浙江省寧波市2024屆高三年級上冊選考模擬考試（寧波一模）數(shù)學(xué)試卷及答案

絕密★啟用前

寧波市2023學(xué)年第一學(xué)期高考模擬考試

高三數(shù)學(xué)試卷

全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知4=a-i,22=1+歷(。力611,1為虛數(shù)單位)，若z/z?是實數(shù)，貝IJ

A.—1=0B.ab+1=0C.a—b=0D.a+b=0

2.設(shè)集合U=R，集合”=卜k2-2x2。｝,AT=|x|y=log2(l-x)],則｛x|xv2｝=

A."UNB.NUB")

c.A/UGN)D.C(MDN)

3.若a,b是夾角為60。的兩個單位向量，/ia+b與-3a+26垂直，則4=

A.1B.上

84

4.已知數(shù)列｛/｝為等比數(shù)列，且牝=5,則

A.q+%的最小值為50B.q+a,的最大值為50

C.q+%的最小值為1。D.的最大值為10

5.已知函數(shù)/(x)=2"+log2X，g(x)=g)-log?、，Mx)=x，+log2x的零點分別為a,b,c,則

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

6.設(shè)。為坐標(biāo)原點，片害為橢圓C:\+；=l的焦點，點尸在C上，|OP|=V3,則cosN百尸用=

A.--B.0C.-D.

333

7.已知二面角P-45-C的大小為3兀，球。與直線48相切，且平面尸4B,平面48c截球。的兩個

4

截面圓的半徑分別為1,V2,則球。半徑的最大可能值為

A.-JlB.2>/2C.3D.V10

8.已知函數(shù)/。)=/+妙+6,若不等式|/(x)|42在xe[l,5]上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對(。,6)有

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知(l-2x)‘=%+0/+生，+…，則下列說法正確的是

A.a0=IB.a3=—80

C.q+/+%+/+%=-1D.a0+a2+a4=121

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線x+加-2=0過圓〃:，+必一8》+6^=0的圓心且交圓〃于尸,0兩點，則

A.\PQ\=5浙考神墻750B.m=j

C.△OP0的面積為5"D.OMA.PQ

11.函數(shù)/(x)=sinox?>0)在區(qū)間卜方片上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=|■兀對稱，貝U

A.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移,兀個單位長度，所得圖象關(guān)于夕軸對稱

B.函數(shù)/(x)在怔,2句上單調(diào)遞減

C.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(吟兀)上沒有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是卜梟骨)

D.若函數(shù)/(x)在區(qū)間段■兀)上有且僅有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是-六兀,0)

12.已知函數(shù)/：R-R,對任意滿足x+y+z=0的實數(shù)xj,z,均有/(x')+/‘(y)+r(z)=3+，則

A./(0)=0B./(2023)=2024

C./(x)是奇函數(shù)D./(x)是周期函數(shù)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點尸(1,3),則sin(a+7r)=▲

14.已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2,體積為兇兀，則該圓臺的側(cè)面積為一

3

15.第33屆奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運?；

動員準(zhǔn)備參加100米、200米兩項比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運動員100米比?)[

賽未能站上領(lǐng)獎臺的概率為工，200米比賽未能站上領(lǐng)獎臺的概率為工，兩項

210

比賽都未能站上領(lǐng)獎臺的概率為」若該運動員在100米比賽中站上領(lǐng)獎臺，PARIS2024

,10~\

則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎臺的概率是▲.

16.已知拋物線r：/=2x與直線/:y=-x+4圍成的封閉區(qū)域中有矩形"CD,點48在拋物線上，

點C,。在直線/上，則矩形對角線長度的最大值是▲.

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在ZUSC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知S=l+2cos4?

b

(1)證明：A=2B；

(2)若sinB=3,c=13,求△/BC的面積.

18.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,且對任意正整數(shù)見〃都有4+“=4+4+2m”.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛(-1)"可｝的前”項和S..

19.(12分)如圖，已知正方體48C￡>-481GA的棱長為4,點E滿足歷=3瓦i,點尸是C&的中點，

點G滿足的=微西.

(1)求證：B、E、G、尸四點共面；

(2)求平面EFG與平面4E尸夾角的余弦值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=ae2，+(a-4)e*-2x(e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828-).

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)。>1時，/(x)>71na-a-4.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

21.（12分）某中學(xué)在運動會期間，隨機抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計時的趣味性比賽，并對學(xué)生性

別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表:

速度

性別合計

快慢

男生65

女生55

合計110200

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)?

（2）現(xiàn)有”（"CNJ根繩子，共有2〃個繩頭，每個繩頭只打一次結(jié)，且每個結(jié)僅含兩個繩頭，所有

繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.

（i）當(dāng)〃=3,記隨機變量X為繩子圍成的圈的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

（ii）求證：這〃根繩子恰好能圍成一個圈的概率為

（2〃）！

n(ad-be)2

附：公=，n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K*k)0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

22.（12分）已知雙曲線。:與-4=1（。＞0力＞0）的焦距為6,其中一條漸近線人的斜率為正，過點

ab2

&0）Q＞a）的直線/與雙曲線C的右支交于尸,0兩點，M為線段P。上與端點不重合的任意一點，過

點M且與4平行的直線分別交另一條漸近線4和C于點T,N.

（1）求C的方程；

（2）求-MM。的取值范圍

OTMN

數(shù)學(xué)試題第4頁（共4頁）

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.A2,B3.B4.C

5.D6.C7.D8.B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.ABD10.BC11.ABD12.AC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.14.367t15.-16.4

105

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）因為C=I+2cos/l,由正弦定理得sinC-2sin8cos/=sin8,

b

即sin（＞l+B）-2sinBcosJ=sinB,sinJcoscos/IsinB=sinB,故sin（彳-8）=sin8,

因為48w（（U）,所以4-8w（r,7t）,所以力一8=8,因此力=28..........................................5分

(2)因為cos力=cos28=1—2sin：8=,故sin4=^^,

2525

由C=I+2cos力得C=—,因為c=13,故6=0?9

bb253

所以SA/“='bcsin/='?13?互2=52.........................................................................................10分

△/%22325

18.（1）由對任意整數(shù)犯〃均有+4+2加〃，取zw=l,得a”.1+1+2〃，

’1〃N2時，an=q+(%-%)+(%-生)+…+(%-。0-1)=1+3+5+???+2n—1=~————=//',

當(dāng)〃=1時，q=l,符合上式，所以4=/.......................................................................................6分

（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時，

+3+2"-1)〃(〃+])

S=(-l2+22)+(-32+42)+-+[-(w-l)2+n:]=3+7+ll+-+(2/;-l)=

R2=-2-

當(dāng)”為奇數(shù)時，S.=S.、=Sz=四券二/=二《衛(wèi)：

小且，〃為偶數(shù)

綜上所述：S.=\....................................................................................................12分

士^,〃為奇數(shù)

數(shù)學(xué)答案第I頁（共4頁）

19.(1)法I：如圖，以。為原點，D4,OC,。0方向分別為xj,二軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系。-明，

則8(4,4,0),￡(3,0,0).F(0,4,2),G(0,0,1),4(40,4),

因為麗(-4,0,2),EG=(-3,0,-).所以函=3旃，

24

所以8、E、G、F四點共面........................................................5分

(2)由(1)知，BE=(-l,-4.0),罕麗=(-3,4,2),

設(shè)平面EFG的法向量為正=*/,:),

m-BE=0解得［、=「)，取就=(4,-l,8),

由

m-BF=0二=2工

同理可得平面A.EF的法向量5=(8,7,-2),設(shè)平面EFG與平面A.EF夾角為夕,

9_VI3

則cos夕=..............................................................................................12分

砸9.3V13~39

(I)法2：如圖，取。R中點〃，分別連接/〃，F(xiàn)H.因為尸為CG中點，

所以FH//4B,且尸〃所以四邊形力8"/為平行四邊形，所以/，〃8尸，

3DD,

由正=3所知匹=3,由旃=3函知型?=1_1=3,所以匹="，所以￡G〃/〃，

EA5'GH1DDEAGH

所以EG//BF.所以8、E、G、尸四點共面............................................5分

數(shù)學(xué)答案第2頁(共4頁)

20.(1)f(x)=2ae：I+(o-4)e1-2=(aeJ-2)(2e'+1),

當(dāng)a40時，/(x)在(yo,—)上單調(diào)遞減：

當(dāng)〃>0時，/(x)在(f吟)上單調(diào)遞減，在(I哈2)上單調(diào)遞增.....................5分

(2)由(1)知，/(x).=/(lnZ)=2-4-21n2+21na,

只需證2---2ln2+21na>7lna-a-4,即證6+。-&-5暇-21n2>0,

aa

ijtg(a)=6+a---51nn-21n2,a>1,WOgz(a)=1+--=—―,

則g(。)在(L4)上遞減，在(4.y)上遞增，g(4F)^g(4)=9-121n2=3(3-lnl6),

又￥>2了>16,故g(a)>0,證畢.....................................................12分

200x(3575-1575)2

21.

xllOxlOOxlOO

故有99%的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)..................................3分

(2)(i)由題知，隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,

P(X=1)==&,P(X=2)=、。；；2=互,p(x=3)=^~^~-=—

、'C〉C：C15''C：C：C15、'C>C：G15

~"彳~~~~~~M一

所以X的分布列為

X123

821

P

15?-15

所以_1_23

E(*)=lx*+2q+3x=7分

(ii)不妨令繩頭編號為1,2,3,4,.…2〃，可以與繩頭1打結(jié)形成一個圓的繩頭除了1,2外有2〃-2種可

能，假設(shè)繩頭I與繩頭3打結(jié)，那么相當(dāng)于對剩下"-I根繩子進(jìn)行打結(jié).令〃(〃eN)根繩子打結(jié)后可

成圓的種數(shù)為a..那么經(jīng)過一次打結(jié)后，剩下"-1根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為?！?，由此可得,

=(2〃-2)a0T,”22,所以——=2M—2,—=(2//—4),...,——=2?

Qn-\a\

^flU—=(2rt-2)x(2?-4)x...x2=2^(n-l)l,顯然q=l,故q=尸(〃一1)!.

另一方面，對2〃個繩頭進(jìn)行任意2個繩頭打結(jié)，總共有

N=C；—…二=2小(2〃-1)(2〃-2)…21=包

n\2"n\Tn\"

a?_2"-'?(〃-1)!_22"-'?/?!(?-1)!

所以P=12分

~N~(2〃)!~~(2n)!

數(shù)學(xué)答案第3頁(共4頁)

22.（I）由C的焦距為6,知2c=6,即c=3:又漸近線方程為尸=±白'，則白=五，

aa2

故"二口=五,即4（9-〃）=5^,a2=4