山東省煙臺高考數(shù)學一模同步試卷(解析版)-理科

山東省煙臺市高考數(shù)學一模試卷（理科）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個

選項中，只有一個選項符合題目要求.

1.若集合A={-1,0,1,2,3},B=（y|y=2x-1,xGA},集合C=AAB,則C

的真子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

2.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位，a為實數(shù)）為純虛數(shù)，則不等式|x+a|+|x>3的

解集為（）

A.{x|x>l}B.{x|x<-2}C.{x|xV-l或x>2}D.{x|xV-2或x>l}

3."m=l"是"函數(shù)f（x）Hog2（1+mx）-log2（1-mx）為奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.用0,1,2,299給300名高三學生編號，并用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取

15名學生的數(shù)學成績進行質量分析，若第一組抽取的學生的編號為8,則第三組

抽取的學生編號為（）

A.20B.28C.40D.48

5.若a,0是兩個不同平面，m,n是兩條不同直線，則下列結論錯誤的是

（）

A.如果m〃n,a〃B，那么m與a所成的角和n與0所成的角相等

B.如果m_Ln,m_La,n〃B，那么a_L0

C.如果a〃0,mea,那么m〃0

D.如果m_La,n〃a,那么m_Ln

6.一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中俯視圖是一個正三角形及其內切圓,

則該幾何體的體積為（）

A.B.C.D.

7.若變量x,y滿足則的最小值為（）

A.B.C.D.

8.已知函數(shù)f（x）=Asin（cox+巾）（A>0,u）>0,0<4）<n）,其導函數(shù)的圖象

f'（x）如圖所示，則的值為（）

A.B.2C.D.4

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的n值為（）

A.4B.6C.8D.12

10.已知，若不等式f（X-1）2f（X）對一切xER恒成立,

則實a數(shù)的最大值為（）

A.B.-1C.D.1

二、填空題：本大題共有5個小題，每小題5分，共25分.

11.若，則展開式中的常數(shù)項為.

12.已知x,y均為正實數(shù)，若=(x,y-1),=(2,1),且，，則的

最小值是—.

13.過雙曲線的右支上一點P分別向圓J：(x+3)2+y2=4和圓C2：(x

-3)2+y2=l作切線，切點分別為A,B,則|PA|2-|PB|2的最小值為___.

14.從曲線X2+y2=|x"|y|所圍成的封閉圖形內任取一點，則該點在單位圓中的

概率為.

15.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的導函數(shù).給出如下四個

結論：

①若，且f(0)=e,則函數(shù)xf(x)有極小值0；

②若xf'(x)+2f(x)>0,則4f(2n-i)<f(2n),ndN*；

③若f'(x)-f(x)>0,則f(2017)>ef(2016)；

④若f'(x)+f(x)>0,且f(0)=1,則不等式f(x)Vex的解集為(0,+8).

所有正確結論的序號是

三、解答題：本大題共6個小題，共75分.

16.(12分)在aABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且

(1)將函數(shù)的圖象向右平移角A個單位可得到

函數(shù)g(x)=-cos2x的圖象，求小的值；

(2)若aABC的外接圓半徑為1,求aABC面積的最大值.

17.(12分)如圖所示的三棱柱中，側面ABB[A]為邊長等于2的菱形，且/

AA]B]=60。，Z^ABC為等邊三角形，面ABC上面ABB/1.

(1)求證:A]B]_LAC]；

(2)求側面A/CJ和側面BCCR]所成的二面角的余弦值.

（分）己知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛的前項和為滿足

18.12ajnSn,

；數(shù)列｛bj滿足

（1）求數(shù)列｛aj,｛bj的通項公式；

（2）設數(shù)列｛ajb）的前n項和為1；,當二＞2017時，求正整數(shù)n的最小值.

19.（12分）2017年由央視舉辦的一檔文化益智節(jié)目《中國詩詞大會》深受觀

眾喜愛，某記者調查了部分年齡在［10,70］的觀眾，得到如下頻率分布直方圖.若

第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有4人.

（1）請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

（2）現(xiàn)根據(jù)觀看年齡，從第四組和第六組的所有觀眾中任意選2人，記他們的

年齡分別為x,y,若|x-y|，10,則稱此2人為“最佳詩詞搭檔"，試求選出的2

人為"最佳詩詞搭檔”的概P;

（3）以此樣本的頻率當作概率，現(xiàn)隨機從這組樣本中選出3名觀眾，求年齡不

低于40歲的人數(shù)￡的分布列及期望.

20.(13分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2.

(1)若曲線f(x)=xlnx在x=l處的切線與函數(shù)g(x)=-x2+ax-2也相切，求

實數(shù)a的值；

（2）求函數(shù)f（x）在上的最小值;

（3）證明：對任意的xW（0,+8）,都有成立.

21.（14分）如圖，已知橢圓的左焦點F為拋物線丫2=

-4x的焦點，過點F做x軸的垂線交橢圓于A,B兩點，且|AB|=3.

（1）求橢圓C的標準方程：

（2）若M,N為橢圓上異于點A的兩點，且滿足，問直線MN

的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

2017年山東省煙臺市高考數(shù)學一模試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個

選項中，只有一個選項符合題目要求.

1.若集合A={-1,0,1,2,3},B={y|y=2x-1,xGA},集合C=AAB,則C

的真子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【考點】子集與真子集.

【分析】先求出集合B,從而求出集合C=ACB,由此能求出C的真子集個數(shù).

【解答】解：集合A={-1,0,1,2,3},

B={y|y=2x-1,xGA}={-3,-1,1,3,5},

二集合C=AAB={-1,1,3},

AC的真子集個數(shù)為23-1=7.

故選：C.

【點評】本題考查交集的求法及應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集

定義的合理運用.

2.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位，a為實數(shù)）為純虛數(shù)，則不等式|x+a|+|x|>3的

解集為（）

A.{x|x>l}B.{x|x<-2}C.{x|xV-l或x>2}D.{x|xV-2或x>l}

【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；絕對值不等式的解法.

【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0求得a

值，再由絕對值的幾何意義求得不等式|x+a|+|x|>3的解集.

【解答】解：???=為純虛數(shù)，

,解得a=l.

/.|x+a|+|x|>3<=>|x+l|+|x|>3,

由絕對值的幾何意義可得：*<-2或*>1.

，不等式|x+a|+|x|>3的解集為{x|xV-2或x>l}.

故選：D.

【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了絕對值不等式的解法，是基

礎的計算題.

是"函數(shù)為奇函數(shù)”的()

3."m=l"f(x)=log2(1+mx)-log2(1-mx)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【分析】利用函數(shù)的奇偶性的判定方法、簡易邏輯的判定方法即可得出.

【解答】解:函數(shù)為奇函數(shù)，則

f(x)=log2(1+mx)-log2(1-mx)f(-x)

+f(x)=log2(1-mx)-log2(1+mx)+log2(1+mx)-log2(1-mx)=0,m,x

滿足：.

可得是"函數(shù)為奇函數(shù)",反之不成立,

"m=l"f(x)=log2(1+mx)-log2(1-mx)

例如取m=-1.

因此是"函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要

"m=l"f(x)=log2(1+mx)-log2(1-mx)

條件.

故選：A.

【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計

算能力，屬于中檔題.

4.用0,1,2,299給300名高三學生編號，并用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取

15名學生的數(shù)學成績進行質量分析，若第一組抽取的學生的編號為8,則第三組

抽取的學生編號為()

A.20B.28C.40D.48

【考點】系統(tǒng)抽樣方法.

【分析】根據(jù)已知計算出組距，可得答案.

【解答】解：因為是從300名高三學生中抽取15個樣本，

...組距是20,

?.?第一組抽取的學生的編號為8,

,第三組抽取的學生編號為8+40=48.

故選：D.

【點評】本題考查系統(tǒng)抽樣的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意熟練掌

握系統(tǒng)抽樣的概念

5.若a,0是兩個不同平面，m,n是兩條不同直線，則下列結論錯誤的是（）

A.如果m〃n,a〃0,那么m與a所成的角和n與。所成的角相等

B.如果m_Ln,m±a,n〃B，那么a_L0

C.如果a〃dmua,那么m〃0

D.如果m_l_a,n〃a,那么m_Ln

【考點】平面的基本性質及推論.

【分析】根據(jù)空間直線與平面的位置關系的判定方法及幾何特征，分析判斷各個

結論的真假，可得答案.

【解答】解：A、如果m〃n,a〃B，那么m,n與a所成的角和m,n與。所成

的角均相等，故正確；

B、如果m_Ln,m±a,n〃0,不能得出a_L0,故錯誤；

C、如果a〃B，mua,那么m與B無公共點，則m〃0.故正確；

D、如果n〃a,則存在直線lua,使n〃l,由m_La,可得mJLI,那么m_Ln.故

正確，

頻B.

【點評】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了空間苜線與平面的位置關

系，碰中檔.

6.一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中俯視圖是一個正三角形及其內切圓,

則該幾何體的體積為（）

A.B.C.D.

【考點】由三視圖求面積、體積.

【分析】由三視圖得出幾何體是一個三棱柱中間挖去一個內切圓柱，結合圖中

數(shù)據(jù)求出體積.

【解答】解：由幾何體的三視圖可得：

該幾何體是一個三棱柱，中間挖去一個內切圓柱；

且正三棱柱的底面邊長為，高也為4；

所以組合體的體積為

V=V-V=X42X4-X4=16-

三棱柱圓柱

故選：A.

【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的體積問題，是基礎題目.

7.若變量x,y滿足則的最小值為（）

A.B.C.D.

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【分析】由約束條件作出可行域，再由=的幾何意義，即可行域內的

動點與定點P（）連線斜率倒數(shù)的2倍求解.

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,

B(0,2),A(1,0),

=的幾何意義為可行域內的動點與定點P（）連線斜率倒數(shù)的

2倍，

kPA==，kpB="

...的最小值為2X

故選：A.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法與數(shù)學轉化

思想方法，是中檔題.

8.已知函數(shù)f（x）=Asin（ax+巾）（A>0,W>0,0<4）<n）,其導函數(shù)的圖象

f'（x）如圖所示，則的值為（）

A.B.2C.D.4

【考點】由小的卜（3X+巾）的部分圖象確定其解析式.

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)的周期，求出3,利用振幅求出A,利

用導函數(shù)經過（，-2）,求出力，得到函數(shù)的解析式，即可得解.

【解答】解：函數(shù)的導函數(shù)f'（x）=U）ACOS（3X+4））,由圖象可知f'（X）的周期

為4n.

所以3=.

又因為A3=2.

所以A=4.

函數(shù)經過(，-2),

所以-2=2cos(X+4)),0<4)<n,

所以X+4)=TI,即4)=.

所以f(x)=4sin(x+).

所以f()=4sin(X+)=4.

故選：D.

【點評】本題主要考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的圖象的關系，考查計算能力和數(shù)形結

合思想的應用，屬于中檔題.

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的n值為()

A.4B.6C.8D.12

【考點】程序框圖.

【分析】算法的功能是求$=++...+的值，利用等比數(shù)列的前n項和公式求

得滿足條件S>的最小的n值.

【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求5=++...+的值，

VS=++...+>=n>7,

，跳出循環(huán)體的n值為8,.?.輸出n=8.

故選C.

【點評】本題考查了循環(huán)結構的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷是否的功能是關

鍵.

10.已知，若不等式f(x-1)2f(x)對一切xGR恒成立,

則實a數(shù)的最大值為()

A.B.-1C.D.1

【考點】函數(shù)恒成立問題.

【分析】作出函數(shù)f(X)的圖象，利用函數(shù)f(x-1)的圖象高于f(X)的圖象,

進行求解即可.

【解答】解：作出函數(shù)f(X)和f(X-1)的圖象，

當a20時，f(x-1)(x)對一切xGR不恒成立(如圖1)

當a<0時，f(x-1)過定點(1,0)(如圖2),

當x>0時，f(x)=ax2+x的兩個零點為x=0和x=-,

要使不等式f(x-l)2f(x)對一切xGR恒成立，

則只需要-W1,得aW-1,

即a的最大值為-1,

故選：B

【點評】本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)圖象平移關系，利用數(shù)形結

合是解決本題的關鍵.綜合性較強.

二、填空題：本大題共有5個小題，每小題5分，共25分.

11.若，則展開式中的常數(shù)項為-160.

【考點】二項式系數(shù)的性質.

【分析】根據(jù)定積分求出a的值，再利用二項式展開式的通項公式求出常數(shù)項的

值.

【解答】解：若，

貝U21nx=2(Ine-Ini)=2,即a=2,

???展開式的通項公式為：

T=*X6-r*=(-2)r**X6-2r,

令6-2r=0,解得r=3；

,展開式的常數(shù)項為：

T『(-2)3?=-160.

故答案為：-160.

【點評】本題考查了二項式展開式的通項公式與定積分的計算問題,是基礎題目.

12.已知x,y均為正實數(shù)，若=(x,y-1),=(2,1),且J_,則的

最小值是8.

【考點】基本不等式.

【分析】，，考點?=0,即2x+y=l.再利用“乘1法"與基本不等式的性質即

可得出.

【解答】解：J_,；?,=2x+y-1=0,即2x+y=l.

又x,y均為正實數(shù)，

則=(2x+y)=4+24+2=8,當且僅當y=2x=時取等號.

故答案為：8.

【點評】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質、向量垂直與數(shù)量積的關系,

考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

13.過雙曲線的右支上一點P分別向圓J：(x+3)2+y2=4和圓C2：(x

-3)2+y2=l作切線,切點分別為A,B,則|PA|2-|PB|2的最小值為9.

【考點】雙曲線的簡單性質.

【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設雙曲線X2-=1的左右焦點為FJ-3,0),

F2(3,0),連接PF】，PF2，F(xiàn)^,F2B,運用勾股定理和雙曲線的定義，結合三

點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值.

【解答】9解：圓J：(x+3)2+y2=4的圓心為(-3,0),半徑為「=2；

圓C2：(x-3)2+y2=l的圓心為(3,0),半徑為fl,

設雙曲線X2-=1的左右焦點為F](-4,0),F2(4,0),

連接PF】，PF2，F(xiàn)/,F2B,可得

|PA|2-|PB12=(|PF/2-rj)-(|PF2h-r22)

=(|PF12-4)-(|PF2|2-1)

=|PFJ2-|PF2|2-3=(|PFJ-|PF2|)(IPFJ+IPFJ)-3

=2a(iPFj+lPFj-3=2(IPFX|+1PF21)-3》2?2c-3=2?6-3=9.

當且僅當P為右頂點時，取得等號，

即最小值9.

故答案為：9

【點評】本題考查最值的求法，注意運用雙曲線的定義和圓的方程，考查三點共

線的性質，以及運算能力，屬于中檔題.

14.從曲線X2+y2=|x|+|y|所圍成的封閉圖形內任取一點，則該點在單位圓中的

概率為.

【考點】幾何概型.

【分析】分別按x>0,y>0和x>0,yWO和xWO,y>0和xWO,yWO討論，

這樣絕對值就可以去掉了，每種情況得到的曲線都是圓的部分，即可得出結論.

【解答】解：分別按x>0,y>0和x>0,yWO和x〈0,y>0和xWO,yWO討

論，

這樣絕對值就可以去掉了，每種情況得到的曲線都是圓的部分，

當x>0,y>0,原方程可化為：（x-）2+（y-）2=,

它表示圓心在（，），半徑為的圓在第一象限的部分.

當x>0,yWO,原方程可化為：(x-)2+(y+)2=,

它表示圓心在（，-）,半徑為的圓在第四象限的部分.

當xWO,y>0,原方程可化為：（x+)2+(y-)2=,

它表示圓心在（-,）,半徑為的圓在第二象限的部分.

當xWO,yWO,原方程可化為：（x+)2+(y+)2=

它表示圓心在（-,）,半徑為的圓在第三象限的部分.

綜上，四個部分都是半圓，并且它們正好圍成了一個封閉的區(qū)域.

這個區(qū)域的面積可以割成四個半圓和一個正方形，其中正方形的邊長就是半圓的

直徑.

所以總面積S=()2+()2H*2=2+H,

故該點在單位圓中的概率p=

故答案為：

【點評】本題考查圓的一般方程，考查面積的計算，考查分類討論的數(shù)學思想,

考查學生的計算能力，屬于中檔題.

15.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的導函數(shù).給出如下四個

結論：

①若,且f(0)=e,則函數(shù)xf(x)有極小值0；

②若xf'(x)+2f(x)>0,則4f(2n-i)<f(2n),nGN*；

③若f'(x)-f(x)>0,則f(2017)>ef(2016)；

④若f'(x)+f(x)>0,且f(0)=1,則不等式f(x)Vex的解集為(0,+8).

所有正確結論的序號是.

【考點】命題的真假判斷與應用；導數(shù)的運算.

【分析】由各個選項中的條件分別構造函數(shù)g(x),由求導公式和法則求出gz

(x)后由條件判斷出符號，由導數(shù)與函數(shù)單調性的關系判斷出g(x)的單調性,

由條件和函數(shù)的單調性進行判斷即可.

【解答】解：①、設g(x)=xf(x),則g'(x)=f(x)+xf(x),

???

?，??，

則函數(shù)g(x)在(-8,0)遞減，在(0,+8)上遞增，

，函數(shù)g(X)的極小值是g(0)=0,①正確；

②、設g(X)=X2f(x),

則g'(x)=2xf(x)+X2f(x)=x[xf'(x)+2f(x)],

Vxf'(x)+2f(x)>0,

，則函數(shù)g(x)在(-8,o)遞減，在(0,+8)上遞增，

V2n+l>2n>0,：.g(2ml)>g(2n),即4f(2n+l)>f(2n),②不正確；

③、設g(X)=,則g'(X)==,

Vf(x)-f(x)>0,Ag'(x)>0,即g(x)在R上是增函數(shù)，

Ag(2017)>g(2016),則，

即f(2017)>ef(2016),③正確；

④、g(x)=exf(x),

則g'(x)=exf(x)+exf(x)=ex[f(x)+f(x)],

'對任意xdR滿足f(x)+f(x)>0,ex>0,

...對任意XGR滿足g，(x)>0,則函數(shù)g(x)在R上是增函數(shù)，

Vf(0)=1,且f(x)Vex的化為g(x)<l=g(0),即xVl,

則不等式的解集是(-8,1),④不正確；

故答案為：①③.

【點評】本題考查導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，函數(shù)單調性的應用，以及構造法的

應用，考查化簡、變形能力.

三、解答題：本大題共6個小題，共75分.

16.(12分)(2017?煙臺一模)在AABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,

b,c,且.

(1)將函數(shù)的圖象向右平移角A個單位可得到

函數(shù)g(x)=-cos2x的圖象，求小的值；

(2)若AABC的外接圓半徑為:L,求^ABC面積的最大值.

【考點】函數(shù)y=Asin(u)x+4))的圖象變換；正弦定理.

【分析】(1)根據(jù)利用正弦定理求解出角A大小，根據(jù)三角函數(shù)圖

象的平移變換即可求解。的值.

(2)根據(jù)aABC的外接圓半徑為1,利用正弦定理和余弦定理，結合基本不等

式可得4ABC面積的最大值.

【解答】解：由和正弦定理可得：，

整理得：sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,即sinC=2sinCcosA,

VsinCT^O,

/.cosA=,0<A<TI,

將函數(shù)的圖象向右平移角A個單位，可得：sin[2

(x-)+e].

由題意可得:sin[2(x-)+4)]=-cos2x,即sin(2x-+(j))=sin(2x-由

A4)=+2kR(kez),

+2kn(kGZ),

V0<4),

4)=.

(2)根據(jù)AABC的外接圓半徑為1,A=,

/.2RsinA=a,即a=.

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,可得:3=bz+cz-be,

即3+bc22bc,可得bcW3,當且僅當b=c是取等號.

.,.△ABC面積的最大值

【點評】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，正弦定理和余弦定理，基本不等

式等知識點的靈活運用和計算能力.

17.(12分)(2017?煙臺一模)如圖所示的三棱柱中，側面ABBS1為邊長等

于2的菱形，且NAA]B『60。，△ABC為等邊三角形，面人8(：_1_面ABBJ].

(1)求證：A[B]_LAC]；

(2)求側面A/CJ和側面BCCR]所成的二面角的余弦值.

【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系.

【分析】(1)取AR1的中點O,連結。A,0C],只證AR面AOQ即可得到AR

LAC1.

(2)先證明AOLAC].再以。為坐標原點，OAj0A,0C1方向為x、y、z軸建

立坐標系0-xyz.求出平面A]ACC]、平面BCAC1B1的法向量即可

【解答】解：(1)證明：取AR1的中點0,連結0A,0C],

因為,AABC為等邊三角形，.?.CiOLAjB],

在△A/O中，A]A=2,A]O=1,NAA[B]=60°,可得OA_LOA/

，AiBi_LCi。，A]B]J_OA,OACOC]=O,Z.面AOJ

而AQu面AOC/ARiJLACi.

(2)?.?面人月?lián)?_1_面ABBS1,面ARFin面ABB]A『B]Ai，且.工0

，面ABBA，

OAc面ABB^jAAOlA^.

由(1)知OALOAjOA]J_O(：i，故可以0為坐標原點，OAjOA,OJ方向為

x、y、z軸建立坐標系。-xyz.

A1(1,0,0),A(0,,0),J(0,0,),B](-1,0,0),C(-1,

設為平面'ACCl的法向量，則，可得

設為平面BCAQB］的法向量，則，可得

側面A］ACC］和側面BCCRi所成的二面角的余弦值為

【點評】本題考查了線線垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題.

18.（12分）（2017?煙臺一模）己知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛aj的前n項和為S”,

滿足；數(shù)列｛bj滿足

（1）求數(shù)列｛aj,｛bj的通項公式;

(2)設數(shù)列｛ajb)的前n項和為'，當'>2017時，求正整數(shù)n的最小值.

【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.

【分析】(1)由(n22),可得(n23),兩

式相減得a'a”廣1(nN3).再由a2-a「l,可得數(shù)列｛a,為等差數(shù)列，則數(shù)

列｛aj的通項公式可求，再由，得(n

22).兩式相比可得：(n22),驗證首項后得；

(2)由(1)可知，，然后利用錯位相減法求得天,結合單調性及

可得正整數(shù)的最小值.

TO=3586>2017,T/=1538<2017.n

【解答】解：(1),/(n》2),(n23),

兩式相減得：，則a。-a。廣1(n23).

又?:

,a1=l,I.,

Va2>0,.,.a2=2.

顯然

a2-a1=l.

/.an-an.1=1(nN2).

數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，又a「l,

Aan=n-

,/,：.(n22).

兩式相比可得：(n22),

當n=l時，b『2滿足題意,

???

(2)由(1)可知，，

兩式相減可得:=-2+2n+l-n?2n+l.

故

,/>0,

隨n的最大而最大，

而TO=3586>2017/,T=1538<2017.

正整數(shù)n的最小值為8.

【點評】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式的求法，訓

練了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，是中檔題.

19.（12分）（2017?煙臺一模）2017年由央視舉辦的一檔文化益智節(jié)目《中國

詩詞大會》深受觀眾喜愛，某記者調查了部分年齡在［10,70］的觀眾，得到如下

頻率分布直方圖.若第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有4人.

（1）請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

（2）現(xiàn)根據(jù)觀看年齡，從第四組和第六組的所有觀眾中任意選2人，記他們的

年齡分別為x,y,若|x-y|210,則稱此2人為“最佳詩詞搭檔"，試求選出的2

人為"最佳詩詞搭檔”的概P;

（3）以此樣本的頻率當作概率，現(xiàn)隨機從這組樣本中選出3名觀眾，求年齡不

低于40歲的人數(shù)￡的分布列及期望.

【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其

分布列.

【分析】（1）設第四、五組的頻率分別為x,y,則2y=x+0.005X10,x+y=l-

（0.005+0.015+0.02+0.035）X10,聯(lián)立解得:x,y.從而得出直方圖.

（2）由題意第四組人數(shù)為4X=12.可得P=

（3）由題意可得：樣本總人數(shù)==80,年齡不低于40歲的人數(shù)為：80X

(0.05+0.10+0.15)=24.故在樣本中任選1人，其年齡不低于40歲的概率為

=.X的可能取值為0,1,2,3.P(1=k)=,即可得

出.

【解答】解：(1)設第四、五組的頻率分別為x,y,則2y=x+0.005X10,x+y=l

-(0.005+0.015+0.02+0.035)X10,

聯(lián)立解得：x=0.15,y=0.10.從而得出直方圖，=15X0.2+25X0.15+35X0.35+45

X0.15+55X0.1+65X0.05=34.5.

(2)由題意第四組人數(shù)為4X=12.."==.

(3)由題意可得：樣本總人數(shù)==80,年齡不低于40歲的人數(shù)為：80X

(0.05+0.10+0.15)=24.故在樣本中任選1人，其年齡不低于40歲的概率為

=.X的可能取值為0,1,2,3.

P(￡=k)=，可得p(1=o)=,p(￡=1)=,P(￡=2)

=,P(￡=3)=.

可得￡的分布列：

￡0123

P

B,則E￡=3X=

【點評】本題考查了頻率分布直方圖的性質、二項分布列的性質及其數(shù)學期望計

算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

20.(13分)(2017?煙臺一模)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-xz+ax-2.

(1)若曲線f(x)=xlnx在x=l處的切線與函數(shù)g(x)=-x2+ax-2也相切，求

實數(shù)a的值；

(2)求函數(shù)f(x)在上的最小值;

(3)證明：對任意的xd(0,+8),都有成立.

【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，計算f(1),f(1)的值，求出切線方程即可;

(2)求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論t的范圍求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出f(x)

的最小值即可；

(3)設m(x)=-,(xG(0,+°°)),求出m(x)的導數(shù)，求出m(x)

的最大值，得至Uf(x).2m(x)恒成立，從而證明結論即可.

【解答】解:(1)f(x)=lnx+x*=lnx+l,

x=l時，V(1)=1,f(1)=0,

故f(x)在x=l處的切線方程是：y=x-1,

聯(lián)立，

消去y得:X2+(1-a)x+l=0,

由題意得：△=(1-