備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)精講精練第四章 三角形真題測(cè)試（提升卷）（含答案與解析）

第第頁(yè)第三章三角形章節(jié)測(cè)試(時(shí)間：90分鐘滿(mǎn)分：120分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A． B． C． D．2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，，且，，則等于（）

A． B． C． D．3．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．5．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，直線與直線分別相交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過(guò)光心的光線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為焦點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④8．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則（

）

A． B． C． D．9．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連結(jié)，交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連結(jié)．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)P，作射線，過(guò)點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．4二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）11．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）將一副三角尺如圖所示放置，其中，則___________度．

12．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，把兩根鋼條的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，則該工件內(nèi)槽寬的長(zhǎng)為_(kāi)_________．

13．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形的外側(cè)，作等腰三角形，．

（1）的面積為_(kāi)_______；（2）若F為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)G，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．14．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)在線段上．若，則和的周長(zhǎng)之比為_(kāi)_________．

15．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)：④過(guò)點(diǎn)作射線交于點(diǎn)．若與四邊形的面積比為，則的值為_(kāi)__________．

16．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時(shí)，____．

17．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在內(nèi)，，連接交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．18．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為_(kāi)_______．

19．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)P在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時(shí)，；④的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．

20．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D為AC上一點(diǎn)，若是的角平分線，則___________．

三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）21．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點(diǎn)圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與分別交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．22．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．

23．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．

(1)證明：．(2)求線段的長(zhǎng)．24．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．25．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在梯形中，點(diǎn)F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：(2)若，求證：26．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）渝昆高速鐵路的建成，將會(huì)顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長(zhǎng)江公鐵兩用大橋（如圖），橋面采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的公鐵平層設(shè)計(jì)．為測(cè)量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點(diǎn)處，測(cè)得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂?shù)难鼋?，左橋墩底的俯角，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，）

27．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長(zhǎng)度為20米，，求斜坡的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

28．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

第三章三角形章節(jié)測(cè)試(時(shí)間：90分鐘滿(mǎn)分：120分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)作圖可得，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可得，故A，C正確；∴在的垂直平分線上，∴，故D選項(xiàng)正確，而不一定成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，，且，，則等于（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】可求，再由，即可求解．【詳解】解：，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進(jìn)而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進(jìn)而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進(jìn)而可判斷③的正誤．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，

∴，∵，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，，，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，，∵，∴，②正確，故符合要求；由勾股定理得，即，∴，③正確，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意確定直線的解析式為：，由位似圖形的性質(zhì)得出所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，即可求解．【詳解】解：由圖得：，設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，∴當(dāng)時(shí)，，∴位似中心的坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查位似圖形的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，直線與直線分別相交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，可得，由，可得，進(jìn)而可得的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過(guò)光心的光線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為焦點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴；

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．7．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】①有3種情況，分別畫(huà)出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長(zhǎng)，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時(shí)，．【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線，點(diǎn)是重心；如圖，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，點(diǎn)是重心；如圖，點(diǎn)不是中點(diǎn)，所以點(diǎn)不是重心；①正確

②當(dāng)，如圖時(shí)最大，，，，，，，②錯(cuò)誤；

③如圖5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③錯(cuò)誤；④如圖6，，∴，即，在中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最大為5，∴④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，根據(jù)，得出，則，進(jìn)而可得，根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，∴，，，∵，∴∴，，∴，則，∴，∵，∴，∴∴，在中，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連結(jié)，交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連結(jié)．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可由定理證，即可判定是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得；由此即可判斷①正確；再根據(jù)，可判斷③正確，進(jìn)而證明，可得，結(jié)合，即可得出結(jié)論④正確，由隨著長(zhǎng)度變化而變化，不固定，可判斷②不一定成立．【詳解】解：∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∵，∴，∴，故①正確；

又∵,,∴,∴，∵，即：，∴，∴，故③正確，又∵，∴，∴，又∵，∴，故④正確，∵若，則，又∵，∴，而點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，隨著長(zhǎng)度變化而變化，不固定，而，則故不一定成立，故②錯(cuò)誤；綜上，正確的有①③④共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合，涉及了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形＂三線合一＂的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)P，作射線，過(guò)點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．4【答案】A【分析】由作圖可知平分，設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)R，作于點(diǎn)Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，進(jìn)而證明，推出，設(shè)，則，解求出．利用三角形面積法求出，再證，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)R，作于點(diǎn)Q，

矩形中，，，．由作圖過(guò)程可知，平分，四邊形是矩形，，又，，在和中，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，．．，．，，，，即，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，有一定難度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過(guò)程判斷出平分，通過(guò)勾股定理解直角三角形求出．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）11．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）將一副三角尺如圖所示放置，其中，則___________度．

【答案】105【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平角的定義即可求得．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，故答案為：105．【點(diǎn)睛】本題考查了三角板中角度計(jì)算，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，把兩根鋼條的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，則該工件內(nèi)槽寬的長(zhǎng)為_(kāi)_________．

【答案】8【分析】利用三角形中位線定理即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握“三角形的中位線是第三邊的一半”是解題的關(guān)鍵．13．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形的外側(cè)，作等腰三角形，．

（1）的面積為_(kāi)_______；（2）若F為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)G，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】3【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作，根據(jù)正方形和等腰三角形的性質(zhì)，得到的長(zhǎng)，再利用勾股定理，求出的長(zhǎng)，即可得到的面積；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，利用正方形和平行線的性質(zhì)，證明，得到的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，再證明，得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，最后利用勾股定理，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作，

正方形的邊長(zhǎng)為3，，是等腰三角形，，，，在中，，,故答案為：3；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，正方形的邊長(zhǎng)為3，，，，，，，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，，由（1）可知，，，，，，，，在中，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．14．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)在線段上．若，則和的周長(zhǎng)之比為_(kāi)_________．

【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：，，設(shè)周長(zhǎng)為，設(shè)周長(zhǎng)為，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，．．和的周長(zhǎng)之比為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握位似圖形性質(zhì)．15．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)：④過(guò)點(diǎn)作射線交于點(diǎn)．若與四邊形的面積比為，則的值為_(kāi)__________．

【答案】【分析】根據(jù)作圖可得，然后得出，可證明，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可得，∴，∴，∵與四邊形的面積比為，∴∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握基本作圖與相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時(shí)，____．

【答案】【分析】根據(jù)公式求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．17．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在內(nèi)，，連接交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．【答案】①③④【分析】由題意易得，，，，則可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，，∵，，∴，故①正確；∴，∴，，故③正確；∵，，，∴，；故②錯(cuò)誤；∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，故④正確；故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為_(kāi)_______．

【答案】5【分析】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，利用勾股定理求得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證、是等腰直角三角形，可得，再由，得，證明，可得，即，再由，求得，從而求得，，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵，，，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案為：5．

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)P在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時(shí)，；④的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．

【答案】②③④【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知，可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判斷②；根據(jù)相似可以得到，判斷③；利用將軍飲馬問(wèn)題求出最小值判斷④．【詳解】解：∵，，∴，在點(diǎn)P移動(dòng)過(guò)程中，不一定，相矛盾，故①不正確；

延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,則為矩形，∴∵，，∴∴，∴，∴，即，解得：，∴故②正確；∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故③正確，，即當(dāng)?shù)淖钚≈?，作B、D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),把圖中的向上平移到圖2位置，使得，連接，即為的最小值，則，,這時(shí)，即的最小值是20，故④正確；故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D為AC上一點(diǎn)，若是的角平分線，則___________．

【答案】3【分析】首先證明，，設(shè)，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作的垂線，垂足為P，

在中，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，，設(shè)，在中，∵，，∴，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）21．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點(diǎn)圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與分別交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖可得，即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖得出，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，∴，由作圖可得，在和中，，∴；（2）∵，為的角平分線，∴由作圖可得，∴，∵，為的角平分線，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，得到，再利用證明兩個(gè)三角形全等．【詳解】證明：是的中點(diǎn)，，在和中，，【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對(duì)三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵．23．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．

(1)證明：．(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，，則，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）可證，從而可證四邊形是菱形，即可得證；（2）可求，再證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，．（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在梯形中，點(diǎn)F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：(2)若，求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的全等的判定可得，然后根據(jù)全等的三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，．（2）證明