初中數(shù)學(xué)120大招-附3 將軍飲馬模型

精編120個(gè)中考熱點(diǎn)解題技巧思想以及常見幾何模型添加技巧精髓三角形中的最值（將軍飲馬模型）問題在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認(rèn)識?！灸Ｐ兔枋觥咳鐖D，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最??？這個(gè)問題的難點(diǎn)在于PA+PB是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們知道“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問題，將折線段變?yōu)橹本€段．【模型解析】作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA’+PB=A’B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）【模型展示】【模型】一、兩定一動之點(diǎn)點(diǎn)在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN周長最?。颂嶮、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的對稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當(dāng)P’、M、N、P’’共線時(shí)，△PMN周長最小．【精典例題】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB=30°，OP=8，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，則△PMN周長的最小值為___________．【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA對稱點(diǎn)P’、P’’，化PM+PN+MN為P’N+MN+P’’M．當(dāng)P’、N、M、P’’共線時(shí)，得△PMN周長的最小值，即線段P’P’’長，連接OP’、OP’’，可得△OP’P’’為等邊三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【模型】二、兩定兩動之點(diǎn)點(diǎn)在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長最小?？紤]PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當(dāng)P’、M、N、Q’共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長最小。【模型】三、一定兩動之點(diǎn)線在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OA對稱的點(diǎn)P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過點(diǎn)P’作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）題型精講題型精講題型一：兩定一動模型模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最?。B接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最?。鼽c(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．連接AB并延長交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最?。B接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最小值為0【例1】如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，y），當(dāng)△ABC的周長最短時(shí)，求y的值．【解析】解：解：（1）作A關(guān)于x=3的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線x=3與點(diǎn)C．∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于x=3對稱，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．當(dāng)點(diǎn)B、C、A′在同一條直線上時(shí)，A′C+BC有最小值，即△ABC的周長有最小值．∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于x=3對稱，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（6，3）．設(shè)直線BA′的解析式y(tǒng)=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)A′的坐標(biāo)代入得：k＝，b＝?．∴y=x-．將x=3代入函數(shù)的解析式，∴y的值為【例2】如圖，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一點(diǎn)，且DM＝3，N是AC上的一動點(diǎn)，求|DN－MN|的最小值與最大值．【解析】解：當(dāng)ND=NM時(shí)，即N點(diǎn)DM的垂直平分線與AC的交點(diǎn)，|DN-MN|=0，

因?yàn)閨DN-MN|≤DM，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動到C點(diǎn)時(shí)取等號，此時(shí)|DN-MN|=DM=3，

所以|DN-MN|的最小值為0，最大值為3【例3】如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn),,．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)（請?jiān)趫D1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由.（請?jiān)趫D2中探索）【答案】（1），函數(shù)的對稱軸為：；（2）點(diǎn)；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【解析】解：根據(jù)點(diǎn),的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得：，拋物線的表達(dá)式為：，函數(shù)的對稱軸為：；連接交對稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的值為最小，設(shè)BC的解析式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：解得：直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)；存在，理由：四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形，則，點(diǎn)在第四象限，故：則，將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．題型二：一定兩動模型模型作法結(jié)論點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長最?。謩e作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD周長的最小值為P′P″點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最?。鼽c(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P′，過P′作P′C⊥OA交OB于D，點(diǎn)C、點(diǎn)D即為所求．PD＋CD的最小值為P′C【例4】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB=30°，OP=8，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，則△PMN周長的最小值為___________．【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA對稱點(diǎn)P’、P’’，化PM+PN+MN為P’N+MN+P’’M．當(dāng)P’、N、M、P’’共線時(shí)，得△PMN周長的最小值，即線段P’P’’長，連接OP’、OP’’，可得△OP’P’’為等邊三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【例5】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故選：B．【例6】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點(diǎn)G．（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求△PDC周長的最小值．【答案】（1）結(jié)論：CF=2DG，理由見解析；（2）△PCD的周長的最小值為10+2．【詳解】（1）結(jié)論：CF=2DG．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對稱點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時(shí)△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周長的最小值為10+2．【例7】如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A（﹣3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值為．【詳解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣×9+×3+4=5，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC==5，設(shè)M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴當(dāng)時(shí)，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°，即，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；當(dāng)時(shí)，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，即，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）連接DN，AD，如圖，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號），∴DN+AN的最小值=，∴AM+AN的最小值為．題型三：兩定兩動模型模型作法結(jié)論點(diǎn)P、Q在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得四邊形PQDC周長最小．分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P′、Q′，連接P′Q′，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．PC＋CD＋DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC周長的最小值為PQ＋P′Q′【例8】如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，若為邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，若想使得四邊形的周長最小，則的長度應(yīng)為__________.【答案】【詳解】解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長線于H點(diǎn)．

∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，

∵BC//GH∴,

∴,∴，

∴CQ=，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．

故答案為．【例9】如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點(diǎn)A，直線l2上有一動點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．題型四：兩定點(diǎn)一定長模型作法結(jié)論BBAld如圖，在直線l上找M、N兩點(diǎn)(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.BBAlMNA′A"將A向右平移d個(gè)單位到A′，作A′關(guān)于l的對稱點(diǎn)A"，連接A"B與直線l交于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移d個(gè)單位即為M，點(diǎn)M，N即為所求.AM＋MN＋NB的最小值為A"B＋dAABl2l1如圖，l1∥l2，l1、l2間距離為d，在l1、l2分別找M、N兩點(diǎn)，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．AABl2l1A′NM將A向下平移d個(gè)單位到A，連接A′B交直線l2于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN⊥l1，連接AM.點(diǎn)M、N即為所求．AM＋MN＋NB的最小值為A'B＋d.【例10】在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在線段OA上，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，EF＝2.當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【解析】如圖，將點(diǎn)D向右平移2個(gè)單位得到D'(2，2)，作D'關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D"(2，－2)，連接BD"交x軸于點(diǎn)F，將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位到點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)F為所求作的點(diǎn)，且四邊形BDEF周長最小.理由：∵四邊形BDEF的周長為BD＋DE＋EF＋BF，BD與EF是定值.∴BF＋DE最小時(shí)，四邊形BDEF周長最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"設(shè)直線BD"的解析式為y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入，得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝EQ\F(3,2)，b＝－5，∴直線BD"的解析式為y＝EQ\F(3,2)x－5．令y＝0，得x＝EQ\F(10,3)，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為(EQ\F(10,3)，0)．∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(EQ\F(4,3)，0)．【例11】村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？AABl2l1【解答】設(shè)l1和l2為河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河寬，連接AB'交l1于C1，作C1C2⊥l2于C2，則A→C1→C2→B為最短路線，即A與B之間的距離最短.題型一將軍飲馬中兩定一動模型與最值問題【專題說明】這類問題的解法主要是通過軸對稱，將動點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩定點(diǎn)中的一個(gè)映射到直線的另一側(cè)，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題。1、如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個(gè)動點(diǎn)，則下列線段的長度等于最小值的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，，AD是的中線，可得點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AD對稱，連結(jié)CE，交AD于點(diǎn)P，此時(shí)最小，為EC的長，故選B.2、如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動點(diǎn)，則PB+PE的最小值_____．【答案】10【詳解】解：如圖：連接DE交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE為其最小值，∵四邊形ABCD為正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得DE＝＝＝10．∴PB+PE的最小值為10．故答案為10．3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊交軸于點(diǎn)，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）∵是矩形，∴，∵，∴，∴，又∵軸，∴，∴，∵∴，即把點(diǎn)代入的得，∴反比例函數(shù)的解析式為：．答：反比例函數(shù)的解析式為：．（2）過點(diǎn)作垂足為，∵，，∴，∴，∴，則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)，此時(shí)最小，設(shè)直線AB1的關(guān)系式為，將,，代入得，解得：，，∴直線的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)答：點(diǎn)的坐標(biāo)為．4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）請?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；（3）符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣），【詳解】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），∵M(jìn)B=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時(shí)MB+MD的值最小，而BD的值不變，∴此時(shí)△BDM的周長最小，易得直線DB′的解析式為y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；（3）存在．過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，∵直線AC的解析式為y=3x+3，∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）.綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）.5、如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn),,．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)（請?jiān)趫D1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由.（請?jiān)趫D2中探索）【答案】（1），函數(shù)的對稱軸為：；（2）點(diǎn)；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【詳解】解：根據(jù)點(diǎn),的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得：，拋物線的表達(dá)式為：，函數(shù)的對稱軸為：；連接交對稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的值為最小，設(shè)BC的解析式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：解得：直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)；存在，理由：四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形，則，點(diǎn)在第四象限，故：則，將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．題型二將軍飲馬中一定兩動模型與最值問題【專題說明】一定兩動型可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短和點(diǎn)到直線的垂線段最短問題，進(jìn)而求最值。關(guān)鍵是作定點(diǎn)（或動點(diǎn)）關(guān)于動折點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，通過等量代換轉(zhuǎn)化問題?！灸Ｐ驼故尽俊灸Ｐ汀咳?、一定兩動之點(diǎn)線在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OA對稱的點(diǎn)P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過點(diǎn)P’作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）【精典例題】1、如圖，在邊長為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為____.【答案】【詳解】如圖，過C點(diǎn)作BD的平行線，以為對稱軸作B點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)根據(jù)平移和對稱可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，即，又，根據(jù)勾股定理得，，故答案為2、點(diǎn)P是定點(diǎn)，在OA、OB上分別取M、N，使得PM+MN最小?！窘夥ā孔鼽c(diǎn)P關(guān)于OA對稱的點(diǎn)P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過點(diǎn)P’作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（垂線段最短）3、點(diǎn)P是定點(diǎn)，在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN周長最?。窘夥ā糠謩e作點(diǎn)P關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的對稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當(dāng)P’、M、N、P’’共線時(shí)，△PMN周長最?。?、如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A（﹣3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值為．【詳解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣×9+×3+4=5，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC==5，設(shè)M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴當(dāng)時(shí)，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°，即，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；當(dāng)時(shí)，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，即，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）連接DN，AD，如圖，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號），∴DN+AN的最小值=，∴AM+AN的最小值為．4、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點(diǎn)G．（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求△PDC周長的最小值．【答案】（1）結(jié)論：CF=2DG，理由見解析；（2）△PCD的周長的最小值為10+2．【詳解】（1）結(jié)論：CF=2DG．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對稱點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時(shí)△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周長的最小值為10+2．5、如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點(diǎn)E在CD邊上，且DE=2CE，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，則PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．【答案】A【詳解】解：如圖，連接BE，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最?。碢在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE==．故選A．6、如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動點(diǎn)，點(diǎn)N（3，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．【答案】（，）．【詳解】解：作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，則此時(shí)，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴N′M⊥ON，∵點(diǎn)N（3，0），∴ON=3，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案為：（，）．題型三將軍飲馬中兩定兩動模型與最值問題【專題說明】運(yùn)用平移變換，把保持平移后的線段與原來線段平行且相等的特性下，把無公共端點(diǎn)的兩線段移動到具有公共端點(diǎn)的新位置，從而轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題求解最值?！灸Ｐ驼故尽俊灸Ｐ汀慷啥▋蓜又c(diǎn)點(diǎn)在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長最小?？紤]PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當(dāng)P’、M、N、Q’共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長最小?！揪淅}】1、如圖所示拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)，且（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點(diǎn)在直線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），對稱軸為直線；（2）四邊形的周長最小值為；（3）【詳解】（1）∵OB=OC，∴點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3…①；對稱軸為：直線（2）ACDE的周長=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常數(shù)，故CD+AE最小時(shí)，周長最小，取點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對稱點(diǎn)C（2，3），則CD=C′D，取點(diǎn)A′（-1，1），則A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，則BE：AE，=3：5或5：3，則AE=或，即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），將點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）．2、如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，若為邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，若想使得四邊形的周長最小，則的長度應(yīng)為__________.【答案】【詳解】解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長線于H點(diǎn)．∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，∵BC//GH∴,∴,∴，∴CQ=，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．故答案為．3、如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點(diǎn)A，直線l2上有一動點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．4、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值為A．3 B．4 C． D．【分析】此處E點(diǎn)為折點(diǎn)，可作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱，對稱點(diǎn)C’在AB上且在AB中點(diǎn)，化折線段CE+EF為C’E+EF，當(dāng)C’、E、F共線時(shí)得最小值，C’F為CB的一半，故選C．5、如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動點(diǎn)，則CM+MN的最小值是A． B．2 C． D．4【分析】此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN’．因?yàn)镸、N皆為動點(diǎn)，所以過點(diǎn)C作AB的垂線，可得最小值，選C．【突破易錯(cuò)·沖刺滿分】2021-2022中考數(shù)學(xué)期末突破易錯(cuò)挑戰(zhàn)滿分易錯(cuò)05二次函數(shù)中將軍飲馬模型問題【易錯(cuò)1例題】二次函數(shù)中將軍飲馬模型問題1．（2021·廣西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C．（1）若OB=OC=3，求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，求PA+PC的最小值和點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1），對稱軸為直線；（2）最小值為，點(diǎn)P坐標(biāo)(2，1)．【分析】（1）根據(jù)題意得到B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法及對稱軸公式求解即可；（2）連接BC交對稱軸于點(diǎn)P，根據(jù)對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)PA+PC最小，根據(jù)勾股定理可求出最小值，再由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)求出解析式，從而求得點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由題意知，B(3，0)，C(0，3)，將B、C坐標(biāo)代入可得：，解得：，∴拋物線的解析式為，∴對稱軸為直線；（2）∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱，∴連接BC交對稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=PB+PC的值最小，最小值為BC，在中，OB=OC=3，∴，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直線BC的解析式為，把x=2代入得：y=1，∴點(diǎn)P(2，1)，∴PA+PC的最小值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求表達(dá)式，軸對稱最短，勾股定理等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】一、解答題1．（2021·科爾沁左翼中旗教研室九年級期末）如圖，拋物線交軸于A(1，0)，B，交軸于點(diǎn)C，對稱軸是直線（1）求拋物線的解析式（2）求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（3）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使PA＋PC最小，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．【答案】（1）；（2）(2，－1)；（3）存在，P(2，1)【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式先求解出b，再代入A的坐標(biāo)求解出c，從而得出解析式；（2）將（1）中的解析式化為頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；（3）將A對稱至B，連接BC，與對稱軸的交點(diǎn)即為P，再根據(jù)直線BC的解析式與對稱軸求解P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）根據(jù)對稱軸公式，可得：，解得：，即拋物線的解析式為：，將A(1，0)代入得：，∴拋物線的解析式為：；（2）∴頂點(diǎn)坐標(biāo)(2，－1)；（3）存在．連接BC交直線x＝2于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PC＝PB＋PC＝BC最小，點(diǎn)P即為所求，由C(0，3)，B(3，0)，解得直線BC：y＝－x＋3當(dāng)x＝2時(shí)：y=1，∴P(2，1)．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式以及化頂點(diǎn)式，最短路徑問題，熟練掌握最短路徑問題的處理方法是解題關(guān)鍵．2．（2020·四川鳳鳴初中九年級月考）已知，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)和C(0，3)．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最小?如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；（3）設(shè)點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△MAC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或【分析】（1）由點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）連接交拋物線對稱軸于點(diǎn)，此時(shí)取最小值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式，利用配方法可求出拋物線的對稱軸，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，分、和三種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，進(jìn)而即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）將、代入中，得：，解得：，拋物線的解析式為．（2）連接交拋物線對稱軸于點(diǎn)，此時(shí)取最小值，如圖1所示．當(dāng)時(shí)，有，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．拋物線的解析式為，拋物線的對稱軸為直線．設(shè)直線的解析式為，將、代入中，得：，解得：，直線的解析式為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，．分三種情況考慮：①當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；③當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述：當(dāng)是直角三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對稱中的最短路徑問題以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）由兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合拋物線的對稱性找出點(diǎn)的位置；（3）分、和三種情況，列出關(guān)于的方程．3．（2021·河北石家莊市·九年級期末）如圖，拋物線：與拋物線：開口大小相同、方向相反，它們相交于，兩點(diǎn)，且分別與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使的值最小？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）是直線上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，，運(yùn)動到什么位置時(shí)，面積最大？并求出最大面積．【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)；（3）當(dāng)點(diǎn)時(shí)，最大值為【分析】（1）根據(jù)、圖象開口方向相同、方向相反可求得a=﹣1，先求得點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)A坐標(biāo)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入即可求解；（2）作點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接交函數(shù)的對稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的值最小，進(jìn)而求解即可；（3）過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，利用二次函數(shù)求最值的方法求解即可．【詳解】解：（1）令：，則或2，即點(diǎn)，∵、開口大小相同、方向相反，則，則點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入：得：，解得：，故拋物線的解析式為：；（2）存在符合條件的點(diǎn)聯(lián)立、表達(dá)式并解得：或3，故點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接交函數(shù)的對稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的值最小為線段的長度，設(shè)直線的表達(dá)式為y=kx+t，將A（4，0）、（1，3）代入得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為y=﹣x+4，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣2+4=2，故此時(shí)點(diǎn)；（3）直線的表達(dá)式為：，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，∵，故，故當(dāng)點(diǎn)時(shí)，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、三角形的面積公式、坐標(biāo)與圖形、將軍飲馬模型，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，記住常見模型和解題技巧，會做輔助線將三角形分解成兩個(gè)三角形求解是解答的關(guān)鍵．4．（2021·青海九年級期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，其中的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，并經(jīng)過點(diǎn)，是它的頂點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）用配方法將二次函數(shù)的解析式化為的形式，并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使的值最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；；（3）存在，【分析】（1）用待定系數(shù)法求解，把已知三點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式，解方程組即可．（2）利用配方法將拋物線方程轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖中，由A、B關(guān)于對稱軸對稱，連接BC交對稱軸于P，連接PA，此時(shí)PA+PC的值最?。蟪鲋本€BC的解析式，即可解決問題．【詳解】解：（1）∵，，三點(diǎn)在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）存在，理由如下：∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴連結(jié)與對稱軸交于點(diǎn)，此時(shí)的值最小，設(shè)直線的解析式為，，解得，則直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，則．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．5．（2020·鹽城市初級中學(xué)九年級期中）如圖，二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,9），且經(jīng)過點(diǎn)D（3，8）．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)