滬科版八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點精講精練 專題20 平行四邊形章末素養(yǎng)評估卷-【專題重點突破】(原卷版+解析)

專題20平行四邊形章末素養(yǎng)評估卷一、單選題(共40分)1．(本題4分)(2023·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)九年級階段練習(xí)）正六邊形是軸對稱圖形，它的對稱軸有（

）A．3條 B．4條 C．6條 D．12條2．(本題4分)(2023·北京市廣渠門中學(xué)九年級階段練習(xí)）若一個多邊形的每個內(nèi)角均為，則該多邊形是（

）A．正四邊形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形3．(本題4分)(2023·江蘇·無錫市僑誼實驗中學(xué)八年級期中）能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是(

)A．CB=CD，AB=ADB．C．AB//CD，AD=BC D．AB=CD，AD=BC4．(本題4分)(2023·福建省詔安縣第三實驗中學(xué)一模）如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，則∠AED′等于（

）A．50° B．55° C．60° D．65°5．(本題4分)(2023·廣東·一模）如圖，四邊形ABCD四邊的中點分別為E，F(xiàn)，G，H，對角線AC與BD相交于點O，若四邊形EFGH的周長是3，則AC＋BD的長為（

）A．3 B．6 C．9 D．126．(本題4分)(2023·江蘇·啟東市長江中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，若四邊形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，則菱形ABCD的邊長是（

）A．13 B．12 C．26 D．527．(本題4分)(2023·河南焦作·八年級期中）怡林在學(xué)習(xí)正方形之后，給永鑫同學(xué)出了一道題，有下列四個條件：①；②；③；④．從中選兩個作為補充條件，使平行四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為錯誤的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．②④8．(本題4分)(2023·河北·廊坊市第四中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，四種瓷磚圖案中，不能鋪滿地面的是（）A． B． C． D．9．(本題4分)(2023·江蘇揚州·八年級期中）如圖，點P為?ABCD外一點，連接PA、PB、PC、PD，若△APB的面積為18，△APD的面積為5，則△APC的面積為（）A．10 B．13 C．18 D．2010．(本題4分)(2023·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖是以KL所在的直線為對稱軸的軸對稱圖形，六邊形EFGHLK的各個內(nèi)角相等，記四邊形HCH′L、四邊形EKE′A、△BGF的周長分別為C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，則AB的長是（

）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11二、填空題(共20分)11．(本題5分)(2023·寧夏吳忠·八年級期末）在一個八邊形中，其中七個內(nèi)角的和是1000°，則這個八邊形另一個內(nèi)角的度數(shù)為____．12．(本題5分)(2023·天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級期中）如圖，連接正五邊形的對角線AD、BE、CE，線段AD分別與BE、CE相交于點M、N．若AD＝6，則△EMN的周長為___．13．(本題5分)(2023·黑龍江大慶·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，0）、B（4，0），如圖C在x軸上，BC＝2，Q從O向C運動，以AQ、BQ為邊作等邊△AEQ、等邊△FBQ．連接EF，點P為EF中點，則P點運動的路徑長為_____．14．(本題5分)(2023·浙江·八年級期末）如圖，在中，，，分別為，上一點，將，沿，翻折，點，恰好重合于點處，若中有一個角等于，則________．三、解答題(共90分)15．(本題8分)(2023·河南·開封市第二十七中學(xué)八年級期中）一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的4倍，求這個多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和．16．(本題8分)(2023·重慶·模擬預(yù)測）在△ABC中，AD是△ABC的高，∠B=30°，∠C=52°．(1)尺規(guī)作圖：作△ABC的角平分線AE；(2)求∠DAE的大?。?7．(本題8分)(2023·四川內(nèi)江·一模）如圖，已知、是對角線上的兩點，且，，連接、．求證：．18．(本題8分)(2023·浙江湖州·一模）如圖，在方格紙中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，P都在格點上，請按要求畫出圖形，使點P在所畫圖形的內(nèi)部（不包括邊界上）．(1)請在圖1中作出一個?ABCD，點C和點D都在格點上；(2)請在圖2中畫一個四邊形ABEF，使得EFAB，且∠A是鈍角，點E和點F都在格點上．19．(本題10分)(2023·黑龍江哈爾濱·九年級期末）已知：在ABCD中，對角線AC與BD交于點O，過點O作，分別交AB，DC于點E，F(xiàn)，連接BF，DE．(1)如圖1，求證：四邊形DEBF是菱形；(2)如圖2，ADEF，且，在不添加任何輔助線的條件下，請直接寫出圖2中四個度數(shù)為的角．20．(本題10分)(2023·湖南·長沙市北雅中學(xué)一模）如圖，在中，AC=BC，M、N分別是AB和CD的中點．(1)求證：四邊形AMCN是矩形；(2)若∠B=60°，BC=8，求的面積．21．(本題12分)(2023·天津一中八年級期中）如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E．(1)的大?。絖_____°；(2)求證：≌；(3)若，則的大小＝______°．22．(本題12分)(2023·江西撫州·七年級期末）（1）【探究】觀察下列算式，并完成填空：；______．（n是正整數(shù)）（2）如圖是某市一廣場用正六邊形、正方形和正三角形地板磚鋪設(shè)的圖案，圖案中央是一塊正六邊形地板磚，周圍是正方形和正三角形的地板磚．從里向外第一層包括6塊正方形和6塊正三角形地板磚；第二層包括6塊正方形和18塊正三角形地板磚；以此遞推．①第3層中分別含有______塊正方形和______塊正三角形地板磚；②第n層中分別含有______塊正方形和______塊正三角形地板磚（用含n的代數(shù)式表示）．（3）【應(yīng)用】該市打算在一個新建廣場中央，采用如圖樣式的圖案鋪設(shè)地面，現(xiàn)有1塊正六邊形、150塊正方形地板磚，問：鋪設(shè)這樣的圖案，還需要多少塊正三角形地板磚？請說明理由．23．(本題14分)(2023·四川成都·八年級階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點M為邊AD的中點，過點C作AB的垂線交AB于點E，連接ME，已知AM=4，∠BCE=30°．(1)求線段EC的長；(2)求證：∠EMC=2∠AEM；(3)如果EM=8-AE，求△AEM的面積．專題20平行四邊形章末素養(yǎng)評估卷一、單選題(共40分)1．(本題4分)(2023·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)九年級階段練習(xí)）正六邊形是軸對稱圖形，它的對稱軸有（

）A．3條 B．4條 C．6條 D．12條答案:C解析：分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念、對稱軸的概念和正六邊形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】如圖所示：正六邊形相對兩個頂點的連線，相對兩條邊中點的連線都是對稱軸，共有六條，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查的是正六邊形的性質(zhì)，軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．掌握概念是解題的關(guān)鍵．2．(本題4分)(2023·北京市廣渠門中學(xué)九年級階段練習(xí)）若一個多邊形的每個內(nèi)角均為，則該多邊形是（

）A．正四邊形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形答案:C解析：分析：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得答案．【詳解】解：設(shè)多邊形為n邊形，由題意，得（n-2）?180=120n，解得n=6，故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形的概念和內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是牢記多邊形的內(nèi)角和公式．3．(本題4分)(2023·江蘇·無錫市僑誼實驗中學(xué)八年級期中）能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是(

)A．CB=CD，AB=AD B．C．AB//CD，AD=BC D．AB=CD，AD=BC答案:D解析：分析：根據(jù)平行四邊形的判定性質(zhì)，對各個選項逐個分析，即可得到答案．【詳解】∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD為平行四邊形，即選項D正確；其他選項，均無法推導(dǎo)得四邊形ABCD為平行四邊形故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定性質(zhì)，從而完成求解．4．(本題4分)(2023·福建省詔安縣第三實驗中學(xué)一模）如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，則∠AED′等于（

）A．50° B．55° C．60° D．65°答案:A解析：分析：利用平行線的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行角度計算解答即可；【詳解】解：∵ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=65°，由折疊性質(zhì)可得∠DEF=∠D′EF=65°，∴∠AED′=180°-65°-65°=50°，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)；折疊前后的兩個圖形是全等圖形，同時也是軸對稱圖形．5．(本題4分)(2023·廣東·一模）如圖，四邊形ABCD四邊的中點分別為E，F(xiàn)，G，H，對角線AC與BD相交于點O，若四邊形EFGH的周長是3，則AC＋BD的長為（

）A．3 B．6 C．9 D．12答案:A解析：分析：先由三角形的中位線定理推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后求解即可．【詳解】解：如圖，∵E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點，∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知：EF∥AC，GH∥AC且EF=GH=AC，EH=FG=BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形EFGH的周長是3，即EF+GH+EH+FG=3，∴AC+BD=3，故選：A．【點睛】本題主要考查中點四邊形，解題時，利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．6．(本題4分)(2023·江蘇·啟東市長江中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，若四邊形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，則菱形ABCD的邊長是（

）A．13 B．12 C．26 D．52答案:A解析：分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵AC=24，BD=10，∴OA=12，OB=5，在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB==13，故選：A．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)對角線垂直解答．7．(本題4分)(2023·河南焦作·八年級期中）怡林在學(xué)習(xí)正方形之后，給永鑫同學(xué)出了一道題，有下列四個條件：①；②；③；④．從中選兩個作為補充條件，使平行四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為錯誤的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．②④答案:B解析：分析：利用矩形、菱形、正方形之間的聯(lián)系，結(jié)合正方形的判定方法分別判斷即可．【詳解】解：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，A．當(dāng)①AC⊥BD時，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)②AC=BD，平行四邊形ABCD是矩形，既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，所以平行四邊形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；B．當(dāng)②AC=BD，平行四邊形ABCD是矩形，又當(dāng)③∠ABC=90°，平行四邊形ABCD是矩形，所以平行四邊形ABCD是矩形，故此選項錯誤，符合題意；C．當(dāng)①AC⊥BD時，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)③∠ABC=90°，平行四邊形ABCD是矩形，既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，所以平行四邊形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；D．當(dāng)②AC=BD，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)④AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，所以平行四邊形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵．8．(本題4分)(2023·河北·廊坊市第四中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，四種瓷磚圖案中，不能鋪滿地面的是（）A． B． C． D．答案:C解析：分析：根據(jù)鑲嵌的定義計算判讀即可．【詳解】∵能夠鋪滿地面的圖形是內(nèi)角能拼成360°，∵正三角形一個內(nèi)角60°，正方形一個內(nèi)角90°，正五邊形一個內(nèi)角108°，正六邊形一個內(nèi)角120°，只有正五邊形無法湊成360°．故選：C．【點睛】本題考查了鑲嵌問題，熟練掌握鑲嵌的條件是解題的關(guān)鍵．9．(本題4分)(2023·江蘇揚州·八年級期中）如圖，點P為?ABCD外一點，連接PA、PB、PC、PD，若△APB的面積為18，△APD的面積為5，則△APC的面積為（）A．10 B．13 C．18 D．20答案:B解析：分析：根據(jù)題意，表示出已知三角形的面積，然后作差，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答本題．【詳解】解：DC與AP交于點E，設(shè)點P到DC的距離為，DC和AB之間的距離為，∵，，∴，，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，∴，即，∴，即△APC的面積是13，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的面積公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．(本題4分)(2023·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖是以KL所在的直線為對稱軸的軸對稱圖形，六邊形EFGHLK的各個內(nèi)角相等，記四邊形HCH′L、四邊形EKE′A、△BGF的周長分別為C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，則AB的長是（

）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11答案:D解析：分析：根據(jù)六邊形EFGHLK的各個內(nèi)角相等，即可得出△BFG，△AEK，△CHL都是等邊三角形，由軸對稱可得，四邊形HCH′L、四邊形EKE′A都是菱形，再根據(jù)C1=2C2=4C3，F(xiàn)G=LK，EF=6，即可得到AB．【詳解】解：∵六邊形EFGHLK的各個內(nèi)角相等，∴該六邊形的每個內(nèi)角為120°，每個外角都是60°，∴△BFG，△AEK，△CHL都是等邊三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，BF=FG，AE=AK，CL=HL，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，即BF+FE+AE=AK+KL+CL，又∵BF=FG=KL，∴EF=CL=6=CH，由軸對稱可得，四邊形HCH′L、四邊形EKE′A都是菱形，∵C1=2C2，∴AE=CH=3，又∵2C2=4C3，∴C3=C2=×12=6，∴BF=×6=2，∴AB=BF+EF+AE=2+6+3=11，故選：D．【點睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及軸對稱性質(zhì)，解題時注意：四條邊相等的四邊形是菱形．二、填空題(共20分)11．(本題5分)(2023·寧夏吳忠·八年級期末）在一個八邊形中，其中七個內(nèi)角的和是1000°，則這個八邊形另一個內(nèi)角的度數(shù)為____．答案:80°解析：分析：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：八邊形的內(nèi)角和為180°×（8-2）=1080°，∴這個八邊形另一個內(nèi)角的度數(shù)為1080°-1000°=80°；故答案為80°．【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．12．(本題5分)(2023·天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級期中）如圖，連接正五邊形的對角線AD、BE、CE，線段AD分別與BE、CE相交于點M、N．若AD＝6，則△EMN的周長為___．答案:6解析：分析：由題意知，，，；同理可證：，由，即可求的周長．【詳解】解：由題意知∴在和中∴∴∴同理可證：∴的周長為故答案為：6．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，三角形全等，等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于通過等腰三角形將邊長進(jìn)行轉(zhuǎn)化．13．(本題5分)(2023·黑龍江大慶·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，0）、B（4，0），如圖C在x軸上，BC＝2，Q從O向C運動，以AQ、BQ為邊作等邊△AEQ、等邊△FBQ．連接EF，點P為EF中點，則P點運動的路徑長為_____．答案:1解析：分析：如圖所示，延長AE，BF交于點H，則△ABH為等邊三角形，再由三角形AEQ與三角形BGF為等邊三角形，得到兩對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到EQ與AH平行，EQ與BH平行，進(jìn)而確定出四邊形EQFH為平行四邊形，根據(jù)P為EF的中點，得到P為HQ的中點，隨著點Q從O點向C點運動，點P也由P1運動到P2，利用中位線定理求出運動的路徑長即可．【詳解】解：如圖所示，延長AE，BF交于點H，則△ABH為等邊三角形，∵△AEQ與△BFQ都為等邊三角形，∴∠EAQ＝∠FQB＝60°，∠AQE＝∠QBF＝60°，∴FQ∥AH，EQ∥BH，∴四邊形EQFH為平行四邊形，∵P為EF的中點，∴P為HQ中點，∵A（﹣2，0），B（4，0），BC＝2，∴OC＝2，隨著點Q從O點向C點運動，點P也由P1運動到P2，∴，即P運動的路徑為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，中位線定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．14．(本題5分)(2023·浙江·八年級期末）如圖，在中，，，分別為，上一點，將，沿，翻折，點，恰好重合于點處，若中有一個角等于，則________．答案:或．解析：分析：由折疊的性質(zhì)得出AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD＝AB＝AD＝BD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，再分三種情況討論即可．【詳解】解：由折疊可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，∴D是AB的中點，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，當(dāng)∠CPD＝48°時，∠B＝48°，∴∠A＝90°?∠B＝42°；當(dāng)∠PCD＝48°時，∠DCB＝∠B＝48°，∴∠A＝42°；當(dāng)∠PDC＝48°時，則∠PDC＝∠BDC＝48°，∵∠BDC＝∠A＋∠ACD，∠ACD＝∠A，∴∠A＝∠BDC＝24°；故答案為：42°或24°．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共90分)15．(本題8分)(2023·河南·開封市第二十七中學(xué)八年級期中）一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的4倍，求這個多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和．答案:這個多邊形的邊數(shù)是10，內(nèi)角和為解析：分析：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和以及外角和列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，則，，．內(nèi)角和為答：這個多邊形的邊數(shù)是10，內(nèi)角和為．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和與外角和，掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．16．(本題8分)(2023·重慶·模擬預(yù)測）在△ABC中，AD是△ABC的高，∠B=30°，∠C=52°．(1)尺規(guī)作圖：作△ABC的角平分線AE；(2)求∠DAE的大?。鸢?(1)見解析(2)∠DAE的大小為11°解析：分析：（1）利用基本作圖作AE平分∠BAC；（2）先利用三角形內(nèi)角和定理計算出∠BAC=98°，再利用角平分線的定義得到∠EAC=49°，接著計算出∠DAC，然后計算∠EAC-∠DAC即可．(1)解，作圖如下：(2)解：∵∠B=30°，∠C=52°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=98°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=49°，∵AD為高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°-∠C=38°，∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=49°-38°=11°．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了三角形內(nèi)角和定理．17．(本題8分)(2023·四川內(nèi)江·一模）如圖，已知、是對角線上的兩點，且，，連接、．求證：．答案:見解析解析：分析：通過證明BE和DF平行且相等得出四邊形BEDF是平行四邊形，得出結(jié)論．【詳解】證明：，，，．∵四邊形是平行四邊形，，．．在和中，，．又，四邊形是平行四邊形．．【點睛】本題考查平行四邊形額判定和性質(zhì)，兩個圖形注意從這兩個圖形的公共部分入手．18．(本題8分)(2023·浙江湖州·一模）如圖，在方格紙中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，P都在格點上，請按要求畫出圖形，使點P在所畫圖形的內(nèi)部（不包括邊界上）．(1)請在圖1中作出一個?ABCD，點C和點D都在格點上；(2)請在圖2中畫一個四邊形ABEF，使得EFAB，且∠A是鈍角，點E和點F都在格點上．答案:(1)見解析(2)見解析解析：分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)畫出圖形即可；（2）根據(jù)四邊形的特點“EFAB，且∠A是鈍角”畫出圖形即可．(1)解：如圖所示，四邊形ABCD即為所求；∵,，∴四邊形ABCD是平行四邊形；(2)解：如圖所示，四邊形ABEF即為所求；∵，，∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，平行四邊形的判定，熟知勾股定理與網(wǎng)格的知識是解題的關(guān)鍵．19．(本題10分)(2023·黑龍江哈爾濱·九年級期末）已知：在ABCD中，對角線AC與BD交于點O，過點O作，分別交AB，DC于點E，F(xiàn)，連接BF，DE．(1)如圖1，求證：四邊形DEBF是菱形；(2)如圖2，ADEF，且，在不添加任何輔助線的條件下，請直接寫出圖2中四個度數(shù)為的角．答案:(1)見詳解(2)、、、．解析：分析：（1）證，得到DF//BE，，則四邊形為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形從而證得結(jié)論；（2）證四邊形是平行四邊形，得，再證是等邊三角形，得，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得，同理．(1)證明：四邊形為平行四邊形，∴AB//CD，，在和中，，，，∵BE//DF，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；(2)解：四邊形是平行四邊形，∴AB//CD，∵AD//EF，四邊形是平行四邊形，，由（1）得：四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，，同理：，即圖2中四個度數(shù)為的角為、、、．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．(本題10分)(2023·湖南·長沙市北雅中學(xué)一模）如圖，在中，AC=BC，M、N分別是AB和CD的中點．(1)求證：四邊形AMCN是矩形；(2)若∠B=60°，BC=8，求的面積．答案:(1)證明見解析；(2)平行四邊形ABCD的面積為．解析：分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AB=CD，由已知條件得出AM∥CN，AM=CN，證出四邊形AMCN是平行四邊形，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CMA=90°，即可得出四邊形AMCN是矩形；（2）根據(jù)∠B=60°，BC=8，即可得到CM和BM的長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到AB的長，進(jìn)而得出的面積．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵M(jìn)、N分別是AB和CD的中點，∴AM=BM，AM∥CN，AM=CN，∴四邊形AMCN是平行四邊形，又∵AC=BC，AM=BM，∴CM⊥AB，∴∠CMA=90°，∴四邊形AMCN是矩形；(2)解：∵∠B=60°，BC=8，∠BMC=90°，∴∠BCM=30°，∴Rt△BCM中，BM=BC=4，CM=4，∵AC=BC，CM⊥AB，∴AB=2BM=8，∴的面積為AB×CM=8×4=32．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得出CM⊥AB是解決問題的關(guān)鍵．21．(本題12分)(2023·天津一中八年級期中）如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E．(1)的大小＝______°；(2)求證：≌；(3)若，則的大?。絖_____°．答案:(1)45(2)證明見解析(3)65解析：分析：（1）由正方形的性質(zhì)求解即可；（2）由正方形ABCD可知，，，進(jìn)而可證≌（SAS）；（3）由≌可知，由三角形外角的性質(zhì)可知，計算求解即可．(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，故答案為45．(2)證明：∵四邊形ABCD是正方形∴，在和中∵∴≌（SAS）．(3)解：∵≌∴∵∴故答案為65．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運用．22．(本題12分)(2023·江西撫州·七年級期末）（1）【探究】觀察下列算式，并完成填空：；______．（n是正整數(shù)）（2）如圖是某市一廣場用正六邊形、正方形和正三角形地板磚鋪設(shè)的圖案，圖案中央是一塊正六邊形地板磚，周圍是正方形和正三角形的地板磚．從里向外第一層包括6塊正方形和6塊正三角形地板磚；第二層包括6塊正方形和18塊正三角形地板磚；以此遞推．①第3層中分別含有______塊正方形和______塊正三角形地板磚；②第n層中分別含有______塊正方形和______塊正三角形地板磚（用含n的代數(shù)式表示）．（3）【應(yīng)用】該市打算在一個新建廣場中央，采用如圖樣式的圖案鋪設(shè)地面，現(xiàn)有1塊正六邊形、150塊正方形地板磚，問：鋪設(shè)這樣的圖案，還需要多少塊正三角形地板磚？請說明理由．答案:（1）；（2）①6，30；②6，或；（3）3750，理由見解析解析：分析：（1）觀察算式找出規(guī)律即可；（2）①觀察圖形數(shù)出正方形和正三角形塊數(shù)；②根據(jù)前三層正方形和正三角形塊數(shù)找出規(guī)律；（3）分別找出所給正方形和正三角形塊數(shù)各能鋪設(shè)