概率論與數(shù)理統(tǒng)計 方差

關于概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差

4.2.1方差的概念與計算定義4.3

設X是隨機變量，若E{[X–E(X)]2}存在，則稱其為X的方差，記為D(X)(或Var(X))，即稱為X的標準差．特別地，如果X是離散型隨機變量，分布律為則如果X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，則第2頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

將方差定義式右端展開，并利用數(shù)學期望性質(zhì)可得

即今后我們會經(jīng)常利用這個式子來計算隨機變量X的方差D(X).4.2.1方差的概念與計算第3頁,共25頁，2024年2月25日，星期天【例4.13】求例4-2中隨機變量X的方差D(X).

解：由于

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所以4.2.1方差的概念與計算第4頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念與計算【例4.14】設隨機變量X服從參數(shù)為λ（λ>0）的泊松分布，求D(X)．

解：由于X的分布律為，k=0，1，2，…，在例4-4中已經(jīng)求出，下面計算E(X

2)：故第5頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念與計算【例4.15】設隨機變量X服從參數(shù)為

（

>0）的指數(shù)分布，求D(X)．

解：由于指數(shù)分布的概率密度為在例4-7中已求出，故有第6頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念與計算【例4.16】設隨機變量X服從(a，b)上的均勻分布，求D(X)．

解：由于均勻分布的概率密度為所以第7頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念與計算【例4.17】設(X，Y)的概率密度為求D(X)及D(Y)．解：記D：|y|<x，0<x<1，如圖，則

,第8頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念與計算【例4.18】已知隨機變量X的概率密度為又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求a，b，c．

解：由于從上面三個方程中可以解得a=12,b=–12,c=3．第9頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性質(zhì)

(1)設c是常數(shù)，則D(c)=0；

(2)設c是常數(shù)，X是隨機變量，則

D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；

(3)設X，Y是兩個隨機變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特別，當X，Y是相互獨立的隨機變量時，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；

(4)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)c，即P{X=c}=1．第10頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性質(zhì)(1)設c是常數(shù)，則D(c)=0；證明：

(2)設c是常數(shù)，X是隨機變量，則

D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；證明：

第11頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性質(zhì)(3)設X，Y是兩個隨機變量，則有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特別，當X，Y是相互獨立的隨機變量時，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；證明：當X，Y是相互獨立的隨機變量時，

第12頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性質(zhì)

性質(zhì)(4)證明從略.

由性質(zhì)(2)和(3)容易推廣得到，若X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機變量，為常數(shù)，則前面例4-3中已經(jīng)用定義求出了二項分布的數(shù)學期望，現(xiàn)在再用數(shù)學期望和方差的性質(zhì)來求它的期望和方差。第13頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性質(zhì)【例4.19】設隨機變量X服從二項分布B(n，p)，求E(X)和D(X)．

解：X可視為n重伯努利試驗中某個事件A發(fā)生的次數(shù)，p為每次試驗中A發(fā)生的概率．引入隨機變量Xi（i=1，2，…，n）：則又第14頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性質(zhì)因為X1，X2，…，Xn相互獨立，且由數(shù)學期望和方差的性質(zhì)可得第15頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性質(zhì)【例4.20】一機場班車載有20名乘客自機場開出，途中有10個車站可以下車，如果到達一個車站沒人下車則不停車，用X表示班車的停車次數(shù)，求X的數(shù)學期望E(X)及標準差．（設每位乘客在各個車站下車是等可能的，且各位乘客是否下車相互獨立）解：依題意，每位乘客在第i個車站下車的概率均為1/10，不下車的概率均為9/10,則班車在第i個車站不停車的概率為所以第16頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性質(zhì)從而，第17頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性質(zhì)【例4.21】設隨機變量X服從正態(tài)分布求D(X)．

解：設，由于所以Z～N(0，1)，從而又E(Z)=0，所以故第18頁,共25頁，2024年2月25日，星期天【實驗4-1】用Excel計算例4-2中隨機變量Ｘ的數(shù)學期望與方差．實驗準備：函數(shù)SUMPRODUCT的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,...)功能：返回多個區(qū)域array1,array2,array3,...對應數(shù)值乘積之和．X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p0第19頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

實驗步驟：

(1)整理數(shù)據(jù)如圖4-2左所示．

圖4-2計算數(shù)學期望

(2)計算E(X)，在單元格B8中輸入公式：=SUMPRODUCT(A2:A7,B2:B7)得到期望E(X)如圖4-2右所示．第20頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

(3)為了計算方差，首先計算[xi–E(X)]2，在單元格C2中輸入公式：=(A2-B$8)^2并將公式復制到單元格區(qū)域C3:C7中，如圖4-3左所示．

圖4-3計算方差

(4)計算方差，在單元格B9中輸入公式：=SUMPRODUCT(C2:C7,B2:B7)即得計算結果如圖4-3右所示．第21頁,共25頁，2024