湘教版九年級上冊數(shù)學(xué)教案（全冊）

第1章反比例函數(shù)

1.1反比例函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

理解反比例函數(shù)的概念，根據(jù)實際問題能列出反比例函數(shù)關(guān)系式.

【過程與方法】

經(jīng)歷從實際問題抽象出反比例函數(shù)的探索過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)觀察、推理、分析能力，體會由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，認(rèn)識反比例函數(shù)的應(yīng)用價值.

【教學(xué)重點】

理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式.

【教學(xué)難點】

能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，體會函數(shù)的模型思想.

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

1.復(fù)習(xí)小學(xué)已學(xué)過的反比例關(guān)系，例如：

(1)當(dāng)路程S一定，時間t與速度V成反比例，即Vt=S(S是常數(shù))

(2)當(dāng)矩形面積一定時，長a和寬b成反比例，即ab=S(S是常數(shù))

2、電流I、電阻R、電壓U之間滿足關(guān)系式U=IR,當(dāng)U=220V時,請你用含R的代數(shù)式表

示I嗎？

【教學(xué)說明】對相關(guān)知識的復(fù)習(xí)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

二、思考探究，獲取新知

探究1：反比例函數(shù)的概念

(1)一群選手在進行全程為3000米的賽馬比賽時，各選手的平均速度v(m∕s)與所用時間t(s)

之間有怎樣的關(guān)系？并寫出它們之間的關(guān)系式.

(2)利用(1)的關(guān)系式完成下表：

所用時間MS)121137139143149

平均速度√m∕s)

(3)隨著時間t的變化，平均速度V發(fā)生了怎樣的變化?

(4)平均速度V是所用時間t的函數(shù)嗎？為什么？

(5)觀察上述函數(shù)解析式，與前面學(xué)的一次函數(shù)有什么不同？這種函數(shù)有什么特點？

【歸納結(jié)論】一般地，如果兩個變量x,y之間可以表示成y=l(k為常數(shù)且k≠0)的形式，

X

那么稱y是X的反比例函數(shù)淇中X是自變量，常數(shù)k稱為反比例函數(shù)的比例系數(shù).

【教學(xué)說明】先讓學(xué)生進行小組合作交流，再進行全班性的問答或交流.學(xué)生用自己的語言

說明兩個變量間的關(guān)系為什么可以看作函數(shù)，了解所討論的函數(shù)的表達形式.探究2：反比例函

數(shù)的自變量的取值范圍思考：在上面的問題中，對于反比例函數(shù)v=3OOO∕t,其中自變量t可以取

哪些值呢？分析：反比例函數(shù)的自變量的取值范圍是所有非零實數(shù)，但是在實際問題中，應(yīng)該根

據(jù)具體情況來確定該反比例函數(shù)的自變量取值范圍.由于t代表的是時間，且時間不能為負(fù)數(shù)，所

有t的取值范圍為t〉0.

【教學(xué)說明】教師組織學(xué)生討論，提問學(xué)生，師生互動.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P3例題.

2.下列函數(shù)關(guān)系中，哪些是反比例函數(shù)？

(1)已知平行四邊形的面積是12cπΛ它的一邊是acm,這邊上的高是hem,則a與h的函數(shù)

關(guān)系；

(2)壓強P一定時，壓力F與受力面積S的關(guān)系；

(3)功是常數(shù)W時，力F與物體在力的方向上通過的距離s的函數(shù)關(guān)系.

(4)某鄉(xiāng)糧食總產(chǎn)量為m噸,那么該鄉(xiāng)每人平均擁有糧食y(噸)與該鄉(xiāng)人口數(shù)X的函數(shù)關(guān)系式.

分析：確定函數(shù)是否為反比例函數(shù)，就是看它們的解析式經(jīng)過整理后是否符合y=k(k是常

X

數(shù)，k≠0).所以此題必須先寫出函數(shù)解析式，后解答.

解：

(l)a=12∕h,是反比例函數(shù)；

(2)F=pS,是正比例函數(shù)；

(3)F=W∕s,是反比例函數(shù)；

(4)y=m∕為何值時，函數(shù)y=3是反比例函數(shù)，并求出其函數(shù)解析式.分析：由反比例函

數(shù)的定義易求出m的值.解：由反比例函數(shù)的定義可知：2m—2=1,m=3∕2.所以反比例函數(shù)

的解析式為y=-.

X

4.當(dāng)質(zhì)量一定時，二氧化碳的體積V與密度P成反比例.且V=5π?時，ρ=l.98kg/m3

(1)求P與V的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍.

(2)求V=9π?時，二氧化碳的密度.

解：略

5.已知y=y1+y2,yι與X成正比例，y2與x2成反比例，且x=2與x=3時，y的值都等于

19.求y與X間的函數(shù)關(guān)系式.

分析:yl與X成正比例，則yl=klx,y2與x2成反比例,則y2=k2x2,又由y=yl+y2,

可知，y=klx+k2x2,只要求出kl和k2即可求出y與X間的函數(shù)關(guān)系式.

解：因為yι與X成正比例，所以yι=kιx;因為y2與x2成反比例，所以y2=??，而y=yι

+y2,所以y=kιx+*，當(dāng)x=2與x=3時，y的值都等于19.

x'

rA-,

所以］19=2A-,+√?,

19=3A-,+y.

(A-,=5

角軍得

IA-,=36

所以y=5γ+9

【教學(xué)說明】加深對反比例函數(shù)概念的理解，及掌握如何求反比例函數(shù)的解析式.

四、師生互動、課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補充.

課后作業(yè)

布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.1”中第1、3、5題.

教學(xué)反思

學(xué)生對于反比例函數(shù)的概念理解的都很好，但在求函數(shù)解析式時，解題不夠靈活，如解答第

5題時，不知如何設(shè)未知數(shù).在這方面應(yīng)多加練習(xí).

1.2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第1課時反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.會用描點法畫反比例函數(shù)圖象；2.理解反比例函數(shù)的性質(zhì).

【過程與方法】

觀察、比較、合作、交流、探索.

【情感態(tài)度】

通過對反比例函數(shù)的圖象的分析，探索并掌握反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì).

【教學(xué)重點】

畫反比例函數(shù)的圖象，理解反比例函數(shù)的性質(zhì).

【教學(xué)難點】

理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

你還記得一次函數(shù)的圖象嗎?一次函數(shù)的圖象怎樣畫呢？一次函數(shù)有什么性

質(zhì)呢？反比例函數(shù)的圖象又會是什么樣子呢？

【教學(xué)說明】在回憶與交流中，進一步認(rèn)識函數(shù)，圖象的直觀有助于理解函

數(shù)的性質(zhì).

二、思考探究，獲取新知

探究1：反比例函數(shù)圖象的畫法畫出反比例函數(shù)y=9的圖象.分析：畫出

X

函數(shù)圖象一般分為列表、描點、連線三個步驟.

(1)列表：取自變量X的哪些值？

X???-6-3-2-1???1236???

y??,-1-2-3—6???6321???

X是不為零的任何實數(shù)，所以不能取X的值為零，但仍可以以零為基準(zhǔn)，左

右均勻，對稱地取值.

(2)描點：用表里各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出各點(一6,

—1)、(―3,—2)>(—2,—3)等.

(3)連線：用平滑的曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的第一個

分支；用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支.這兩

個分支合起來，就是反比例函數(shù)的圖象.

思考：

(1)觀察上圖，y軸右邊的各點，當(dāng)橫坐標(biāo)X逐漸增大時，縱坐標(biāo)y如何

變化？y軸左邊的各點是否也有相同的規(guī)律？

(2)這兩條曲線會與X軸、y軸相交嗎？為什么？探究2：反比例函數(shù)所在

的象限畫出函數(shù)y=』的圖形，并思考下列問題：

X

(1)函數(shù)圖形的兩個分支分別位于哪些象限？

(2)在每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的變化是如何變化的？

【歸納結(jié)論】一般地，當(dāng)k〉0時，反比例函數(shù)y=&的圖象由分別在第一、

X

三象限內(nèi)的兩支曲線組成，它們與X軸、y軸都不相交，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值

y隨自變量X的增大而減小.

探究3：反比例函數(shù)y=-9的圖象.可以引導(dǎo)學(xué)生采用多種方式進行自主

X

探索活動：

(1)可以用畫反比例函數(shù)y=—9的圖象的方式與步驟進行自主探索其圖象；

X

(2)可以通過探索函數(shù)y=9與y=-9之間的關(guān)系，畫出y=一￡的圖象.

XXX

【歸納結(jié)論】一般地，當(dāng)k<0時，反比例函數(shù)y=2k的圖象由分別在第二、

X

四象限內(nèi)的兩支曲線組成，它們與X軸、y軸都不相交，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值

y隨自變量X的增大而增大.

探究4：反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)y=-9與y=9的圖象有什么共同特

XX

征？

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生從通過與一次函數(shù)的圖象的對比感受反比例函數(shù)圖象

“曲線”及“兩支”的特征.

【歸納結(jié)論】反比例函數(shù)y=&(k≠0)的圖象是由兩個分支組成的曲線.當(dāng)

X

k>0時，圖象在一、三象限；當(dāng)k<0時，圖象在二、四象限.反比例函數(shù)y=±與

X

y=--(k≠0)的圖象關(guān)于X軸或y軸對稱.

X

【教學(xué)說明】學(xué)生動手畫反比函數(shù)圖象，進一步掌握畫函數(shù)圖象的步驟.觀

察函數(shù)圖象，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì).

三、運用新知，深化理解

1.教材P9例1.

2.如果函數(shù)y=2χk+∣的圖象是雙曲線，那么k=.

【答案】-2

3.如果反比例函數(shù)y=±口的圖象位于第二、四象限內(nèi)，那么滿足條件的正

X

整數(shù)k的值是.

【答案】1,2

4.已知直線y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)y=?的圖象在

X

第象限.

【答案】二、四

5.反比例函數(shù)y=L的圖象大致是圖中的().

解析：因為k=l>O,所以雙曲線的兩支分別位于第一、三象限.

【答案】C

6.下列反比例函數(shù)圖象一定在第一、三象限的是()

,mn+1

A.V=-b.y=-------

“XX

21

m+11n-m

C.y=---------U.y=-----

XX

【答案】C

7.已知函數(shù)y=("L2)χ3->為反比例函數(shù).

(1)求m的值；

(2)它的圖象在第幾象限內(nèi)？在各象限內(nèi)，y隨X的增大如何變化?

(3)當(dāng)一3≤x≤-L時，求此函數(shù)的最大值和最小值.

2

?：(1)由反比例函數(shù)的定義可知：

■I1=-1,

解圖,E=-2.

2≠0.

(2)因為上*-4<0,所以反比例函融的圖象

在第二、四象*內(nèi)，在各象限內(nèi)隨a的增大而

增大.

(3)因為在每個敘限內(nèi)“Ut的增大而增大，

所以當(dāng)X=時/最大值==

一2

當(dāng)K=-3時.,最小值=-???

-33

所以當(dāng)-3W*W時,此函數(shù)的最大值為

8,最小值為

19

8.作出反比例函數(shù)y="的圖象，并根據(jù)圖象解答下列問題：

X

⑴當(dāng)x=4時，求y的值；

(2)當(dāng)y=-2時，求X的值；

⑶當(dāng)y>2時，求X的范圍.

解：列表：

由圖知：

d)y=3;

(2)x=-6；

(3)0<x<6

9.作出反比例函數(shù)y=一士的圖象，結(jié)合圖象回答:

X

(1)當(dāng)x=2時，y的值；

(2)當(dāng)1VXW4時，y的取值范圍；

(3)當(dāng)l≤yV4時，X的取值范圍.

解：列表：

X???-4?2—1124???

y???124-4-2-1???

由圖知：

d)y=-2;

(2)-4<y≤-1；

(3)-4≤x<-l.

【教學(xué)說明】為了讓學(xué)生靈活的用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題，在研究每一

題時，要緊扣性質(zhì)進行分析，達到理解性質(zhì)的目的.

四、師生互動、課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補

充.

課后作業(yè)

布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.2"中第1、2、4題.

教學(xué)反思

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解了反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)，并掌握了用描點

法畫函數(shù)圖象的方法.同時也為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).從練習(xí)上來看，學(xué)生掌握的

不夠好，應(yīng)多加練習(xí).

第2課時反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.會求反比例函數(shù)的解析式；2.鞏固反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，通過對圖象的

分析，進一步探究反比例函數(shù)的增減性.

【過程與方法】

經(jīng)歷觀察、分析、交流的過程，逐步提高運用知識的能力.

【情感態(tài)度】

提高學(xué)生的觀察、分析能力和對圖形的感知水平.

【教學(xué)重點】

會求反比例函數(shù)的解析式.

【教學(xué)難點】

反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的運用.

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

1.反比例函數(shù)有哪些性質(zhì)？2.我們學(xué)會了根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖象，那么

你能根據(jù)一些條件求反比例函數(shù)的解析式嗎？

【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，同時引入新課.

二、思考探究，獲取新知

L思考：已知反比例函數(shù)y=A的圖象經(jīng)過點P(2,4)

X

(1)求k的值，并寫出該函數(shù)的表達式；

(2)判斷點A(-2,-4),B(3,5)是否在這個函數(shù)的圖象上；

(3)這個函數(shù)的圖象位于哪些象限？在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X

的增大如何變化？

分析：

(1)題中已知圖象經(jīng)過點P(2,4),即表明把P點坐標(biāo)代入解析式成立，這

樣能求出k,解析式也就確定了.

(2)要判斷A、B是否在這條函數(shù)圖象上，就是把A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析

式中，如能使解析式成立，則這個點就在函數(shù)圖象上.否則不在.

(3)根據(jù)k的正負(fù)性，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來判定函數(shù)圖象所在的象限、y

隨X的值的變化情況.

【歸納結(jié)論】這種求解析式的方法叫做待定系數(shù)法求解析式.

2.下圖是反比例函數(shù)y=&的圖象，根據(jù)圖象，回答下列問題：

(1)k的取值范圍是k〉0還是k<0?說明理由；

(2)如果點A(-3,yι),B(-2,y2)是該函數(shù)圖象上的兩點,試比較yι,y2的大小.

分析：

(1)由圖象可知，反比例函數(shù)y=kx的圖象的兩支曲線分別位于第一、三象

限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的增大而減小，因此，k>0.

(2)因為點A(-3,y∣),B(-2,y2)是該函數(shù)圖象上的兩點且-3<0,-2<0.所以點A、B

都位于第三象限，又因為-3<-2,由反比例函數(shù)的圖像的性質(zhì)可知：y.>y2.

【教學(xué)說明】通過觀察圖象，使學(xué)生掌握利用函數(shù)圖象比較函數(shù)值大小的方

法.

三、運用新知，深化理解

L若點A(7,yι),B(5,y2)在雙曲線y=--±,則yi、y2中較小的是.

X

【答案】y2

2.已知點A(xι,yι),B(X2,y2)是反比例函數(shù)y=勺(k>0)的圖象上的兩點，

X

若XlV0<X2,則有().

A.y1<O<y2B.y2<O<y∣C.y1<y2<OD.y2<y∣<O

【答案】A

3.若A(aι,bi),B(a2,b2)是反比例函數(shù)圖象上的兩個點，且aι<a2,則b∣

與b2的大小關(guān)系是()

A.bι<b2B.bι=b2C.b1>b2D.大小不確定

【答案】D

4.函數(shù)y=-L的圖象上有兩點A(xι,yι),B(x2,y2),若OVXlVX2,則()

X

A.y1<y2B.yι>y2C.yι=y2D.yi'y2的大小不確定

【答案】A

k

5.已知點P(2,2)在反比例函數(shù)y=-(kW0)的圖象上，

X

⑴當(dāng)x=-3時，求y的值；

(2)當(dāng)l<x<3時，求y的取值范圍.

解：(1)：點P(2,2)在反比例函數(shù)V=&的圖

X

象上，

2=?-,≡PA-=4,

反比例函數(shù)的解析式為v=Λ

*X

當(dāng)X=-3時,y=-?.

(2),.?當(dāng)X=I時,>=4;當(dāng)x=3時,「二?,

又反比例函數(shù)V=土在X>0時T值隨Λ值的

X

增大而減小，

當(dāng)1<x<3時,1的取值范圍為WC<4.

3,

k

6.已知產(chǎn)一(k≠0,k為常數(shù))過三個點A(2,-8),B(4,b),C(a,2).

X

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)求a與b的值.

解：

(1)將A(2,-8)代入反比例解析式得：k=-16,則反比例解析式為y=-3；

X

(2)將B(4,b)代入反比例解析式得：b=-4；將C(a,2)代入反比例

解析式得：2=-3，即a=-8?

a

7.已知反比例函數(shù)的圖象過點(1,一2).

(1)求這個函數(shù)的解析式，并畫出圖象；

(2)若點A(—5,m)在圖象上，則點A關(guān)于兩坐標(biāo)軸和原點的對稱點是否還在

圖象上？

分析：

(1)反比例函數(shù)的圖象過點(1,一2),即當(dāng)x=l時，y=-2.由待定系數(shù)法可

求出反比例函數(shù)解析式；再根據(jù)解析式，通過列表、描點、連線可畫出反比例函

數(shù)的圖象；

(2)由點A在反比例函數(shù)的圖象上，易求出m的值，再驗證點A關(guān)于兩坐標(biāo)

軸和原點的對稱點是否在圖象上.

解：

(1)設(shè)：反比例函數(shù)的解析式為：y=-(k≠0).而反比例函數(shù)的圖象過點(1,

X

-2),即當(dāng)x=l時，y=-2.所以-2=彳，k=-2.即反比例函數(shù)的解析式為：

X999-4_?—1-0.5???0.5124999

y???0.5124???-4-2-1-0.5???

???

(2)點A(—5,m)在反比例函數(shù)y=——圖象上，所以m=--=—,點A的

X-55

?2

坐標(biāo)為(一5,；).點A關(guān)于X軸的對稱點(一5,一；)不在這個圖象上；點A關(guān)于

??

y軸的對稱點(5,；)不在這個圖象上；點A關(guān)于原點的對稱點(5,一士)在這個圖

象上;

【教學(xué)說明】通過練習(xí)，鞏固本節(jié)課數(shù)學(xué)內(nèi)容.

四、師生互動、課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想,而后以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補

充.

課后作業(yè)

布置作業(yè):教材“習(xí)題1.2"中第7題.

教學(xué)反思

教學(xué)中，我深深地體會到：要想讓學(xué)生真正掌握求函數(shù)解析式的方法，教師

應(yīng)在給出相應(yīng)的典型例題的條件下，讓學(xué)生自己去尋找答案，自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

最后，教師清楚地向?qū)W生總結(jié)每一種函數(shù)解析式的適用范圍，以及一般應(yīng)告知的

條件.在信息社會飛速發(fā)展的今天，教師要從以前的教師教、學(xué)生學(xué)的觀念中解

放出來，教會學(xué)生如何學(xué)，讓學(xué)生自己去探究，自己去學(xué)習(xí)，去獲取知識.在《中

學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確規(guī)定：教師不僅是學(xué)生的引導(dǎo)者，也是學(xué)生的合作者.

教學(xué)中，要讓學(xué)生通過自主討論、交流，來探究學(xué)習(xí)中碰到的問題、難題，教師

從中點撥、引導(dǎo)，并和學(xué)生一起學(xué)習(xí)，探討，才能真正做到教學(xué)相長，也才能真

正讓每一個學(xué)生都學(xué)有所獲.

第3課時反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(3)

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解決有關(guān)問題；

2.借助一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象解決某些簡單的實際問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷觀察、分析、交流的過程，逐步提高運用知識的能力.

【情感態(tài)度】

能靈活運用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決一些較綜合的問題，培養(yǎng)學(xué)生看圖(象)、

識圖(象)能力、體會用“數(shù)、形”結(jié)合思想解答函數(shù)題.

【教學(xué)重點】

理解并掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能利用它們解決一些綜

合問題.

【教學(xué)難點】

學(xué)會從圖象上分析、解決問題，理解反比例函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

1.正比例函數(shù)有哪些性質(zhì)？

2.一次函數(shù)有哪些性質(zhì)？

3.反比例函數(shù)有哪些性質(zhì)？

【教學(xué)說明】對所學(xué)的三種函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)復(fù)習(xí)，讓學(xué)生對它們的性質(zhì)有系

統(tǒng)的了解.

二、思考探究，獲取新知

1.已知一個正比例函數(shù)與一個反比例函數(shù)的圖象交于P(-3,4),試求出它們

的表達式，并在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象.解：設(shè)正比例函數(shù)，反比

例函數(shù)的表達式分別為y=k∣x,y=2淇中，kι,k2是常數(shù)，且均不為0.

X

由于這兩個函數(shù)的圖象交于P(-3,4),則P(-3,4)是這兩個函數(shù)圖象上的

點，即點P的坐標(biāo)分別滿足這兩個表達式.因此，4=kιX(-3),4=且解得，k>=--

—33

412

k2=-12所以，正比例函數(shù)解析式為y='x,反比例函數(shù)解析式為y=-上.函數(shù)圖象

3X

如下圖.

【教學(xué)說明】通過圖象，讓學(xué)生掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用2

在反比例函數(shù)y=9的圖象上取兩點P(1,6),Q(6,1),過點P分別作X軸、

X

y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為Sl=；過點Q分別作X軸、y

軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S2=；Sl與S2有什么關(guān)系？為

什么？

【歸納結(jié)論】反比例函數(shù)y=8(k≠0)中比例系數(shù)k的幾何意義：過雙曲

X

線y=8(k≠0)上任意一點引X軸、y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積

X

為k的絕對值.

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)一定的分類標(biāo)準(zhǔn)研究反比例函數(shù)的性質(zhì)，同時鼓

勵學(xué)生用自己的語言進行表述，從而提高學(xué)生的表達能力與數(shù)學(xué)語言的組織能力.

三、運用新知，深化理解

1.已知如圖，A是反比例函數(shù)y=kx的圖象上的一點，AB_LX軸于點B,且

△ABO的面積是3,則k的值是()

A.3B.-3C.6D.-6

分析：過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所

圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=LIkI.

2

解：根據(jù)題意可知：SAAOB=Llkl=3,又反比例函數(shù)的圖象位于第一象

2

限，k>0,則k=6.

【答案】C

2.反比例函數(shù)y=9與y=2在第一象限的圖象如圖所示，作一條平行于X軸

XX

的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接0A、0B,則AAOB的面積為()

A.-B.2C.3D.1

2

分析：分別過A、B作X軸的垂線，垂足分別為D、E,過B作BeLy軸,

點C為垂足，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義分別求出四邊形OEAC、△

AOE.aBOC的面積，進而可得出結(jié)論.

解：分別過A、B作X軸的垂線，垂足分別為D、E,過B作BCjLy軸，點

C為垂足，Y由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知，S四邊形OEAC=6,SMOE=3,

,

SΔBOC=1,??SΛAOB=S四邊形OEAC-SΔAOE-SΛBOC=6-3-1=2.

【答案】B

3.已知直線y=x+b經(jīng)過點A(3,0),并與雙曲線y=&的交點為B(—2,m)

和C,求k、b的值.

解：點A(3,0)在直線y=x+b上，所以O(shè)=3+b,b=-3.一次函數(shù)的解析

式為：y=)也在直線y==—2—3=—5,即B(―2,-5).而點B(—2,—5)又在反

k

比例函數(shù)y=—上，所以k=—2X(—5)=10.

X

4.己知反比例函數(shù)y=?^L的圖象與一次函數(shù)y=k2X—1的圖象交于A(2,l).

X

(1)分別求出這兩個函數(shù)的解析式；

(2)試判斷A點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點與兩個函數(shù)圖象的關(guān)系.分析：

(1)因為點A在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，把A點的坐標(biāo)代入這兩個

解析式即可求出ki、k2的值.

(2)把點A關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點A'坐標(biāo)代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析

式中，可知A'是否在這兩個函數(shù)圖象上.

解：

(1)因為點A(2,l)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，所以kl=2×1=2.

l=2k2-l,k2=l.所以反比例函數(shù)的解析式為：y=4；一次函數(shù)解析式為：y

X

=X-1.

(2)點A(2,l)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是A'(—2,-1).把A'點的橫坐標(biāo)代入

反比例函數(shù)解析式得，y=2=-l,所以點A在反比例函數(shù)圖象上.把A'點的

-2

橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得，丫=-2—1=-3,所以點A'不在一次函數(shù)圖象

上.

5.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A(0,l)和點B(a,-3a),a<0,且點B

在反比例函數(shù)的y=-3的圖象上.

X

⑴求a的值.

(2)求一次函數(shù)的解析式，并畫出它的圖象.

(3)利用畫出的圖象，求當(dāng)這個一次函數(shù)y的值在一lWyW3范圍內(nèi)時，相應(yīng)

的,yi)、Q(m+l,y2)是這個一次函數(shù)圖象上的兩點，試比較yl與y2的大小.

分析：

(1)由于點A、點B在一次函數(shù)圖象上，點B在反比例函數(shù)圖象上，把這些

點的坐標(biāo)代入相應(yīng)的函數(shù)解析式中，可求出k、b和a的值.

(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函數(shù)的解析式，通過列表、描點、連線

畫出函數(shù)圖象.

(3)和(4)都是利用函數(shù)的圖象進行解題.

解：(1)反比例函數(shù)的圖象過點Q(α,-3幻，

7

—3a=——a-土1,因為“<0,所以。=—

Cl1

1.B(-1,3).

又因為一次函數(shù)圖象過點4(0,1)和

點B(-1,3).

所以(1=6，解得-=-2

pn,iλ,

l3=-k+b,^lb=ι,

即：一次函數(shù)的解析式為］?=-2Λ+1.

一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象為:

(3)從圖象上可知，當(dāng)一次函數(shù)y的值在一lWy<3范圍內(nèi)時，相應(yīng)的一1所

以yι-y2=(-2m÷1)—(—2m—1)=2>0,即yj>y2.

6.如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y="的圖象交于A、B兩

X

點.

(1)利用圖象中的條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值的X的取值范圍.

分析：

(1)把A、B兩點坐標(biāo)代入兩解析式，即可求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式.

(2)因為圖象上每一點的縱坐標(biāo)與函數(shù)值是相對應(yīng)的，一次函數(shù)值大于反比

例函數(shù)值，反映在圖象上，自變量取相同的值時，一次函數(shù)圖象上點的縱坐標(biāo)大

于反比例函數(shù)圖象上點的縱坐標(biāo).

解：(1)觀察圖象可知，反比例函數(shù)7二:的

圖象過點」(-2,1)M=-2x1=-2.

所以反比例函數(shù)的解析式為：y=二2.又點、B

'X

(1,Q)也在反比例函數(shù)圖象上,Q=；=-2.即5

(1,-2).

因為一次函數(shù)圖象過點4、R所以

卜-2Eμ=-ι,

?-2=k+b,

一次函數(shù)解析式為:>=-Λ--1.

(2)觀察圖象可知，當(dāng):r<-2或0<“<l時,

一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值.

【教學(xué)說明】檢測題采取多種形式呈現(xiàn)，增加了靈活性，以基礎(chǔ)題為主，也

有少量綜合問題，可使不同層次水平的學(xué)生均有機會獲得成功的體驗.

四、師生互動、課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補

充.

課后作業(yè)

布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.2”中第6題.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)了一些問題，因此必須強調(diào)：

教學(xué)反思

1.綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)求解兩種函數(shù)解析式，往往用待定系數(shù)

法.

2.觀察圖象，把圖象中提供、展現(xiàn)的信息轉(zhuǎn)化為與兩函數(shù)有關(guān)的知識來解

題.

1.3反比例函數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

經(jīng)歷通過實驗獲得數(shù)據(jù)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)建立反比例函數(shù)模型的一般過程，體

會建模思想.

【過程與方法】

觀察、比較、合作、交流、探索.

【情感態(tài)度】

體驗數(shù)形結(jié)合的思想.

【教學(xué)重點】

建立反比例函數(shù)的模型，進而解決實際問題.

【教學(xué)難點】

經(jīng)歷探索的過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和解決問題的能力.

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

復(fù)習(xí)回顧

L什么是反比例函數(shù)？

2.反比例函數(shù)的圖象是什么？

3.反比例函數(shù)圖象有哪些性質(zhì)？

4.反比例函數(shù)的圖象對稱性如何？

【教學(xué)說明】通過提出問題,引發(fā)學(xué)生思考,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

二、思考探究，獲取新知

1.某?？萍夹〗M進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地，為了安

全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪墊了若干塊木板，構(gòu)筑成一條臨時

通道，從而順利完成了任務(wù).你能解釋他們這樣做的道理嗎？

⑴根據(jù)壓力F(N)、壓強P(Pa)與受力面積S(π?)之間的關(guān)系式P=￡,請你判

S

斷：當(dāng)F一定時，P是S的反比例函數(shù)嗎？

(2)如人對地面的壓力F=450N,完成下表：

受力面積S(m?)0.0050.010.020.04

壓強P(Pa)

(3)當(dāng)F=450N時，試畫出該函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象分析當(dāng)受力面積S

增大時，地面所受壓強P是如何變化的，據(jù)此，請說出它們鋪墊木板通過濕地的

道理.解：

(1)對于p=5，當(dāng)F一定時，根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知，p是S的反比

例函數(shù).

(2)因為F=450N,所以當(dāng)S=O.OO5m2時，由p=(得：p=450∕0.005=90000

(Pa)類彳以的，當(dāng)S=0.0lm2?,p=45000Pa;當(dāng)S=OQZn?時,p=22500Pa;當(dāng)S=0.04m2

時，p=11250Pa

⑶當(dāng)F=450N時，該反比例函數(shù)的表達式為p=450∕S,它的圖象如下圖所示，

由圖象的性質(zhì)可知，當(dāng)受力面積S增大時，地面所受壓強P會越來越小，因此,

該科技小組通過鋪墊木板的方法來增大受力面積.以減小地面所受壓強，從而可

2.你能根據(jù)玻意耳定律(在溫度不變的情況下，氣體的壓強P與它的體積V

的乘積是一個常數(shù)K(K>0),即PV=K)來解釋:為什么使勁踩氣球時，氣體會爆炸？

【教學(xué)說明】逐步提高學(xué)生從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，提高感知水平;

此外，在解決實際問題時，要引導(dǎo)學(xué)生體會知識之間的聯(lián)系及知識的綜合運用.

三、運用新知，深化理解

1.教材P15例題.

2.一個水池裝水12π√,如果從水管中每小時流出xπ?的水，經(jīng)過yh可以把

水放完，那么y與X的函數(shù)關(guān)系式是，自變量X的取值范圍

是

【答案】y=匕；χ>0

X

3.若梯形的下底長為X,上底長為下底長的工，高為y,面積為60,則y與

X的函數(shù)關(guān)系是(不考慮X的取值范圍).

【答案】y=-

X

4.某一數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)每人制作一個面積為200cm2的矩形學(xué)具進

行展示?設(shè)矩形的寬為，那么這些同學(xué)所制作的矩形的長y(cm)與寬X(Cm)之間

的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()

【答案】A

5.下列各問題中兩個變量之間的關(guān)系，不是反比例函數(shù)的是()

A.小明完成百米賽跑時，所用時間t(s)與他的平均速度v(m∕s)之間的關(guān)系

B.長方形的面積為24,它的長y與寬2)之間的關(guān)系

D.一個容積為25L的容器中，所盛水的質(zhì)量m(kg)與所盛水的體積V(L)之間

的關(guān)系

【答案】D

6.在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，測出每

一次加壓后缸內(nèi)氣體的體積和氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強，如下表:

體積x/mL10080604020

壓強τ∕kPa6075100150300

則可以反映y與X之間的關(guān)系的式子是（）.

“CCC∕~sC3000r6000

Aλ.y=3000xB.y=6000xC.y=-------D.y=------

XX

【答案】D

7.一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”圖案，如圖所

示，設(shè)小矩形的長和寬分別為x、y,剪去部分的面積為20,若2WxW10,則y

與X的函數(shù)圖象是()

【答案】A

8.一個長方體的體積是IOOCm3,它的長是y(cm),寬是5cm,高是)關(guān)于高

X(Cm)的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量時，求長.

解：

20

d)y=-(χ>0);

X

(2)圖象略；

(3)長為型cm.

3

【教學(xué)說明】用函數(shù)觀點來處理實際問題的應(yīng)用，加深對函數(shù)的認(rèn)識.

四、師生互動、課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補

充.

課后作業(yè)

布置作業(yè)：教材”習(xí)題1.3”中第1、2、4題.

教學(xué)反思

本節(jié)課通過學(xué)生自主探索,合作交流,以認(rèn)知規(guī)律為主線,以發(fā)展能力為目標(biāo)，

以從直觀感受到分析歸納為手段,培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力和積極的情感態(tài)度,促

進良好的數(shù)學(xué)觀的形成.在教學(xué)手段上,本節(jié)課大量使用多媒體輔助教學(xué),既能體

現(xiàn)知識的背景材料,又能一下子引起學(xué)生的注意力,有效地節(jié)省了時間,增大了課

堂容量.生動形象的動畫演示,動感強,直觀性好,既加深了學(xué)生的理解,又培養(yǎng)了學(xué)

生的抽象思維能力,同時也向?qū)W生滲透了歸納類比,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

第2章一元二次方程

2.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

探索一元二次方程及其相關(guān)概念，能夠辨別各項系數(shù)；能夠從實際問題中抽

象出方程知識.

【過程與方法】

在探索問題的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個模型，體會方程

與實際生活的聯(lián)系.

【情感態(tài)度】

通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價值，提高學(xué)生

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.

【教學(xué)重點】

一元二次方程的概念.

【教學(xué)難點】

如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程.

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

問題1:已知一矩形的長為200cm,寬150cm.在它的中間挖一個圓，使剩余

部分的面積為原矩形面積的34,求挖去的圓的半徑xcm應(yīng)滿足的方程.（口取3）

問題2：據(jù)某市交通部門統(tǒng)計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到

108萬輛，求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率X應(yīng)滿足的方程.你能列出相

應(yīng)的方程嗎？

【教學(xué)說明】為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個回憶、思考的情境，又是本課一種很自然的

引入，為本課的探究活動做好鋪墊.

二、思考探究，獲取新知

1.對于問題1：找等量關(guān)系：矩形的面積一圓的面積=矩形的面積X3/4

列出方程：200X150-3X2=200×150×3/4①

對于問題2：

等量關(guān)系：兩年后的汽車擁有量=前年的汽車擁有量X（1+年平均增長率）2

列出方程：75（l+x）2=1082②

2.能把①，②化成右邊為0,而左邊是只含有一個未知數(shù)的二次多項式的形

式嗎？讓學(xué)生展開討論，并引導(dǎo)學(xué)生把①，②化成下列形式:

①化簡，整理得χ2-2500=0③

②化簡，整理得25χ2+50x-11=0④

3.討論：方程③、④中的未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)各是多少？

【教學(xué)說明】分組合作、小組討論，經(jīng)過討論后交流小組的結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)

上述方程都不是所學(xué)過的方程，特點是兩邊都是整式，且整式的最高次數(shù)是2

次.

【歸納結(jié)論】如果一個方程通過移項可以使右邊為0,而左邊是只含有一個

未知數(shù)的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：

ax2+bx+c=0,(a,b,c是常數(shù)且a≠0),其中a,b,c分別叫作二次項系數(shù)、一

次項系數(shù)、常數(shù)項.

4.讓學(xué)生指出方程③，④中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生充分感受所列方程的特點，再通過類比的方法得到定義，

從而達到真正理解定義的目的.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P27例題.

2.下列方程是一元二次方程的有.

(1)X2+——5=0(2)X2-3xy+7=

X

(3)%+?]x2-1=4(4)ms-2m+3=0

(5)??-2-5=0(6)ax^-bx=4

【答案】(5)

3.已知(m+3)χ2-3m的取值范圍是.

分析：一元二次方程二次項的系數(shù)不等于零.故mW—3.

【答案】m≠-3

4.把方程(l-3x)(x+3)=2χ2+l化為一元二次方程的一般形式,并寫出二次項,

二次項系數(shù),一次項,一次項系數(shù)及常數(shù)項.

解：原方程化為一般形式是：5χ2+8χ-2=0(若寫成一5x2—8x+2=0,則不符合

人們的習(xí)慣),其中二次項是5χ2,二次項系數(shù)是5,一次項是8x,一次項系數(shù)是8,常數(shù)

項是一2(因為一元二次方程的一般形式是三個單項式的和,所以不能漏寫單項式

系數(shù)的負(fù)號)?

5.關(guān)于X方程m應(yīng)滿足什么條件？

分析：先把這個方程變?yōu)橐话阈问?，只要二次項的系?shù)不為O即可.

解：由m—3)-1≠0.

即mWL所以關(guān)于X的方程m應(yīng)滿足m≠l.

6.一元二次方程(x+l)2—χ=3(X2—2)化成一般形式是.

分析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=O(a≠0),對照一般形式可先去

括號，再移項，合并同類項，得2χ2-χ-7=0.

【答案】2X2-X-7=0

7.把方程一5χ2+6x+3=0的二次項系數(shù)化為1,方程可變?yōu)?)

A.X2+6∕5X+3∕5=0B.X2-6χ-3=0

C.X2-6∕5X-3/5=0D.X2-6∕5X+3∕5=0

【答案】C

注意方程兩邊除以一5,另兩項的符號同時發(fā)生變化.

8.已知方程(m+2)滿足時，它是二元一次方程.

分析：當(dāng)m+2=0,m=—2時，方程是一元一次方程；當(dāng)m+2≠0,m≠

一2時，方程是二元一次方程.

【答案】m=-2m≠-2

9.某型號的手機連續(xù)兩次降價，每個售價由原來的1185元降到了580元，

設(shè)平均每次降價的百分率為X,則列出方程為

【答案】1185(1-X)2=580

10.當(dāng)常數(shù)a,b,c滿足什么條件時，方程(a-l)χ2-bx+c=0是一元二次方程?

這時方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)分別是什么？當(dāng)常數(shù)a,b,c滿足什么條件

時，方程(a-l)χ2-bx+c=0是一元一次方程？

解：當(dāng)a≠l時是一元二次方程，這時方程的二次項系數(shù)是a-l,一次項系數(shù)

是-b；當(dāng)a=l,b≠0時是一元一次方程.

【教學(xué)說明】這組練習(xí)目的在于鞏固學(xué)生對一元二次方程定義中幾個特征的

理解.進一步鞏固學(xué)生對一元二次方程的基本概念.

四、師生互動、課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補

充.

課后作業(yè)

布置作業(yè)：教材“習(xí)題2.1”中第1、2、6題.

教學(xué)反思

本節(jié)課是一元二次方程的第一課時，通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握一元

二次方程的定義、一般形式、及有關(guān)概念，并學(xué)會利用方程解決實際問題.在教

學(xué)過程中，注重重難點的體現(xiàn).本節(jié)課內(nèi)容對于學(xué)生整個中學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有

著重大的意義，能否學(xué)好關(guān)系到日后學(xué)習(xí)的成敗，因此必須要讓學(xué)生吃透內(nèi)容并

且要真正能消化.

2.2一元二次方程的解法

2.2.1配方法

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程為一元一次方

程.

2.學(xué)會用直接開平方法解形如(ax+b)2-k=0(Q0)的方程?

3.理解“配方”是一種常用的數(shù)學(xué)方法，在用配方法將一元二次方程變形的過

程中，讓學(xué)生進一步體會化歸的思想方法.

【過程與方法】

通過探索配方法的過程，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

【情感態(tài)度】

學(xué)生在獨立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗數(shù)學(xué)的價值，增強學(xué)

生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

【教學(xué)重點】

運用配方法解一元二次方程.

【教學(xué)難點】

把一元二次方程轉(zhuǎn)化為形如(x+n)2=d(dK))的過程.

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

1.根據(jù)完全平方公式填空：

(1)x2+6x+9=()2

(2)x2-8x+16=()2

(3)x2÷10x÷()2=()2

(4)X2—3x÷()2=()2

2.前面我們已經(jīng)學(xué)了一元一次方程和二元一次方程組的解法，解二元一次方

程組的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程組為一元一次方程).由解二元一

次方程組的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路嗎？

3.你會解方程χ2+6)2=n(n為非負(fù)數(shù))的形式嗎？試試看.如果是方程2χ2

+l=3x呢？

【教學(xué)說明】學(xué)會利用完全平方知識填空，初步配方為后面學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

二、思考探究，獲取新知

1.解方程:X2-2500=0.

問：怎樣將這個方程“降次”為一元一次方程？

把方程寫成X2=2500

這表明X是2500的平方根，根據(jù)平方根的意義，得

X=J2500或X=-√2500

因此，原方程的解為xι=50,χ2=-50

【歸納結(jié)論】一元二次方程的解也是一元二次方程的根.

2.解方程(2x+l)2=2

解：根據(jù)平方根的有意義，得

2x+l=√∑或2x+l=-√Σ

因此，原方程的根為

3.通過上面的兩個例題，你知道什么時候用開平方的方法來解一元二次方程

呢？

【歸納結(jié)論】對于形如(x+n)2=d(d≥0)的方程，可直接用開平方法解.

直接開平方法的步驟是：把方程變形成(x+n)2=d(d>0),然后直接開平方

得x+n=G'和x+n=-√J,分別解這兩個一元一次方程，得到的解就是原一元二

次方程的解.

4.解方程x2+4x=12

我們已知,如果把方程χ2+