2024四年級奧數(shù)計數(shù)綜合加法原理（A級）含答案

2024四年級奧數(shù)計數(shù)綜合加法原理（A

級）含答案

i.使學(xué)生掌握加法原理的基本內(nèi)容；

2.培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的能力，了解分類的主要方法和遵循的主要原則.

3.理解標(biāo)數(shù)法

加法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分類討論問題，教授本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的習(xí)慣,

鍛煉思維的周全細致.

一、加法原理

在生活中做一件事情的時候常常會有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法。那么，

考慮完成這件事情所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決。

例如：春節(jié)期間康康要從北京去天津看奶奶。他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次

火車從北京到天津，有四趟長途汽車從北京到天津。那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？

分析這個問題發(fā)現(xiàn)，康康去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有兩大類走法：第一類乘火車，有五

種走法；第二類乘汽車，有四種走法。上面的每一種走法都可以從北京到天津，故有5+4=9種不同的走法。

在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法，在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就

可以完成，并且兩大類方法是互無影響的。那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二

類的方法數(shù)。

一般地，如果完成一件事有K類方法，第一類方法中有mi種不同做法，第二類方法中有m2種不同

的做法，……，第K類方法中有mK種不同的做法，則完成這件事共有：N=m1+m2+……mK種不同的方

法。這就是加法原理。

二、加法原理的運用

加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的

問題可以使用加法原理解決.我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”.

分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類；其次,

分類時要注意滿足兩條基本原則：

①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；

②分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.

只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計數(shù)原理計算正確.

?n明盛

(1)選取合適的分類標(biāo)準(zhǔn)；

(2)標(biāo)數(shù)法。

隹;初題溺S3

一、枚舉法

【例11從甲地到乙地可以乘坐飛機、火車和輪船，在一天中，從甲地直達乙地有3班飛機,4班火車和3班

輪船,那么一天中甲地到乙地共有多少種不同的走法？

【鞏固】從甲地到乙地，有3條公路和2條鐵路可以直接到達，從甲地到乙地,共有多少條路可走?

【例2］小寶去給小貝買生日禮物，商店里賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書20本，不同

的紀(jì)念品10種，那么，小寶買一種禮物可以有多少種不同的選法？

【鞏固】有不同的語文書6本，數(shù)學(xué)書4本，英語書3本，科學(xué)書2本，從中任取一本，共有多少種取法?

【例3］把一元錢換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種.

【鞏固】一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問這里可能有多少種不同的情況?

【例4】從1?10中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法?

【鞏固】從1?8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法?

【例5］給定三種重量的祛碼（每種數(shù)量都有足夠多個）3kg,11kg,17kg,將它們組合湊成100依有

種，不同的方法（每種祛碼至少用一塊。）

【鞏固】用若干個1分、2分、5分的硬幣組成一角錢（不要求每種硬幣都有），共有（）種不同的方法.

［例6］一次，齊王與大將田忌賽馬.每人有四匹馬，分為四等.田忌知道齊王這次比賽馬的出場順序依

次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬，接著依次為

自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等.田

忌有種方法安排自己的馬的出場順序，保證自己至少能贏兩場比賽.

【鞏固】一個文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角.小明要在該店花5元5角購買

兩種文具，他有多少種不同的選擇.

［例7］小明要登上12級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上12級臺階共有多少種不同的登

法？

【鞏固】取用15根火柴，每次只能取1根或者2根火柴，那么取完15根火柴共有多少種不同的取法?

二、標(biāo)數(shù)法

【例8］如圖所示，從A到B的最短線路有多少條?

【鞏固】小偉從家到爺爺家經(jīng)過的所有路線如下圖所示，那么，小偉從家到爺爺家有幾條最短路線？

小偉家

爺爺家

【例91如圖所示，小明家在A地，小學(xué)在B地，電影院在C地。

(1)小明從家去小學(xué)，走最短的線路，有多少種走法？

(2)小明從家去電影院，走最短的線路，有多少種走法?

【例10］下圖是某地街道平面圖，標(biāo)有g(shù)處的道路是不準(zhǔn)通行的。問消防車從消防隊到著火點有多少條

最短通路?

著火點

消防隊

【鞏固】如圖，某城市的街道由五條東西向馬路和七條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的A處沿最短

的路線走到東北角B出，由于修路，十字路DC不能通過，那么共有多少種不同走法？

B

C

A

【隨練1】從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班,

輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

【隨練2】從1?8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于11的共有多少種取法?

【隨練3】從A處到B處共有多少條最短路線?

一，底得幽

【作業(yè)1】南京去上海可以乘火車、乘飛機、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛機、8班汽

車和4班輪船，那么共有多少種不同的走法?

【作業(yè)2】陽光小學(xué)四年級有3個班，各班分別有男生18人、20人、16人.從中任意選一人當(dāng)升旗手,

有多少種選法?

【作業(yè)3】小剛到書店去買書，從他家到書店最多有幾種最近的走法?

書店

【作業(yè)4】用一個5元紙幣，四個2元紙幣，八個1元紙幣買一張龍年8元郵票，共有多少種付款方式

【作業(yè)5】旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現(xiàn)有紅色、藍色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗表示

信號，最多能表示出多少種不同的信號？

【作業(yè)6】左下圖是某街區(qū)的道路圖，C點和D點正在修路不能通過，那么從A點到B點的最短路線有多少

條？

R

?出煞底假

學(xué)生對本次課的評價

。特別滿意。滿意。一般

家長意見及建議

家長簽字:

任居松自望

1.使學(xué)生掌握加法原理的基本內(nèi)容；

2.培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的能力，了解分類的主要方法和遵循的主要原則.

3.理解標(biāo)數(shù)法

加法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分類討論問題，教授本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的習(xí)慣,

鍛煉思維的周全細致.

鍛級）演磊曲

一、加法原理

在生活中做一件事情的時候常常會有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法。那么，

考慮完成這件事情所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決。

例如：春節(jié)期間康康要從北京去天津看奶奶。他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次

火車從北京到天津，有四趟長途汽車從北京到天津。那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？

分析這個問題發(fā)現(xiàn)，康康去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有兩大類走法：第一類乘火車，有五

種走法；第二類乘汽車，有四種走法。上面的每一種走法都可以從北京到天津，故有5+4=9種不同的走法。

在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法，在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就

可以完成，并且兩大類方法是互無影響的。那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二

類的方法數(shù)。

一般地，如果完成一件事有K類方法，第一類方法中有mi種不同做法，第二類方法中有m2種不同

的做法，...，第K類方法中有HIK種不同的做法，則完成這件事共有：N=mi+m2+....HIK種不同的方

法。這就是加法原理。

二、加法原理的運用

加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的

問題可以使用加法原理解決.我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立

分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類；其次,

分類時要注意滿足兩條基本原則：

①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；

②分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.

只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計數(shù)原理計算正確.

二冕菸底

(1)選取合適的分類標(biāo)準(zhǔn)；

(2)標(biāo)數(shù)法。

任劭題猾怪

一、枚舉法

【例1】從甲地到乙地可以乘坐飛機、火車和輪船，在一天中，從甲地直達乙地有3班飛機,4班火車和3班

輪船,那么一天中甲地到乙地共有多少種不同的走法？

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】分類討論思想

【解析】從甲地到乙地有三類方法：第一類，坐飛機，有3種方法；第二類，乘火車，有4種方法；第三

種，坐輪船，有3種方法.根據(jù)加法原理，從甲地到乙地一共有3+4+3=10種方法.

【答案】10

【鞏固】從甲地到乙地，有3條公路和2條鐵路可以直接到達，從甲地到乙地,共有多少條路可走？

【答案】5

【例2］小寶去給小貝買生日禮物，商店里賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書20本，不同

的紀(jì)念品10種，那么，小寶買一種禮物可以有多少種不同的選法？

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】分類討論思想

【解析】小寶買一種禮物有三類方法：第一類，買玩具，有8種方法；第二類，買課外書，有20種方法；

第三種，買紀(jì)念品，有10種方法.根據(jù)加法原理，小寶買一種禮物有8+20+10=38種方法.

【答案】38

【鞏固】有不同的語文書6本，數(shù)學(xué)書4本，英語書3本，科學(xué)書2本，從中任取一本，共有多少種取法？

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】分類討論思想

【解析】根據(jù)加法原理，共有6+4+3+2=15種取法.

【答案】15

【例3］把一元錢換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種.

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】分類討論思想

【解析】把一元錢換成角幣，有三類分法：①第一類：有五角幣2張，只有1種換法：

②第二類：有五角幣1張，則此時二角幣可以有0,1,2張，相應(yīng)的，一角幣有5,3,1張，有

3種換法；

③第三類：有五角幣0張，則此時二角幣可以有0,1,2,3,4,5張，相應(yīng)的，一角幣有10,8,

6,4,2,0張，有6種換法.

所以，根據(jù)加法原理，總共的換法有1+3+6=10種.

【答案】10

【鞏固】一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問這里可能有多少種不同的情況？

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】分類討論思想

【解析】按5分硬幣的個數(shù)對硬幣情況進行分類：

如果5分硬幣有奇數(shù)個，那么無論2分硬幣有多少個都不能湊成100分.如表當(dāng)5分硬幣的個數(shù)

為0?20的偶數(shù)時，都有對應(yīng)個數(shù)的2分硬幣.所以一共有11種不同的情況.

類別1234567891011

5分02468101214161820

2分50454035302520151050

【答案】11

【例4】從1?10中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法?

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)第一個數(shù)的大小，將和大于10的取法分為9類:

第一個數(shù)第二個數(shù)有幾種擇合適的分類方式是心

第1類1101/用加法原理的關(guān)鍵.好的分

第2類21。、92

類方式往往達到事半功倍

第類、3

3310s98的效果.

第4類410s9s8s74

注意：本題中"7+8"與

第類

5510、9、8、7、65“8+7"只能算一種取法）

第6類610s9、8、74

第7類710、9、83

第8類810、92

第9類9101

因此，根據(jù)加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25種取法使和大于10.

【答案】25

【鞏固】從1?8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】分類討論思想

【解析】兩個數(shù)和為11的一共有3種取法；

兩個數(shù)和為12的一共有2種取法；

兩個數(shù)和為13的一共有2種取法；

兩個數(shù)和為14的一共有1種取法；

兩個數(shù)和為15的一共有1種取法；

一共有3+2+2+1+1=9種取法.

【答案】9

【例5】給定三種重量的祛碼（每種數(shù)量都有足夠多個）3kg,Wkg,\lkg,將它們組合湊成100kg有

種，不同的方法（每種祛碼至少用一塊。）

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】2008年，第6屆，走美杯，5年級，決賽，第1題

【解析】100=3x24+11x1+17x1,100=3x13+11x4+17x1,

3x2+11x7+17x1=100,3x7+11x1+17x4=100,

3x11+11x3+17x2=100,3x9+11x2+17x3=100,一共有6種。

【答案】6種

【鞏固】用若干個1分、2分、5分的硬幣組成一角錢（不要求每種硬幣都有），共有（）種不同的方法.

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】2008年，第6屆，走美杯，3年級，初賽，第4題

【解析】此題采用枚舉法，具體如下:

方法1分（校）2分（校）5分（校）總數(shù)

101角

二51角

三21角

四241角

五431角

621角

七811角

A1211角

九3111角

十511角

共有10種情況

【答案】10種

[例6]一次，齊王與大將田忌賽馬.每人有四匹馬，分為四等.田忌知道齊王這次比賽馬的出場順序依

次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬，接著依次為

自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等.田

忌有種方法安排自己的馬的出場順序，保證自己至少能贏兩場比賽.

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】分類討論思想，第本屆，走美杯

【解析】第一場不管怎么樣田忌都必輸，田忌只可能在接下來的三場里贏得比賽，

若三場全勝，則只有一種出場方法；

若勝兩場，則又分為三種情況：

二，三兩場勝，此時只能是田忌的一等馬贏得齊王的二等馬，田忌的二等馬贏齊王的三等馬，只

有這一種情況；

二，四兩場勝，此時有三種情況；

三，四兩場勝，此時有七種情況；

所以一共有1+1+3+7=12種方法.

【答案】12

【鞏固】一個文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角.小明要在該店花5元5角購買

兩種文具，他有多少種不同的選擇.

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】4星【題型】解答

【解析】一共三種文具，要買兩種文具.那么就可以分三類了.

第一類：橡皮和圓珠筆5元5角=55角=11塊橡皮（要買兩種，所以這個不考慮）

=9塊橡皮+1只圓珠筆

=7塊橡皮+2只圓珠筆

=5塊橡皮+3只圓珠筆

=3塊橡皮+4只圓珠筆

=1塊橡皮+5只圓珠筆第一類共5種

第二類：橡皮和鋼筆55角=11塊橡皮(不做考慮)

=6塊橡皮+1只鋼筆

=1塊橡皮+2只鋼筆第二類共2種

第三類：圓珠筆和鋼筆55角=11塊橡皮(不做考慮)

=1只鋼筆+3只圓珠筆第三類共1種

【答案】8

［例7］小明要登上12級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上12級臺階共有多少種不同的登

法？

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】4星【題型】解答

【解析】登上第1級臺階只有1種登法。登上第2級臺階可由第1級臺階上去，或者從平地跨2級上去，

故有2種登法。登上第3級臺階可從第1級臺階跨2級上去，或者從第2級臺階上去，所以登上

第3級臺階的方法數(shù)是登上第1級臺階的方法數(shù)與登上第2級臺階的方法數(shù)之和，共有1+2=3

(種)……一般地，登上第n級臺階，或者從第(n-1)級臺階跨一級上去，或者從第(n-2)

級臺階跨兩級上去。根據(jù)加法原理，如果登上第(n-1)級和第(n-2)級分別有a種和b種方

法，則登上第n級有(a+b)種方法。因此只要知道登上第1級和第2級臺階各有幾種方法，就

可以依次推算出登上以后各級的方法數(shù)。由登上第1級有1種方法，登上第2級有2種方法，可

得出下面一串?dāng)?shù)：

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233.

其中從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和。登上第12級臺階的方法數(shù)對應(yīng)這串?dāng)?shù)的第

12個，即233。

【答案】233

【鞏固】取用15根火柴，每次只能取1根或者2根火柴，那么取完15根火柴共有多少種不同的取法？

【解析】思路與登臺階相同。

【答案】987

二、標(biāo)數(shù)法

【例8】如圖所示，從A到B的最短線路有多少條？

【解析】

【答案】8

【鞏固】小偉從家到爺爺家經(jīng)過的所有路線如下圖所示，那么，小偉從家到爺爺家有幾條最短路線？

小偉家

爺爺家

【解析】

小偉家11

一

爺爺家

【答案】6

［例9］如圖所示，小明家在A地，小學(xué)在B地，電影院在C地。

(1)小明從家去小學(xué)，走最短的線路，有多少種走法?

(2)小明從家去電影院，走最短的線路，有多少種走法？

【解析】

【答案】(1)70.(2)185

【例10］下圖是某地街道平面圖，標(biāo)有g(shù)處的道路是不準(zhǔn)通行的。問消防車從消防隊到著火點有多少條

最短通路?

著火點

消防隊

【解析】

著火點

1248

124

h__________

12

消防隊6

1

【鞏固】如圖，某城市的街道由五條東西向馬路和七條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的A處沿最短

的路線走到東北角B出，由于修路，十字路口（2不能通過，那么共有多少種不同走法？

【解析】

【隨練1】從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班,

輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】2星【題型】解答

【解析】一天中乘坐火車有4種走法，乘坐汽車有3種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天中從甲地到

乙地共有：4+3+2=9（種）不同走法。

【答案】9

【隨練2】從1?8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于11的共有多少種取法？

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】分類討論思想

【解析］兩個數(shù)和為12的一共有2種取法；

兩個數(shù)和為13的一共有2種取法；

兩個數(shù)和為14的一共有1種取法；

兩個數(shù)和為15的一共有1種取法；

一共有2+2+1+1=6種取法.

【答案】6

【隨練3】從A處到B處共有多少條最短路線？

【解析】

【答案】10

I

【作業(yè)1】南京去上海可以乘火車、乘飛機、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛機、8班汽

車和4班輪船，那么共有多少種不同的走法？

【答案】38種

【作業(yè)2】陽光小學(xué)四年級有3個班，各班分別有男生18人、20人、16人.從中任意選一人當(dāng)升旗手，

有多少種選法？

【考點】加法原理之分類枚舉【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】分類討論思想

【解析】解決這個問題有3類辦法：從一班、二班、三班男生中任選1人，從一班18名男生中任選1人

有18種選法：同理，從二班20名男生中任選1人有