2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（預(yù)賽B卷）暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試及加試試題（含解析）

2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（預(yù)賽B卷）暨全國高中

數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試及加試試題（B）卷

一'填空題（本大題共8小題，共64.0分）

1.函數(shù)y=log2（）23（/-9%-10）的定義域為.

2.若實數(shù)M滿足22m=4c，則m的值為.

3.若雙曲線用最-\=l（a,b>0）的離心率為3,則雙曲線心:《一圣=1的離心率為.

4.設(shè)n為正整數(shù).從1,2,…，ri中隨機選出一個數(shù)a,若事件“2<。S4”發(fā)生的概率為|,

貝M的所有可能的值為.

5.平面上五點4,B,C,D,E滿足荏=前=而，瓦？?麗=4,而?正=5,正?麗=8，

則說?前的值為.

6.將所有非完全平方的正奇數(shù)與所有正偶數(shù)的立方從小到大排成一列（前若干項依次為3,5,

7,8,11,13,■■■）,則該數(shù)列的第2023項的值為.

7.設(shè)P-4BCD與Q-4BCD為兩個正四棱錐，且ZPAQ=90。，點M在線

段4c上，且CM=3AM.將異面直線PM,QB所成的角記為0,則cos。的最大

可能值為.

8.七張標(biāo)有4,B,C,D,E,F,G的正方形卡片構(gòu)成下圖.現(xiàn)逐一取走這些卡

片，要求每次取走一張卡片時，該卡片與剩下的卡片中至多一張有公共邊（例如

可按。，A,B,E,C,F,G的次序取走卡片，但不可按D,B,A,E,C,F,G的次序取走

卡片），則取走這七張卡片的不同次序的數(shù)目為.

二、解答題（本大題共3小題，共56.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

9.（本小題16.0分）

將方程sinx+COSX-的所有正實數(shù)解從小到大依次記為,%2,芯3,….求X]+%2+…+x20

的值.

10.（本小題20.0分）

平面直角坐標(biāo)系中，圓0與x軸、y軸均相切，與橢圓八盤+5=l（a>b>0）有唯一的公共

點4（8,9）,且0的圓心位于廠內(nèi).試比較0的直徑與「的焦距的大小.

11.（本小題20.0分）

求出所有滿足下面要求的不小于一1的實數(shù)t：對任意a6[—2,t],總存在b,ce[-2,t],使得

ab+c=1.

答案和解析

1.【答案】U(10,+8)

【解析】解：由X2-9X-10=(X+1)(X-10)>0,解得x6u(10,+8).

2.【答案】—1

【解析】解：由于22nl=4仆=22X4"',故2m=2x4m,兩邊約去2mo0)得1=26+1.

所以m=—1.

3.【答案】雙工

4

【解析】解：設(shè)c=7。2+爐,則G的離心率ei=：,心的離心率e2=余

因此5+3=挈=1.由S=3知2=得e2=女？.

4.【答案】12和18

【解析】解：注意到2<，々=4,a為正整數(shù),即a6｛5,6,…,16｝.

根據(jù)條件，顯然nN5.

當(dāng)5WnW16時，有?=|，得n=12.

當(dāng)nN17時，有馬得n=18.

綜上，n的所有可能的值為12和18.

5.【答案】3

【解析】解：記說:E，正=己由條件知前=2方一3ED=2c-b，于是

EAED=(2b-c)(2c-b)=5bc-2b2-2c

=3b-c-b-(2b-c)-c-(2c-b)

=3EB-EC-EA-EB-EC-ED

=3x5-4-8=3.

6.【答案】4095

【解析】解：用｛an｝表示題述數(shù)列.前2023個正奇數(shù)依次為1,3,5,4045,其中恰

有仰,32,…，632這32個完全平方數(shù)，而在小于4045的正整數(shù)中恰有23,43,143這7個偶

立方數(shù).因此4045是｛斯｝的第2023-32+7=1998項.

進而(12023=01998+2x25=4095(注意652>4095且163>4095).

7.【答案】|

【解析】解：設(shè)正方形力BCD的中心為0,由條件知PQ垂直平面4BCD于點0,又

4PAQ=9。。,由射影定理知0P-0Q=。爐.顯然0在P,Q之間.

以。為原點，0A，0B，赤方向為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)4(1,0,0),8(0,1,0),P(0,0,a),Q(0,0,-6(a>0).

易知M(；,0,0),因此由=(；,0,-a),QB=(0,1,i).

八\PMQB\1,1-2

所以8s8=麗麗=\"吟。+,廣千+1=5

當(dāng)a=?時，cos。取到最大可能值全

8.【答案】164

【解析】解：如左下圖重新標(biāo)記原圖中的七張卡片.現(xiàn)將每張卡片視為頂點，有公共

邊的兩張卡片所對應(yīng)的頂點之間連一條邊，得到一個七階圖，該圖可視為右下圖

中的m+n+2階圖G(m,n)在m=2,n=3時的特殊情況.

?m>2°1012

'G(nbn)

P

取卡片(頂點)的規(guī)則可解釋為：

⑴若頂點P已取走，則以下每步取當(dāng)前標(biāo)號最小或最大的頂點，直至取完；

(")若頂點P未取走，則必為某個20)的情形，此時若巾=0,

則將P視為一1號頂點，歸結(jié)為⑷的情形;若mH0,n=0,則將P視為1號頂點,

歸結(jié)為(i)的情形;若m，n21，則當(dāng)前可取P或-ni號頂點或n號頂點，分別歸

結(jié)為⑴或G(ni-l,n)或-1)的情形.

設(shè)G(m,n)的符合要求的頂點選取次序數(shù)為本題所求即為f(2,3).

由(i)、(ii)知/(m,0)=2機+1(m之0),/(0,n)=2n+1(n>0),且

f(m,n)-2m+n+f(m—l,n)+f(m,n—l)(m,n>1)>

由此可依次計算得/(l,1)=12,/(l,2)=/(2,1)=28,f(1,3)=60,f(2,2)=72,

f(2,3)=164,即所求數(shù)目為164.

9.【答案】解：由于sinx+cosx=，^sin(x+力，原方程等價于sin(x+力=.所以

x+3=2/OT+7或2/OT+系(kCZ)

其中所有正實數(shù)解為X=2/OT-覆k=1,2,…)或X=2kn+^(k=0,1,-).故

IN1Z

X2m-1=2(m-1)71+萼，X2m-2mn-^(m=1,2,…).

從而

Xl+%2+…+》20=W(>2m-1+%0=^[2(m-l)7T7nre

+通+2加”變]

m=lm=l

=￡i?=i(4m?！獆TT)=4zr?1°”—|TT-10=205TT.

【解析】略

10.【答案】解:根據(jù)條件，可設(shè)圓心為P(r,r),則由|P*=7知。一8)2+。-9)2=從

解得r=5或r=29.因為P在「內(nèi)，故r=5.

橢圓門5點做8,9)處的切線為啥+卷=1,其法向量可取為記=塌?).

由條件，/也是圓。的切線，故五與刀平行，而刀=(3,4)，所以叁=爭.

又胃+3=1，解得a?=160,b2—135.

從而「的焦距為2Va?-b2=10.乂。的直徑為2r=10,故0的直徑與r的

焦距相等.

【解析】略

11.【答案】解：當(dāng)t=-1時，對任意ae[—2,-1],取b—c=—1,則b,c6[—2,—1],

且ab+c=2-l=l,滿足要求.

當(dāng)一l<t<0時，取a=3則對任意b,