為一般形式列標(biāo)按自然順序排列n階行列式的另外兩種表示(證明略）：第15頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例下列元素之積是否為四階行列式的項(xiàng)？否，因?yàn)榈诙杏袃蓚€(gè)元素；是，因?yàn)樗膫€(gè)元素取自不同行不同列，例

解第16頁,共64頁，2024年2月25日，星期天§1.2行列式的性質(zhì)復(fù)習(xí)：第17頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定義：的轉(zhuǎn)置行列式行變列，列變行例第18頁,共64頁，2024年2月25日，星期天證D的一般項(xiàng)：它的元素在Ｄ中位于不同的行不同的列，因而在Ｄ的轉(zhuǎn)置中位于不同的列不同的行．所以這n個(gè)元素的乘積在Ｄ的轉(zhuǎn)置中應(yīng)為性質(zhì)1所以由此性質(zhì)也知：行具有的性質(zhì)．列也同樣具有．第19頁,共64頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)2交換行列式的兩行（列）,行列式反號(hào)。證D的一般項(xiàng)：交換行以后，元素所處的列沒變，只是行標(biāo)作了交換，即行標(biāo)排列中，i和s作了對(duì)換，改變了排列的奇偶性，故反號(hào)。第20頁,共64頁，2024年2月25日，星期天推論：

n階行列式某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素全相等，則行列式等于零。證第21頁,共64頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3證記左邊的行列式為D1,有注：

該性質(zhì)對(duì)列也成立。

第22頁,共64頁，2024年2月25日，星期天推論：

n階行列式某兩行（列）對(duì)應(yīng)元成比例，則行列式等于零。證提出比例系數(shù)后，行列式有兩行（列）對(duì)應(yīng)相等，由前面的推論知行列式為零。第23頁,共64頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)4

注：

該性質(zhì)對(duì)列也成立。

證左邊行列式的一般項(xiàng)為：

可推廣到

m

個(gè)數(shù)的情形。第24頁,共64頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)5（保值變換）證成比例第25頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例計(jì)算行列式思路：用保值變換化成三角形行列式第26頁,共64頁，2024年2月25日，星期天將過程記在行列式符號(hào)的右邊，用“箭頭”表示。解第27頁,共64頁，2024年2月25日，星期天為對(duì)稱行列式例為反對(duì)稱行列式例是反對(duì)稱行列式不是反對(duì)稱行列式兩個(gè)重要概念第28頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例證明奇數(shù)階反對(duì)稱行列式的值為零。證當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有

第29頁,共64頁，2024年2月25日，星期天用性質(zhì)計(jì)算行列式=9第30頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一般地，可以計(jì)算請牢記這種方法，這類題就這種做法。第31頁,共64頁，2024年2月25日，星期天關(guān)于范德蒙行列式注意以下三點(diǎn)第32頁,共64頁，2024年2月25日，星期天1.形式:按升冪排列,冪指數(shù)成等差數(shù)列.2.結(jié)果:可為正可為負(fù)可為零.3.共n(n-1)/2項(xiàng)的乘積.對(duì)于范德蒙行列式,我們的任務(wù)就是利用它計(jì)算行列式,因此要牢記范德蒙行列式的形式和結(jié)果.你能識(shí)別出范德蒙行列式嗎？你會(huì)用范德蒙行列式的結(jié)果做題嗎？第33頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例：第34頁,共64頁，2024年2月25日，星期天范德蒙行列式有幾種變形?第35頁,共64頁，2024年2月25日，星期天行列式按行（列）展開主要內(nèi)容：1.代數(shù)余子式2.展開定理§1.3第36頁,共64頁，2024年2月25日，星期天余子式n-1階行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代數(shù)余子式（一）按某一行（列）展開第37頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定理4

按行展開按列展開即：D

等于第

i

行（列）元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式相乘相加。第38頁,共64頁，2024年2月25日，星期天證（下面就四階行列式給出證明，方法是從特殊到一般。）第39頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共64頁，2024年2月25日，星期天(3)四階行列式按第三行展開的結(jié)果＃n階行列式按第i行展開：第41頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例2計(jì)算行列式解按第三列展開其中：第42頁,共64頁，2024年2月25日，星期天所以第43頁,共64頁，2024年2月25日，星期天解2按第二行展開按第一列展開第44頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例３討論當(dāng)Ｋ為何值時(shí)解第45頁,共64頁，2024年2月25日，星期天所以，當(dāng)?shù)?6頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例4求證第47頁,共64頁，2024年2月25日，星期天證按第1列展開第48頁,共64頁，2024年2月25日，星期天n-1階第49頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第50頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第51頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第52頁,共64頁，2024年2月25日，星期天即：第i行元素與另一行元素的代數(shù)余子式相乘相加等于零。定理5

證0=i

行s

行第53頁,共64頁，2024年2月25日，星期天綜合定理4，定理5對(duì)于行：對(duì)于列：第54頁,共64頁，2024年2月25日，星期天克萊姆（Cramer）法則§1.4第55頁,共64頁，2024年2月25日，星期天其解：記系數(shù)行列式第56頁,共64頁，2024年2月25日，星期天討論

n個(gè)方程、n個(gè)未知量的線性方程組的解一、非齊次線性方程組系數(shù)行列式：第57頁,共64頁，2024年2月25日，星期天用常數(shù)項(xiàng)列替換D

的第

j

列，其余列不變。記6911第58頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定理5（克萊姆法則）對(duì)于方程組（1），若有唯一解，且?第59頁,共64頁，2024年2月25日，星期天證明思路：1°

驗(yàn)證滿足各方程（存在性）；2°（1）的

解定能表成形式（唯一性）。所用結(jié)果：證1°將

Dj

按第

j

列展開代入第1個(gè)方程的左端將4第60頁,共64頁，2024年2月25日，星期天左＝（證＝b1)()D按第1行展開＝0＝0滿足第1個(gè)方程第61頁,共64頁，2024年2月25日，星期天類似驗(yàn)證第2，…，n個(gè)方程也滿足。是方程組（1）的解。2°由1°知，（1）有解，a11x1+a12x2a1nxn+…+=b1a21x1+a22x2a2nxn+…