直線與圓的位置關系題型很全

關于直線與圓的位置關系題型很全Oxy

一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？

為解決這個問題，我們以臺風中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，其中取10km為單位長度．輪船一.實例引入問題港口第2頁,共27頁，2024年2月25日，星期天Oxy輪船一.實例引入問題港口輪船航線所在直線l的方程為：

問題歸結為圓心為O的圓與直線l有無公共點．

這樣，受臺風影響的圓區(qū)域所對應的圓心為O的圓的方程為:第3頁,共27頁，2024年2月25日，星期天想一想，平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關系？平面幾何中，直線與圓有三種位置關系：（1）直線與圓相交，有兩個公共點；（1）（2）直線與圓相切，只有一個公共點；（2）（3）直線與圓相離，沒有公共點．（3）二.直線與圓的位置關系問題第4頁,共27頁，2024年2月25日，星期天

在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關系？現(xiàn)在，如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？（1）（2）（3）二.直線與圓的位置關系問題

先看幾個例子，看看你能否從例子中總結出來．第5頁,共27頁，2024年2月25日，星期天判斷直線與圓的位置關系有兩種方法：

方法一：代數(shù)法，判斷直線l與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線l與圓C有公共點．有兩組實數(shù)解時，直線l與圓C相交；有一組實數(shù)解時，直線l與圓C相切；無實數(shù)解時，直線l與圓C相離．

方法二：幾何法，判斷圓C的圓心到直線l的距離d與圓的半徑r的關系．如果d<r

，直線l與圓C相交；如果d=r

，直線l與圓C相切；如果d>r

，直線l與圓C相離．二.直線與圓的位置關系

那么，如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？問題第6頁,共27頁，2024年2月25日，星期天方法一：直線：Ax+By+C=0;圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0

消元一元二次方程

方法二：直線：Ax+By+C=0;圓:(x-a)2+(y-b)2=r2

d=

小結：1.判斷直線與圓位置關系的方法第7頁,共27頁，2024年2月25日，星期天1、幾何方法解題步驟：利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離作判斷:當d>r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切;

當d<r時，直線與圓相交把直線方程化為一般式,圓的方程化為標準式，求出圓心和半徑第8頁,共27頁，2024年2月25日，星期天直線與圓的位置關系把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組求出其Δ的值比較Δ與0的大小:

當Δ<0時,直線與圓相離；當Δ=0時,直線與圓相切;

當Δ>0時,直線與圓相交。2、代數(shù)方法主要步驟：利用帶入消元法，得到關于另一個元的一元二次方程知識點撥第9頁,共27頁，2024年2月25日，星期天代數(shù)法：3x+y－6=0x2+y2

－2y－4=0消去y得：x2-3x+2=0=(-3)2-4×1×2=1>0所以方程組有兩解，直線L與圓C相交幾何法：圓心C（0，1）到直線L的距離d==

r所以直線L與圓C相交比較：幾何法比代數(shù)法運算量少，簡便。dr弦長=題型一、如圖，已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關系；如果相交，求它們的交點坐標及弦長。第10頁,共27頁，2024年2月25日，星期天圓的弦長的求法1．幾何法：用弦心距，半徑及半弦構成直角三角形的三邊設圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為L，則2＝r2－d2.2．代數(shù)法（也叫公式法）：設直線與圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，解方程組消y后得關于x的一元二次方程，從而求得x1＋x2，x1x2，則弦長為|AB|＝（此公式也叫做設而不求利用韋達定理求弦長公式 ）

(其中x1，x2為兩交點的橫坐標．k為直線斜率)．題型二.若直線與圓相交，求弦長問題：第11頁,共27頁，2024年2月25日，星期天解法一：（求出交點利用兩點間距離公式）xyOAB例1、已知直線y=x+1與圓相交于A,B兩點，求弦長|AB|的值第12頁,共27頁，2024年2月25日，星期天解法二：（弦長公式）xyOAB1．已知直線y=x+1與圓相交于A,B兩點，求弦長|AB|的值第13頁,共27頁，2024年2月25日，星期天解三：解弦心距,半弦及半徑構成的直角三角形）設圓心O（0，0）到直線的距離為d，則xyOABdr2．已知直線y=x+1與圓相交于A,B兩點，求弦長|AB|的值

練習：求直線3x+4y+2=0被圓截得的弦長。第14頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例2、已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為，求直線l的方程。.xyOM.利用幾何性質，求弦心距,然后用點到直線的距離求斜率。X+2y+9=0,或2x-y+3=0第15頁,共27頁，2024年2月25日，星期天題型三、求圓的切線方程的常用方法

復習點與圓的位置關系，判斷切線的條數(shù)第16頁,共27頁，2024年2月25日，星期天題型三、求圓的切線方程的常用方法(1)若點P(x0,y0)在圓C外,過點P的切線有兩條.這時可設切線方程為y-y0=k(x-x0),利用圓心C到切線的距離等于半徑求k.若k僅有一值,則另一切線斜率不存在,應填上.也可用判別式Δ=0求k的值.(2)若點P(x0,y0)在圓C上,過點P的切線只有一條.利用圓的切線的性質,求出切線的斜率.k切=代入點斜式方程可得.也可以利用結論:①若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2上,則過該點的切線方程是x0x+y0y=r2.②若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上,則過該點的切線方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.第17頁,共27頁，2024年2月25日，星期天（2）已知圓的方程是x2+y2=r2,求經過圓上一點M(x0,y0)的切線方程.解:如右圖所示,設切線的斜率為k,半徑OM的斜率為k1.因為圓的切線垂直于過切點的半徑,于是第18頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例1：求過一點P(-3,-2)的圓x2+y2+2x－４ｙ＋１＝０的切線方程。解：設所求直線為ｙ＋２＝ｋ（ｘ＋３）代入圓方程使Δ＝０；Ｋ＝即所求直線為３ｘ－４ｙ＋１＝０提問：上述解題過程是否存在問題？X=-3是圓的另一條切線注意：1.在求過一定點的圓的切線方程時，應首先判斷這點與圓的位置關系，若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應有兩條；若點在圓內，無切線．2.設直線的方程時，切記千萬要對直線的斜率存在與否進行討論。若存在，則經常設直線的方程為點斜式；若不存在，則特殊情況特殊對待。第19頁,共27頁，2024年2月25日，星期天小結：求圓的切線方程一般有兩種方法：

(1)代數(shù)法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式

Δ＝0進而求得k.(2)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.

以上兩種方法，一般來說幾何法較為簡潔，可作為首選．練習1.求過M（4，2）且與圓相切的直線方程.第20頁,共27頁，2024年2月25日，星期天題型四、最長弦、最短弦問題第21頁,共27頁，2024年2月25日，星期天題型五、判斷點的個數(shù)問題第22頁,共27頁，2024年2月25日，星期天練習1:已知圓,直線l:y=x+b,求b的取值范圍,使(1)圓上沒有一個點到直線l的距離等于1(2)圓上恰有一個點到直線l的距離等于1(3)圓上恰有兩個點到直線l的距離等于1(4)圓上恰有三個點到直線l的距離等于1(5)圓上恰有四個點到直線l的距離等于1第23頁,共27頁，2024年2月25