上海市崇明區(qū)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

上海市崇明區(qū)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.不等式卜-2|<1的解集為.

2

2.雙曲線V-21=1的焦距為

4

3.若復(fù)數(shù)z=/_4+（加+2）i（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)機的值為

4.已知等比數(shù)列｛%｝首項q=l,公比4=2,則$5=.

5.+的展開式中/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

6.已知圓錐的母線與底面所成角為45。，高為1,則該圓錐的母線長為.

7.在空間直角坐標(biāo)系中，點尸2,3）至心何平面的距離為.

8.如圖是小王同學(xué)在籃球賽中得分記錄的莖葉圖，則他平均每場得分.

03578

1012004

9.已知事件A與事件5相互獨立,如果尸（/）=0.4，尸（3）=0.7,則P（AHB）=.

10.用易拉罐包裝的飲料是超市和自動售賣機里的常見商品.如圖，是某品牌的易拉罐

包裝的飲料.在滿足容積要求的情況下，飲料生產(chǎn)商總希望包裝材料的成本最低，也就

是易拉罐本身的質(zhì)量最小.某數(shù)學(xué)興趣小組對此想法通過數(shù)學(xué)建模進(jìn)行驗證.為了建立

數(shù)學(xué)模型，他們提出以下3個假設(shè)：（1）易拉罐容積相同；（2）易拉罐是一個上下封閉

的空心圓柱體；（3）易拉罐的罐頂、罐體和罐底的厚度和材質(zhì)都相同.

你認(rèn)為以此3個假設(shè)所建立的數(shù)學(xué)模型與實際情況相符嗎？若相符，請在以下橫線上填

寫“相符”；若不相符，請選擇其中的一個假設(shè)給出你的修改意見，并將修改意見填入橫

線.

11.已知不平行的兩個向量￡是滿足同=1,黑3=百.若對任意的teR,都有忸一回22

試卷第1頁，共4頁

成立，則w的最小值等于.

22

12.已知正實數(shù)。,6,c,d滿足/一必+1=0,c+d=l,則當(dāng)（a-c）2+S-d）2取得最小值

時，ab=.

二、單選題

13.已知集合4={止2WxW3},B={x|x〉O},則（）

A.[-2,3]B.[0,3]C.（0,+。）D.[—2,+s）

14.若%>y>0,則下列不等式正確的是（）

A.同<|歹|B.x2<y2C.-<—D.歷

xy2

15.已知點M為正方體Z5CD-4用GA內(nèi)部（不包含表面）的一點.給出下列兩個命

題:

心：過點初有且只有一個平面與和4G都平行;

%：過點河至少可以作兩條直線與和B?所在的直線都相交.

則以下說法正確的是（）

A.命題心是真命題，命題%是假命題B.命題/是假命題，命題的是真命題

C.命題名,%都是真命題D.命題名,6都是假命題

16.若存在實數(shù)對任意實數(shù)尤e[0,1],使得不等式x'-zn〈辦+6W/+加恒成立,

則實數(shù)機的取值范圍是（）

三、解答題

17.如圖，四棱錐尸一/BCD中，PAl^ABCD,ABIICD,PA=AB=AD=2,CD=1,

ZADC^90°,E,尸分別為尸8,48的中點.

試卷第2頁，共4頁

p

⑴求證：CE〃平面尸ND；

⑵求點B到平面PCF的距離.

18.在“5。中，內(nèi)角4、B、。所對邊的長分別為q、b、c,Q=5,b=6.

4

⑴若cos3=-《，求/和摟BC外接圓半徑&的值；

⑵若三角形的面積以=苧，求C.

19.交通擁堵指數(shù)(TPI)是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，用TPI表示，TPI越大代

實際行程時間

表擁堵程度越高.某平臺計算TPI的公式為:并按TPI的大小將

暢通行程時間

城市道路擁堵程度劃分如下表所示的4個等級:

TPI[1,1.5)[1,5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶?/p>

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如

下圖:

”_________2.393_______________

[^呀.......

「?！?0奸225冷氣標(biāo)丁^

1_______________L3泣:三落二"1.271______________

0.5-----------------------------------------------------------------------------

“12月29日'12月301力2月月月1日‘1月2H'1月3日T月4日'

?????2023年—2022年

(1)從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為

“擁堵”的概率；

(2)從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022

年同日TPI高的天數(shù)記為X,求所有X的可能值及其發(fā)生的概率.

2

20.己知拋物線口：/=4》，r2:y=2x,直線/交拋物線口于點A、D,交拋物線門于

試卷第3頁，共4頁

點3、C,其中點A、B位于第一象限.

⑴若點A到拋物線口焦點的距離為2,求點A的坐標(biāo)；

(2)若點A的坐標(biāo)為(4,4),且線段/C的中點在x軸上，求原點。到直線/的距離；

⑶若刀=2麗，求△/OD與ASOC的面積之比.

21.已知/(x)=s+sinx(加eR,加。0).

(1)若函數(shù)v=〃x)是實數(shù)集R上的嚴(yán)格增函數(shù)，求實數(shù)%的取值范圍；

⑵已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列(公差d/0),b,=f(a“).是否存在數(shù)列｛?！埃沟脭?shù)列的｝是

等差數(shù)列？若存在，請寫出一個滿足條件的數(shù)列&｝,并證明此時的數(shù)列回｝是等差數(shù)

列；若不存在，請說明理由；

(3)若加=1,是否存在直線y=h+b滿足：①對任意的xeR都有/(x)WAx+6成立，

②存在x°eR使得/(%)=履。+5?若存在，請求出滿足條件的直線方程；若不存在，請說

明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.(1,3)

【分析】利用絕對值不等式的解法求解.

【詳解】由卜一2]<1得—1<x—2<1,解得1cx<3,

故不等式的解集為(1,3).

故答案為:(1,3).

2.2亞

【分析】根據(jù)C?之間的關(guān)系即可求出.

【詳解】由已知力=1,〃=4,所以02=5,所以焦距為2若，故答案為

【點睛】本題考查運用雙曲線的基本量關(guān)系求焦距，是基礎(chǔ)題.

3.2

【分析】由復(fù)數(shù)的概念列方程組求解即可.

f—4=0

【詳解】由于復(fù)數(shù)z=*_4+(加+2)i(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，所以.二,

[冽+2w0

解得a=2,

故答案為：2.

4.31

【分析】按照等比數(shù)列前〃項和公式計算即可.

]-"

【詳解】S“=4—a=2"7,

1-4

故豈=32-1=31,

故答案為：31.

5.10

【分析】利用二項式展開式的通項公式計算即可.

【詳解】由[+35的展開式的通項公式為=，上=0,1,…,5,

令5—34=2,得k=1,

所以展開式中X?的系數(shù)為C；x21=10.

答案第1頁，共13頁

故答案為：10.

6.V2

【分析】根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征，圓錐底面半徑、高、母線長構(gòu)成一個直角三角形，可根據(jù)銳

角三角函數(shù)進(jìn)行求解底面圓的半徑，再利用勾股定理求解母線.

【詳解】已知圓錐的母線與底面所成角為45。，高為1,

因為圓錐底面半徑、高、母線長構(gòu)成一個直角三角形，

所以底面圓半徑為1,所以母線長等于=

故答案為：41-

1.3

［分析］根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的定義和點的坐標(biāo)得到答案.

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點尸(1,-2,3)至iJxOy平面的距離為豎坐標(biāo)的絕對值，即為3.

故答案為：3

8.9

【分析】根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均數(shù).

3+5+7+8+10+11+12+10+10+14

【詳解】平均數(shù)為=9.

10

故答案為：9

9.0.42/—

50

【分析】根據(jù)獨立事件和對立事件的概率公式計算可得答案

【詳解】由事件A與事件B相互獨立，則事件)與事件3相互獨立,

又尸(/)=0.4,尸⑻=0.7,

貝l|P(AcB)=P(2)P(B)=(1一P(A))P網(wǎng)=(1一0.4)x0.7=0.42

故答案為：0.42.

10.假設(shè)2中，易拉罐的頂部類似于圓臺；假設(shè)3中，易拉罐的罐頂和罐底材質(zhì)比罐體的材

質(zhì)厚

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合易拉罐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及要求易拉罐的質(zhì)量最小，結(jié)合假設(shè)，

即可求解.

【詳解】由題意知，某品牌的易拉罐包裝的飲料，在滿足容積要求的情況下，飲料生產(chǎn)商總

希望包裝材料的成本最低，也就是易拉罐本身的質(zhì)量最小，

答案第2頁，共13頁

所以假設(shè)2不合理，應(yīng)為“易拉罐的頂部類似于圓臺”；

假設(shè)3不合理，應(yīng)為“易拉罐的罐頂和罐底材質(zhì)比罐體的材質(zhì)厚”.

故答案為：假設(shè)2中，易拉罐的頂部類似于圓臺；假設(shè)3中，易拉罐的罐頂和罐底材質(zhì)比罐

體的材質(zhì)厚.

11.不

【分析】先由數(shù)量積的定義推得加上6,再將問題轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題，從而

得解.

【詳解】依題意，設(shè)3與3的夾角為e（ovevTr）,忖=加（加>0）,

因為卜|=1,a-b=s5,所以WWcos6=e,即/cose=G，

則COS。=,所以機2G，

m

因為對任意的feR,都有R-回上2成立，

所以e-酒"，即片一2啟力+，/24，即--2每+那一420對于feR恒成立，

故A=（26）-4（"--4）<0,又m>0,解得m>V7,

綜上，m>y/l,則W的最小值為五.

故答案為：近.

12.——+1

2

【分析】將（"C）2+（6V）2轉(zhuǎn)化為（。㈤與（c,d）兩點間距離的平方，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為（。/）與圓

心（0,0）的距離，結(jié)合基本不等式求得最小值，進(jìn)而分析求解即可.

【詳解】可將（"4+（6-打轉(zhuǎn)化為6）與（c,d）兩點間距離的平方，

由—ub+1=0,得b=u,

a

而,2+/=1表示以（0,0）為圓心，1為半徑的圓，（c,d）為圓上一點，

則（見6）與圓心（0,0）的距離為:

,/+必=>+[〃+[=j2/+二+22卜,2/￡+2=J2&+2,

答案第3頁，共13頁

當(dāng)且僅當(dāng)2/=）,即a=±《；時等號成立,

此時（。涉）與圓心（0,0）的距離最小，即（。/）與（c,d）兩點間距離的平方最小,

即（a-c）2+（b-d）2取得最小值.

當(dāng)口時，ab=a~+\=-^-+1,

V22

故答案為：]@+1.

2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為圓C?+屋=1上的點到，=“+1上

a

的點的距離的最小值的求解問題，進(jìn)而求解.

13.D

【分析】利用并集的定義可求得集合/uB.

【詳解】因為集合/=同-24三3},B={x\x>0],因此，AuB=[-2,+^,

故選：D.

14.C

【分析】ABD舉反例即可判斷，C結(jié)合反比例函數(shù)即可判斷.

【詳解】對A,若x=2,y=l,則x>y>0,但|x|>W，A錯誤；

對B,若x=2,y=l,貝l]x>y>0,但—>/，B錯誤

對D,若x=2,y=l,貝—=-^jxy=y[2,D錯誤；

對C,結(jié)合反比例函數(shù)>=工知其在（0,+⑹單調(diào)遞減，貝有C正確.

%xy

故選：C

15.A

【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)異面直線定義和線面平行判斷即可.

【詳解】已知點”為正方體/BCD-//。。內(nèi)（不包含表面）的一點，過點M的平面為g，

如圖所示：

答案第4頁，共13頁

對于%,在平面44QQ與平面BBQC之間與平面//自。與平面平行的平面均與44

和4G平行，如平面a

,當(dāng)點必為正方體NBC。-//。。內(nèi)(不包含表面)的一點，滿足要求的平面有且只有一

個，故命題心是真命題；

對于%,44"/平面8州斗7,所以如果初點在面胡CC上時，

過M的直線如果跟3c相交，則與/其異面，不會相交，所以命題%是假命題.

故選：A.

16.A

【分析】不等式/-俏Vax+6Vd+機等價于H+G+噌加，原命題等價于存在實數(shù)a,

b,對任意實數(shù)xe[O,l]不等式H+ax+電加恒成立，等價于存在實數(shù)a,b,不等式

3

\-x+ax+b\4用成立，分別討論aVO,0<a<l,l<a<3,aN3的情況，先求出

IImax

|-x3+ax+b\,再求出0-x3+ax+4)即可解決問題.

IImax\lImax17m

【詳解】不等式x，—俏Vox+6Vx3+機等價于一機<-x3+ax+b<m即卜x，+ax+b^<m,

原命題等價于存在實數(shù)。，b,對任意實數(shù)xe[0,l]不等式卜/+辦+半加恒成立，

等價于存在實數(shù)4，b,不等式卜Y+ax+W4加成立，

IImax

記/(%)=-x3+,貝！Jf\x)=—3x2+a,

(1)當(dāng)時，對任意X￡[0J],/'(x)K0恒成立，即/(x)在[0J上單調(diào)遞減

a+b-l<f(x)<b

①當(dāng)a+6-l+620,即62一時，|/(x)|max=b,

答案第5頁，共13頁

②當(dāng)。+6-l+b<0,即6〈一時，|/(x)L=-叱b+l,

入、1-Q

b

從而當(dāng)aWO時，gS)=

—a—6+11—u

力<丁

則g(6)在(-鞏一)上單調(diào)遞減，在一1—a，+8)上單調(diào)遞增,

2

LLr、tZTx1—Q、l—ClI

所以gS)3=Z~；

(2)當(dāng)0v"3時，令"幻=0,解得x=a

/⑴在區(qū)間0,，三上單調(diào)遞增，在上a單調(diào)遞減,

3

2a\aj71

〃0)="f二三+6,/(l)=a+b-\,

①當(dāng)0<aWl時a+6-lWb,此時a+6—14/(幻〈彳/1+6,

a)當(dāng)4+6—1+即2a/@+6<0即b<,一』〃一巴￡時，l/a)L=—”"I，

33223

夕)當(dāng)〃+b—1+網(wǎng)即62，—LQ—@2a

3V32235時，I/WL3V3

1aa

-2a-b+Sh—a---J—

L223丫3

從而當(dāng)0<aV1時，g(6)=<2a

Vb,b>^~1aa

3—a----

223

11a11aa

則g(b)在區(qū)間—oo,----------a----上單調(diào)遞減,在區(qū)間萬一3”5b+8|上單調(diào)遞增,

223I"I

一、

1aa1aaa

—a——4—

所以gS)min=g1-2~277

26V37

令;他,貝1g(b)1313

mm記k(t)

32222

則。")=3/—3%)=3，Q—1),

當(dāng)O,jg時，"⑺<0恒成立,

即〃⑺在區(qū)間卜上單調(diào)遞減,r

即付焉=〃

9

答案第6頁，共13頁

即g("nin2%；

②當(dāng)l<a<3時a+6-l>b,止匕時6Vf(x)<^-^+b,

a)當(dāng)6+2,巴+6<0即6<—q號時,l/(x)L="，

33

￡)當(dāng)6+2/巴+620即加，lob2aa

~+b，

33T

,aa

-b,b<——

3

從而當(dāng)1<〃<3時，g(b)=<2ag+b

aa

T3

力、3

aa

則g(b)在區(qū)間Ui上單調(diào)遞減，在區(qū)間$+8)上單調(diào)遞增,

3

c

所以gS)nun=g-1

(3)當(dāng)“23時，對任意X￡[O,1],/'(x)20恒成立，即/(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,

b</(x)<a+b-l

①當(dāng)Q+b-1+Z)20,即621時，S(X)lmax="+"—1，

②當(dāng)a+6-l+b<0,即6〈一時，|/(x)1n1ax=-6,

\2a+b-S,b-^~

從而當(dāng)ta23時t，g(6)={，

-b,1-a

,6十

則g(6)在(-%。)上單調(diào)遞減，在+s)上單調(diào)遞增,

1——1

所以g(6)mm=g(三a)=a三與；

綜上所述，g(b)min=W-

所以加2.

9

故選:A

【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化:

一般地，已知函數(shù)了=/(x),xe[a,可，y=g(x),x^[c,d]

⑴若修€[刊,網(wǎng)€上同，總有/'(xJvgG)成立,故/(石)皿＜g?)1nfa；

答案第7頁，共13頁

(2)若3x2e[c,d],有/(xj<g(%)成立，故〃再)111axeg(z)111ax；

(3)若玉3X2e[c,c?],有/(占)<8(尤2)成立，故/(%)二<8&)二;

(4)若5e[a,6],3x2e[c,d],有/㈤=g(/)，則/(x)的值域是g(x)值域的子集.

17.(1)證明見解析

Q)巫

5

【分析】（1）設(shè)G是PN的中點，連接GE,DG,證明四邊形CDGE是平行四邊形，可得

CEHDG,再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

（2）先證明CFLPF,再利用等體積法求解即可.

【詳解】（1）證明：取尸N中點G,連接GE、GD,

由于￡是尸3的中點，則GE//4B,GE=\AB,

2

由于CD〃N3,CD=-AB=\,所以GE//CD,GE=CD,

2

所以四邊形CAGE是平行四邊形，所以CE〃GD,

由于上，JDGu平面P/。，

所以CE〃平面尸4D.

（2）設(shè)點3到平面尸CF的距離為〃，

因為P/_L平面/BCD,CFu平面/BCD,所以尸/_LCb,

由于CD〃//，CD=AF,所以四邊形/DC廠是平行四邊形，

由于//DC=90。，所以CFJ/8,

由于48cp/=/，/民尸/u平面尸,

所以CF_L平面尸48,

又打'u平面PN5,所以B_L尸尸，

在RtZ\P4F中，PF=正+Y=也，所以S△跳c,尸尸=石，又

S^BCF=\CF-BF=1.

由Vp-BCF=^B-PCF得;

BCF?PCF,k?

即〃=S，BCF,P4=畢=巫,

S△尸c尸書5

答案第8頁，共13頁

所以/?=捶，即點3到平面尸CF的距離為拽.

(2)。=4或。=J106.

3

【分析】(1)由題可得sinB=(,利用正弦定理即求；

(2)利用三角形面積公式可得sinC=立，再利用同角關(guān)系式及余弦定理即求.a

4

【詳解】⑴因為cos5=-則且sin5=-cos?B=1.

ab—————=—=2R

由正弦定理，得「=「=2R,即sin/3,

smAsmBj

即sin4=工，R=5,

2

因為a<6,所以/jo,?,

TT

因止匕Z=—,R=5；

6

,°1577

(2)由4=—absinC得.「2S.4~療，

2sinC=——=-----------=——

ab5x64

于是cosC=±Vl-sin2C=±—.

4

33

當(dāng)cosC=一時,由余弦定理，得c?=52+62-2x5x6*—=16.

44

當(dāng)cos。=-1時，由余弦定理，得c?=5?+6?-2x5x6x1—=106.

所以，。=4或o=V106.

19.⑴全

(2)答案見解析.

答案第9頁，共13頁

【分析】（1）利用給定的折線圖，求出2022年元旦及前后共7天中“擁堵”的天數(shù)，再利用

古典概率計算即得.

（2）利用折線圖，求出2023年元旦及前后共7天中，道路TPI比2022年同日TPI高的天

數(shù)，求出X的可能值及對應(yīng)概率即得.

【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市

道路擁堵程度為“擁堵”；

2

設(shè)7天中任取1天，這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為尸=,.

（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI比2022年

同日TPI高的天數(shù)共有2天，

所以X的所有可能值為04,2,

尸5=0）略堞4尸（g）=yVS尸（丫=2）=等4J

20.（1）（1,2）

（2）12A/1

【分析】（1）由拋物線的定義根據(jù)其方程得出準(zhǔn)線，由定義得出拋物線上的點到焦點的距離

等于到準(zhǔn)線的距離，或通過焦半徑公式，即可得出點A的橫坐標(biāo)，代入方程得出縱坐標(biāo)，根

據(jù)點所在的象限得出其坐標(biāo)；

（2）設(shè)得出線段NC的中點坐標(biāo)，根據(jù)已知歹U式%=-4,代入方程得出點C的

坐標(biāo)，即可由兩點式得出直線/的方程，即可由點到直線的距離公式得出答案；

（3）設(shè)直線/的方程為y=h+6,設(shè)，（士,%）,￡）（無z,%）/6,%）,。每,q），根據(jù)已知與方程

的聯(lián)立與韋達(dá)定理得出%-乂=25-”），弘+%=2。3+”），2=2%”，設(shè)原點。到

直線/的距離為由弦長公式與三角形面積公式的出沁=》

d,,即可代入化

一九|

.BOCLd±+1|%

解得出答案.

答案第10頁，共13頁

【詳解】(1)

拋物線必=4尤的準(zhǔn)線為尸一1,

因為點A到拋物線一焦點的距離為2,

所以點A到拋物線口準(zhǔn)線的距離為2,

所以點A的橫坐標(biāo)為1,

代入方程的V=4,解得了=±2,

因為點A位于第一象限，

故點A的坐標(biāo)為(1,2).

(2)設(shè)C(x。,％),則線段/c的中點坐標(biāo)為(寧，等_)

因為線段ZC的中點在X軸上，

所以言1=0,故%=-4,

代入方程得(-4丫=2尤0,解得%=8,所以C(8,-4),

所以直線/的方程為：2二=工，整理得：2x+y-12=0

-4-48-4

(3)由題意，直線/的斜率上顯然存在且斤wO,

設(shè)直線/的方程為y=h+b,

設(shè)/(國,yt),D(X2,y2),B(X3,%),C(x4,y4)

由方=2瓦，得%=2&2-%)…①，

答案第11頁，共13頁

y2=4x,得：^y2-y+b=Q,

y=kx+b

因為直線/與拋物線一交于點A、D,

44b

所以A=1-泌>0,即防<1,且yy=—

kT2k

be22b

同理，%+”=：，不，

kk

所以乂+為=2