穩(wěn)定性定義與穩(wěn)定性條件

關(guān)于穩(wěn)定性定義與穩(wěn)定性條件4.1.1范數(shù)的概念

1.向量的范數(shù)

定義：n維向量空間的范數(shù)定義為:

(4.1)2.矩陣的范數(shù)

定義：mxn矩陣A的范數(shù)定義為:(4.2)第2頁,共28頁，2024年2月25日，星期天(4.3)4.1.2平衡狀態(tài)

系統(tǒng)沒有輸入作用時，處于自由運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)某狀態(tài)，并且維持在此狀態(tài)而不再發(fā)生變化的，這樣的狀態(tài)稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。根據(jù)平衡狀態(tài)的定義可知,連續(xù)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是滿足平衡方程即的系統(tǒng)狀態(tài)。離散系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，是對所有的k，都滿足平衡方程的系統(tǒng)狀態(tài)。第3頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

首先討論線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。由于平衡狀態(tài)為，因此，當(dāng)A為非奇異矩陣時，系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣時，系統(tǒng)有無窮多個平衡狀態(tài)。

對于非線性系統(tǒng)，可能有一個平衡狀態(tài)，也可能有多個平衡狀態(tài)。這些平衡狀態(tài)都可以由平衡方程解得。下面舉例說明。第4頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

例4.1求下列非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)解由平衡狀態(tài)定義，平衡狀態(tài)應(yīng)滿足:

得非線性系統(tǒng)有三個平衡狀態(tài)：

,,.第5頁,共28頁，2024年2月25日，星期天4.1.3李雅普諾夫穩(wěn)定性定義

1.穩(wěn)定

定義:如果對于任意給定的每個實(shí)數(shù),都對應(yīng)存在著另一實(shí)數(shù),使得從滿足不等式的任意初態(tài)出發(fā)的系統(tǒng)響應(yīng),在所有的時間內(nèi)都滿足則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的.若與的選取無關(guān),則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的.第6頁,共28頁，2024年2月25日，星期天2.漸近穩(wěn)定

定義：若平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，并且當(dāng)時，,即，則稱平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3.大范圍（漸近）穩(wěn)定

定義：如果對任意大的，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍（漸進(jìn)）穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)總是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。

第7頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

4.不穩(wěn)定

定義：如果對于某一實(shí)數(shù)，不論取多小，由內(nèi)出發(fā)的軌跡，至少有一條軌跡越出，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定.

上述定義對于離散系統(tǒng)也是適用的，只是將連續(xù)時間t理解為離散時間k。

注意:穩(wěn)定性討論的是系統(tǒng)沒有輸入（包括參考輸入和擾動）作用或者輸入作用消失以后的自由運(yùn)動狀態(tài)。所以，通常通過分析系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，或者脈沖響應(yīng)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第8頁,共28頁，2024年2月25日，星期天4.1.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件

1.SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

設(shè)描述SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為:

(4.4)

則系統(tǒng)的特征方程為:

(4.5)第9頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)特征方程(4.5)有k個實(shí)根，r對共軛復(fù)根，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為:(4.6)

從上式可以看出：

1）若，均為負(fù)實(shí)部，則有，因此，當(dāng)所有特征根的實(shí)部都為負(fù)時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；

2）若，中有一個或者幾個為正，則有，因此，當(dāng)特征根中有一個或者幾個為正實(shí)部時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；第10頁,共28頁，2024年2月25日，星期天3）若中有一個或者幾個為零,而其它，均為負(fù)，則有為常數(shù)。若中有一個或者幾個為零，而其它、均為負(fù)，則y(t)的穩(wěn)態(tài)分量則為正弦函數(shù)。因此，當(dāng)特征根中有一個或者幾個為零，而其它極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)部時，系統(tǒng)是一種臨界情況，稱為臨界穩(wěn)定的。臨界穩(wěn)定在李氏穩(wěn)定性意義下是穩(wěn)定的，但在工程上是不允許系統(tǒng)工作在臨界穩(wěn)定狀態(tài)的，所以，臨界穩(wěn)定在工程上是不穩(wěn)定的。

結(jié)論：線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的全部特征根或閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于復(fù)平面左半部。

第11頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

2.MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

描述MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（4.7）

設(shè)A有相異特征值，則存在非奇異線性變換，使為對角矩陣，即:

非奇異線性變換后的狀態(tài)方程的零輸入解為:第12頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

由于，，所以，原狀態(tài)方程的零輸入解為:

(4.8)

可見

(4.9)

將上式展開,的每個元素都是的線性組合，所以可寫成矩陣多項(xiàng)式:第13頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

所以

(4.10)

從上式可見，當(dāng)A的所有特征值位于復(fù)平面左半平面，即，，則對任意x(0)，有，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。只要有一個特征值的實(shí)部大于零，對于，，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)有特征值的實(shí)部等于零，而其它特征值的實(shí)部小于零，則隨著時間的增加，x(t)趨于常值或者為正弦波，系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，或者稱為臨界穩(wěn)定的。第14頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

當(dāng)A具有重特征值時,x(t)含有諸項(xiàng)，穩(wěn)定性結(jié)論同上。

結(jié)論：MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)矩陣A的全部特征值具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于復(fù)平面左半部。第15頁,共28頁，2024年2月25日，星期天4.1.5線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.SISO線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性條件

設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為，則系統(tǒng)輸出的Z變換為：

(4.11)

現(xiàn)在討論系統(tǒng)在單位脈沖序列離散信(R(z)=1)作用下的輸出響應(yīng)序列。第16頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

（1）有個互異的單極點(diǎn)，。

Y(z)可以展成:

相應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列為:(4.12)

如果所有的極點(diǎn)在單位圓內(nèi),即，，則，所以，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。第17頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

如果其中有一個極點(diǎn)在單位圓上，設(shè)，而其余極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則，所以，系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，又稱臨界穩(wěn)定。如果有一個或一個以上的極點(diǎn)在單位圓外,則，所以，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第18頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

（2）有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對應(yīng)這一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)的脈沖響應(yīng)序列是:

由于特征方程是實(shí)系數(shù)，所以，必定是共軛的。設(shè)

第19頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

代入上式得:(4.13)

由此可見，該對復(fù)數(shù)極點(diǎn)若在單位圓內(nèi)（），系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；若在單位圓外（），系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在單位圓上（），系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。第20頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

（3）含有重極點(diǎn)不失一般性，設(shè)含有兩重極點(diǎn)，則Y(z)可展開為:

對應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列為:

(4.14)第21頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

顯然，若重極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，即，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；重極點(diǎn)在單位圓外,即，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；重極點(diǎn)在單位圓上,即，由式（4.14）可得:

系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

結(jié)論：線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)都位于平面的單位圓內(nèi)。

第22頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

2.MIMO線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性條件設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:(4.15)

做非奇異線性變換,式(4.15)變換為:

(4.16)第23頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

（1）A有n個互異的特征值，總可以找到一個非奇異陣P，使矩陣化為對角型，即于是

(4.17)

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義，方程(4.17)的解為

(4.18)第24頁,共28頁，2024年2月25