吉林省長春博碩學(xué)校2023-2024學(xué)年度高二年級上冊期初考試數(shù)學(xué)試題【解析版】

吉林省長春博碩學(xué)校2023-2024學(xué)年度高二上學(xué)期期初考

試數(shù)學(xué)試題【解析版】

考試時間：90分鐘滿分：120分

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項符合題目要求）

1.已知z（l-i）=3+i（i是虛數(shù)單位），z共軌復(fù)數(shù)為1則三的虛部為（）

A.2B.-2C.1D.-1

2.已知單位向量4,6滿足如僅-4）=-'1,則a與心夾角的大小為（）

71e冗-2兀_7T

A.-B.-C.—D.一

6433

3.已知空間中三個互不相同的平面a、4、/,兩條不同的直線a、h,下列命題正

確的是（）

A.若a_L￡,。,則CyB.若a_Lc,bl/3,a//b,則a〃6

C.若aPa,a//ft,則方_L夕D.若a_L4，夕J_/,則。〃y

4.“抽陀螺”是中國傳統(tǒng)民俗體育游戲，陀螺上大下尖，將尖頭著地，以繩繞之，然后

抽打，使其旋轉(zhuǎn).如圖所示的陀螺近似看作由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其中

圓柱的底面直徑為2,圓錐與圓柱的高都為1,則該幾何體的表面積為（）

A.4萬B.(3+J^)兀C.(2+72)71D.(8+2行)兀

5.已知tana=4,則cos2a的值為（）

15八12-15>12

A.—B.—C.-----D.-----

17131713

6.已知邊長為1的正方形48C。，點E為8c中點，點P滿足0c=3OP，那么APAE

等

于/

XI

751

2-C--

A.B.66D.6

7.湖南岳陽市岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中

國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著

稱于世.如圖，為了測量岳陽樓的高度C。，選取了與底部水平的直線AC,測得

/D4C=30。,/。3c=60。,A3=22米，則岳陽樓的高度8為（）

A.86米B.9石米C.10白米D.11百米

8.在正四棱錐P-ABCD中，A8=8,P4=4，ii,若該棱錐的所有頂點都在球。的表面

上，則球。的表面積為（）

A.8007tB.400nC.200兀D.50K

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得

0分）

9.若z=-l+3i,則（）

A.z=-]-3iB.|z|=V10

C.zi=-3-iD.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

10.已知空間向量。=（-2,-1,1）,8=（3,4,5）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.（2a+b^//aB.5忖=向0

C.al（5a+4fe）D.a在心上的投影向量的長度為也

11.如圖，在正方體A8CE>-AB￡A中，瓦廠分別為的中點，則（）

A.BFLCE

B.。尸//平面&CE

C.3F_L平面BCE

2

D.直線OF與直線CE所成角的余弦值為:

12.已知函數(shù)〃犬）=4a（的+9）（4>0,”>0,|同<^卜勺部分圖像如圖所示，下列結(jié)論

A.〃x）的周期為n

B.〃x）的圖像關(guān)于點對稱

C.將函數(shù)y=2sin（2x+3的圖像向左平移合個單位長度可以得到函數(shù)f（x）的圖像

D.方程〃x）=G在（0,2兀）上有3個不相等的實數(shù)根

三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）

13.已知向量。=（2,3）,b=（-l,2）若（"+妨），匕，貝心=.

14.函數(shù)y=sin2x+2\'JsiMx的最小正周期T為.

15.正方體ABCO-ABCR中，E為線段的中點，則直線GE與平面A。/所成角

的正弦值為

16.已知AABC中，角月，B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,Kc2=（a-^）2+6,若△ABC

的面積為巫，則sinA-sinB的取值范圍為.

2

四、解答題（本題共4小題，每題10分，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或者演算步驟)

17.已知向量a=(2f,f),匕=(-3,2),c=(3,-l).

⑴求卜可

⑵若B-a與c共線，求a與c的夾角.

18.如圖，已知正方體A8CD-A耳的棱長為2.

(1)證明：C?！ㄆ矫?/p>

(2)證明：8￡>1.平面A4C；

19.在A6C中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,仇c,且

(a+c)(siii4+sinC)=/?sinB+3asinC.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若AC邊上中線長為也,.=2,求ABC的面積.

2

20.如圖，在四棱錐P—A5CO中，底面4BC￡>,ABA.AD,BC//AD,

A4=4?=8c=2,AD=4,E為棱P￡>的中點，F(xiàn)是線段PC上一動點.

(1)求證：平面P8C1平面03；

(2)若直線BF與平面ABC。所成角的正弦值為正時，求平面AEF與平面ADE夾角的余

3

弦值.

1.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得復(fù)數(shù)z,根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的概念即可求得答案.

【詳解】由z(l—i)=3+i可得z=*=(3+i)(l+i)="±=］+2i,-=1_2i

1-i22

故］的虛部為-2,

故選：B

2.D

【分析】利用向量數(shù)量積公式，結(jié)合運算律，即可求解.

［詳解］a-［b-a^=a-b-a2=|a||/?|cos^?,i>^-|a|2=-^,

因為a,。為單位向量，

所以cos(a,b)=；,

因為(0,萬〉?0,兀］,

所以(4,8)=1.

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項判定即可.

【詳解】選項AD：若2,則a和/可能平行也可能相交(此時交線與平面夕垂

直)，故AD錯誤；

選項B：若a"a//b,則又且a、夕是空間中兩不相同的平面，則a〃4，

故B正確；

選項C：若aPa,a//p,)，則b與夕可能相交也可能平行，故C錯誤；

故選：B

4.B

【分析】根據(jù)題意，分別求出圓柱的上底面面積、側(cè)面積以及圓錐的側(cè)面積，相加即可得答

案.

【詳解】根據(jù)題意，該組合體由一個圓錐與一個圓柱組成，其中圓柱的底面直徑為2,圓錐

與圓柱的高都為1.

圓柱的上底面面積5=nr=7i,

圓柱的側(cè)面積52=2兀汕=2兀x1x1=2兀,

圓錐的母線長/=J由=&，則圓錐的側(cè)面積S3=nr/=仿r,

故該幾何體的表面積S=5+S2+S3=（3+收）兀.

故選:B.

5.C

【分析】先利用余弦的二倍角公式化簡，得cos2a=cos2a-sin?a,而cos?a+sin2a=1,

所以可化為cos2a=c°s：a-sin：a,再給分子分母同除以cos?a,化簡后代值可得答案.

cosa+sin-a

【詳解】因為tana=4,

r；r：i.2cos2a-sin2a

Wr以rcos2a-cos2a-sma-——、---巳—

cos-a+sirra

_1-tan2cr_1-16_15

1+tan2a1+1617,

故選：C

6.C

【分析】以｛AB，4力｝為基底向量表示ARAE,進(jìn)而根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.

z、|UnniIuiiu?uunuuui

【詳解】以｛AB,A。｝為基底向量,則同用=卜。卜1,48工。=0,

innuiniiuruuniuunuunnuiouuniuunuuu

因為AP=A8+8E=AB+]AD,AE=AO+。P+

uuniiun(uuniuuin\(\uunuunA]uun,7uunUUD1uuii2115

所以AP?AE=A3+—AO?—A8+AO=-A8+-ABAD+-AD

\27\37362326

故答案為：c.

【分析】根據(jù)角度結(jié)合三角函數(shù)解三角形即可.

【詳解】因為ND4C=30°,ZDBC=60°,=22,

所以ZADB=30°,AB=BD=22,

又可得ZBDC=30°,CD=22cos300=11百米.

故選：D.

8.C

【分析】過點尸作PN人平面ABC。于點N,球心。在PN上，利用勾股定理求得球半徑后

可得其表面積.

【詳解】如圖，過點尸作PN八平面ABC。于點N,由==得

AN=4x/2,PN=ylP^-AN2=872>

顯然球心。在PN上，設(shè)球。的半徑為R,則

R2=AO'=AN2+(PN-POY=(4夜尸+(8夜一尺尸，解得R=5五,

所以球。的表面積S=4兀W=200兀，

故選：C.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的模，以及復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的幾何意義，逐項判

定，即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)z=—l+3i,則W=-l-3i，所以A正確；

由|z|=J(-iy+32=質(zhì),所以B正確；

由zi=(-l+3i)i=-3-i,所以C正確；

由z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-1,3)位于第二象限，所以D錯誤.

故選：ABC.

10.BD

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算，驗證向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的長度即可

解決.

-127

【詳解】對于A,由題得筋+力=(—1,2,7),4=(—2,—1,1),而丁?。?故A不正確;

對于B,因為聞=5四，所以句《=6忖，故B正確；

對于C因為無侄+46)=(-2,-1,1>(2,11,25)=10x0,故C不正確；

對于D,因為々在心上的投影向量的長度為Mcos(d,b)|=，*=患=喙，故D正確；

故選：BD.

11.AD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，由空間向量的關(guān)系判斷空間位置關(guān)系，A選

項，根據(jù)CE-BF=0得到A正確；B選項，求出平面用CE的法向量，由。尸功=一二。得到

B錯誤；C選項，根據(jù)耳。5尸/0,得到直線8尸與直線BC不垂直；D選項，利用空間向

量夾角余弦公式進(jìn)行計算.

【詳解】以點。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)鉆=2,

則。(0,0,0),￡(2,1,0),尸(1,0,2),3(2,2,0),耳(2,2,2),C(0,2,0).

CE=(2,-l,0),BF=(-l,-2,2),OF=(l,0,2)，4C=(-2,0,-2).

A選項，因為CE.BF=-2+2=0，所以8尸_LCE,A正確.

B選項，設(shè)平面81CE的法向量為機=(x,y,z),

?BQ=(x,y,z)?(-2,0,-2)=-2x-2z=0

m-CE=^x,y,z)-(2,-l,0)=2x-y=0

令x=l得，y=2,z=-l,故加=(1,2,-1),

因為。尸，"=(1,0,2>(1,2,-1)=1—2=—1/0,

所以D尸與，"不垂直，則直線。尸與平面BCE不平行，B錯誤.

C選項，若平面與CE,則8尸，8c.

因為8c出廠=2+0-4w0,所以直線防與直線8c不垂直，矛盾，C錯誤.

D選項，c°s(CE，DF)=^^=時=3，D正確.

4

故選：AD

12.ACD

【分析】根據(jù)圖象，通過最值、最小正周期、代點，求得函數(shù)解析式，利用周期的定義、正

弦函數(shù)的對稱性、圖象變換、三角函數(shù)運算，解得整體思想，可得答案.

【詳解】由圖象可知，〃X）2=2,且A>0,貝IJA=2,

T=4x[[-=]=兀，由7=生，且啰>0,解得0=2,

將（1，21弋入〃x）=2sin（2x+e）,可得2sin（2x]+e[=2,

解得0=（+2航（左eZ）,由附苦，則夕=卜,

可得f（x）=2sin（2x+?）,

對于A,函數(shù)/（x）的最小正周期為it,故A正確；

對于B,令x=g/f-1]=2sin2x2愣=-岳0,故B錯誤;

對于C,由題意，平移后的函數(shù)解析式為y=2sin21+聯(lián)卜/=2sin[2x+j]=/(x),故

C正確；

對于D,由方程/(x)=6,2sin^2x+—=>/3,sin^2x+-^^,

IETT7T2冗

貝ij2%+§=1+24]兀(2]￡Z)或2工+§=丁+2&兀(匕GZ),

化簡可得X=K兀（K￡2）或工=e+%2兀（&eZ），

由工?0,2兀），則或n或?，故D正確.

故選：ACD.

13.-1

5

【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得&的值.

【詳解】a+〃。=（2,3）+（-左,2%）=（2-后,3+2%），

由于（a+Ab）_LZ?,所以（2—々,3+24）?（-1,2）二4一2+6+4女=5女+4=0,

解得憶=-：4

4

故答案為：-1

14.冗

【詳解】y=sin2x+G（l—cos2x）=2sin（2x-?）+G,/.T=T.

考點：此題主要考查三角函數(shù)的概念、化簡、性質(zhì)，考查運算能力.

15.叵

10

【分析】建立空間坐標(biāo)系，利用法向量求解線面角.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點，。4。口。2所在直線分別為達(dá)弘2軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖,設(shè)正方體的棱長為2,則8（2,2,0）/（2,0,2）,。（0,0,2）,E（2,2,1）,G（0,2,2）；

EC,=（-2,0,1）,BA=（。,-2,2）,04=（2,0,0）；

..n-D.A.=0f?2^=0

設(shè)平面AR8的一個法向量為n=x,y,z,則，。°八，

"-BA=0[2z-2y=0

令y=i,貝！I〃=（o,i,i）.

設(shè)直線CE與平面所成角為e,則sin0=8_=

闡EC||V2xV5io

故答案為：叵.

10

【分析】由三角形面積公式，由己知條件結(jié)合余弦定理可得cosC=經(jīng)口，然后由正余弦的

ab

平方和為1，可求得必=2,從而可求得cosC=-；,則可得C=1,0<A<p則利用三

角函數(shù)恒等變換公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍.

【詳解】：％ABc=Ja〃sinC=-^,a%sinC=>/5,

Vc2=3（a-M2+6,由余弦定理可得cosC=礦+"一廠=—

：.sin2C+cos2C=f—1=1,解得訪=2,

<ab）

V0<C<7r,AC=—,0<A<-.

33

所以

Asin(A+C)=sinAsin]A+g=sin/lf--sinA+—cosA

sinAsinB=sin

22

="lsin2A+^sinAcosA=￡2^+^^=lsinf2A+^￡

2244216)4

??C4兀.兀兀5兀.1.I兀1/1

?0<A<一,??一<2AH—<—,??一<sin2A4H—1.

36662<6；

因此,

故答案為：（0,1

17.(1)3小

【分析】(1)求出向量c-人的坐標(biāo)，再由向量的模長公式可得出答案;

(2)由人-a與c共線可求出，，再由向量的夾角公式即可得出答案.

【詳解】(1)因為匕=(一3,2),c=(3,—l),

所以c—%(3,—l)-(-3,2)=(6,-3),

所以k-目=,6?+(-3)-=3>/5；

(2)因為?！猘=(—3—2Z,2T),c—(3,-1),

所以由b—a與c共線得(-3-2/)X(-1)-(2T)X3=0,

解得，=|,此時。=

設(shè)a,c的夾角為。,

又夕4。,兀］,

18.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)首先證明4BCR為平行四邊形，即可得到AB〃CR,從而得證；

(2)由正方體的性質(zhì)可得A4,，8。、AC1BD,從而得證.

【詳解】(1)在正方體ABCC-AAGA中，AR//8C且AR=BC,

A8CR為平行四邊形，.?.4B〃CR,?.?CRN平面AB。，ABu平面AB。，

...c?！ㄆ矫鍭BO；

(2)；正方體ABCO-AAGR,例J?底面A8c。，血)匚底面458,，例，3。,

:正方形43co中，AC1BD,

又：A4,u平面A4C,ACu平面A4C,A4,AC=A,

比?1平面AAC；

19.(1)8=^

⑵正

2

【分析】（1）首先利用正弦定理，邊角互化，再結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）設(shè)AC中點

為Z）,得8。=，弘+80，兩邊平方后，再代入B4,即可解決.

【詳解】（1）+c）（sia4+sinC）=teinB+3asinC,

222

由正弦定理得(〃+cf=b+3ac,所以弦=a+c-acf

所以COSB="2+L一萬ac_1

lac2ac2

因為0<8<兀，所以8=g：

(2)由(1)得B=?因為AC邊上中線長為也,q=2,

32

設(shè)AC中點為。，所以B/)=g(BA+BC),

21/，2\71

所以BZ/=4(8/T+BC+2BABCy即