遼寧名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三年級上冊12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題

遼寧名校聯(lián)考

2023?2024學(xué)年度上學(xué)期高三12月聯(lián)合考試卷

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把簽題卡

上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上

各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作

皆不停。.....................................................

4.不底整題范圍：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、復(fù)數(shù)、數(shù)列、立體幾何。

一、提擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

L若復(fù)數(shù)廣滿星（】+i）z=3T,則3=*

A.75a5￡2西D.20

2.若角a的終邊上有一點P（—2,加），且sina=一冬，則k

A.4B.—1C.±4I'>.±1

3.設(shè)a,b都是非零向量，下列四個條件中，能使備=*一定成立的是

A.a——2bB.a2=fr2C.a=2bD.a|=||

4.已知l,m是兩條不同的直線,a第是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是

A.若a_L6/Ua,mU/?,則21機

B.若m_Lf,a_Lp，則rn//a

C.若2〃6"則a//B

D.若a〃由且/與a所成的角和加與￡所成的角相等，則l//m

5.已知等比數(shù)列g(shù)｝的前"項和為S”,若葬;，則a色=

A.8B.9C.16D.17

6.在三棱錐D-ABC中，點E,F,G,H分別在人瓦比,8,94上,且￡7力6打,則下列說法中

正確的是

A.直線EH與FG一定平行B.直線EH與FG一定相交

C.直線EH與FG可能異面D.直線EH與FG一定共面

7.若efl=—Ina,e-6=lnb,enc,則

A<a<.b<ZcBa.Vc〈bC.b<c<aD.b<a<c

【高三12月聯(lián)合考試卷?數(shù)學(xué)第1頁（共4頁）】

,（3a-

8.已知a>0,且。工1,函4數(shù)/（7）=??若關(guān)于z的方程/Cr）=l有兩個不相等的

實數(shù)根，則a的取值范闈是

A.（0,1）巳（1,火母C.D.（1,75]

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知函數(shù)/Cr）=^sin2Lsin2z+*則下列說法正確的是

Gt乙

A.函數(shù)八力的最小正周期為K

B.函數(shù)心）的圖象的一條對稱軸方程為x=1

C.函數(shù)〃外的圖象可由3-=sin2工的圖象向左平移荔個單位長度得到

D.函數(shù)/⑺在區(qū)間（0,給上單調(diào)遞增

10.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.,當且僅當”=12時S?取得最大值，則T滿足S>>0的最

大的正整數(shù)4可能為

A.22B.23C.24D.25

知雙為定義在R上的偶函數(shù)且人外不是常函數(shù)，（外二〃1—z）T，gCr）=/（h+D—1,

若g（z）嘲函蛆則

A,）=/（工）的圖象關(guān)于（】，1）對鞫，B./Gr）=fGr+4）

C.FCz）是奇函數(shù)認尸包）與g（z）關(guān)于原點對稱

12.在AABC中，三個角八,8（所對的邊分別為61,一5111.樂山BsinC=],a6c=16。，則

V

A.AABC的面積為2B.AABC外接圓'的半徑為2方

C.ab&4D.（J-r4-^-5V>32sinC

\sinAsinBJ

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分。

13.圓心角為2的扇形的周長為4,則此扇形的面積為_____.

14.已知向量a,b滿足。=?償,得），|b=1,|a+b|=⑸則a,b的夾角為.

15.如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A]B】GR中，E為棱BC的中點,P是底面ABCD內(nèi)

的一點（包含邊界），且&P_bDjE,則線段8P的長度的取值范圍是.

16.如圖，在直三棱柱ABC-AiBC中,A^=3,BC=6,AB=AC=3慮,尸為線段A]B1上的

一點，且二面角A-BC-P的正切值為3,則三棱錐A-A.QP的外接球的體積為

r-i*r-r1onW入冬小必3馮輅9KT/什A市

四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文定說明、證明過程成演首步源。

17.（本小題滿分10分）

已知角a,距（0,手），tana=2,sin（a-￡）二曙.

（1）求cos2a的值；

（2）求角&

18.（本小題滿分TO5r

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C昨的捌為a力,c,艮4=6慮',asinA。扇nB=c（sin。+或nC）.

（1）證明:△ABC是鈍角三角形;

（2）AD平分/BAG且交BC于點D，若AQ=T7求△出松的陽艮.

19.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)fCr）=er+L若函數(shù)）=/（幻的圖象上任意一點P關(guān)于原點對稱的點Q都在函數(shù)

晨工）的圖象上.

（D求函數(shù)g（z）的解析式；

（2）若存在工￡[0,D,使/Cz）+gCz）加成立,求實數(shù)m的取值范圍.

20.（本小題滿分12分）

_12atl,〃=24一1/GN"

已知數(shù)列｛冊;滿足即=2,且4+】=<_UN?

（1）若6=a.1+2，證明:數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列恒.｝的前〃項和S”.

21；（本小題滿分12分）

如圖1,在AABC中,D,E分別為AB,AC的中點,0為OE的中點,AB=AC=2痣,BC=

i^AADE沿DE折起到AADE的位置，使得平面ADE上平面BCED，如圖2,點F是

魁A?B上的~r點（不包含端點）.

⑴求證:AQJ_BD；

（2）若直線EC和平面DEF所成角的正弦值為《，求三棱錐A1-DEF的體積.

0

22.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f（x）=aj：—a—elogaj：,a^>0且aXL

（1）討論了（外的單調(diào)性；

（2）若義］）有且僅有兩個零點，求a的取值范圍.

遼寧名校聯(lián)考高三12月聯(lián)合考試?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細則

1.A因為(l+i)z=3—i,所以」=涌=三;;=L2i,所以|z|=々+(—2)2=&.故選A.

2.B由已知，得sina=/、，，:=一奇，解得-1.故選B.

x/(-2)2+m25

3.C若使向=看成立，則a與b方向相同.故選C.

4.C若a_L6"Ua,，〃U6,則/與“可能平行，可能相交，可能異面，故A錯誤;若z〃J_0,a_LS，則根可能在a內(nèi)，

故B錯誤;若/〃如此a,加，3,則a〃⑶故C正確;若a〃仇且/與a所成的角和根與0所成的角相等，則/與

m異面或相交，故D錯誤.故選C.

5.A設(shè)S’=工()，則6=4工，因為｛4｝為等比數(shù)列，所以S’，&-Sd,82-&,Si6-S12仍成等比數(shù)列.

(S12_Sg=9J75(S12=131Z,

因為現(xiàn)產(chǎn)=絲==3,所以，所以，故二*=普附=8.故選A.

(S16—S12=27Z,1S16=40Z,

6.D由于EF〃GH,所以E,F,G,H四點確定一個平面EFGH,因此直線EH與FG一定共面，故D正確，C

錯誤；

只有當EF〃GH且EF=GH時，此時四邊形EFGH為平行四邊形，此時EH〃GF,故A不正確;

【高三12月聯(lián)合考試卷?數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共6頁)】

只有當EF〃GH但EFWGH時，此時四邊形EFGH為梯形，此時EH,GF相交于點。，故B不正確.故選D.

由圖象可知a<c<b,故選B.

8.B當0<〃<1時,/(2)—1=。一/—1=一(“一得了一年<0,即/(2)<l,3a—2<1,可得/⑺的大致圖

象如圖：

由圖可知，此時/(7)的圖象與直線y=1僅有一個交點，故關(guān)于工的方程/(7)=1僅有一個實數(shù)根,不滿足

題意；

當。>1時,3a—2>l,/(i)的大致圖象如圖：

因為關(guān)于才的方程/殳)=1有兩個不相等的實數(shù)根，所以/(1)的圖象與直線》=1有兩個交點，由圖可知

/(2)=a2—aVl,解得二學(xué)&故選B.

【高三12月聯(lián)合考試卷?數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共6頁)】

=Sn

9.ABCf(?z)="^sin2x—sin2J7+~2^~2^—~—+}=當sin2JC+cos2JC—sin(2J7+),函

數(shù)/(外的最小正周期為7=爭=汽,故A正確；

由=￡~+氏兀(46Z),得JT=￡~+等(4￡Z)，當k=0時,7=*，故B正確；

62626

由y=sin2J?的圖象向左平移得個單位長度，得ksin2(z+磊)=sin(2z+*)，故C正確.

J.乙1.乙o

因為才￡(0,奇)&+我G(崇年),函數(shù)ksin,在(*，曾)上不單調(diào)，故D錯誤.故選ABC.

10.BC因為當且僅當w=12時，S.取得最大值，所以卬>0,公差d<0,且m2>0,m3Vo.所以S23=

23X(<2i+a23)_oo_24X(ai+a24)_I。/,、0_25X(<21+a2s)_Qr+lr、

----------------X-------------------Z3ai2>0，‘24----------------------9-----------------------12(a12十a(chǎn)13)，S25---------------------電-------------25al3V0,故

25時,S,,V0.當ai2+ai3>0時,S2X)，則滿足S*>0的最大的正整數(shù)為為24；當m十—《。時,Sa&O,則

滿足Sk>0的最大的正整數(shù)k為23,故滿足S〉G的最大的正整數(shù)k可能為23與24.故選BC.

11.ABC由題意，得g(z)+g(—才)=0,即/(JC+1)—1+/(—JC+1)—1=0,整理，得/(j~+1)+/(—J-+1)=

2,所以v=/(z)的圖象關(guān)于(1,1)對稱，故A正確；又f(z)為偶函數(shù)，則/(外十八①一2)=/(1)+/(2—z)

=2,所以f(z—2)+/(_r—4)=2,/(z)=/(z—4),所以f(z)=f(z+4),故B正確；F(①)+F(—Z)=

/(I一Z)-1+/(1+7)—1=0,故C正確；因為F(—_r)=gGr),所以FCr)與gCr)關(guān)于y軸對稱，不關(guān)于原

點對稱，故D錯誤.故選ABC.

12.ABD設(shè)AABC外接圓的半徑為R,由正弦定理得.-山=(2R)3=128疙，得R=2畬,B正確；

sinAsinBsinC

△ABC的面積S=《HsinC=L"￡=春?"g=2,A正確；

222H24,/2

由選項A的解析可知S=4"a6sinC=2,a6=W；>4,C錯誤；

2sinC

因為sinA〉0,sinB>0,所以(sinA+sinB)?)4sinAsin_B,所以>——上-由

(s，in，A廣sin凄\5Y？sinAsinB

sinAsinBsinC=4?/-p=32sinC所以噢與典鑒>32sinC,即>

8sinAsinB(sinAsinB)vsinAsinB7

32sinC,D正確.故選ABD.

13.1設(shè)扇形的半徑為廠，弧長為/，則什2廠=4,又1=2廠，所以r=1"=2,扇形的面積S=1/?廠=1?

14.因為|a十b|=伍，所以\a+b\2=a2+b2+2a?b=l+l+2a?方=3,解得Q?所以cos<a.&>=

o乙

丁#曾訐=4，又〈a⑹G[0,T，所以向量*匕的夾角為爭

15.[號⑤,6以D為原點，以DA,QC,DD所在的直線分別為了軸軸,z軸,建立空間直角坐標系，如圖

所示,則Bi(4,4,4),E(2,4,0),Di(0,0,4),設(shè)P(z,“0)(0&Y4,04y<4),則蔭=

(4一六4一》,4),宙=(-2,—4,4)，又BiP^DiE,所以前-就=0,即一2(4一7)一4X(4—?)+4

X4=0,則工+2?—4=0.當x=0時,》=2,設(shè)FC0,2,0)，所以點P在底面ABCD內(nèi)的軌跡為一條線段AF,所以

【高三12月聯(lián)合考試卷?數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共6頁)】

IBiP|=5/(4—J?)2+(4—3/)2+42=J3寸—8丁+32,0&?&2,所以

I豆角a=6,|瓦方|mm=竽，所以線段BP的長度的取值范圍

是［萼，6)

16.35產(chǎn)式如圖，作PM〃A4i,交AB于M,則PM=A4i=3,過M作MN_LBC

y

交BC于點N,連接PN.易得PM_L平面ABC,則/PNM是二面角A-BC-

P的平面角，所以tan/PNM=靛=3,所以MN=1,又AB=AC=3北',8C=

6,所以MB=^,所以AM=2V2,AiP=2^2.可把三棱錐A-ACP補成棱長

為3笈，2畬，3的長方體，則三棱錐A-AiGP的外接球的半徑為R=

，(3尼產(chǎn)與2笈尸+32=季，所以三棱錐A-A《1P的外接球的體積為

乙乙

4/735\3^35X/35K

3到―/6?

17.解：（1）由tanQ=2,得sina=2cosa,

代入cos2a+sin2a=l/m5cos2a=1,

又aG（0,旨），所以cosa=^~,sina-

（2）由QG（0,-y），/?G（0,-y），得一8G（一~y,0），。一）.

乙乙乙乙乙

又sin（Q—/?）=W^,所以cosCa—/?）=3?

貝ljsinS=sin[a—<a-/?>1=sinacos（a-y3）_cosasin（?―/?）

=2^/5%3x/Wy/5%占=A/2

-510510-2,

又西（。號），所以S=$............................................................................................................................10分

18.（1）證明：在△ABC中9asinA—6sinB=c（sinB+sinC）9

由正弦定理，得〃=6c+c2,即加+c、2—/=—6c,..................................................................................2分

由余弦定理，得COSA=b士;bea=--...................................................................................................4分

因為0<AVn,所以A=孕，................................................................5分

所以△ABC是鈍角三角形.................................................................6分

（2）解：因為Sfc=4■及sinA=喙反，......................................................7分

乙4

且s2MBenSAABD+SwDn+xiXcXsin去++xiX6Xsin*=§3+c）,....................................8分

【高三12月聯(lián)合考試卷?數(shù)學(xué)參考答案第4頁(共6頁)】

所以bc=b+c,..........................................................................9分

222

六小工用陽Ab+^—72(〃+c)2—2bc—72(6+c)—2(6+c)—7211czk

由余弦7E理，得cosA=2A=-------詼------=-------276+75-------=-......10分

解得6+c=9(負值舍去)，................................................................H分

所以△ABC的周長為6畬+9.............................................................12分

19.解：(1)設(shè)Q(工,》)為g(z)圖象上任意一點,則P(一工,一W是點Q關(guān)于原點的對稱點，

因為P(—H,—y)在/(z)的圖象上，所以一y=e-"i,

即)=—e-+i.故g(z)=—e--i...........................................................6分

(2)/(z)+g(z)>m,即e-i

設(shè)F(z)=e，+i—er+i,

易知FCr)在［0,1)上是增函數(shù)，所以F(z)VF(l)=e2—1,可得m<e2—1.

故實數(shù)m的取值范圍是(一81—1).......................................................12分

=

20.(1)證明：因為a\=2,b”=<22?—1+2，所以b\ai+2=4,......................................1分

b?U2?-i+2a2n-i+2a2n-i+2'

所以數(shù)列(仇｝是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列............................................5分

1

(2)解：由(1)知為=。2,-1+2=4?2"-1=2"+1,所以1=2"+1—2=2寫+普一2,

所以當〃=2萬一1"SN*時,4=2夕+9—2..................................................6分

當7?=2k,歸GN/時，S,,=<21+<12+…+(In=(<21+M+…+a”-l)+(。2+出+…+。")=

(di+圖+…+a“-i)+(2al+2〃3+…+2a〃-i)=3(4+々3+…+a〃-1)

=3(22—2+23—2H---^2^+1-2)=3(22+2^----卷)—3〃=3X，，廠不，—3〃=3?27+2-

1—Z

3〃-12..................................................................................9分

當〃=2A—1/￡N*時，S?=S“+】一a“+j=S.+i—2a“=3?2^+2-3(w+1)—12—2(2尹*—2)=2呼一

3z?-11..................................................................................11分

(2中一3〃-11,〃=24—1MGN*,

綜上,S,,=<...............................................12分

(3?2號+2—3〃-12,〃=2K4GN*.

21.(1)證明:在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點，所以DE〃BC,AD=AE,所以AiD=A】E,又O為DE

的中點，所以AOJ_DE.....................................1分

因為平面AiQEJ_平面J3CEQ,平面AiDECl平面BCED=DE,A】OU平

面ADE,

7、

所以AO_L平面BCED,.......................................3分

又BDU平面BCED,所以ACLLBD...........................4分

(2)解:取BC的中點G,連接OG,所以O(shè)E_LOG.以。為坐標原點,OG,OE,

B￡------->--------、c

OAi所在的直線分別為7軸沙軸，之軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則/

Ai(0,0,2),EK0,—1,0),E(0,1,0),3(2,—2,0),C(2,2,0),所以就

=(—2,2,2).設(shè)BF=ABAi=A(—2,2,2)=(—2A,2A,2A)(1),所以DF=DB+BF=

［高三12月聯(lián)合考試卷?數(shù)學(xué)參考答案第5頁(共6頁)】

(2,-l,0)+(-2A,2A,2A)=(2-2A,2A-L2A),XDE=(0,2,0),設(shè)平面DEF的一個法向量為〃=

(n,DE=2y=0,

(工,',2),所以<一'令才=義,解得)=o,z=4—1,所以平面DEF的

In,DF=(2—2A)JT+(2A—1)y+2M=0,

一個法向量為〃=a,oa—1),............................................................................................................................6分

又或=(2,1,0),設(shè)直線EC和平面DEF所成角的大小為。，

e.I,I_|n,EC|_________|2么|_____________2A_4??

所G以P/sm(a9=|cos〈".EC)=-1~；浮)。。~~?.="7=-------，。==T，…8分

|n||EC|/22+12X7A2+(A-1)2法X,2*—22+15

9—9?

解得L等或;1=2(舍)，所以.................................................10分

Oo

所以VA,-DEF=VF-A,DE=~^VB-A,DE=4-VA.-BDE=!XX[