初中數(shù)學(xué)120大招-115 分類討論思想

分類討論思想【規(guī)律總結(jié)】每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會(huì)影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。分類討論類型【類型一、與數(shù)與式有關(guān)的分類討論】熱點(diǎn)1：實(shí)數(shù)分類、絕對值、\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"算術(shù)平方根熱點(diǎn)2：與函數(shù)及圖象有關(guān)的分類討論：變量取值范圍、增減性熱點(diǎn)3：含參不等式熱點(diǎn)4：涉及問題中待定參數(shù)的變化范圍的分類討論。熱點(diǎn)5：含參方程【類型二：三角形中的分類討論】熱點(diǎn)1.與等腰三角形有關(guān)的分類討論：在等腰三角形中，無論邊還是頂角、底角不確定的情況下，要分情況求解，有時(shí)要分鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形分別討論解決．（1）

與角有關(guān)的分類討論（2）

與邊有關(guān)的分類討論（3）

與高有關(guān)的分類討論熱點(diǎn)2：與直角三角形有關(guān)的分類討論：在直角三角形中，如果沒有指明哪條邊是直角邊、斜邊，這需要根據(jù)實(shí)際情況討論；當(dāng)然，在不知哪個(gè)角是直角時(shí)，有關(guān)角的問題也需要先討論后求解．熱點(diǎn)3：與相似三角形有關(guān)的分類討論（1）

對應(yīng)邊不確定（2）

對應(yīng)角不確定【類型三：圓中的分類討論】熱點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不確定熱點(diǎn)2：弦所對弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論熱點(diǎn)3：兩弦與直徑位置熱點(diǎn)4：直線與圓的位置的不確定熱點(diǎn)5：圓與圓的位置的不確定【典例分析】例1、等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2-4x+k=0的兩個(gè)根，則k的值為A.3 B.4 C.3或4 D.7【答案】C【解析】【分析】

本題考查了根的判別式、一元二次方程的解、等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系，分3為腰長及3為底邊長兩種情況，求出k值是解題的關(guān)鍵．

當(dāng)3為腰長時(shí)，將x=3代入原一元二次方程可求出k的值；當(dāng)3為底邊長時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出根的判別式△=0，解之可得出k值，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出兩腰之和，將其與3比較后可得知該結(jié)論符合題意．

【解答】

解：當(dāng)3為腰長時(shí)，將x=3代入x2-4x+k=0，得：32-4×3+k=0，

解得：k=3；

當(dāng)3為底邊長時(shí)，關(guān)于x的方程x2-4x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴△=(-4)2-4×1×k=0，

解得：k=4，此時(shí)兩腰之和為4，4>3，符合題意．

∴k的值為例2、有兩種消費(fèi)券：A券，滿60元減20元，B券，滿90元減30元，即一次購物大于等于60元、90元，付款時(shí)分別減20元，30元．小敏有一張A券，小聰有一張B券，他們都購了一件標(biāo)價(jià)相同的商品，各自付款，若能用券時(shí)用券，這樣兩人共付款150元，則所購商品的標(biāo)價(jià)是______元．【答案】100或85【解析】解：設(shè)所購商品的標(biāo)價(jià)是x元，則

①所購商品的標(biāo)價(jià)小于90元，

x-20+x=150，

解得x=85；

②所購商品的標(biāo)價(jià)大于90元，

x-20+x-30=150，

解得x=100．

故所購商品的標(biāo)價(jià)是100或85元．

故答案為：100或85．

可設(shè)所購商品的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)小敏有一張A券，小聰有一張B券，他們都購了一件標(biāo)價(jià)相同的商品，各自付款，若能用券時(shí)用券，這樣兩人共付款150元，分①所購商品的標(biāo)價(jià)小于90元；②所購商品的標(biāo)價(jià)大于90元；列出方程即可求解．

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，屬于商品銷售問題，注意分兩種情況進(jìn)行討論求解．

例3、如圖，拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A(-3,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AC，BC.M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N.設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(m,0)，請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？

(3)試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，

解得a=-13b=13，

故拋物線的表達(dá)式為：y=-13x2+13x+4；

(2)由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C(0,4)，

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y=-x+4；

設(shè)點(diǎn)M(m,0)，則點(diǎn)P(m,-13m2+13m+4)，點(diǎn)Q(m,-m+4)，

∴PQ=-13m2+13m+4+m-4=-13m2+43m，

∵OB=OC，故∠ABC=∠OCB=45°，

∴∠PQN=∠BQM=45°，

∴PN=PQsin45°=22(-13m2+43m)=-26(m-2)2+223，

∵-26<0，故當(dāng)m=2時(shí)，PN有最大值為223；

(3)存在，理由：

點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4)，則AC=5，

①當(dāng)AC=CQ時(shí)，過點(diǎn)Q作【解析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、勾股定理、等腰三角形的概念等，其中(3)，要注意分類求解，避免遺漏．

(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

(2)PN=PQsin45°=22(-13m2+43m)=-【好題演練】一、選擇題若點(diǎn)A(a-1,y1)，B(a+1,y2)在反比例函數(shù)y=kA.a<-1 B.-1<a<1

C.a>1 D.a<-1或a>1【答案】B【解析】【分析】

此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握當(dāng)k<0時(shí)，在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)(a-1,y1)、(a+1,y2)在圖象的同一支上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)(a-1,y1)、(a+1,y2)在圖象的兩支上時(shí)，分別列不等式求解即可．

【解答】

解：∵k<0，

∴在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，

①當(dāng)點(diǎn)(a-1,y1)、(a+1,y2)在圖象的同一支上，

∵y1>y2，

∴a-1>a+1，

此不等式無解；

在平面直角坐標(biāo)系中，已知a≠b，設(shè)函數(shù)y=(x+a)(x+b)的圖象與x軸有M個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)y=(ax+1)(bx+1)的圖象與x軸有N個(gè)交點(diǎn)，則(????)A.M=N-1或M=N+1 B.M=N-1或M=N+2

C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N-1【答案】C【解析】【分析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式的取值確定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為字母的代數(shù)式時(shí)，要根據(jù)系數(shù)是否為0，確定它是什么函數(shù)，進(jìn)而確定與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

先把兩個(gè)函數(shù)化成一般形式，若為二次函數(shù)，再計(jì)算根的判別式，從而確定圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，若一次函數(shù)，則與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此解答．

【解答】解：∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，

∴△=(a+b)2-4ab=(a-b)2>0，

∴函數(shù)y=(x+a)(x+b)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

∴M=2，

∵函數(shù)y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1，

∴當(dāng)ab≠0時(shí)，△=(a+b)2-4ab=(a-b)2>0，函數(shù)y=(ax+1)(bx+1)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，即N=2，此時(shí)M=N；

當(dāng)ab=0時(shí)，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函數(shù)y=(ax+1)(bx+1)=bx+1平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,2)，B(4,0)，若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是(????)A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】此題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用分類討論的思想方法求解．

【解答】解：如圖，?①當(dāng)AB=AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作圓，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，即O(0,0)，C0(0,4)，其中點(diǎn)C0與A、?②當(dāng)AB=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑作圓，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，均符合題意;

?③當(dāng)AC=BC時(shí)，作AB的垂直平分線，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，均符合題意.所以滿足條件的點(diǎn)C有5個(gè)，

故選A．

已知∠AOB=70°，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OC，使∠AOC=42°，則∠BOC的度數(shù)為(????)A.28° B.112° C.28°或112° D.68°【答案】C【解析】【分析】

本題考查的是角的計(jì)算，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．根據(jù)題意畫出圖形，此題有兩種情況：①∠AOC在∠AOB的內(nèi)部，②∠AOC在∠AOB的外部，然后結(jié)合角的和差計(jì)算即可．

【解答】

解：如圖，

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)C1重合時(shí)，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-42°=28°；

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)C2重合時(shí)，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．

故選C．已知一次函數(shù)y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b)，函數(shù)y1A. B.

C. D.【答案】A【解析】【試題剖析】

【試題解析】

解：分情況討論：

當(dāng)a>0、b>0時(shí)，直線y1和直線y2都經(jīng)過一、二、三象限，只有選項(xiàng)A符合；

當(dāng)a<0、b>0時(shí)，直線y1經(jīng)過一、二、四象限，直線y2經(jīng)過一、三、四象限，沒有符合的選項(xiàng)；

當(dāng)a>0、b<0時(shí)，直線y1經(jīng)過一、三、四象限，直線y2經(jīng)過一、二、四象限，沒有符合的選項(xiàng)；

當(dāng)a<0、b<0時(shí)，直線y1和直線y2都經(jīng)過二、三、四象限，沒有符合的選項(xiàng)．

故選：A．

分a>0、b>0，a<0、b>0，a>0、

一個(gè)等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程x2-8x+15=0的一根，則此三角形的周長是

A.16 B.12 C.14 D.12或16【答案】A【解析】【分析】

本題考查了解一元二次方程和等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．

先利用因式分解法解方程求出x的值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出三角形的三邊長度，繼而相加即可得．

【解答】

解：解方程x2-8x+15=0，得：x=3或x=5，

若腰長為3，則三角形的三邊為3、3、6，顯然不能構(gòu)成三角形；

若腰長為5，則三角形三邊長為5、5、6，此時(shí)三角形的周長為16，

故選：A二、填空題如圖，∠MAN=60°，若△ABC的頂點(diǎn)B在射線AM上，且AB=2，點(diǎn)C在射線AN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，BC的取值范圍是____．

【答案】3【解析】解：如圖，過點(diǎn)B作BC1⊥AN，垂足為C1，BC2⊥AM，交AN于點(diǎn)C2，

在Rt△ABC1中，AB=2，∠A=60°，

∴∠ABC1=30°，

∴AC1=12AB=1，由勾股定理得：BC1=3，

在Rt△ABC2中，AB=2，∠A=60°，

∴∠AC2B=30°，

∴AC2=4，由勾股定理得：B如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=35a.連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在矩形ABCD的邊上，則a的值為______【答案】53或【解析】【分析】

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．進(jìn)行分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

分兩種情況：①點(diǎn)B'落在AD邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得AB=BE，即可求出a的值；②點(diǎn)B'落在CD邊上，證明△ADB'∽△B'CE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出a的值．

【解答】

解：分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B'落在AD邊上時(shí)，如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠B=90°，

∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在AD邊上，

∴∠BAE=∠B'AE=12∠BAD=45°，

∴AB=BE，

∴35a=1，∴a=53；

②當(dāng)點(diǎn)B'落在CD邊上時(shí)，如圖2．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a．

∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在CD邊上，

∴∠B=∠AB'E=90°，AB=AB'=1，EB=EB'=35a，

∴DB'=B'A2-AD2=1-a2，EC=BC-BE=a-35a=25a.

在△ADB'與△B'CE中，

∠B'AD=∠EB'C=90°-∠AB'D∠D=∠C=90°，

∴△ADB'如圖，在一張長為8cm，寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長為5cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上).則剪下的等腰三角形的面積為

cm2．【答案】252或56【解析】【分析】本題主要考查矩形的角是直角的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，要根據(jù)三角形的腰長的不確定分情況討論．因?yàn)榈妊切窝奈恢貌幻鞔_，所以分①腰長在矩形相鄰的兩邊上，②一腰在矩形的寬上，③一腰在矩形的長上，三種情況討論．①△AEF為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；②先利用勾股定理求出AE邊上的高BF，再代入面積公式求解；③先求出AE邊上的高DF，再代入面積公式求解．

【解答】解：不妨設(shè)重合的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，則有以下三種情況：?①如圖(1)，AE=AF=5，所以所求面積為12?②如圖(2)，AE=EF=5，Rt△BEF中，可求出BE=1，

根據(jù)勾股定理可得BF=EF2-EB?③如圖(3)，AE=EF=5，Rt△DEF中，可求出DE=3，

根據(jù)勾股定理可得DF=EF2-ED綜上所述，剪下的等腰三角形的面積為252cm2或

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，△A'EF與△AEF關(guān)于EF所在直線對稱，連接AC，分別交EA'、EF于點(diǎn)M、N，AB=23，AD=2.若△EMN與△AEF相似，則AF的長為____．【答案】1或3【解析】解：①當(dāng)EM⊥AC時(shí)，△EMN∽△EAF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=2，∠B=90°，

∴tan∠CAB=BCAB=33，

∴∠CAB=30°，

∴∠AEM=60°，

∴∠AEF=30°，

∴AF=AE?tan30°=3?33=1，

②當(dāng)EN⊥AC時(shí)，△ENM∽△EAF，

可得AF=AE?tan60°=3，

故答案為1或3．

分兩種情形①如圖，已知AD//BC，AB⊥BC，AB=3，點(diǎn)E為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，過點(diǎn)B'作AD的垂線，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N.當(dāng)點(diǎn)B'為線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，BE的長為______．【答案】322【解析】【分析】

本題考查了翻折的性質(zhì)，利用翻折的性質(zhì)得出AB=AB'，BE=B'E是解題關(guān)鍵，又利用了相似三角形的性質(zhì)，要分類討論，以防遺漏．

根據(jù)勾股定理，可得EB'，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EN的長，根據(jù)勾股定理，可得答案．

【解答】

解：如圖，

，

由翻折的性質(zhì)，得

AB=AB'，BE=B'E．

①當(dāng)MB'=2，B'N=1時(shí)，設(shè)EN=x，得

B'E=x2+1．

△B'EN∽△AB'M，

ENB'M=B'EAB'，即x2=x2+13，

x2=45，

BE=B'E=45+1=355．

②當(dāng)MB'=1，B'N=2時(shí)，設(shè)EN=x，得

B'E=x如圖，在Rt△ABC的紙片中，∠C=90°，AC=5，AB=13.點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將△ADB折疊得到△ADB'，AB'與邊BC交于點(diǎn)E.若△DEB'為直角三角形，則BD的長是______．【答案】7或26【解析】【試題解析】【分析】

本題考查軸對稱的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，分類討論思想的應(yīng)用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù)．

由勾股定理可以求出BC的長，由折疊可知對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，當(dāng)△DEB'為直角三角形時(shí)，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出BD的長．

【解答】

解：在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=132-52=12．

(1)當(dāng)∠EDB'=90°時(shí)，如圖1，

過點(diǎn)B'作B'F⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)F，

由折疊得：AB=AB'=13，BD=B'D=CF，

設(shè)BD=x，則B'D=CF=x，B'F=CD=12-x，

在Rt△AFB'中，由勾股定理得：

(5+x)2+(12-x)2=132，

即：x2-7x=0，解得：x1=0(舍去)，x2=7，

因此，BD=7．

(2)當(dāng)∠DEB'=90°時(shí)，如圖2，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，

由折疊得：AB=AB'=13，則B'C=13-5=8，

設(shè)BD=x，則

三、解答題在“我為祖國點(diǎn)贊“征文活動(dòng)中，學(xué)校計(jì)劃對獲得一，二等獎(jiǎng)的學(xué)生分別獎(jiǎng)勵(lì)一支鋼筆，一本筆記本．已知購買2支鋼筆和3個(gè)筆記本共38元，購買4支鋼筆和5個(gè)筆記本共70元．

(1)鋼筆、筆記本的單價(jià)分別為多少元？

(2)經(jīng)與商家協(xié)商，購買鋼筆超過30支時(shí)，每增加1支，單價(jià)降低0.1元；超過50支，均按購買50支的單價(jià)售，筆記本一律按原價(jià)銷售．學(xué)校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)一、二等獎(jiǎng)學(xué)生共計(jì)100人，其中一等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于30人，且不超過60人，這次獎(jiǎng)勵(lì)一等獎(jiǎng)學(xué)生多少人時(shí)，購買獎(jiǎng)品總金額最少，最少為多少元？【答案】解：(1)鋼筆、筆記本的單價(jià)分別為x、y元，

根據(jù)題意得，2x+3y=384x+5y=70，

解得：x=10y=6，

答：鋼筆、筆記本的單價(jià)分別為10元，6元；

(2)設(shè)鋼筆的單價(jià)為a元，購買數(shù)量為b元，支付鋼筆和筆記本的總金額w元，

①當(dāng)30≤b≤50時(shí)，

a=10-0.1(b-30)=-0.1b+13，

w=b(-0.1b+13)+6(100-b)

=-0.1b2+7b+600

=-0.1(b-35)2+722.5，

∵當(dāng)b=30時(shí)，w=720，當(dāng)b=50時(shí)，w=700，

∴當(dāng)30≤b≤50時(shí)，700≤w≤722.5；

②當(dāng)50<b≤60時(shí)，a=8，w=8b+6(100-b)=2b+600，

700<w≤720，

∴當(dāng)30≤b≤60時(shí)，w的最小值為700【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，正確的理解題意求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．

(1)鋼筆、筆記本的單價(jià)分別為x、y元，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)鋼筆的單價(jià)為a元，購買數(shù)量為b元，支付鋼筆和筆記本的總金額w元，①當(dāng)30≤b≤50時(shí)，求得w=-0.1(b-35)2+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②當(dāng)50<b≤60時(shí)，求得w=8b+6(100-b)=2b+600，700<w≤720，于是得到當(dāng)30≤b≤60時(shí)，w的最小值為如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點(diǎn)(Q在P、H之間).我們把點(diǎn)P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)“，把PQ?PH的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．

(1)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,4).半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D．

①過點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線m，則⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)______(填“A”.“B”、“C”或“D”)，⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為______；

②若直線n的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+4.求⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M(1,4)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，2為半徑作⊙F.若⊙F與直線1相離，點(diǎn)N(-1,0)是⊙F關(guān)于直線1的“遠(yuǎn)點(diǎn)”.且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是45【答案】(1)①D；20

解：②如圖1-1中，過點(diǎn)O作OH⊥直線n于H，交⊙O于Q，P．

設(shè)直線y=3x+4交x軸于F(-433,0)，交y軸于E(0,4)，

∴OE=4，OF=433

∴tan∠FEO=OFOE=33，

∴∠FEO=30°，

∴OH=12OE=2，

∴PH=OH+OP=3，

∴⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”=PQ?PH=2×3=6．

(2)如圖2-1中，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b．

當(dāng)k>0時(shí)，過點(diǎn)F作FH⊥直線l于H，交⊙F于E，N．

由題意，EN=22，EN?NH=45，

∴NH=10，

∵N(-1,0)，M(1,4)，

∴MN=22+42=25，

∴HM=MN2-NH2=20-10=10，

∴△MNH是等腰直角三角形，

∵M(jìn)N的中點(diǎn)K(0,2)，

∴KN=HK=KM=5，

∴H(-2,3)【解析】【分析】

本題屬于圓綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，遠(yuǎn)點(diǎn)，特征數(shù)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

(1)①根據(jù)遠(yuǎn)點(diǎn)，特征數(shù)的定義判斷即可．

②如圖1-1中，過點(diǎn)O作OH⊥直線n于H，交⊙O于Q，P.解直角三角形求出PH，PQ的長即可解決問題．

(2)如圖2-1中，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b.分兩種情形k>0或k<0，分別求解即可解決問題．

【解答】

解：(1)①由題意，點(diǎn)D是⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，⊙O關(guān)于直線m的特征數(shù)=DB?DE=2×5=20，

故答案為D，20．

②見答案；

(2)如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)P，連接PB，得△PCB≌△BOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)M是點(diǎn)C，F(xiàn)間拋物線上的一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，其橫坐標(biāo)為m．

(1)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，△MAB面積S取得最小值和最大值？請說明理由；

(3)求滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M【答案】解：

(1)當(dāng)y=c時(shí)，有c=-x2+bx+c，

解得：x1=0，x2=b，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,c)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(b,c)．

∵直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3)，

∴OB=3，OA=1，BC=c-3，CP=b．

∵△PCB≌△BOA，

∴BC=OA=1，CP=OB=3，

∴b=3，c=4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4)，拋物線的解析式為y=-x2+3x+4．

(2)當(dāng)y=0時(shí)，有-x2+3x+4=0，

解得：x1=-1，x2=4，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)．

過點(diǎn)M作ME//y軸，交直線AB于點(diǎn)E，如圖1所示．

∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m(0≤m≤4)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,-m2+3m+4)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,-3m+3)，

∴ME=-m2+3m+4-(-3m+3)=-m2+6m+1，

∴S=S△MEB-S△AEM=12OA?ME=-12m2+3m+12=-12(m-3)2+5．

∵-12<0，0≤m≤4，

∴當(dāng)m=0時(shí)，S取最小值，最小值為12；

當(dāng)m=3時(shí)，S取最大值，最大值為5．

(3)

①當(dāng)點(diǎn)M在線段OP上方時(shí)，∵CP//x軸，

∴當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí)，∠MPO=∠POA，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4)；

②當(dāng)點(diǎn)M在線段OP下方時(shí)，在x正半軸取點(diǎn)D，連接DP，使得DO=DP，此時(shí)∠DPO=∠POA．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(n,0)，則DO=n，DP=(n-3)2+(0-4)2，

∴n2=(n-3)2+16【解析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次(二次)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)利用全等三角形的性質(zhì)求出b、c的值；(2)利用三角形的面積公式找出S=-12(m-3)2+5；(3)分點(diǎn)M在線段OP上方和點(diǎn)M在線段OP下方兩種情況求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

(1)代入y=c可求出點(diǎn)C、P的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，過點(diǎn)M作ME//y軸，交直線AB于點(diǎn)E，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)M、E的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出ME的長度，再利用三角形的面積公式可找出S=-12(m-3)2+5，由m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及最小值；

(3)分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)M在線段OP上方時(shí)，由CP//x軸利用平行線的性質(zhì)可得出：當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí)，∠MPO=∠POA，由此可找出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)M在線段OP下方時(shí)，在x正半軸取點(diǎn)D，連接DP，使得DO=DP，此時(shí)∠DPO=∠POA，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(n,0)，則DO=n，DP=(n-3)2+(0-4)2，由DO=DP某市為節(jié)約水資源，制定了新的居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，按照新標(biāo)準(zhǔn)，用戶每月繳納的水費(fèi)y(元)與每月用水量x(m3)之間的關(guān)系如圖所示．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)若某用戶二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超過25m【答案】解：(1)當(dāng)0≤x≤15時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，

15k=27，得k=1.8，

即當(dāng)0≤x≤15時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=1.8x，

當(dāng)x>15時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b，

15a+b=2720a+b=39，得a=2.4b=-9,

即當(dāng)x>15時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2.4x-9，

由上可得，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：

y=1.8x(0≤x≤15)2.4x-9(x>15)；

(2)設(shè)二月份的用水量是xm3，

當(dāng)15<x≤25時(shí)，2.4x-9+2.4(40-x)-9=79.8，

此方程無解；

當(dāng)0<x≤15時(shí)，1.8x+2.4(40-x)-9=79.8，

解得，x=12，【解析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答此類問題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．

(1)根據(jù)函數(shù)圖象可以分別設(shè)出各段的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)題意對x進(jìn)行取值進(jìn)行討論，從而可以求得該用戶二、三月份的用水量各是多少m3．如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分別是線段AC，BC上的點(diǎn)，且四邊形PEFD為矩形．(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的長;(2)若AP=2，求CF【答案】解：(1)在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90∴DC=AB=6，∴AC=A要使△PCD是等腰三角形，有如下三種情況：?①當(dāng)CP=CD時(shí)，CP=6，∴AP=AC-CP=4．?②當(dāng)PD=PC時(shí)，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=AC2，即?③當(dāng)DP=DC時(shí)，過D作DQ⊥AC于Q，則PQ=CQ．∵S∴DQ=AD?DCAC=∴PC=2CQ=365，綜上所述，若△PCD是等腰三角形，則AP=4，或AP=5，或AP=14(2)連接PF，DE，記PF與DE的交點(diǎn)為O.連接OC．∵四邊形ABCD和四邊形PEFD都是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，即∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CD