電路的矩陣形式

關(guān)于電路的矩陣形式復(fù)習(xí)基本概念一、網(wǎng)絡(luò)的圖二、樹、基本回路與基本割集第2頁,共82頁，2024年2月25日，星期天一、網(wǎng)絡(luò)的圖1、網(wǎng)絡(luò)圖論網(wǎng)絡(luò)圖論是圖論在電路理論中的應(yīng)用。主要通過電路的結(jié)構(gòu)及其連接性質(zhì)，對電路進行分析計算。第3頁,共82頁，2024年2月25日，星期天每一個電路元件或多個電路元件的某種組合用一條線段代替，稱為支路。2、支路BranchR1R212skIskUkΙ-+kZ+kU-k第4頁,共82頁，2024年2月25日，星期天每一個電路元件的端點，或多個電路元件相連接的點，稱為節(jié)點。在電網(wǎng)絡(luò)理論中，通常節(jié)點是指支路的匯集點。3、節(jié)點NodeR1R2①②③skIskUkΙ-+kZ+kU-①②

第5頁,共82頁，2024年2月25日，星期天

從一個結(jié)點沿某些支路移動到另一結(jié)點，則這些支路就是一條路徑。4、路徑Path第6頁,共82頁，2024年2月25日，星期天一條路徑的起點、終點重合所形成的不重復(fù)的閉合路徑。5、回路Loop第7頁,共82頁，2024年2月25日，星期天

平面圖中自然的“孔”，它限定的區(qū)域內(nèi)不再有支路。6、網(wǎng)孔Mesh第8頁,共82頁，2024年2月25日，星期天節(jié)點和支路的集合，稱為圖，每一條支路的兩端都連接到相應(yīng)的節(jié)點上。7、網(wǎng)絡(luò)的圖Graph第9頁,共82頁，2024年2月25日，星期天

當(dāng)圖G中的任意兩個節(jié)點之間至少存在一條路徑時，稱為連通圖。有向圖是指各個支路規(guī)定了參考方向的圖，反之，稱為無向圖。8、連通圖和有向圖第10頁,共82頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共82頁，2024年2月25日，星期天二、樹、基本回路與基本割集1、樹Tree一個連通圖G的樹T是指G的一個連通子圖，它包含G的全部節(jié)點，但不含任何回路。構(gòu)成樹的支路稱為“樹支”，圖G中不屬于T的其他支路稱為“連支”，其集合稱為“樹余”。第12頁,共82頁，2024年2月25日，星期天

只含一條連支的回路稱為單連支回路，它們的總和為一組獨立回路，稱為“基本回路”。樹一經(jīng)選定，基本回路唯一地確定下來。２、基本回路第13頁,共82頁，2024年2月25日，星期天

1

a

c2

b3

de

4

f第14頁,共82頁，2024年2月25日，星期天連通圖G的割集是指其一個支路集合：1、把這些支路全部移去（保留節(jié)點）后，將使連通圖分離成各自連通的兩個部分；2、少移去其中一條支路,圖仍然是連通的。３、割集Cutset割集是一個廣義結(jié)點，屬于一個割集的所有支路的代數(shù)和為0第15頁,共82頁，2024年2月25日，星期天

只含一條樹支的割集稱為單樹支割集，它們的總和稱為“基本割集”。

1

ac2

b

3

de

4

f

1

ac2

b

3

de

4

f

1

ac2

b

3

de

4

f

1

ac2

b

3

de

4

f４、基本割集第16頁,共82頁，2024年2月25日，星期天15-1關(guān)聯(lián)矩陣Ａ

15-2回路矩陣Ｂ

15-3割集矩陣Ｑ第17頁,共82頁，2024年2月25日，星期天三個矩陣研究的對象結(jié)點支路關(guān)聯(lián)矩陣AaA回路支路回路矩陣BBf

割集支路割集矩陣QQf行列第18頁,共82頁，2024年2月25日，星期天15.1-1、增廣關(guān)聯(lián)矩陣Aa

n×b

Aa定義：行對應(yīng)圖的節(jié)點，列對應(yīng)圖的各個支路。Aa=[ajk]中：當(dāng)節(jié)點i與支路bk無關(guān)聯(lián)時，ajk=0當(dāng)節(jié)點i與支路bk關(guān)聯(lián)，且支路電流的參考方向離開節(jié)點時，ajk=+1當(dāng)節(jié)點i與支路bk關(guān)聯(lián)，且支路電流的參考方向指向節(jié)點時，ajk=-1第19頁,共82頁，2024年2月25日，星期天

4n

4b

3b

5b

5n

7b1n

3n

1b

6b

2b

2n例題1：分析：有5個結(jié)點，7條支路，所以應(yīng)該是5X7的矩陣。5X7第20頁,共82頁，2024年2月25日，星期天關(guān)聯(lián)矩陣Aa的特點：

每一列只有兩個非零元素，一個是+1，一個是-1，Aa的每一列元素之和為零。

矩陣中任一行可以從其他n-1行中導(dǎo)出，即只有n-1行是獨立的。引入降階關(guān)聯(lián)矩陣AA=(n-1)b支路b結(jié)點（n-1）第21頁,共82頁，2024年2月25日，星期天A定義：除去增廣關(guān)聯(lián)矩陣中的任意一行，矩陣仍然具有同樣的信息，足以表征定向圖中節(jié)點對支路的關(guān)系。將這種矩陣稱為降階關(guān)聯(lián)矩陣或簡稱為關(guān)聯(lián)矩陣，記為A。15.1-2、降階關(guān)聯(lián)矩陣A(n-1）×b第22頁,共82頁，2024年2月25日，星期天思考：如果已知A矩陣，能否畫出對應(yīng)的圖？例題2：寫出Aa和A第23頁,共82頁，2024年2月25日，星期天15.2回路矩陣B(b-n+1）×bB定義：行對應(yīng)圖的回路，列對應(yīng)圖的各個支路。B=[bjk]中：當(dāng)支路k不在回路j內(nèi)，bjk=0;當(dāng)支路k在回路j內(nèi)，且支路方向與回路方向相同，bjk=+1;當(dāng)支路k在回路j內(nèi)，且支路方向與回路方向不同，bik=-1。第24頁,共82頁，2024年2月25日，星期天例題3：取網(wǎng)孔為獨立回路，順時針方向1231２３６５４①②④③123B=123456支回01110000-10-111-1000-1

給定B可以畫出有向圖。第25頁,共82頁，2024年2月25日，星期天列寫規(guī)則：先選擇一棵樹T;

列寫時，將矩陣的列按先連支后樹支且連支與樹支要分開排列的方式;Bf定義：如果B是由以下列方式列寫出來的稱為基本回路矩陣Bf。15.2基本回路矩陣Bf

(b-n+1）×b第26頁,共82頁，2024年2月25日，星期天3.由于基本回路為單連支回路，就選連支方向為回路方向;4.連支和對應(yīng)的回路要為相同的行和列號;5.特點：Bf的左半邊為E單位矩陣。Bf列寫規(guī)則：第27頁,共82頁，2024年2月25日，星期天例題4：寫出Bf矩陣。1234567選1、2、3、6為樹l1l2l34571236l1l2l34、5、7則為連支第28頁,共82頁，2024年2月25日，星期天

Q定義：行對應(yīng)基本割集，列對應(yīng)圖的各個支路。Q=[qjk]中：當(dāng)支路k不在割集j內(nèi)，qjk=0;當(dāng)支路k在割集j內(nèi)，且支路方向與割集方向相同，qjk=+1;當(dāng)支路k在割集j內(nèi)，且支路方向與割集方向不同，qjk=-1。15.3割集矩陣Q與基本割集矩陣Qf第29頁,共82頁，2024年2月25日，星期天例題5：寫出下圖的Q。Q1Q2Q2156423割集支路第30頁,共82頁，2024年2月25日，星期天Qf定義：如果選定一組單樹支割集為一組獨立割集，稱為基本割集矩陣。列寫規(guī)則：先選擇一棵樹T;列寫時，將矩陣的列按先樹支后連支且分開排列;由于基本割集為單樹支割集，所以就選樹支方向為割集方向;樹支和對應(yīng)的割集要為相同的行列號;Qf的左半邊為E單位矩陣。第31頁,共82頁，2024年2月25日，星期天例題5：選4、5、6支路為樹，寫Qf1２３６５４①②④③Q1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}Q=456123支割集123100-1-10

01011-1

0010-11QlQt第32頁,共82頁，2024年2月25日，星期天4、KCL、KVL的矩陣形式1）、KCL定律：3514726②①④③⑤根據(jù)結(jié)點、割集列寫支路KCL方程網(wǎng)孔或回路電路表示支路電流第33頁,共82頁，2024年2月25日，星期天2）、KVL定律：3514726②①④③⑤每條支路電壓總是可以由這n-1個結(jié)點電壓表示：支路電壓表示回路方程結(jié)點電壓、樹枝電壓表示支路電壓第34頁,共82頁，2024年2月25日，星期天15-4回路電流方程的矩陣形式第35頁,共82頁，2024年2月25日，星期天推導(dǎo)思路:回路電流法：以回路電流作獨立變量，列寫b-n+1個KVL方程。已知：KCL--KVL—如能求出VCR--第36頁,共82頁，2024年2月25日，星期天一、復(fù)合支路模型電路圖中第k條支路有向圖中第k條支路k_++_1、Uk與Ik關(guān)聯(lián)；2、USk與Uk方向相反；3、ISk與Ik都流入同一個結(jié)點；4、Zk是單一阻抗；5、不允許存在理想ISk支路。第37頁,共82頁，2024年2月25日，星期天

復(fù)合支路只是定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。Zk（Yk）Zk（Yk）+-+-Zk（Yk）Zk（Yk）=0+-第38頁,共82頁，2024年2月25日，星期天V

C

R

方程推導(dǎo)+_+_第39頁,共82頁，2024年2月25日，星期天+_+_VCR:V

C

R

方程推導(dǎo)第40頁,共82頁，2024年2月25日，星期天bX1bXbbX1bX1bX1第41頁,共82頁，2024年2月25日，星期天其中:（各支路無耦合）第42頁,共82頁，2024年2月25日，星期天二、回路電流方程推導(dǎo)KCL方程：KVL方程：VCR方程：第43頁,共82頁，2024年2月25日，星期天回路阻抗矩陣bXb:支路阻抗矩陣bXb回路電壓源矩陣bX1第44頁,共82頁，2024年2月25日，星期天三、Z矩陣的列寫：(1)無耦合時：Z就是一個對角陣。第45頁,共82頁，2024年2月25日，星期天寫出圖示電路支路電壓、電流關(guān)系（VCR）矩陣：例+R1R51/j

Cj

L2R6234-j

L311①23456②③④解注意電流源的參考方向參考方向第46頁,共82頁，2024年2月25日，星期天(2)耦合情況一：含有互感線圈Mkj_++__++_Mkj第47頁,共82頁，2024年2月25日，星期天1、位置-----兩個互感電感所在的位置分別作雙下標(biāo)，即Zkj和Zjk

同時成對出現(xiàn)在Z中；kZkjjkZjkj步驟一：先不考慮M寫出對角陣Z；步驟二：在對角陣Z的基礎(chǔ)上成對添加±jwM；2、大小-----Zkj=Zkj=±jωM。符號看支路方向和同名端相對位置是相同還是相反。（增強/削弱）第48頁,共82頁，2024年2月25日，星期天(2)耦合情況二：含有受控電壓源Udk_++__+記：受控電壓源方向與UK方向一致。第49頁,共82頁，2024年2月25日，星期天VCR:skIskUkΙ

–+kZ+–kU

–+dkU第50頁,共82頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)Udk的控制量不同：1、Udk=μkjIej(CCVS)Zkj=-μkj第51頁,共82頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)Udk的控制量不同：2、Udk=μkjUej(VCVS)Zkj=-μkjZj第52頁,共82頁，2024年2月25日，星期天15-5結(jié)點電壓方程的矩陣形式第53頁,共82頁，2024年2月25日，星期天一、Y矩陣的列寫1、無受控源,無MＹ-----支路導(dǎo)納矩陣,且為一個對角陣!第54頁,共82頁，2024年2月25日，星期天2、有電感M支路導(dǎo)納矩陣Y不再是一個對角陣,其主對角線為各支路導(dǎo)納,而非對角線上有關(guān)于主對角線對稱的互感導(dǎo)納出現(xiàn)!位置-----如第i與j支路間有互感存在,則在Yij和Yij的位置上成對出現(xiàn)!大小-----±1/jωM,符號看同名端是增強還是削弱！第55頁,共82頁，2024年2月25日，星期天3、有受控源支路導(dǎo)納矩陣Y不再為一個對角陣；新導(dǎo)納位置----控制量所在支路j決定列號；受控源所在支路k決定行號；則其出現(xiàn)在Ykj位置上;新導(dǎo)納大小----如：Idk=gkjUej則Ykj=gkj，如：Idk=βgkjIej則Ykj=βkjYj第56頁,共82頁，2024年2月25日，星期天二、節(jié)點電壓法的矩陣形式的推導(dǎo)KCL方程：KVL方程：VCR方程：第57頁,共82頁，2024年2月25日，星期天------結(jié)點導(dǎo)納矩陣-----流入該結(jié)點的電流源值第58頁,共82頁，2024年2月25日，星期天結(jié)點分析法的一般步驟1①23456②③④第一步：抽象為有向圖5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-第二步：形成[A]123A=123456支節(jié)1100010-1110000-101-1第59頁,共82頁，2024年2月25日，星期天第三步：形成[Y]1①23456②③④5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-第四步：形成[US]、[IS]US=[-500000]T[IS]=[000-130]T第60頁,共82頁，2024年2月25日，星期天第五步：用矩陣乘法求得節(jié)點方程第61頁,共82頁，2024年2月25日，星期天15-6割集電壓方程的矩陣形式第62頁,共82頁，2024年2月25日，星期天一、樹支電壓的概念:樹支電壓：指選定做樹支上的支路電壓。341562如圖，有三個樹支電壓：第63頁,共82頁，2024年2月25日，星期天341562二、Q與KCL的關(guān)系：1、Q與KCL的關(guān)系356124Q1Q2Q3流入割集的電流代數(shù)和為0第64頁,共82頁，2024年2月25日，星期天341562三、Q與KVL的關(guān)系：1、Q與KVL的關(guān)系選346做樹支，則可以將支路電壓用樹支電壓來表示：第65頁,共82頁，2024年2月25日，星期天四、復(fù)合支路------VCRVCR方程：第66頁,共82頁，2024年2月25日，星期天五、方法推導(dǎo)KCL方程：KVL方程：VCR方程：第67頁,共82頁，2024年2月25日，星期天------割集電導(dǎo)矩陣------割集電流源向量幾個概念：第68頁,共82頁，2024年2月25日，星期天六、例題例1：寫出割集電壓法的矩陣形式第69頁,共82頁，2024年2月25日，星期天14235678第70頁,共82頁，2024年2月25日，星期天15-11狀態(tài)方程第71頁,共82頁，2024年2月25日，星期天一、定義1、狀態(tài)變量：電路的一組獨立的動態(tài)變量，它們和輸入（us、is）一起確定電路任何時刻的狀態(tài)。第72頁,共82頁，2024年2月25日，星期天2、狀態(tài)方程：對狀態(tài)變量列出的一階微分方程。（KCL或KVL）輸入向量v狀態(tài)向量xAnXnBnXm第73頁,共82頁，2024年2月25日，星期天二、狀態(tài)方程

R++

L