2024年高考數(shù)學高頻考點題型總結一輪復習講義 第33講 空間直線、平面的平行

2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結

第33講空間直線、平面的平行（精講）

題型目錄一覽

①線面平行I—利用三角形中位線

②線面平行n—利用平行四邊形

③線面平行ni一利用線面平行的性質(zhì)定

理

④線面平行w—利用面面平行

⑤面面平行的判定定理

、知識點梳理

一'直線和平面平行

i.定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面a平行，記作/〃a

2.判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這個平\//\

線〃線n面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直l、ua>n/〃a

1Ua

線〃面線和這個平面平行（簡記為“線線

平行n線面平行

如果兩個平面平行，那么在一個平a//

>na//p

面〃面=>面內(nèi)的所有直線都平行于另一個aua

線〃面平面

3.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和一個1//a

平面平行，經(jīng)過這條lufj>^i//r

a0=

線〃面n線〃線直線的平面和這個平

面相交，那么這條直

線就和交線平行

二'兩個平面平行

1.定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和夕，若a〃=。，則a〃4

2.判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相aua,bua,ab=P

線〃面n交的直線都平行于另一個a//回b///3^a//p

面〃面平面，那么這兩個平面平行

（簡記為“線面平行n面

面平行

線，面n如果兩個平面同垂直于一I.La

\na〃§

面〃面條直線，那么這兩個平面平lV/3\

/'/

行

3.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那么

面〃面n

在一個平面中的所有直al10\

線〃面卜=Q〃尸

線都平行于另外一個平auaj

面

如果兩個平行平面同時

和第三個平面相交，那么/a11[3

性質(zhì)定理他們的交線平行（簡記為ay=a>=>a//b.

(3\y=b

“面面平行n線面平

行”）

如果兩個平面中有一個

面〃面=＞垂直于一條直線，那么另a///3}

線，面一個平面也垂直于這條1.La\

直線3

【常用結論】

1.證明直線與平面平行的常用方法：

①利用定義，證明直線。與平面a沒有公共點，一般結合反證法證明；

②利用線面平行的判定定理，即線線平行n線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面,

得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；

③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉化成線面平行；

2.證明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用兩個平面垂直于同一條直線；

④證明兩個平面同時平行于第三個平面.

3.證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

二、題型分類精講

題型二線面平行I—利用三角形中位線

策略方法

1.可以拿一把直尺放在PB位置（與PB平齊），如圖一；

2.然后把直尺平行往平面ACE方向移動，直到直尺第一次落在平面ACE內(nèi)停止，如圖二；

3.此時剛好經(jīng)過點E（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點E）,此時直尺所在的位置就是我們要

找的平行線，直尺與AC相交于點尸，連接所，如圖三；

4.此時PB、E尸長度有長有短，連接尸8、班'并延長剛好交于一點。，剛好構成A型模型（E為PD中

點，則/也為班＞中點，若E為等分點，則尸也為班＞對應等分點），PB//EF,如圖四.

【典例1］如圖，垂直于梯形ABCD所在平面，ZADC^ZBAD^90,尸為出的中點，尸。=虛,

AB=AD=^CD=1,四邊形PDCE為矩形.求證：AC〃平面。跖；

【答案】證明見解析

【分析】可先由中位線證明兩線平行，再證明線面平行.

【詳解】令PC交。E于。，連接。尸，

四邊形PDCE為矩形，

。為PC中點，

又尸為叢的中點，

AC//FO,

又AC<Z平面。Eb,FOu平面。EG

ACDEF

【題型訓練】

一、解答題

1.（2023?全國?高三專題練習）在如圖所示的三棱錐D-ABC中，已知E為的中點，尸為AC的中點，G為CD

的中點.證明：AO〃平面E/G.

D

【分析】利用線面平行判定定理即可證得AD//平面EFG.

【詳解】因為礦是ACD的中位線，所以AD〃尸G.

因為AD平面EFG,FGu平面EFG,

所以AD//平面E產(chǎn)G.

2.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，E為PC中點，證明:PA//平

面

【答案】證明見解析

【分析】作出輔助線，得到線線平行，證明線面平行.

【詳解】證明：設ACc3r>=尸，連接斯，

因為E,尸分別為PC,AC中點，

所以PA〃EF,

因為平面EFu平面BDE,

所以RV/平面3DE.

p

3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面ABCD為正方形，E為PB的中點.證明：PD〃平面B4C.

【答案】證明見解析

【分析】作出輔助線，由中位線得到線線平行，進而得到線面平行.

【詳解】連接即，交AC于。，連接EO,

因為底面ABC。為正方形，所以。為3。的中點，

因為E為PB的中點，所以EO是△尸3。的中位線，所以EO//PD,

因為EOu平面￡4C,PDz平面取C,

所以PD//平面EAC.

4.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在直三棱柱ABC-44。中，點。是棱BC的中點.求證：48〃平面ACQ.

【答案】證明見解析

【分析】連接AC交AC|于點o,連接則。。是ABC的中位線，所以再利用線面平行的判斷定

理即可得證.

【詳解】證明：連接AC交AG于點O,連接0。，

由于四邊形ACGA為矩形，所以O為AC的中點，又D是棱BC的中點，

故在ABC中，0D是ABC的中位線，因此0￡>〃AB,

ODu平面AG。，&平面AC】。，

所以A3〃平面ACQ.

5.（2023?全國?高三專題練習）在多面體A3CG4旦中，四邊形B4GC是正方形，A為的中點，求證：直線AC〃

平面ABG.

c________G

【答案】證明見解析

【分析】作出輔助線，由中位線得到線線平行，進而得到線面平行.

【詳解】連接C4,設CBJ8G=。，因為四邊形BqGC是正方形,

所以。為C4的中點，連接4。,

因為分別為A耳,C片的中點，則AO//AC,

因為AQu平面ABG，ACO平面ABC1,

所以直線AC〃平面A^G.

題型二線面平行n—利用平行四邊形

⑨3策略方法

1.可以拿一把直尺放在EF位置，如圖一；

2.然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面R1B內(nèi)停止，如圖二；

3.此時剛好經(jīng)過點3（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點3）,此時直尺所在的位置就是我們要找

的平行線，直尺與厚相交于點0,連接3。，如圖三；

4.此時尸3、EF長度相等（感官上相等即可，若感覺有長有短則考慮法一A型的平行），連接0E,剛

好構成平行四邊形灰后。型模型（E為PD中點，0也為E4中點，0E為三角形R4D中位線），OB//EF,

如圖四.

【典例1］如圖所示，長方體ABC。-48cA中，M、N分別為A3、AA的中點，判斷MN與平面ABQ的位置

關系，并證明你的結論.

【答案】平行關系，證明過程詳見解析

【分析】作AG的中點為。-可證四邊形NMBQ為平行四邊形，從而得到平面ABC-

【詳解】MN平面ABC-

證明如下：

如圖，取AG的中點01,連接NOia.

由正方體ABCD-A4G。可得CRAB,

11

,:NO、DG，NO].RG,MB=-AB,所以N。MB,NO、=MB

四邊形為平行四邊形.：.MNBO,.

又???BOU平面ABG，肱VZ平面A^G，故MN平面ABC一

【點睛】線面平行的證明的關鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影，我

們也可以通過面面平行證線面平行，這個方法的關鍵是構造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.

【題型訓練】

一、解答題

1.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AE//CF,AE=2CF,G

為AE的中點.求證：CG//平面DEF.

【答案】證明見解析

【分析】構造平行四邊形，通過線線平行證明線面平行.

【詳解】證明：連接CG.因為G為AE的中點，AE//CF,AE=2CF,

所以GE=CF，GE//CF,

所以四邊形CFEG是平行四邊形，所以CG//FE.

因為尸Eu平面DEb,CGo平面DEW,

所以CG〃平面DEV.

2.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ABC。中，AT）//3C,BC=2,A￡）=4,點E為E4的中點.求證:

BE//PCD.

p

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)題意可取PD中點尸，根據(jù)邊長關系可證明四邊形3。莊為平行四邊形，由線面平行的判定定理即可

證明.

【詳解】取中點/，連接CREF,如下圖所示：

因為點E為外的中點，所以EF//AD且EF=；A。,

又因為3C7/AD且=所以EF//5C且砂=3C,

所以四邊形3CFE為平行四邊形.所以BE//CF.

又BEa平面PCD,CFu平面PCD,

所以防〃平面PCD.

3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，四棱錐尸-AB8的底面是矩形，E、尸分別是A3、PZ）的中點.求證：”〃平

面PEC.

【答案】證明見解析

【分析】取PC的中點G,可證GP/ME,GF=AE,可得四邊形AEGF為平行四邊形，即AF〃EG,得證.

【詳解】取PC的中點G,連接EG,FG,

p

因為F為尸。的中點，

所以GF"CD,GF=gcD,

因為CD/MB,CD=AB,又E為AB的中點，所以AE//CD,AE=；CD,

所以AE//GF,AE=GF

所以四邊形AEGF為平行四邊形，

所以AF〃GE,又GEi平面PEC,且AFu平面PEC,

因此AF〃平面PEC.

4.（2023?全國?高三專題練習）在直三棱柱ABC-4瓦弓中，E,歹分別是AC,4耳的中點，求證：瓦〃平面8耳CQ.

B

【答案】證明見解析

【分析】取BC的中點G,連接EG,Bfi,證明四邊形EGB7是平行四邊形，進而可得石尸〃與G,從而利用線面

平行的判斷定理即可證明.

【詳解】證明：取8c的中點G,連接EG,Bfi,

G

B

因為在直三棱柱ABC-AAG中，E,F分別是AC,44的中點,

所以EG〃AB且EG=gAB,又〃AB且與尸=JA3,

所以EG〃BF且EG=B/,

所以四邊形EGB/是平行四邊形，

所以所〃與G,

因為21Gu平面8BCC，￡尸0平面88℃,

所以所〃平面BBCC.

5.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCD是梯形，AB//CD,AB=2CD,E為棱

尸3的中點.證明：CE〃平面PAD.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)三角形中位線定理，結合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進行證明即可.

【詳解】取線段F4的中點尸，連接跖、FD,

則石尸為一B4B的中位線，AEF//AB,EF=^AB

由題知CD//AB,CD^^AB,

：.EF//CD,EF=CD,

所以四邊形CEFD為平行四邊形，二CE〃小，

又；￡*u平面P4D,CE<Z平面MD,

/.CEII平面PAD。

題型三線面平行in一利用線面平行的性質(zhì)定理

策略方法

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行

【典例1】如圖，已知長方體ABC。-A耳CQ中，AB=AD^2,441=1.￡為A.的中點，平面CgE交棱。，于

點下.求證：B.CHEF.

【答案】證明見解析

【分析】由面面平行的性質(zhì)可得B，//平面ADRA，再由線面平行的性質(zhì)即可證結論.

【詳解】由長方體的性質(zhì)知：平面8CC14//平面ADA4,又4Cu面8CG片,

??耳。//面AOZ)1A，又平面C31EC平面A￡>24=￡F,且4Cu面C4石，

:.B{C//EF.

【題型訓練】

一、解答題

1.(2023?全國?高三專題練習)在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC//AD,BC=CD^AD=\,

E為線段AD的中點，平面BEF與棱尸￡>相交于點G.

求證：BE//FG.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理得出結果.

【詳解】因為E為線段AO的中點，所以。E=gAD=l.

又因為BC=1,所以DE=_BC.

在梯形A3CQ中，DE//BC,

所以四邊形為平行四邊形.所以BE〃CD.

又因為平面PCD,且C￡>u平面PCD,

所以跳;〃平面PCD.

因為BEu平面3￡尸，平面B砂I平面PC￡)=FG,

所以BE〃FG.

2.（2023?全國?高三專題練習）四棱錐S-MCD中，底面A3CD為矩形，平面&W與平面S3c的交線為/,求證：直

線/平行于平面ABCD.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，結合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理進行證明即可.

【詳解】因為底面ABCD是矩形，可得AD//8C,

又因為平面SBC,BCu平面1sBC,

所以〃平面S3C,

因為ADu平面SAZ）,且平面SAOC平面S3C=/,

所以AZ）//直線/,

又因為/Z平面ABCD,ADu平面ABCD,所以/〃平面ABCD.

3.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.求

證：AB平面EFG8.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理進行證明即可.

【詳解】??,四邊形跳G8為平行四邊形，...￡尸〃HG.

；"Gu平面班O平面/.EF平面

又；砂u平面ABC,平面筋DPI平面=

/.EF//AB,又；ABO平面EFGH,EFu平面EFGH,

AB平面EFGH.

4.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐尸-ABC中，點E是PC的中點，點f在PB上，平面A所與平面A3C

相交于直線/,BC//1,證明：歹是PB的中點.

P

【答案】證明見解析

【分析】由線線平行證線面平行，再用性質(zhì)定理證明線線平行即可.

【詳解】因為8C〃/,/<=平面3C<Z平面AEb,

所以BC〃平面AE凡

因為BCu平面尸3C,平面AEF平面尸8C=EF,

所以BC〃EF,

又因為點E是PC的中點，

所以點尸是尸8的中點.

5.（2023?全國?高三專題練習）如圖，AB是圓。的直徑，點C是圓。上異于A3的點，直線尸C,平面ABC,E,F

分別是上4,PC的中點.記平面BEF與平面ABC的交線為/,求證：直線///平面PAC

【答案】證明見解析

【分析】先通過跳V/AC可得出所//平面ABC,再利用線面平行的性質(zhì)即可證明.

【詳解】因為昆尸分別是PA,PC的中點，所以EF〃AC,

又因為ACu平面ABC,EFU平面A3C,所以防//平面ABC,

又EFu平面BEF,平面3EF與平面A3C的交線為/,所以EF//1,

而平面PAC,￡Fu平面PAC,所以/〃平面PAC.

6.（2023?全國?高三專題練習）如圖，四棱錐石-9。。中，底面筋。。為直角梯形,且45=隹=江=23。=2。。=4,

點M在棱AE上，若直線CE〃平面求的值

【答案】1:2

FMCN

【分析】連接AC與BO交于點N,連接MN,進而根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得*=卷=。1

MAAN2

【詳解】解：連接AC與8。交于點N,連接MN,

VAB//CD,AB=2CD=4,

CDCN1

:._CNDsANB,：.—=—=-,

ABAN2

又；CE〃平面3DA7,CEu平面ACE,且平面ACE平面3nM=MN

二CE//MN

EMCNI，EM-AM=1:2

~MA~~AN

題型四線面平l±iv—利用面面平在

⑨^策略方法

已知平面夕〃平面夕，則平面夕里的任意直線均與平面。平行

【典例1］如圖，在長方體ABCD-A3'CZ?'中，E,M,N分別是BC,AE,CD的中點，求證：MN〃平面ADDA.

【答案】證明見解析

【分析】取CD的中點K可得MK//AD,腔//ZXD,根據(jù)線面平行的判定定理和面面平行的判定定理可得平面MNKH

平面ADDA,再由面面平行的性質(zhì)定理可得答案.

【詳解】如圖，取CD的中點K,連接MK,NK,

VM,K分別是AE,CD的中點，MK//AD,

又ADu平面ADDA,研（Z平面ADDH,二腔〃平面ADDA,

又是CD的中點，K分別是CD的中點，〃。1）,

又“u平面ADDA,〃，。（^平面包加發(fā)，詆〃平面ADDA,

又研u平面MNK,隧u平面MNK,

MKcNK=K,二平面MAK〃平面ADDA,

又M/u平面MNK,MN//平面ADDA.

【題型訓練】

一、解答題

1.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ASMN中，△PNM是邊長為2的正三角形，AN//BM,AN=3,

BM=1，AB=2拒，C,。分別是線段AB,NP的中點，求證：CD〃平面PW

【答案】證明見解析.

【分析】取MN中點Q,連C。，DQ,根據(jù)給定條件，結合線面平行的判定，面面平行的判定、性質(zhì)推理作答.

【詳解】取MN中點。，連C。，DQ,如圖，

因。是N尸的中點，則OQ〃MP,又平面BMP,MPu平面BMP,因此平面BMP,

在梯形AfiMV中，AN//BM,C是線段A3的中點，貝!又CQ0平面3Mp,MBu平面3MP,

因此C。//平面BMP,而DQKQu平面CD。，DQ^CQ=Q,則平面〃平面5Mp,又CDu平面CD。,

所以CD〃平面&WP.

2.（2023?全國?高三專題練習）如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ACDE為菱形，平面ACDE，平面ABC,

ZACD=60，DF//BC,DF=1.求證：EFHABC

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)線線平行可證明線面平行，根據(jù)線面平行進一步證明面面平行，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)可證明線

面平行.

【詳解】因為四邊形A8E為菱形，則DE//AC,

DEU平面ABC,ACu平面ABC,.1DE〃平面A3C,

DF//BC,￡＞產(chǎn)u平面ABC,3Cu平面ABC,.?.￡）尸〃平面ABC,

DEDF=D,所以，平面D￡F〃平面ABC,

因為防u平面DEF,EF〃平面ABC.

3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，四邊形ACDE為菱形，DFHBC,求證：阱〃平面ABC

【答案】證明見解析

【分析】由題意先證明平面DEE7平面A3C,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明瑁7〃平面ABC.

【詳解】證明：因為四邊形ACDE為菱形，則DE//AC,

DEU平面ABC,ACu平面ABC,.〔DE//平面ABC,

DFUBC,D尸a平面ABC,3Cu平面ABC,;.￡）尸〃平面ABC,

DEDF=D,DE,DFe平面DEF,

所以平面DEF//平面ABC,

因為EFu平面DEW,E尸〃平面ABC.

4.（2023?全國?高三專題練習）如圖，四棱錐C-ABED中，AD//BE,F,M,N分別為AR8C,跖的中點，求證:

肋V//平面ACD.

【答案】證明見解析.

【分析】取的中點G,連接MG,NG,利用面面平行的判定與性質(zhì)即可推理作答.

【詳解】取的中點G,連接MG,NG,如圖，

因M是8c的中點，則MG//AC,AfGa平面ACD,ACu平面ACD,因此MG〃平面ACD,

又F為AO的中點，AD//BE,即有AF//BE,因N為E產(chǎn)的中點，G為AB的中點，則NG//AE,

NG<X平面AC。，AFu平面ACD,因此NG//平面ACO,又MGcNG=G,/G,NGu平面MMG,

于是得平面MNG〃平面ACD,而MNu平面ACVG,

所以肱V〃平面AC。.

5.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在長方體ABCD-4BCA中，E,尸分別是線段4耳，BC的中點，證明：EFII

平面相CQ

【答案】證明見解析

【分析】取43的中點G,連接EG,FG,證明EG〃平面441GC,尸G〃平面明。夕，通過面面平行的判定定理

可得平面EFG//平面441cC,最后得到EF//平面A41cle

【詳解】取AB的中點G,連接EG,FG,

貝!JEG〃AA|,FG//AC,

又EG.平面A4.CC，/Gez平面MGC,例，ACu平面441GC,

所以EG//平面MCC，/G〃平面441GC,

又EGFG=G,EG、尸Gu平面E尸G,

所以平面EFG〃平面A41clC,又EFu平面EFG,

所以所〃平面AAGC

6.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，側面BCC4為正方形，平面平面AB與A,

AB=BC=2,M,N分別為人蜴，AC的中點.求證：MZV〃平面BCG4；

【答案】證明見解析

【分析】利用面面平行的判定定理及性質(zhì)定理即可證得.

【詳解】取AB的中點為K,連接"K,隧，

由三棱柱ABC-A瓦G可得四邊形ABB.A為平行四邊形，

BtM=MAl,BK=KA,貝（]MK〃叫，

又MKN平面CBB?,BBlu平面CBB￡,故MKII平面CBB?,

,CN=NA,BK=KA,則腔//8C,同理可得詆//平面CBBC,

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,故平面〃平面,

又MNu平面MKN,故MN//平面CBB]G

7.（2023?全國?高三專題練習）如圖，已知正方體A8CD-A8GR的棱長為2,M、N分別為棱84、BC的中點,

證明：直線DV〃平面

【答案】證明見解析

【分析】利用平行關系，轉化為證明面面平行，即可證明線面平行.

【詳解】證明：取CG的中點E,連接。E、NE、ME,

在正方體ABCD-中，BBJ/CC,且BBt=CQ,

M、E分別為SB】、CG的中點，貝!J9〃CE且8M=CE,

故四邊形BCW為平行四邊形，則ME//3c且ME=3C,

又因為AD//3C且AD=3C,貝！IME//AD且ME=AD,

故四邊形ADEM為平行四邊形，則DE//AM,

DEU平面AMDt,AMu平面AMDt,;.DEH平面AMD1,

因為ABgD、且A8=CR,故四邊形ABC.D,為平行四邊形，則BCJ/AD,,

QN、E分別為BC、CG的中點，則NE//BQ,則NE//AR,

平面AMR,AD|u平面AA肛，,A?〃平面AAg，

DE'NE=E,DE、NEu平面DEN,所以，平面DEN〃平面AM，，

DNu平面DEN,DNH平面AMD1.

題型五面面平行的判定定理

⑨3策略方法

常用證明面面平行的方法是在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同

時垂直于這兩個平面.證明面面平行關鍵是找到兩組相交直線分別平行.

【典例1］如圖所示，在三棱柱ABC-A4C中，E,F,G,X分別是AB,AC,4月，4G的中點.求證：平面

EFA〃平面BCHG.

【答案】證明見解析

【分析】證明口VABC,進而證明出EF〃平面BCHG,再證明AE〃G2,得到〃平面BCHG,從而證明面面

平行.

【詳解】證明：..任，F(xiàn)分別是AB,AC的中點，

，EF//BC.

；所（2平面BCHG,3Cu平面BCHG,

:.EF//平面BCHG.

■:Afi=EB,且AG//EB

四邊形\EBG是平行四邊形，

\EHGB.

丁AEO平面BCHG,G3u平面BCHG,

AE〃平面BCHG.

VAEcEF=E,

：.平面EFA[//平面BCHG.

【題型訓練】

一、解答題

1.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在正方體耳CQ中，E,尸分別為棱的中點.求證：平面AECJ/

平面BDF

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)。F〃EG，可證明ECJ/平面應加；又BF/1AE,可得AE〃平面進而根據(jù)線面平行證明面面平

行.

【詳解】證明：在正方體ABC。-44G2中，E,尸分別為棱D〃,CG的中點，

所以DE=gr>R,C]F=gcG.

因為CG=OR,豆CC/DD\,

所以DE=C/,ADEgF,

所以四邊形。EC/是平行四邊形，所以。B/EC

又與u平面50尸，EC1<Z平面3OF,

所以EC1〃平面也萬.

同理，BF//AE,又跳'u平面BDF,AEU平面30尸，

所以AE〃平面

又AEcEC\=E,AE,ECXu平面AECX,

所以平面AEQ〃平面血尸

2.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，E,尸分別為線段^G，AG的中點.

(1)求證：EF〃平面

(2)在線段8G上是否存在一點G，使平面EFG〃平面AB44?請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)中位線的性質(zhì)可得跖〃AA,再根據(jù)線面平行的判定可得E尸//^B即可；

(2)取BG的中點G,連接GE,G尸，根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可

【詳解】(1)證明：因為E,尸分別為線段AG4G的中點所以匹//AA.因為BiB〃AA,所以EF"BIB.又因為EF<Z

平面8CG4，48u平面BCG與，所以班//平面8CC田.

(2)取BG的中點G,連接GE,GE因為E為AG的中點所以GE//AB.

因為GEZ平面ABBiA,ABu平面ABBJA，所以GE〃平面&刀瓦4,

同理可得，歷//平面又因為跖EG=E,EG,EFu平面EFG,所以平面￡FG〃平面AB與A

故在線段BG上存在一點G,使平面EFGU平面ABB.A.

3.(2023?全國?高三專題練習)如圖，四棱錐尸-ABCD中，AB//CD,AB=2CD,E為PB的中點.

DC

(1)求證：CE7/平面

(2)在線段A3上是否存在一點尸，使得平面PAD//平面CEF?若存在，證明你的結論，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析

(2)存在，證明見解析

【分析】(1)利用構造平行四邊形的方法證明線線平行，結合線面平行判定定理，從而得線面平行；

(2)點歹為線段A2的中點，再利用面面平行判定定理證明，即可證明平面〃平面CEF.

【詳解】(1)證明：如圖所示，取上4的中點打，連接EH,DH.

p

因為E為PB的中點，

所以EH//AB,EH=^AB.

又ABIICD,CD=-AB,

2

所以EH"CD,EH=CD.

因此四邊形DCEH是平行四邊形，

所以CE//DH.

又￡）〃u平面PAD,CEN平面PA。，

因此CE7/平面PAD.

（2）解：如圖所示，取的中點尸，連接CF,EF,

所以AF=gA3

又CD」AB,所以AF=CD.

2

又AFIICD,所以四邊形AFCD為平行四邊形,

因此CF//AD.

又CFC平面24。，所以CF〃平面PAD.

由（1）可知CE〃平面PAD.

因為CE「］CF=C,故平面C￡F//平面PAD.

4.（2023?全國?高三專題練習）在圓柱。。2中，等腰梯形4BCO為底面圓。的內(nèi)接四邊形，AD=DC=BC=1,

矩形A2FE是該圓柱的軸截面，CG為圓柱的一條母線.求證：平面QCG〃平面ADE.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)線線平行可得線面平行即可求證面面平行.

【詳解】在圓柱。。2中，AE//CG,平面QCG,CGu平面QCG,

故AE〃平面QCG；

連接〃。1，因為等腰梯形ABC。為底面圓。1的內(nèi)接四邊形，AD=DC=BC=1,

故NAOQ=NCC\D=ZBQC=三，

7T

則A。。為正三角形，^ZO1A￡>=ZCO1B=則AD〃OC，

AD<Z平面0°G,O|Cu平面QCG,故A￡）〃平面QCG；

又AEcA￡>=AAEADu平面ADE,

故平面ADE//平面OtCG.

5.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，8為&ACD所在平面外一點，M、N、G分別為，ABC、LABD、△BCD

的重心.求證：平面MNG//平面ACD.

【答案】證明見解析

【分析】在平面MNG內(nèi)找兩條相交直線MG,GN分別平行于平面ACD,由面面平行的判定定理可得.

【詳解】如圖

記AC,CD,A￡＞的中點分別為連接EF,尸H,HE；連接BE,BF,BH；

因為M,G分別為ABC、△BCD的重心，

所以警=警='，所以MG//EF,

BEBF3

因為MG.平面ACD,EFu平面ACD,

所以MG〃平面ACD.

同理GN//平面ACD,

又MG\GN=G,MG,GNu平面MNG,

所以平面MNG//平面AC。.

6.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，已知ABCO-A4CQ是棱長為3的正方體，點E在A4上，點尸在CC」,

G在8月上，且AEn/G=BQ=1,5是4a的中點.

⑴求證：E、B、F、R四點共面

（2）求證：平面\GHII平面BEDXF.

【答案】⑴證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）在。R上取一點N使得DN=L連接CN,EN,可證明四邊形C/7RN、四邊形CNEB是平行四邊形,

可得DF〃CN,CN//BE,則2/〃BE,即可證明結論；

（2）利用數(shù)據(jù)可證明HG//FB,AG//BE,利用線面平行的判定定理可得到HG〃平面尸，A,G〃平面BERF,

然后利用面面平行的判定定理即可得證

【詳解】（1）在。R上取一點N使得DN=L

連接CN,EN,則AE=DN=LCF=ND,=2,

因為CF//NDt,所以四邊形CF/N是平行四邊形，

所以D///CN,

同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN//AD,且EN=AD,

又BC〃AD,且AD=BC,所以EN〃BC,EN=BC,

所以四邊形CNEB是平行四邊形，所以CN〃BE,

所以D///BE,

所以E,B,F,，四點共面；

3

（2）因為H是3G的中點，所以與Hu,,

B.G2

因為4G=1,所以為=可，

DxrLJ

PC2

因為—=W,且/FCB=/GB1H=90。,

BC3

所以B{HGCBF,

所以=ZCFB=ZFBG,

所以HG〃FB,

因為HGZ平面BEDF，F(xiàn)Bu平面BEDF，所以HG〃平面5石2尸，

因為BG=EA=2,BG//EA,

所以四邊形BEAfi是平行四邊形，

所以AG//BE,

因為4Gz平面3￡，尸，BEu平面2￡￡＞尸，所以4G〃平面BE?/，

又HGcAfi=G,8G,AGu平面\GH,

所以平面AGH//平面BED.F

7.（2023?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8C。是邊長為2的菱形，ZBAD=60,

AC與8。交于點O,OP±^ABCD,OP=^3,點E,歹分別是棱B4,尸3的中點，連接OE,OF,EF.

p

B

(1)求證：平面OE尸〃平面PC。；

(2)求三棱錐O-PEF的體積.

【答案】(1)證明過程見詳解

1

⑵一

8

【分析】(1)根據(jù)中位線定理和面面垂直的判定即可求解；

(2)根據(jù)等體積法即可求解.

【詳解】(1)因為底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O

所以O為AC中點，

點E是棱PA的中點，F(xiàn)分別是棱PB的中點，

所以OE為三角形ACP的中位線，OF為三角形3。尸的中位線,

所以OE//PC,。尸/ADP,

OEO平面DCP,PCu平面DCP,.?.0￡7/平面DCP,

QO尸平面0cP,￡>Pu平面0cP,..OR//平面0cP,

而OEcOF=O,OEu平面OEF,5u平面O。，

二平面OEF〃平面PCD.

(2)因為底面ABCD是邊長為2的菱形，ZBAD=60,

所以54D為等邊三角形，

所以08=1,04=6，

因為OPJ_底面ABCD,

OAu底面ABCD,O3u底面ABCD,

所以。P_LQ4,OPLOB,

所