專題3.11 切線處理情況多曲線不同法定度（原卷版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

專題11切線處理情況多，曲線不同法定度【題型綜述】圓錐曲線的切線問(wèn)題有兩種處理思路：思路1，導(dǎo)數(shù)法，將圓錐曲線方程化為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，特別是焦點(diǎn)在軸上常用此法求切線；思路2，根據(jù)題中條件設(shè)出切線方程，將切線方程代入圓錐切線方程，化為關(guān)于（或y）的一元二次方程，利用切線與圓錐曲線相切的充要條件為判別式，即可解出切線方程，注意關(guān)于（或y）的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件，圓錐曲線的切線問(wèn)題要根據(jù)曲線不同，選擇不同的方法.【典例指引】類(lèi)型一導(dǎo)數(shù)法求拋物線切線例1【2017課表1，文20】設(shè)A，B為曲線C：y=上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4．（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程．【解析】類(lèi)型二橢圓的切線問(wèn)題例2（2014廣東20）（14分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】類(lèi)型三直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)例3.【2013年高考安徽卷】已知橢圓的焦距為4，且過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為.取點(diǎn),連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，問(wèn)這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說(shuō)明理由.【解析】類(lèi)型四待定系數(shù)求拋物線的切線問(wèn)題例4【2013年高考廣東卷】已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．【解析】【擴(kuò)展鏈接】橢圓的切線方程：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是；橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線方程是.雙曲線的切線方程：雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是；雙曲線上一點(diǎn)所引兩條切線方程是.拋物線的切線方程：拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是；拋物線上一點(diǎn)所引兩條切線方程是.4.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)的直線分別與拋物線相切于兩點(diǎn)，則.5.設(shè)橢圓:的焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)的直線分別與橢圓相切于兩點(diǎn)，則.6.設(shè)雙曲線:的焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)的直線分別與橢圓相切于兩點(diǎn)，則.【新題展示】1．【2019福建龍巖質(zhì)檢】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、，拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為等腰直角三角形．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，又過(guò)作拋物線的切線，使得，問(wèn)這樣的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）先寫(xiě)出、的坐標(biāo)，利用為等腰直角三角形，求得p即可．（Ⅱ）依題意，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x+2），，可得切線l1，l2的斜率分別為，．x1x2＝﹣4．再將直線與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理解得k即可．2．【2019河南九師聯(lián)盟2月質(zhì)檢】已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的定點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，且（為常數(shù)），直線與平行，且與拋物線相切，切點(diǎn)為，試問(wèn)的面積是否是定值．若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引導(dǎo)】（1）先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出，求得M坐標(biāo)，帶入拋物線方程，求得p的值，得出結(jié)果．（2）先設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立求解得AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，再設(shè)切線方程，聯(lián)立得切點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用面積公式和已知條件，進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)可得結(jié)果．3．【2019東北師大附中、重慶一中、吉大附中、長(zhǎng)春十一中聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)．（I）求橢圓的方程；（II）若點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同于的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線x=a交于點(diǎn)，證明：以線段為直徑的圓與直線相切．【思路引導(dǎo)】（I）設(shè)橢圓的焦距為，依題意，列出方程組，求得的值，即可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）方法一①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，得到直線的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可證明；②又由可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離等于半徑，可作出證明．方法二：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，再由直線與圓的位置關(guān)系的判定，即可得到結(jié)論．4．【2019河南洛陽(yáng)一模】已知圓，圓心在拋物線上，圓過(guò)原點(diǎn)且與的準(zhǔn)線相切．（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)，點(diǎn)（與不重合）在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：．【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)圓和拋物線的位置關(guān)系，以及圓和準(zhǔn)線相切這一條件得到方程，，從而得到結(jié)果；（2）求出兩條切線方程，再抽出方程，其兩根為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，通過(guò)韋達(dá)定理得到結(jié)果即可．5．【2019江蘇如皋調(diào)研（三)】在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)曲線第一象限上一點(diǎn)（其中）作切線交直線于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，求當(dāng)面積取最大值時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，，．因?yàn)?，，所以，，，得．?）切線：，將代入得，直線：，將代入得，所以，由，得，設(shè)，求取最小值時(shí)，的取值即為所求【同步訓(xùn)練】1．已知橢圓與拋物線y2=2px（p＞0）共焦點(diǎn)F2，拋物線上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于|MF2|﹣1，且橢圓與拋物線的交點(diǎn)Q滿足|QF2|=．（1）求拋物線的方程和橢圓的方程；（2）過(guò)拋物線上的點(diǎn)P作拋物線的切線y=kx+m交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求此切線在x軸上的截距的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）由拋物線的性質(zhì)，求得x=﹣1是拋物線y2=2px的準(zhǔn)線，則，求得p的值，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義，即可求得a的值，由b2=a2﹣c2=8，即可求得橢圓方程；（2）將直線分別代入拋物線，由△=0，求得km=1，將直線方程代入橢圓方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范圍，切線在x軸上的截距為，又，即可求得切線在x軸上的截距的取值范圍．【詳細(xì)解析】2.（2017?雞澤縣校級(jí)模擬）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（0，3）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作橢圓的兩條切線，求其交點(diǎn)的軌跡方程．【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率為，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)，旬出方程組求出a，b，c，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求出橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為=1，①橢圓在點(diǎn)B處的切線方程為=1，②，聯(lián)立①②，得y=，求出交點(diǎn)的軌跡方程為y=．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，無(wú)交點(diǎn)．由此能過(guò)求出過(guò)點(diǎn)A，B所作橢圓的兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程．【詳細(xì)解析】3.設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0），定義橢圓的“伴隨圓”方程為x2+y2=a2+b2；若拋物線x2=4y的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)短軸重合，且橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程；（2）過(guò)“伴隨圓”E上任意一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，延長(zhǎng)PA與“伴隨圓”E交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．①證明：PA⊥PB；②若直線OP，OQ的斜率存在，設(shè)其分別為k1，k2，試判斷k1k2是否為定值，若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由拋物線的方程，求得b的值，利用離心率公式，即可求得a的值，求得橢圓方程；（2）①設(shè)直線y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得kPA?kPB=﹣1，即可證明PA⊥PB；②將直線方程代入圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式求得k1k2=，代入即可求得k1k2=﹣．【詳細(xì)解析】4.左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2的橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（0，），P為橢圓上一點(diǎn)，△PF1F2的重心為G，內(nèi)心為I，IG∥F1F2．（1）求橢圓C的方程；（2）M為直線x﹣y=4上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線MA、MB，A、B為切點(diǎn)，問(wèn)直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由過(guò)點(diǎn)Q，則b=，求得，△PF1F2的重心為G點(diǎn)坐標(biāo)，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根據(jù)三角形的面積公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）利用橢圓的切線發(fā)濃縮，求得直線AB的方程，由點(diǎn)M為直線x﹣y=4上，代入整理即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳細(xì)解析】5.平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦，當(dāng)其中一條弦所在直線斜率為0時(shí)，兩弦長(zhǎng)之和為6．（1）求橢圓的方程；（2）A，B是拋物線C2：x2=4y上兩點(diǎn)，且A，B處的切線相互垂直，直線AB與橢圓C1相交于C，D兩點(diǎn)，求弦|CD|的最大值．【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦，當(dāng)其中一條弦所在直線斜率為0時(shí)，兩弦長(zhǎng)之和為6，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．（2）設(shè)直線AB為：y=kx+m，由，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直推導(dǎo)出直線AB過(guò)拋物線C1的焦點(diǎn)F，再由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦長(zhǎng)公式能求出弦|CD|的最大值．【詳細(xì)解析】6.已知橢圓C：（a＞b＞0）的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且△MNF2的周長(zhǎng)為8，橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M'，N'是直線l上的兩點(diǎn)，且F1M'⊥l，F(xiàn)2N'⊥l，求四邊形F1M'N'F2面積S的最大值．【思路點(diǎn)撥】（1）由△MNF2的周長(zhǎng)為8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）將直線l的方程y=kx+m代入到橢圓方程中，得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0．由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，利用根的判別式求出m2=4+k2．由此利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出四邊形F1M'N'F2面積的最大值．【詳細(xì)解析】7.已知A，B分別是橢圓的長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，D橢圓上的一點(diǎn)，△DF1，F(xiàn)2的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）若P是圓x2+y2=7上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作P橢圓C的切線，切點(diǎn)分別為M，N，求證：PM⊥PN．【思路點(diǎn)撥】（1）由2a+2c=6，，b2+c2=a2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）分類(lèi)討論，當(dāng)切線PM斜率不存在或者為零時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性即可求得PM⊥PN；當(dāng)斜率不為零時(shí)，分別求得直線PM，PN的方程，由△=0即可求得k1，k2是方程的兩個(gè)根，則，則PM⊥PN．【詳細(xì)解析】8.已知圓M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在拋物線C：x2=2py（p＞0）上，圓M過(guò)原點(diǎn)且與C的準(zhǔn)線相切．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）點(diǎn)Q（0，﹣t）（t＞0），點(diǎn)P（與Q不重合）在直線l：y=﹣t上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．求證：∠AQO=∠BQO（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【思路點(diǎn)撥】（1）由圓M與拋物線準(zhǔn)線相切，得，且圓過(guò)又圓過(guò)原點(diǎn)，故，可得，解得p=4，即可（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），可得，，即x1，x2為方程x2﹣2mx﹣4t=0的兩根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，可得，化簡(jiǎn)=．可證得∠AQO=∠BQO．【詳細(xì)解析】9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，右焦點(diǎn)為F．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P（不為橢圓C的左、右頂點(diǎn)），直線l與直線x=2交于點(diǎn)A，直線l與直線x=﹣2交于點(diǎn)B，請(qǐng)問(wèn)∠AFB是否為定值？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，請(qǐng)證明．【思路點(diǎn)撥】（1）由2a=4，離心率e==，b=即可求得a和b，即可求得橢圓C的方程；（2）l的斜率為0時(shí)，∠AFB為直角，則∠AFB為定值，當(dāng)斜率不為0時(shí)，將切點(diǎn)代入橢圓方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，求得AF和BF的斜率kAF及kBF，即可求得kAF?kBF=﹣1，即可求得∠AFB為定值．【詳細(xì)解析】10.已知過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．（1）設(shè)拋物線在A、B處的切線的交點(diǎn)為M，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，求△ABM的外接圓方程．（2）若直線l與橢圓+=1的交點(diǎn)為C，D，問(wèn)是否存在這樣的直線l使|AF|?|CF|=|BF|?|DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)，直線AB：，從而得到過(guò)A，B，M的圓是以AB為直徑的圓，由此結(jié)合已知條件能求出圓的方程．（2）設(shè)，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出滿足條件的直線方程．【詳細(xì)解析】11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=﹣1，動(dòng)直線l′垂直l于點(diǎn)H，線段HF的垂直平分線交l′于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．（1）求曲線C的方程；（2）以曲線C上的點(diǎn)P（x0，y0）（y0＞0）為切點(diǎn)作曲線C的切線l1，設(shè)l1分別與x，y軸交于A，B兩點(diǎn)，且l1恰與以定點(diǎn)M（a，0）（a＞2）為圓心的圓相切，當(dāng)圓M的面積最小時(shí)，求△ABF與△PAM面積的比．【思路點(diǎn)撥】（1）由丨PH丨=丨PF丨，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以l為準(zhǔn)線，F(xiàn)為焦點(diǎn)的拋物線，即可求得拋物線方程；（2）由y＞0時(shí)，求導(dǎo)，求得切線斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求得切線方程，取得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，當(dāng)P（a﹣2，2）時(shí)，滿足題意的圓M的面積最小，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公