計(jì)數(shù)原理含詳2024年上海市數(shù)學(xué)高考名校模擬題分類匯編-計(jì)數(shù)原理含詳解

備戰(zhàn)2024高考優(yōu)秀模擬題分類匯編（上海專版）一一計(jì)數(shù)原理

一、填空題

1.（2324上?浦東新?期中）（2x+l）i°的展開式的第8項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.

2.（2324上?青浦?期中）已知實(shí)數(shù)相>0,在（尤+三；的二項(xiàng)展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是135,則機(jī)的值為.

3.（22-23?浦東新?三模）已知（l+3x）”（"為正整數(shù)）的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64,貝M.

4.（2324上?浦東新?開學(xué)考試）龍+：的二項(xiàng)展開式中，龍2項(xiàng)的系數(shù)為.

5.（2324上.閔行.期中）某校舉辦校運(yùn)動(dòng)會(huì)，需從某班級(jí)3名男同學(xué)4名女同學(xué)中選出3名志愿者，選出的3人中

男女同學(xué)都有的概率為.

6.（2324上?浦東新?期中）夏老師要進(jìn)行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心電圖、血壓測量等五個(gè)項(xiàng)目，

為了體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，抽血必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成，而夏老師決定腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)不連在一起檢查，

則不同的檢查方案一共有種.

7.（2324上.虹口?期中）從甲、乙、丙、丁、戊等5名同學(xué)中選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則甲、乙兩人中只有1人被

選到的概率為.（用數(shù)字作答）

8.（22.23.嘉定?二模）己知〃eN,若則〃=.

9.（22?23?黃浦?二模）己知根是初一2與4的等差中項(xiàng)，且+無丁=旬++//+//+%尤4+生尤$,則%的值

為.

10.（2223?閔行?二模）今年春季流感爆發(fā)期間，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和4名護(hù)士分配到兩所學(xué)校，給學(xué)校老師和

學(xué)生接種流感疫苗.若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則不同的分配方法數(shù)為.

11.（22.23下?徐匯?模擬預(yù)測）若等式1+x+Y+V=4+%（1-x）+g（1-x）2+%（1-x）3對(duì)一切*eR都成立，其中旬，

%,。2,%為實(shí)常數(shù)，則+。2+。3的值為-

12.（2223憫行?二模）若x8=%+q（x-l）++4（x—球，則的=.

2024

2（）24

13.（22,23,徐匯?二模）若（1+x）（l—2x）2°23=a。+qx+a?/++a2（）24x,G=0,1,2,,2024）,則.

一Z=1

3030

14.（22.23?閔行?三模）若（2x+l）3°=\>"，則Z4被10除所得的余數(shù)為.

氏=0%=0

15.（2223?楊浦?模擬預(yù)測）若）-2元）皿3=%+4k...+々儂一力則冬+…+鬻=______.

222

16.（2223?虹口?三模）卜+115為正整數(shù)）的二項(xiàng)展開式中，若第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中的常

數(shù)項(xiàng)為.

17.（2324上?長寧?期中）從甲、乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，要求每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，則甲、

乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.

18.（2223?浦東新?模擬預(yù)測）（x+2）8的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為—.

19.（23-24上?嘉定?開學(xué)考試）若等式1+尤+尤2+x3=4+q（1-尤）+。2（1-尤y+/（1-尤對(duì)一切xeR都成立，其中旬，

為，a2,%為實(shí)常數(shù)，則%+。|+%+%的值為.

20.（2324上.松江.階段練習(xí)）已知（3+ax『的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為32,則“=.

21.（2324上.嘉定?期中）在（后-1）6的二項(xiàng)展開式中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)系數(shù)為無理數(shù)的概率為.

22.（22?23下?普陀?模擬預(yù)測）如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第10行中最大的數(shù)與第二大的數(shù)的

數(shù)值之比為（用最簡分?jǐn)?shù)表示）.

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

23.（2324上.靜安?開學(xué)考試）盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的卡片各2張，從盒中任意取3張，每張卡片被抽出的

可能性都相等，則抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率.

24.（2324上?虹口?期中）在由數(shù)字1,2,3,4,5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，小于50000的奇數(shù)有個(gè).

25.（2324上?浦東新?階段練習(xí)）在某道選詞填空題中，共有4個(gè)空格、5個(gè)備選單詞，其中每個(gè)空格只有備選單詞

中的一個(gè)正確答案（備選單詞中有一個(gè)是多余的），則4個(gè)空格全部選錯(cuò)的概率是.

11c

26.（23?24上?浦東新?階段練習(xí)）已知正整數(shù)〃?，，滿足相＜〃V24,若關(guān)于尤的方程2_sin（蛆）+2-sin（內(nèi)）=?有

實(shí)數(shù)解，則符合條件的（根,〃）共有對(duì).

二、單選題

27.（2223?青浦?二模）已知〃為正整數(shù)，則“"是3的倍數(shù)”是的二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

28.（2324上?黃浦?階段練習(xí)）偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題.當(dāng)“eN,

1-去）…，又根據(jù)泰勒展開式可以得到

丫35(_1尸針-11111

sinX=X------1------1-----1------------1,根據(jù)以上兩式可求得—yH—yH----1—yH=()

3!5!(2n-l)!I22232n2

”2“222

A.—B.—C.—D.—

6384

29.(2324上.楊浦.階段練習(xí))已知對(duì)任意正整數(shù)對(duì)。7㈤，定義函數(shù)/仇左)如下：f(l,j)=1,

(Z+1)/(I+1,J)=(J-Z)/(Z,J),i<j,則下列正確的是()

A./（/+!,B.f（i,j）=2C;

C.立產(chǎn)〃仃）］=力（2』）D.之立萬億/）］=2"+〃一2

i=l,/=1i=l

三、解答題

30.（2223下?寶山?階段練習(xí)）已知”為正整數(shù)，對(duì)于給定的函數(shù)y=〃x）,定義一個(gè)〃次多項(xiàng)式gjx）如下:

g“⑺嗎

⑴當(dāng)〃x)=l時(shí),求g”(x);

(2)當(dāng)/(x)=x時(shí)，求g“(x)；

(3)當(dāng)/⑺=爐時(shí),求g“(x).

備戰(zhàn)2024高考優(yōu)秀模擬題分類匯編（上海專版）一一計(jì)數(shù)原理

一、填空題

1.（2324上?浦東新?期中）（2犬+1廠的展開式的第8項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.

【答案】960

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出展開式中的第8項(xiàng)，由此即可求解.

【詳解】因?yàn)?，?彳+1/展開式的第8項(xiàng)為CloQxyngGOx3,

所以，（2x+1°的展開式的第8項(xiàng)的系數(shù)為960.

故答案為：960

2.（2324上?青浦?期中）已知實(shí)數(shù)機(jī)＞0,在+的二項(xiàng)展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是135,則加的值為

【答案】3

【分析】求出展開式的通項(xiàng)，再令尤的指數(shù)等于2,結(jié)合己知即可得解.

【詳解】卜+:：展開式的通項(xiàng)為=建產(chǎn)*=蘇晨產(chǎn)匕

令6—2k=2,得左=2,

所以/項(xiàng)的系數(shù)為療或=15/=135,

又加＞0,所以機(jī)=3.

故答案為：3.

3.（2223?浦東新?三模）己知（l+3x）”（九為正整數(shù)）的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64,則"=

【答案】6

【分析】根據(jù)題意，由二項(xiàng)式系數(shù)之和的公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，2"=64,則“=6.

故答案為：6

4.（2324上?浦東新?開學(xué)考試）（x+g；的二項(xiàng)展開式中，f項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】210

【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后令x的次數(shù)為2,求出廠，代入通項(xiàng)公式中可求得結(jié)果.

l0r2r

【詳解】,+的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為卻=C[0-x~^=C[0-x'°-,

令10-2r=2,得r=4,

所以一項(xiàng)的系數(shù)為C：°=210,

故答案為：210

5.（2324上?閔行?期中）某校舉辦校運(yùn)動(dòng)會(huì)，需從某班級(jí)3名男同學(xué)4名女同學(xué)中選出3名志愿者，選出的3人中

男女同學(xué)都有的概率為.

【答案】y

【分析】根據(jù)題意先求出7人中選3人共有C；種方法，選出的3人中男女同學(xué)都有，則分1男2女，2男1女，求

出符合要求的方法數(shù)，進(jìn)而求出答案.

【詳解】根據(jù)題意,7人中選3人共有C；種方法，若選出的3人中男女同學(xué)都有，則選出為1男2女或2男1女，

若選出1男2女，方法數(shù)為C；Cj；

若選出2男1女，方法數(shù)為C；C；；

所以選出的3人中男女同學(xué)都有的方法數(shù)共有C；C：+C；C：=30種

—，30306

所以選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為至二升二,.

故答案為：y.

6.（2324上?浦東新?期中）夏老師要進(jìn)行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心電圖、血壓測量等五個(gè)項(xiàng)目，

為了體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，抽血必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成，而夏老師決定腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)不連在一起檢查，

則不同的檢查方案一共有種.

【答案】12

【分析】先將心電圖、血壓測量兩項(xiàng)全排列，再將腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)排在其空位中，最后將抽血放在第一位

即可.

【詳解】解：由題意得：將心電圖、血壓測量兩項(xiàng)全排列，有A；=2種情況，

再將腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)排在其空位中，有A；=6種情況

最后將抽血放在第一位，有1種情況，

所以共有2x6x1=12種情況，

故答案為：12

7.（2324上.虹口?期中）從甲、乙、丙、丁、戊等5名同學(xué)中選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則甲、乙兩人中只有1人被

選到的概率為.（用數(shù)字作答）

3

【答案】-/0.6

【分析】先計(jì)算出從5名同學(xué)中選2名同學(xué)的情況，再計(jì)算出甲、乙兩人中只有1人被選到的情況，從而得解.

【詳解】從5名同學(xué)中選2名同學(xué)共有斗第;1。種情況,

其中甲、乙兩人中只有1人被選到有C；C；=2x3=6種情況，

故所求概率為4=|.

3

故答案為：—.

8.（22?23?嘉定?二模）已知〃wN,若C々二Ps?,貝|九二.

【答案】3

【分析】由組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式求解.

【詳解】=5x4=20=^6x5—x4=C^,則〃=3.

3x2x1

故答案為：3

52345

9.（22,23?黃浦?二模）已知加是加一2與4的等差中項(xiàng)，＞（,m+x）=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,則%的值

為.

【答案】40

【分析】首先根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出利=2,再利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)得到相應(yīng)「值，代入即可得到答案.

【詳解】由題意得〃Z-2+4=2〃2,解得m=2,

5

則二項(xiàng)式（2+x）的通項(xiàng)為Tr+i=C；.25T,x，，

令r=3則有n=C32，x3=40x3,故%=40,

故答案為：40.

10.（2223?閔行?二模）今年春季流感爆發(fā)期間，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和4名護(hù)士分配到兩所學(xué)校，給學(xué)校老師和

學(xué)生接種流感疫苗.若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則不同的分配方法數(shù)為.

【答案】12

【分析】先利用組合知識(shí)選出一個(gè)小組，剩下的一組就確定了，然后利用分步乘法原理即可求解.

【詳解】從2位醫(yī)生中選1人，從4位護(hù)士中選2人，分到第一所學(xué)校，有C；C：=12種方法，

剩下的1位醫(yī)生和剩下的2位護(hù)士只能分到第二所學(xué)校，只有1種方法，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得不同的分配方法共有C；C：xl=12種.

故答案為：12.

11.（22.23下?徐匯?模擬預(yù)測）若等式1+x+Y+V=4+4（1-尤）+g（1-+%（1-彳了對(duì)一切xeR都成立，其中旬，

%,為實(shí)常數(shù)，則。1+。2+“3的值為-

【答案】-3

【分析】在所給的已知式中，令x=0,可得%+4+/+%的值，再令x=l,求出旬，即可得解.

【詳解】因?yàn)榈仁?+尤+尤2+V=%)+q(1—x)+a,(1—%)?+q(l—尤y

對(duì)一切xeR都成立，其中旬，％,%，%為實(shí)常數(shù)，

貝!J令x=0,可得旬+%+%+/=1,

令x=l,可得旬=4,

所以%+%+。3=-3.

故答案為：-3.

12.(22-23?閔行?二模)若X*=4+4(尤—1)+,+/(x—I)',則的=.

【答案】56

【分析】把尤-表示成(xT)的二項(xiàng)式形式，再根據(jù)二項(xiàng)式定理求解作答.

888

【詳解】依題意，x=[l+(x-l)]=a0+a,(x-l)++a8(x-l),

所以q=C；=56.

故答案為：56

2024

04

13.(22-23?徐匯?二模)若(1+x)(l—2X)2M=%+qx+++tz,024x~-,a(GR(z=0,1,2,■,2024),貝!]￡《=.

i=l

【答案】-3

【分析】根據(jù)賦值法，分別令x=l，尤=0求解可得.

【詳解】令X=1可得：%+%+/++*=(1+1)(1-2產(chǎn)寸2,

2023

再令x=0可得：?0=(1+0)(1-0)=1,

2024

所以ZX=-2-4=-3.

1=1

故答案為：-3

3030

14.(2223?閔行三模)若(2無+1)3°=則￡即被10除所得的余數(shù)為.

k=0k=0

【答案】9

30

【分析】令X=l,可得Z&=3加=915=(10-1)15,結(jié)合二項(xiàng)展開式，即可求解.

k=0

30

a33015151514

[詳解]令X=1,可得Ek==9=(10-I)=C°510-C}510+--+C^IO'-C；^=CMOS_C5I014+...+c；；10J1,

k=0

30

所以￡血被10除所得的余數(shù)為9.

k=0

故答案為：9.

15.（2Z23楊浦?模擬預(yù)測）若"2x）2=%+空+...+/儂產(chǎn)%則3+2+…+蟹=.

【答案】-1

【分析】二項(xiàng)展開式中通過賦值法求解即可.

【詳解】令x=0,得4=1,令x=\得%+彳+墨++籌+篝=。，

而I4?〃2022?.2023_1

加以5+夢++萍r+跡■---

故答案為：-L

16.（2223?虹口?三模）,+（〃為正整數(shù)）的二項(xiàng)展開式中，若第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中的常

數(shù)項(xiàng)為.

【答案】20

【分析】根據(jù)第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，建立方程求出〃=6,然后進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，

,V=C：,得“=2+4=6,

6

則1+工I的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為c：=20.

故答案為：20.

17.（2324上?長寧?期中）從甲、乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，要求每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，則甲、

乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.

【答案】54

【分析】根據(jù)排列數(shù)利用間接法，在總體中排除沒有甲、乙的參賽方案.

【詳解】若甲、乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，共有A；=60種不同參賽方案,

若沒有甲、乙入選的不同參賽方案共有A；=6種,

所以甲、乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有60-6=54種.

故答案為：54.

18.（2223?浦東新?模擬預(yù)測）（x+2）8的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.

【答案】1792X2,1792?

【分析】設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，列不等式求,，再由通項(xiàng)求解即可.

【詳解】設(shè)（x+2）8展開式的第廠+1項(xiàng)的系數(shù)最大，

q-2r>C；+1-2r+1

則解得5Vr46,

所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第6或第7項(xiàng),

所以系數(shù)最大的項(xiàng)為：

"=C>2,=1792尤3,

622

T7=C^-2-X=1792X.

故答案為：1792./,1792/

3

19.（23-24上?嘉定?開學(xué)考試）若等式1+尤+尤2+x=4+4（1-尤）+生（1-尤+4（1-尤）3對(duì)一切X?R都成立，其中a0,

%,出，“3為實(shí)常數(shù)，則%++%+%的值為-

【答案】1

【分析】賦值法求解系數(shù)和，令x=0即可得.

3

【詳解】由等式1+x+x?+X=00+（^（1-x）-+o3a-x）3對(duì)一■切xeR都成立，

其中"o，%'。2,”3為實(shí)常數(shù)，

則令1—尤=1,即令x=O,可得。°+4+/+%=1.

故答案為：1.

20.（2324上?松江?階段練習(xí)）已知（3+?）5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為32,則。=.

【答案】-1

【分析】直接在原二項(xiàng)式中令x=l,可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，再由展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為32求解即可.

【詳解】令x=l,得（3+依丫的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（3+4=32=25,解得a=-l.

故答案為：-1.

21.（2324上?嘉定?期中）在（、歷x-l）6的二項(xiàng)展開式中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)系數(shù)為無理數(shù)的概率為.

【答案】|3

【分析】首先求得二項(xiàng)式展開式的通式，根據(jù)通式確定展開式中無理項(xiàng)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概率求解即可.

6rrr6-r6r

【詳解】（&-1）的展開式的通式Tr+X=C6（缶廠.（-l）=C6（-l）（72）x-,

當(dāng)一{1,3,5},（應(yīng)廠為無理數(shù)，得：概率為方

3

故答案為：—

22.（22?23下?普陀?模擬預(yù)測）如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第10行中最大的數(shù)與第二大的數(shù)的

數(shù)值之比為（用最簡分?jǐn)?shù)表示）.

第

0行1

第

1行11

第

2行12

第

3行133

行

第446

行

第551O11

【答案】I

【分析】第10行從左至右依次為C；°,c；°,c；。,…,C；；,由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得答案.

【詳解】觀察知第10行從左至右依次為CMC；。,。：。，，c；；,

由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得c：0=252最大，其次為C：。=C：。=210,

所以第io行中最大的數(shù)與第二大的數(shù)的數(shù)值之比為鼻=m=：.

故答案為：y.

23.（2324上?靜安.開學(xué)考試）盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的卡片各2張，從盒中任意取3張，每張卡片被抽出的

可能性都相等，則抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率.

【答案】看9

【分析】求出基本事件總數(shù)，再求出符合條件的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算作答.

【詳解】設(shè)“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A,

顯然試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件數(shù)有C；個(gè)，

事件A是有1個(gè)4的事件與有2個(gè)4的事件的和，基本事件數(shù)有《晨+個(gè)，

所以所求概率P（A）=CRCC=5.

yI"

9

故答案為：—

14

24.（2324上.虹口?期中）在由數(shù)字1,2,3,4,5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，小于50000的奇數(shù)有個(gè).

【答案】60

【分析】小于50000的奇數(shù)萬位只能是1,2,3,4,分萬位為1,3和2,4,分別求出其方法總數(shù)，由分類加法計(jì)數(shù)

原理求解即可.

【詳解】小于50000的奇數(shù)萬位只能是1,2,3,4,個(gè)位只能為1,3,5,

①萬位為1或3,則萬位有C；種方法，個(gè)位有C；種方法，

其余各位為A；=3x2=6種方法，則C；-C；?A；=24種方法；

②萬位為2或4,則萬位有C；種方法，個(gè)位有C；種方法,

其余各位為A；=3x2=6種方法，則C；C.A；=36種方法；

共有：24+36=60種方法.

故答案為：60.

25.（2324上?浦東新?階段練習(xí)）在某道選詞填空題中，共有4個(gè)空格、5個(gè)備選單詞，其中每個(gè)空格只有備選單詞

中的一個(gè)正確答案（備選單詞中有一個(gè)是多余的），則4個(gè)空格全部選錯(cuò)的概率是.

53

【答案】面

【分析】根據(jù)題意，由分類加法計(jì)數(shù)原理與組合數(shù)的應(yīng)用可得全部選錯(cuò)的情況數(shù)，然后結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公

式，即可得到結(jié)果.

【詳解】假設(shè)5個(gè)單詞分別是正確的順序?yàn)锳BCD,

第一大類為選出的4個(gè)單詞不包含E,

則符合要求的情況有：BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DCAB,DCBA,DABC共9種；

第二大類為選出的4個(gè)單詞包含E,

先選出E,則有C：種情況，假設(shè)選出的單詞為A,反CE,

當(dāng)E在第四個(gè)位置時(shí)，符合要求的情況有BCA,CBA共2種，

當(dāng)E不在第四個(gè)位置時(shí)，從剩下的3個(gè)位置選1個(gè)，有C；種情況，

假設(shè)E在第一個(gè)位置，則此時(shí)符合要求的情況數(shù)有E42C,ECBA,EC鉆共3種，

則共有C（2+3C；）=44；

則符合要求的情況共有44+9=53,且全部情況為A；=12。，

則4個(gè)空格全部選錯(cuò)的概率是5三3.

120

53

故答案為：商

11c

26.（2324上?浦東新?階段練習(xí)）已知正整數(shù)機(jī)，"滿足加＜〃V24,若關(guān)于彳的方程？_蜘+2-sin（內(nèi)）=?有

實(shí)數(shù)解，則符合條件的（加,〃）共有對(duì).

【答案】37

【分析】根據(jù)題意，將方程化簡可得sin（祖x）=sin（m）=l,從而可得〃（mod4）,然后分類討論相加，即可得到

結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閟in（如）目-1』，所以2_si；（_）e'同理可得窿丸荷g」，

又2Ti：（m）+2—si：W）=2,所以sin（mx）=sinW）=l,

所以mx=（2左i+；］兀，依=12&+；）兀，其中左wZ,

從而m（4k2+1）=〃（4匕+1）,即m=n（mod4）.

①若機(jī)=l（mod4）/=l（mod4）,

取自=、一,《=一1，則x=k即為方程的解，

此時(shí)共有C；=15種；

②若〃z=3（mod4）,〃=3（mod4）,

設(shè)取公=匚1,匕=絲二1,則x=?即為方程的解，

444

此時(shí)（加㈤共有C；=30種；

③若機(jī)，〃模4余2,

則〃獷e{2,6,10,14,18,22},從而三￡?{1,3,5,7,9,11},

由①②可知此時(shí)（m,〃）共有2xC；=6種；

④若機(jī)，”模4余0,則以〃e{4,8,12,16,20,24},從而7e{1,2,3,4,5,6},

模4余1的是（L5）,由①知可以；模4余2的是（2,6）,由②不可以，

故此時(shí)（根,〃）共有1種；

綜上所述符合條件的（〃4”）共有30+6+1=37對(duì).

故答案為：37

二、單選題

27.（2223?青浦?二模）已知"為正整數(shù)，則“"是3的倍數(shù)”是的二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式以及充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】p-^T展開式的通項(xiàng)公式為C：.（X4廠.（-2-y=（-2/-C：.-,

2

令4孔一6〃=0,解得丁二1〃，

所以，若，4-的二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則〃是3的倍數(shù).

所以“〃是3的倍數(shù)”是“卜一總］的二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)”的充要條件.

故選：C

28.（23.24上?黃浦?階段練習(xí)）偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題.當(dāng)〃eN,

"'2時(shí)，*=[1一"]1一4"I-工〕…h(huán)-/二1??，又根據(jù)泰勒展開式可以得到

9兀J1nTiJ

35

.XX(-1廣"根據(jù)以上兩式可求得]4+=()

sinX=X------1------F---F-----7-----F?

3!5!(2n-l)!I22232*

人兀2JI2

A.—D,—C.—D.—

6384

【答案】A

【分析】推導(dǎo)出皿=1-工+二+??

x3!5!(2?-l)!x(71-人47rli9兀)

開式中V的系數(shù)，由此得到結(jié)論.

,3?5(_]丫1%2"-1

【詳解】由〃EN,n>2,sinx=x---+—+---+^~—+???,兩邊同時(shí)除以X,得

；!5!(2n-l)!

sinx,??(-1廣--2

x3!5!(2n-l）!

又叫『2—J“展開式中小的系數(shù)為一3F+22+32

所…以一1門/斥+1級(jí)+1?+…+了1

,11117l2

所crK以齊+宇+…+/+???=

~6

故選：A

29.(2324上?楊浦?階段練習(xí))已知對(duì)任意正整數(shù)對(duì)他㈤，定義函數(shù)/（"㈤如下：

(z+l)/(f+1,J)=(JJ),0,則下列正確的是（）

A./(z+l.j)=lB./（Z,J）=2C；1

c.Z[AfO;j)]=r(2J--1）D.4一"（盯）］=2"+〃—2

Z=1六1日

【答案】C

f(i+1,j)j—i

【分析】根據(jù)新定義得L..]=一，令i=/，可判斷A,對(duì)

z+1

i-i+1

=＞一累乘結(jié)合組合數(shù)的階乘形式化簡即可判斷B,

-2"(2,力一3'〃3,力一4

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式判斷C,結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式根據(jù)分組求和求解判斷D.

【詳解】因?yàn)?所以j-i

N，j)z+1

令，=九則=0,所以〃