2023-2024學(xué)年北京一零一中學(xué)高三年級上冊統(tǒng)考一數(shù)學(xué)試卷含詳解

北京一零一中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考一

（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一

項.

A={x|-B

1.已知集合，則（）

A.[-1,0)B.(-oo,0)C.[-1,1]D.(-oo,l]

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)?一對應(yīng)的點位于（)

i

A第一象限B.第二象限C.笫三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知等比數(shù)列｛4,｝的首項和公比相等，那么數(shù)列伍“｝中與%%一定相等的項是（）

A.a5B.a1C.為D.aw

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A./(x)=x2-\x\B./(x)=C.f(x)=e|v|D.f(x)=|lnx|

5.函數(shù)y=V+幽的圖象大致為

X

6.平面向量力與人的夾角為60°,。=（2,0）,聞=1,則卜+2同等于（）

A.73B.2GC.4D.12

7.已知a,"ceR,則“〃>b”的一個充分而不必要條件是（）

2233ab11

A.a>bB.a>bC.2>2D.ac>he

8.△ABC中，若sinA<COS3,則△ABC形狀必為

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上答案均有可能

9.如圖，質(zhì)點尸在以坐標(biāo)原點。為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動,產(chǎn)的角速度大小為2rad/s,起

點凡為射線y=T（xN0）與。。的交點.則當(dāng)04412時，動點尸的縱坐標(biāo)y關(guān)于f（單位：S）的函數(shù)的單調(diào)

遞增區(qū)間是（）

77111兀117115兀3兀11兀

T干

10.若數(shù)列｛%｝滿足：存在正整數(shù)T,對于任意正整數(shù)〃都有。”+7=4成立，則稱數(shù)列｛4｝為周期數(shù)列，周期

4-1,4>1

為T.己知數(shù)列｛a?｝滿足4=m｛m>0),a?+l1n-J則下列結(jié)論中錯誤的是(

A.若4=4,則，"可以取3個不同的值；

B.若機=0,則數(shù)列｛《,｝是周期為3的數(shù)列；

C.對于任意的TeN*且於2,存在加>1,使得｛4｝是周期為T的數(shù)列

D.存在meQ且〃此2,使得數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.計算：lg6—1g——#(-4)2=.

12.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)在(-w,0］上是減函數(shù)，若/(。-1)>/(2-。)，則實數(shù)“的取值范圍是

13.若函數(shù)y=sin(/x+e)|/>0,解的部分圖象如圖所示，則①=

5xx

14.若A8.AC=AB2=4,且|AP卜1，則CP-AB的最大值為.

15.已知函數(shù)/(x)=f-2x+2r,g(x)=e'T.給出下列四個結(jié)論:

①當(dāng)1=0時,函數(shù)y=/(x)g(x)有最小值;

②小eR,使得函數(shù)y=/(x)g(x)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增；

③十eR,使得函數(shù)y=/(x)+g(x)沒有最小值;

④于eR,使得方程/(x)+g(x)=0有兩個根且兩根之和小于2.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知公差大于0的等差數(shù)列｛%｝滿足“2+%=12,q4=35,S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和.

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵若S,“，a2,成等比數(shù)列，求加，i的值.

17.已知一ABC的面積為4夜，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：條件①。=6,

1…7

cosC=一一；條件②：A=Ccos8=--.

39

(1)人和c的值.

(2)sin(A-B)的值.

18.已知函數(shù)/(x)=/-262+/X,aeR.

(1)當(dāng)a=2時，求/(x)在區(qū)間［1,3］上最大值和最小值；

(2)求/(X)的單調(diào)區(qū)間.

19已知函數(shù)/,(x)=2sin(x+￡).

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)設(shè)g(x)=/(x)/(x-。當(dāng)xe［O,〃“時，g(x)的取值范圍為［0,2+何，求加的最大值.

20已知函數(shù)/(x)=e"+asinx-4(aeR),

(1)求曲線y=/(x)在點(0,〃0))處的切線方程：

(2)若函數(shù)/(x)在x=0時取得極小值，求〃的值；

(3)若存在實數(shù)m,使對任意的xe(O,，")，都有/(x)<0,求。的取值范圍.

21.已知無窮數(shù)列｛?！埃凉M足a”=max｛a“+］,q,+2｝-min｛a“+1,%+2｝(〃=l，2,3,),其中max｛x,y｝表示x,y中最

大的數(shù)，min｛x,y｝表示x,y中最小的數(shù).

(1)當(dāng)4=1,々=2時，寫出見所有可能值;

(2)若數(shù)列｛q｝中的項存在最大值，證明：0為數(shù)列｛風(fēng)｝中的項；

(3)若?！?gt;0(〃=1,2,3,),是否存在正實數(shù)M,使得對任意的正整數(shù)〃，都有4WM?如果存在，寫出一個

滿足條件的M；如果不存在，說明理由.

北京一零一中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考一

（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一

項.

1.已知集合II>,<1>,則（）

A.[-1,0）B.（-oo,0）C.[-1,1]D.（-oo,l]

【答案】D

【分析】解指數(shù)不等式求出8=卜卜<0},從而求出并集.

【詳解】因為3'<1=3°，解得x<0,故8={x|x<0},

故Au5={x|x<（）2{x|T={x|x〈l}.

故選：D

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一』對應(yīng)的點位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】先化簡原式，然后根據(jù)實部虛部確定復(fù)數(shù)所在象限.

。I2'

【詳解】--=3-2i,

i

，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（3,-2），位于第四象限.

故選：D.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.己知等比數(shù)列{《,}的首項和公比相等，那么數(shù)列{4}中與。3a7一定相等的項是（）

A.a5B.%C.a9D.aw

【答案】D

【分析】設(shè)出公比，利用等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解.

【詳解】設(shè)公比為q,則q=q,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知%%=%。9=%q=%o.

故選：D

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

2w

A.f(x)=x-\x\B./(x)=-4c./(x)=eD./(x)=|lnx|

【答案】B

【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項進行判斷即可.

【詳解】對于A,由題意可知/(X)的定義域為R"(—x)=(—厘=幺—國=/(幻，所以/(X)是偶函數(shù)且在

(0,位)上不是單調(diào)遞減，不符合題意；故A錯誤；

對于B,由題意可知fix)的定義域為R，/(—X)=口了=7=/(X)，所以?/Xx)是偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞

減，符合題意；故B正確；

對于C,由題意可知fW的定義域為R"(-x)==eW=/(x)，所以fM是偶函數(shù)且在(0,+℃)上單調(diào)遞增；

不符合題意；故C錯誤；

對于D,7(x)=|lnx|的定義域為(0,+8),不是偶函數(shù)，不符合題意；故D錯誤；

故選：B.

5.函數(shù)y=/+幽的圖象大致為

【分析】當(dāng)戶一1時，排除A;當(dāng)X=1時，排除D,從而可得結(jié)果.

e

【詳解】當(dāng)戶一1時，函數(shù)y=/+電七1=1,所以選項AB不正確;

X

當(dāng)X=g時，函數(shù)y=f+幽=(_L[_e<0,

X

所以選項。不正確，故選C.

【點睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

6.平面向量々與人的夾角為60",4=(2,0),聞=1,則卜+2同等于()

A.6B.2GC.4D.12

【答案】B

【分析】轉(zhuǎn)化為平面向的數(shù)量積可求出結(jié)果.

【詳解】因為。=(2,0),所以|和=2,

|a+2/?|-J(a+21)=+4t7-Z7+41|2=，4+4x2xlxcos60+4=-

故選：B

7.已知a,兒ceR,則“a>?！钡囊粋€充分而不必要條件是()

A.a2>h2B.a3>b3C.2">2bD.ac2>be1

【答案】D

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義和不等式的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】因為由推不出/>〃，由/>〃也推不出&>〃，故A不滿足題意

因為"oa>6,2rt>2ha>b>所以B、C不滿足題意

因為由ac?>加2可以推出由推不出ac?>bc2

所以ac?>人。2是的充分不必要條件

故選：D

8.△ABC中，若sinA<COS3,則AABC形狀必為

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上答案均有可能

【答案】C

【分析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的單調(diào)性，可得A+B的范圍，進而可以得解.

717

【詳解】?.?sinAVcosB,V0<A<—-L-B<\：,G<A（三一B

22222

TT7T

：.0VA+8V—???C>—???AABC為鈍角三角形

22

故選C.

9.如圖，質(zhì)點尸在以坐標(biāo)原點。為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，尸的角速度大小為2rad/s,起

點6為射線y=-x（x20）與〈。的交點.則當(dāng)0W1W12時，動點p的縱坐標(biāo)y關(guān)于r（單位:S）的函數(shù)的單調(diào)

遞增區(qū)間是（）

117115兀3兀11兀

D.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求出》關(guān)于，（單位：s）的函數(shù)y=sin[2f-7，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)在

[0,12]上的增區(qū)間.

【詳解】因為P在單位圓上角速度大小為2rad/s,起點不為射線〉=一%（%?0）與。的交點,

71

所以A=l，。=2,。=—■-,

4

所以動點P的縱坐標(biāo)y關(guān)于，（單位：S）的函數(shù)y=sin|2f-（卜

'll'JiTTTTjJi

由----K2kn<2t---<—+2kn,keZ,得----\-kn.<t<-——1k%kwZ,

24288

因0Wf<12,

uc，c,/3無7兀/,11兀15兀，，19兀23兀,，27兀

所以0V/V—，一<t<——，——<t<——，——<t<——.

8888888

7兀11兀15兀19兀

所以動點p的縱坐標(biāo)y關(guān)于，（單位：S）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是0,七

O

23兀27Tt

故選：B

10.若數(shù)列｛《,｝滿足：存在正整數(shù)T,對于任意正整數(shù)〃都有=4成立，則稱數(shù)列｛4｝為周期數(shù)列，周期

為T.已知數(shù)列｛叫滿足4="2（加>0）,<]，則下列結(jié)論中錯誤的是（）

4'"一

A.若%=4,則，"可以取3個不同的值；

B.若,"=&，則數(shù)列｛4｝是周期為3的數(shù)列；

C.對于任意的TeN*且於2,存在力>1,使得｛%｝是周期為T的數(shù)列

D.存在機且加22,使得數(shù)列｛4｝是周期數(shù)列

【答案】D

>1

【分析】A.若%=4,根據(jù)凡+1=<J_0<“<],分別對4，q討論求解即可；B.若機=0,根據(jù)

4-1，4>1

分別求得小嗎，…即可判斷；C.利用數(shù)列周期的定義運算可得；D.用反證法判斷

4-1，4>1

【詳解】A.若q=4,因為。用1八,

一,0<??<1

當(dāng)々>1時，。2-1=。3=4,解得外=5,當(dāng)時，6-1=42=5,解得。1=6,當(dāng)0<%<1時,

1u1

—=。2=5,解得q=-，

45

1,115

當(dāng)0<4<1時，7="3=4,解得生=w，當(dāng)q>l時，?i-l=a2=-，解得當(dāng)0<q<l時,

11

一=%=：，解得4=4,不合題意，故機可以取3個不同的值，故正確;

44

B.若〃?=&，則”2=%-1=3-1，%=,=0+1，。4=%-1=忘，…，所以a“+3=a“，則數(shù)列｛a“｝是周期為3

的數(shù)列，故正確;

c.VTeN*且TN2,若存在加>1.數(shù)列｛凡｝周期為T，

不妨設(shè)T-l</w<T,則,a2=m-\=m-T+2e(l,2),=m-T+1e(O,l),

11

則-F=又aT+l=ax=m,

]

所以=m,即nr-(T-l)m-l=O,

m-T+\

2

故解得,7-i+7(r-i)+4)

因為〃2>0,rfl一

2

因為T-l+J(T_l)2+4T-]+T_]_

/一L1

22

T-l+J(T-iy+4T_]+J(T7)2+4TT7+T+1

2<2—2

故VTeN*且TN2，存在相,使得數(shù)列｛%｝周期為T，故正確;

D.假設(shè)存在機eQ且加22,使得數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列，當(dāng)機=2時，4=4-1=1,。3=,=1=-=?！埃ā?2）,

此時，數(shù)列｛4｝不是周期數(shù)列,

當(dāng)ITA2時，當(dāng)Ov/72—ZW1時，4+i=a、—k=m-k,。卜+2==T>1,若見+2=%，1WiW攵+1,則

ak+\m-k

—1）,即機2一機（%+/一］）+標(biāo)—%—1=0,而A=（Z+i-l）2—4（/-%-1）不為平方數(shù)，因此假設(shè)不

m-k

正確，故數(shù)列｛%｝不是周期數(shù)列，故錯誤.

故選：D

【點睛】本題主要考查數(shù)列的周期性，還考查了分類討論的思想和邏輯推理的能力，屬于難題.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.計算：lg6—lg|一班彳=.

【答案】T

［分析］根據(jù)對數(shù)運算法則以及指數(shù)塞的運算化簡即可求得結(jié)果.

【詳解】lg6_lg|_/3=lg16xg)-M%=

愴10-16,=1—(2，尸=1—2=—1.

5

故答案為：-1

12.已知定義在R上的偶函數(shù)/（x）在（—,（）］上是減函數(shù)，若/（。-1）>/（2-。），則實數(shù)“的取值范圍是

【答案】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可列出不等關(guān)系求解.

【詳解】由于/（X）在（一8,0］上是減函數(shù)，且/（X）為偶函數(shù)，所以“X）在［0,+8）上是增函數(shù),

若/（a—1）＞/（2—a）,貝a|,平方可得a?—2a+i＞4—4a+/,

3

解得?！滇?，

2

故答案為：

13.若函數(shù)＞=5m（5+夕）卜＞0,附＜］）的部分圖象如圖所示，則①=,（P=.

57r7TI

【分析】由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知-------=一丁，可求得口=4,再利用圖象的對稱性可計算出9的取值.

1262

3兀7rl127rTT

【詳解】由圖利用對稱性可知，-------=-T=-x—=-f解得①=4；

12622coco

又（2''和IT'—%）關(guān)于（三"）成中心對稱，所以sin（wg+/=0；

4TT47r

即？-+*=E，攵EZ,解得Q=E--—GZ；

又ia＜^，所以&=i，9=q符合題意.

TT

故答案為：4,---

3

14.若筋.4。=筋2=4,且卜8=1,則CPA8的最大值為.

【答案】-2

【分析】將CP分解計算，利用向量數(shù)量積的運算即可得解.

【詳解】CPAB=(CA+AP)AB=CAAB+APAB

=-4+AP-AB=|/4P|-|AB|-COSZBAP-4

=lx2xcosZBAf*-4W2-4=-2.

故答案為：一2.

15.己知函數(shù)“xXf-Zx+Zr,g(x)=e*T.給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)1=0時,函數(shù)y=/(x)g(x)有最小值；

②于eR,使得函數(shù)y=/(x)g(X)在區(qū)間［1,+co)上單調(diào)遞增；

③小eR,使得函數(shù)y=/(x)+g(x)沒有最小值；

?3/GR,使得方程〃1)+8(力=0有兩個根且兩根之和小于2

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【分析】利用函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系可判斷①③的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷②的正誤；取

r=-l.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可判斷④的正誤.

【詳解】對于①，當(dāng)f=0時，y=/(x)g(x)=(x2-2x)e",則y'=(d-2)e',

由y'<0可得〈夜，由?可得x<_0或》>及，

此時，函數(shù)y=(x2—2x)e，的增區(qū)間為卜叫一起)、(夜,+8),減區(qū)間為卜夜,、歷)，

當(dāng)x<0或%>2時，y=(f-2x)e*>0,當(dāng)0<x<2時，y=(x?—2x)e*<0,

故函數(shù)y=(V-2x)e*在x=夜處取得最小值，①對；

2A2vA

對于②，/=(2x-2)(e'-r)+(x-2x+2/)e'=(x-2)e+2r(e'-A:+1),

令〃(x)=e*-x+l,其中x21,則〃'(x)=e*—1>0,

所以，函數(shù)〃(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，所以，/2(x)=e'-x+l>/?(l)=e>0,

則x-e"<l-e<0，

由y'=(f—2)e*+2《e、一x+1)20可得2/2。一〉”,

e，-x+1

構(gòu)造函數(shù)p(x)=C_，)，,其中

則廣⑴.(無3一以+4-2m小1―卜-4+.2“

(巳”-%+iy(e“-%+iy

令4(力=一一4+±一2^,其中X21,則/(x)=2(x-e")*vO,

XX

所以，函數(shù)4(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x±l時，q(x)?4⑴=l-2e<0,則p(x)<0,即p(x)在［1,+<句上單調(diào)遞減，

="(1)=1，則2d1,解得②對；

對于③，y=/(x)+g(x)=x2-2x+e'+r,y'=2x—2+e”,

因為函數(shù)y'=2x—2+e*在R上單調(diào)遞增，

y|.v=0=-1<0>y'k=e>0,所以，存在與e(O,l),使得y'=0,

當(dāng)x<x()時，y<0,此時函數(shù),=%2一2%+6*+，單調(diào)遞減，

當(dāng)x>Xo時，此時函數(shù)y=—2x+e*+，單調(diào)遞增，

所以，對任意的實數(shù)八函數(shù)y=x2-2x+e、+f有最小值，③錯；

對于④，令"(1)=兀2—2x+e*+r,不妨令“(0)=1+，=。，即取.=一1,

由③可知，函數(shù)M(x)=f-2x+e"-1在(-oo,Xo)上單調(diào)遞減，在(改),+°0)上單調(diào)遞增，

因為受€(0,1),則〃(/)<〃(0)=0,w(2)=e2-1>0,

所以，存在玉e(%,2),使得〃(3)=0,

此時函數(shù)w(x)的零點之和為玉+0=%<2,④對.

故答案為：①②④.

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將

問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論

思想的應(yīng)用：

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y與函數(shù)y=g(x)的圖象

的交點問題.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知公差大于。的等差數(shù)列｛4｝滿足“2+%印2,%4=35,S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和.

(1)求｛《,｝的通項公式；

⑵若S”,，a2,q(m/eN*)成等比數(shù)列，求加，i的值.

【答案】(1)a“=2〃—l,(〃eN*)；

【分析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式即可求解;

(2)由等比中項的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

因為刃+〃5=12,所以〃3+〃4=12,

_—5cty—7

而小。4=35,所以〈)或1

[%=7口=5

Cl-y=5

又因為公差大于0,所以〈'r，得d=2，

[a=7

所以=%+(〃-3)d=2n-l.

即an=2?-l,(neN*)

【小問2詳解】

_"(4+a“)_n(l+2n-l)

J==

”22

所以S,“=加2,?2=3,

若S,“，a2,成等比數(shù)列，貝I」有42=S,"xq

即加2X《=9,又因為根,，￡N*,且。"N*,

m2=1m2=9

所以《或,

[q=9q=1

m=3

解得《或kl

i=5

17.己知一ABC的面積為4后，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：條件①a=6,

1_7

cosC=一一；條件②：A=Ccos3=--.

3f9

(1)。和c的值.

(2)sin(A-B)的值.

【答案】(1)若選①：b=2,c=46；若選②：b=8,c=30；

(2)若選①：晅;若選②：一里.

927

【分析】若選擇條件①：

(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，利用三角形的面積公式可求”，〃的值，進而根據(jù)余弦定理可求

。的值.

(2)由正弦定理可求sinA,sin3的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosA,cosB的值，進而根據(jù)兩角差

的正弦公式即可求解sin(A—8)的值.

若選擇條件②：

(1)由題意可得。=c,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin3,利用三角形的面積公式可求c的值，根據(jù)余

弦定理可求6的值.

(2)由正弦定理可求sinA,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosA,利用兩角差的正弦公式即可求解sin(4-B)

的值.

【小問1詳解】

若選擇條件①：

在ABC中，:cosC=——,

?，?CG(一,4)，sinC=>/]—cos2C=2后,

23

VS=-tz/?sinC=4^/2,a=6,:.b=2,

2

由余弦定理，c2=a2+Z?2-2a/;cosC=48，

??c=45/3;

若選擇條件②：

在一ABC中，???A=C,???〃二c.

丁cosB=—BE(—,兀),sinB-Jl—cos2B=~~~~，

S=—acsinB=-c2=4\/2,

229

=3\/2,

由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=64>/>=8；

【小問2詳解】

若選擇條件①：

6_2_4y/3

由正弦定理，==二=一―，可得嬴入=嬴7方，

sinAsinBsinC

3

?*A-o限

??sinA=——，sin8=——，

39

VA,B€(0,—),/.cosA=cosB=,

239

,(A?AnA-瓜5&\fiA/64-

.?sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBD=——x--------x——=----.

39399

若選擇條件②：

由正弦定理得一匕=—竺，

sinAsinB

...a.々3及4加1

??sinA=—sinn=---x----=-,

b893

：Ae(0,—),cosA=\J\—sin2A=>

....,.口1,7、2夜4&23

?.sin(A-oD)A=sinAcosBo-cosAsinf?=-x(——)-----x----=----.

393927

18.已知函數(shù)/(x)=V-262+/x,aeR.

(1)當(dāng)a=2時，求/a)在區(qū)間［1,3］上的最大值和最小值；

(2)求的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)最大值為3,最小值為0

(2)答案見解析.

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值；

(2)對函數(shù)求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點為％=女,*2=。，對兩根的大小進行分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值的符號，得到

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【小問1詳解】

解：(1)當(dāng)a=2時，/(%)=x3-4x2+4x,ff(x)=3x2-8x+4

2

r(x)=(3x—2)(x—2),令/(x)=o得，X=(或x=2.

當(dāng)x在區(qū)間U,3］上變化時，/'(x)"(x)的變化情況如下表

X(1，2)2(2)3)

/(X)-0+

/(X)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增

因為/(1)=1,/(3)=3,所以/(x)在區(qū)間工3］上的最大值為3,最小值為0.

【小問2詳解】

(2)f'(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x—a),

令/'(x)=0得，X=g或x=4,

當(dāng)a=o時，f'(x)=3x2>0,〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R,無單調(diào)遞減區(qū)間;

當(dāng)。>0時，|<?,隨著x的變化，_f(x)J(x)的變化情況如下表

a

X(一8,殳(§，a)a(a,+oo)

f(X)+0-04-

4a3

fM單調(diào)遞增單調(diào)遞減0單調(diào)遞增

17

所以/*)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,￡),(4,《?)；/0)的單調(diào)遞減區(qū)間為q,a).

當(dāng)a<0時，|>a,隨著x的變化，/(x)J(x)的變化情況如下表

a

X(-00,a)(p+00)

a(〃,§))T

f,M4-0-0+

4a3

fM單調(diào)遞增0單調(diào)遞減單調(diào)遞增

~in

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一00,〃)，(-,+00);/5)的單調(diào)遞減區(qū)間為3，-).

33

綜上所述：當(dāng)。=0時，所以f(x)的/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為R,無單調(diào)遞減區(qū)間.

當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,9),m,"o)；的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,。).

33

當(dāng)avO時，F(xiàn)3的單調(diào)遞增區(qū)間為(-℃,a),q，”)；，(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(&,1).

19.已知函數(shù)/(x)=2sin(x+E

(1)求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)設(shè)g(x)=/(x).f當(dāng)時，g(x)的取值范圍為［0,2+何，求m的最大值.

7T4萬

【答案】(1)2k7T+—,2k7T+彳(左eZ)；(2)也

336

【分析】

,jr-jrjTT

(1)令H——42k兀T---，(Z￡Z),解不等式即可求解;

262

(2)先求出并化簡g(x)=2sin2x4+6利用g(x)的值域可得出

7TJT47r

sin［2x-yj€［凡］,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知上42加-一<—,即可求出，"的最大值.

2233

JTTT37r

【詳解】(1)令2kit——42k冗?---,keZ.

262

所以2攵兀+?<2攵兀+手，(ZEZ).

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間2k7r+-,2k7r+—供eZ).

(71

(2)g(x)=f(x)fx--=4sinXH——|sin尤

I6I6J

.1).

sinx+—cosxsinx

2)

2>/3sin2x+2cosxsinx

=6(1-cos2x)+sin2x

=2sin^2x-yj+V3

因為OWxWm,

所以—代W2x—工<2加一生.

333

因為g(x)的取值范圍為[0,2+G],

所以sin(2x-()的取值范圍為一冬1

7144萬

所以2<2m-々4上.

233

解得：.

126

所以機的最大值為券577.

O

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是要熟記正弦函數(shù)的圖象，靈活運用三角恒等變換將g(x)化為一名一角，能

TTIT47r

結(jié)合正弦函數(shù)的圖象得出2m—

233

20.已知函數(shù)f(x)=e*+asinx-l(aeR),

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)在％=0時取得極小值，求〃的值:

(3)若存在實數(shù)〃？，使對任意的XC(OM),都有/(X)<0,求“的取值范圍.

【答案】(1)y=(l+a)x

(2)a=-1

(3)(—I)

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；

(2)由((0)=0求得。值，并驗證此時尤=0是極小值點；

(3)求出導(dǎo)函數(shù)/'(x)=e'+acosx,/'(0)=l+a,然后根據(jù)尸(0)的正負(fù)或0分類，注意由導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性得

出了'(X)在(0,相)(存在正實數(shù)加)上/'(%)與((0)同號，從而得函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)值的正負(fù).

【小問1詳解】

f\x)=ex+acosx,1'(0)=l+a,又『(0)=0,

???切線方程為y=(l+a)x；

【小問2詳解】

由(1)/'(x)=e"+acosx,函數(shù)/(x)在尤=0處取得極小值，則尸(0)=0,即1+。=0,a=-l,

設(shè)g(x)=/'(x)=e*-cosx,則g'(x)=e*+sinx,g(0)-1,由g'(x)的圖象的連續(xù)性知g'(x)在尤=0附近是正

值，

因此f(x)在x=0附近是遞增的，又r(。)=o,

所以/(x)在x=0附近從左到右，由負(fù)變正，/(X)在x=0左側(cè)遞減，在x=o右側(cè)遞增，/(0)是極小值，符合

題意；

所以a=-l.

【小問3詳解】

/'(x)=e*+acosx,/(0)=0,

當(dāng)/'(0)=1+。>0,即a>