河南省鄭州市高新區(qū)創(chuàng)啟學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省鄭州市高新區(qū)創(chuàng)啟學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期

開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.有下列各數(shù):0.456,―,（-7t）0,3.14,0.80108,0.1010010001...（相鄰兩個1

之間0的個數(shù)逐次加1）,4，J1,其中是無理數(shù)的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.PM2.5是大氣壓中直徑小于或等于0.000025的顆粒物，將0.000025用科學(xué)計數(shù)法表

示為（）

A.0.25x10-5B.0.25xlO-6C.2.5x1O'5D.2.5xIO-6

3.下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）

136623

A.nr+nr=2n/B.a2-a3=a5C.[mn）=mnD.m-i-m=m

4.下列選項中，過點(diǎn)P畫A8的垂線CD,三角板放法正確的是（）

5.如圖，AABC中，AB>AC,NC4。為AABC的外角，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則

下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZDAE=ZBB.ZEAC=ZCC.AE//BCD.ZDAE=ZEAC

6.如圖，把一張長方形紙片ABC。沿EF折疊后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)A處，點(diǎn)8落

在點(diǎn)B'處，若Nl=115，則圖中N2的度數(shù)為（）

A.40B.45C.50D.60

7.如圖，AB//CD,BP和CP分別平分NABC和NDCB,AD過點(diǎn)P,且與AB垂直.若

點(diǎn)P到BC的距離是4,則AD的長為（）

8.甲乙兩地相距300km,一輛貨車從甲地開往乙地，一輛轎車從乙地開往甲地，兩車

同時出發(fā),中途不停留.各自到達(dá)目的地后停止，已知貨車的速度為40km/h.轎車的速

度為60km/h.設(shè)貨車行駛時間為x（小時），兩車間距離為y（千米），則下列圖象中可

9.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60。，則等腰三角形的底角度數(shù)為（）

A.15°B.30°C.15?；?5°D.30°或150°

10.如圖，已知長方形A8C。中，A￡>=8cm,A8=6cm,點(diǎn)E為AQ的中點(diǎn).若點(diǎn)P在

試卷第2頁，共6頁

線段4B上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動.同時，點(diǎn)。在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B

運(yùn)動，若,AEP與8PQ全等，則點(diǎn)。的運(yùn)動速度是（）

或|

C.2或6D.1

二、填空題

11.81的平方根是—.

12.已知“，b,c是三角形的三邊長，且滿足（a-12）2+A/^+|c—13|=0,則該三角形

的形狀是.

13.將一個完全平方式展開后得到4/-〃優(yōu)+121,則機(jī)的值為一.

14.七巧板是我們祖先的一項偉大創(chuàng)造，被興為“東方魔板”.在一次“美術(shù)制作”活動課

上，小明用邊長為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板（如圖1）,并設(shè)計了一

幅作品“我跑步，我快樂'’創(chuàng)作畫（如圖2）,則創(chuàng)作畫中陰影部分的面積是cm2.

圖1

15.如圖，在45c中，AB=AC,直線MN垂直平分AB,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

線段上一動點(diǎn)，若BC=4,等腰面積為12,則△雙）E的周長的最小值為

三、解答題

16.解答題

(1)計算：-V+Q7-])。一(-2)-2；

(2)先化簡，再求值：/M(W+2?)-(/??+1)2+2m,其中機(jī)=又總，”=-2022.

17.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,AABC的頂點(diǎn)都在正方

形網(wǎng)格的格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上.

(1)請在如圖所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出△ABC關(guān)于直線/對稱的△DE尸(點(diǎn)A,B,C的

對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，E,F).

(2)求出△DEF的面積.

18.如圖，一個均勻的轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份，分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6,7,8,

9,10這10個數(shù)字.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.

兩人參與游戲：一人轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，另一人猜數(shù)，若所猜數(shù)字與轉(zhuǎn)出的數(shù)字相符，則猜數(shù)的

人獲勝，否則轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的人獲勝.猜數(shù)的規(guī)則從下面兩種中選一種：

①猜”是3的倍數(shù)”或“不是3的倍數(shù)”；

②猜”是大于6的數(shù)''或"不是大于6的數(shù)”.

如果輪到你猜數(shù)，那么為了盡可能獲勝，你將選擇哪一種猜數(shù)方法？怎樣猜？請說明理

由.

19.如圖，將長方形ABC。沿著對角線8。折疊，使點(diǎn)C落在C'處，3C交AZ)于點(diǎn)E.

(1)試判斷△BOE的形狀，并說明理由：

試卷第4頁，共6頁

(2)若4B=4,AO=8,求△BOE的面積.

20.已知動點(diǎn)尸以每秒2cm的速度沿如圖甲所示的邊框按從BnCnOnEn尸nA

的路徑移動，其中NA=N8=NC=NE=ZF=90。，相應(yīng)的.ABP的面積S關(guān)于時間/的

函數(shù)圖象如圖乙所示，若A3=6cm,試回答下列問題：

(圖甲)(圖乙)

(1)如圖甲BC=cm.EF=cm.

(2)如圖乙，圖中的。=,b=.

(3)在上述運(yùn)動過程中，4?尸面積的最大值是cm2.

21.先閱讀，再解答：由(石+⑹(石-⑹=(石『-(6『=2可以看出，兩個含有二

次根式的代數(shù)式相乘，枳不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式，在進(jìn)

行二次根式計算時，利用有理化因式，有時可以化去分母中的根號，例如：

舟7T便+嬴1碼3區(qū)請完成下列問題：

的有理化因式是；

3

(2)化去式子分母中的根號：二后=.(直接寫結(jié)果)

(3)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算下列式子的值：

…+72021+72020^^^+I).

石+0

22.如圖1,點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)AB重合)，分別以AC,8C為一腰在AB

的同側(cè)作等腰.58和BCE,CA=CD,CB=CE,NACr>=N8CE=30,連接AE交

CO于點(diǎn)連接8。交CE于點(diǎn)N,AE與8。交于點(diǎn)P,連接CP.

D

（1）線段AE與OB的數(shù)量關(guān)系為」請直接寫出NAP￡>=_；

（2）將,BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段AE與。8的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；求出此時NAPQ的度數(shù)；

⑶在（2）的條件下求證：ZAPC=NBPC.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，即可得出答案.

【詳解】解：y,0.1010010001…（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1）,￡是無理數(shù),

0.456,（-7t）0=1,3.14,0.80108,4=2是有理數(shù)，

所以無理數(shù)共有3個，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)的概念，掌握無理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為4X1O-",與較大數(shù)

的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)累，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面

的0的個數(shù)所決定.

【詳解】解：將數(shù)據(jù)0.000025用科學(xué)記數(shù)法表示為2.5x10-5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axlO",其中141al<10,“為

由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

3.B

【分析】根據(jù)同底數(shù)基乘除法計算法則，塞的乘方和合并同類項等計算法則求解即可.

222

【詳解】解：A,m+m=2m,原式計算錯誤，不符合題意；

B、a2-a3=aM=a5,原式計算正確，符合題意；

C、（，而丫=〃而原式計算錯誤，不符合題意；

D、原式計算錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)幕乘除法計算，幕的乘方和合并同類項，熟知相關(guān)計算法則

是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】根據(jù)畫垂線的方法進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：二?三角板有一個角是直角，

???三角板的一條直角邊與直線AB重合，

答案第1頁，共14頁

?過點(diǎn)尸作直線A8的垂線，

...三角板的另一條直角邊過點(diǎn)P,

，符合上述條件的圖形只有選項C.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用三角板畫垂線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用三角板畫垂線的方法.

5.D

【詳解】解：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得NDAE=NB,故A選項正確，

.??AE〃BC,故C選項正確，

.?./EAC=/C,故B選項正確，

VAB>AC,AZOZB,AZCAE>ZDAE,故D選項錯誤，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖；平行線的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì).

6.A

【分析】先根據(jù)折疊求出NB，=NB=90。，AEFB'=Z\=\\5°,再根據(jù)鄰補(bǔ)角求出

NC尸3'=180。-115。=65。，即可求出NQFCW15。一65。=50。，根據(jù)直角三角形兩銳角互余

求出N3=90O-N8'FC=40。，最后根據(jù)對頂角相等即可得出答案.

【詳解】解：???把一張長方形紙片A8CQ沿EF折疊后，點(diǎn)A落在C。邊上的點(diǎn)A處，點(diǎn)8落

在點(diǎn)3'處，

AZB,=ZB=90°,ZEFB'=Z,1=U50,

VZl=115,

，ZCF￡=180o-115o=65°,

ZB'FC=115o-65o=50°,

，Z3=90°-NHFC=40°,

：.Z2=Z3=40°,故A正確.

故選：A.

答案第2頁，共14頁

【點(diǎn)睛】本題考查J'矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，對頂角性質(zhì)，能綜

合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意：折疊后的兩個圖形全等.

7.A

【分析】過點(diǎn)尸作PE，3c于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得R4=PE,

PD=PE,那么莊=以=包>,又點(diǎn)P到BC的距離是4,進(jìn)而求出A￡>=8.

【詳解】解：過點(diǎn)P作PEL8C于E,

.AB//CD,PAA.AB,

:.PDLCD,

BP和CP分別平分ZABC和ZDCB,

:.PA=PE,PD=PE,

:.PE=PA=PD,

PA+PD=AD,

PE=4,

:.AD=2PE=3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線是

解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】根據(jù)題意可求得貨車從甲地開往乙地所需的時間，當(dāng)x=3時，可求出貨車行駛的

路程，

答案第3頁，共14頁

轎車行駛的路程，即可得，當(dāng)x=5時，可求出貨車行駛的路程，轎車行駛的路程即可得.

【詳解】解：貨車從甲地開往乙地所需的時間：300+40=7.5（小時），

當(dāng)x=3時，貨車行駛的路程：3x40=120（千米），

轎車行駛的路程：3x60=180（千米），

120+180=300（千米），

則當(dāng)x=3時，兩車相遇，兩車距離為0千米，

當(dāng)x=5時，貨車行駛的路程：5x40-200（千米），

轎車行駛的路程：5x60=300（千米），轎車已到達(dá)甲地，

則兩車相距200千米，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是理解題意.

9.C

【分析】本題要分情況討論.當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種

情況.

【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時，如圖1,

VZABD=6O°,BDLAC,

.?.ZA=90°-Z/W0=30°,

ABC是等腰三角形，

NC=ZABC=^（180°-30°）：

.?.三角形的底角為75。；

②當(dāng)為鈍角三角形時，如圖2,

答案第4頁，共14頁

圖2

VZABD=60°,BDLAC,

ABAC=90°+ZABD=150°,

ABC是等腰三角形,

ZC=乙ABC=(180°-150°)=15°

.?.三角形的底角為15。；

.?.三角形的底角為15?；?5。；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角，做題時,

考慮問題要全面，必要的時候可以做出模型幫助解答,進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】設(shè)。運(yùn)動的速度為xcm/s,則根據(jù)△4“與^BQP^AP=BP,AE=BQAP=BQ,

AE=BP,從而可列出方程組，解出即可得出答案.

【詳解】解：：長方形A8QX

NA=NB=90°,

?.?點(diǎn)E為AQ的中點(diǎn)，AD=Scm,

.".AE=4cm,

設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcm/s,

①經(jīng)過y秒后，bAEPQXBQP,則AE=BQ,

2y=6-2y

4=S-xy

3

解得：，

3

y

2

Q

即點(diǎn)Q的運(yùn)動速度-cm/s時，能使兩三角形全等.

②經(jīng)過y秒后，XAEPWRBPQ,貝ijAP=8Q,AE=BP,

答案第5頁，共14頁

(2y=8-xy

[4=6-2y，

[x=6

解得：,,

即點(diǎn)Q的運(yùn)動速度6cmis時，能使兩三角形全等.

Q

綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度]或6cmis時能使兩三角形全等.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，涉及了動點(diǎn)的問題使本題的難度加大了，解答

此類題目時，要注意將動點(diǎn)的運(yùn)用時間f和速度的乘積當(dāng)作線段的長度來看待，這樣就能利

用幾何知識解答代數(shù)問題了.

11.±9

【分析】直接根據(jù)平方根的定義填空即可.

【詳解】解：(±9)2=81,

???81的平方根是±9.

故答案為：±9.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，理解平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

12.直角三角形

【分析】根據(jù)絕對值、完全平方數(shù)和算術(shù)平方根的非負(fù)性，可求解出尻c的值，再根據(jù)

勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】解：由題意得：a—12=0,b-5=0,c-13=0,

解得：a=12,b=5)c=13,

V122+52=132,

.?.三角形為直角三角形.

故答案為：直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。、6、

c的值是解題的關(guān)鍵.

13.±44

【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

【詳解】解：因為(2x±ll)2=4X2±44X+121

答案第6頁，共14頁

，m=±44,故答案為±44

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

14.5

【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面積=Jx〈x42=l(cm2),最大的等腰直角三角形

o2

的面積為4cm2,再根據(jù)陰影部分的組成求出相應(yīng)的面積即可求解.

【詳解】解：最小的等腰直角三角形的面積=Jx4x42=l(cm2),最大的等腰直角三角形的

82

面積為!x4?=4cn?,

.??陰影部分的面積為4+l=5(cnr).

故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的剪拼、七巧板，解題的關(guān)鍵是求出最小的等腰直角三角形的

面積，學(xué)會利用分割法求陰影部分的面積.

15.8

【分析】連接AZXAE,利用垂直平分線的性質(zhì)得到=再利用兩點(diǎn)之間線段最短得

到3E+OE的和的最小值為AE＞的長，根據(jù)/1BC的面積計算出AO的長，從而求出

的周長的最小值.

【詳解】解：連接的＞、AE,

直線MV垂直平分48,

/.AE=BE,

點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，AB^AC,BC=4,

:.BD=-BC=2,AD1BC,

2

△BDE的周長=3。++BE=8。+￡>￡+AEN2+/IP,

.,.當(dāng)E在上時，的周長的最小，

答案第7頁，共14頁

S^.=-BCAD=-x4xAD=n,

ZA/IDRCr22

AD=6,

，△BOE的周長的最小值為：2+6=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)

之間線段最短，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)

之間線段最短是解題的關(guān)鍵.

16.⑴」

4

(2)2mn-1；-3

【分析】(1)先化筒各式，然后再進(jìn)行計算即可解答：

(2)先去括號，再合并同類項，然后把"?，〃的值代入化簡后的式子，進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】(1)解：-r*+(L7-])°-(-2)-2

=—1+1——

4

=_1

4

(2)解：m(zn+2n)-(m+l)2+2m

=m2+2mn—(m2+2/%+1)+2m

="+2mn—m2—2m-1+2m

-

再把〃=-2022代入①得：

2022

2x—^—x(-2022)-l=-3

2022

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，化簡求值，零指數(shù)幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)

行計算是解題的關(guān)鍵.

17.(1)見解析；(2)5.5

【分析】(1)利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)。，E,尸即可.

(2)利用分割法把三角形面積看成矩形面積減去周圍三個三角形面積即可.

答案第8頁，共14頁

【詳解】解：（1）如圖，△OEF即為所求.

222

【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解

題的關(guān)鍵.

18.選擇①，猜"不是3的倍數(shù)”，理由見解析

【分析】根據(jù)規(guī)則可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)有10種，分別算出“是3的倍數(shù)”的概率、“不是3的倍

數(shù)”的概率、“是大于6的數(shù)”的概率、“不是大于6的數(shù)”的概率，比較大小選擇概率大的即

可.

【詳解】解：①共有“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10種等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，

“是3的倍數(shù)”的有“3、6、9”3種，

“不是3的倍數(shù)”的有力、2、4、5、7、8、10”7種，

是3的倍數(shù)"的概率=3+10xl00%=30%,

“不是3的倍數(shù)"的概率=7+10xl00%=70%,

②共有T、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10種等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，

”是大于6的數(shù)”的有“7、8、9、10"4種,

“不是大于6的數(shù)”的有“1、2、3、4、5、6”6種，

，“是大于6的數(shù)”的概率=4+10x100%=40%,

“不是大于6的數(shù)”的概率=6+10x100%=60%,

70%>60%>40%>30%,

???選擇①，猜"不是3的倍數(shù)”，最可能獲勝.

【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計算，根據(jù)規(guī)則計算概率是解題的關(guān)鍵.

19.（1）ABOE是等腰三角形；（2）10

答案第9頁，共14頁

【分析】(1)由折疊可知，NCBD=NEBD,再由AOBC,得到NC8Z>=/E￡W,即可得到

NEBD=NEDB,于是得到BE=￡>E,等腰三角形即可證明；

(2)設(shè)DE=x,則BE=x,AE=8-x,在心△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形

的面積公式求出面積的值.

【詳解】解：(1)△8OE是等腰三角形.

由折疊可知，NCBD=NEBD,

,：ADBC,

：.NCBD=NEDB,

：.NEBD=NEDB,

：.BE=DE,

即48OE是等腰三角形；

(2)設(shè)。￡=x,則AE=8-x,

22

在A公A8E中，由勾股定理得：AB2+AE2=B￡2即42+(8-%)=%,

解得：

所以SABDE=3DExAB=yx5x4=10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折變換的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與

勾股定理的知識，此題難度不大.

20.(1)8；2(2)24；17(3)42

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖形可判斷出BC、EF的長度；

(2)根據(jù)三角形的面積計算公式，進(jìn)行求解；

(3)點(diǎn)P移動到點(diǎn)E時面積達(dá)到最大值.根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算.

【詳解】(1)已知當(dāng)P在BC上時，以AB為底的三角形的高在不斷增大，到達(dá)點(diǎn)C時^,開

始不變，由第二個圖得，

P在BC上移動了4秒，那么BC=4x2=8cm.

在CD上移動了2秒，CD=2x2=4cm,

在DE上移動了3秒，DE=3x2=6cm,而AB=6cm,

那么EF=AB-CD=2cm,

故答案是：8；2；

(2)由圖得，a是點(diǎn)P運(yùn)行4秒時AABP的面積，

答案第10頁，共14頁

SAABP=5x6x8=24

b為點(diǎn)P走完全程的時間為：t=9+l+7=17s

/.a=24b=17；

故答案是：24；17；

（3）???點(diǎn)P移動到點(diǎn)E時面積達(dá)到最大值a,

；.S=1AB?（BC+DE）,

VAB=6cm,BC=8cm,DE=6cm,

；.S=gx6x（8+6）=42（cm2）.

故答案是：42.

【點(diǎn)睛】此題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得

出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論.

21.⑴&+1

⑵3+后

（3）2020

【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義求解即可；

（2）利用分母有理化進(jìn)行計算即可；

（3）直接將每個分?jǐn)?shù)分母有理化然后進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：

夜-1的有理化因式是夜+1，

故答案為：&+1;

（2）解：根據(jù)題意得：

33（3+6）

3-娓（3-V6）（3+^）

故答案為：3+娓；

1夜一1尻,

⑶解：百7二西百3，

答案第11頁，共14頁

1y/3->j2=石-0,

73+72(G+&)便-碼

1________J2021