2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識點(diǎn)分類）等邊三角形的性質(zhì)

等邊三角形的性質(zhì)26．（2023?涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是1+3．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)．【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接OD及DC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到OC小于等于OD+DC，只有當(dāng)O、D及C共線時(shí)，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長為2，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到BD為1，根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長求出OD的長，進(jìn)而求出DC+OD，即為OC的最大值．【解答】解：取AB中點(diǎn)D，連OD，DC，∴OC≤OD+DC，當(dāng)O、D、C共線時(shí)，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC為等邊三角形，D為AB中點(diǎn)，∴BD＝1，BC＝2，∴CD=B∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴OD=12∴OD+CD＝1+3，即OC的最大值為1+故答案為：1+3【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，其中找出OC最大時(shí)的長為CD+OD是解本題的關(guān)鍵．等邊三角形的性質(zhì)37．（2023?濱州）已知點(diǎn)P是等邊△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，若∠APC＝104°，則在以線段AP，BP，CP為邊的三角形中，最小內(nèi)角的大小為（）A．14° B．16° C．24° D．26°【答案】B【分析】過點(diǎn)P作PD∥AB交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)PE∥AC交AB于點(diǎn)E，四邊形AEPD為平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)易得△CDP為等邊三角形，△BEP為等邊三角形，則CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP就是以線段AP，BP，CP為邊的三角形，求出△AEP的三個(gè)內(nèi)角即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PD∥AB交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)PE∥AC交AB于點(diǎn)E，則四邊形AEPD為平行四邊形，∴DP＝AE，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，∵PD∥AB，∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，∴△CDP為等邊三角形，∴CP＝DP＝CD，∴CP＝DP＝AE，∵PE∥AC，∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，∴△BEP為等邊三角形，∴BP＝EP＝BE，∴△AEP就是以線段AP，BP，CP為邊的三角形，∵∠APC＝104°，∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°，∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴以線段AP，BP，CP為邊的三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為16°、44°、120°，∴最小內(nèi)角的大小為16°．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，根據(jù)題意正確畫出圖形，推理論證得到△AEP就是以線段AP，BP，CP為邊的三角形是解題關(guān)鍵．等邊三角形的性質(zhì)32．（2023?荊州）如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于E，連接DE．求證：CD＝CE．【答案】見解析．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠2＝30°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵BD是等邊△ABC的中線，∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，∴∠DBC＝30°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠2＝30°，∴CD＝CE．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等邊三角形的性質(zhì)22．（2023?武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點(diǎn)．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是m2+?【答案】m2【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△BDE≌△FDE，根據(jù)已知條件得到圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，求得S△FHG＝S△ADG+S△CHE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵折疊△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，∵DE平分等邊△ABC的面積，∴圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，∴S△ADGS△FHG∴S△ADG∴GH2＝m2+n2，解得GH=m2+n故答案為：m2【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等邊三角形的性質(zhì)36．（2023?武威）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點(diǎn)D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長于點(diǎn)E，則∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝60°，根據(jù)等邊三角形三線合一可得∠CBD＝30°，再根據(jù)作圖可知BD＝ED，進(jìn)一步可得∠DEC的度數(shù)．【解