福建省莆田市高三畢業(yè)班第二次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試卷

莆田市2024屆高中畢業(yè)班第二次教學質(zhì)量檢測試卷數(shù)學本試卷共5頁，19小題，滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.為虛數(shù)單位，，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法化簡運算，在根據(jù)模長公式求解即可得答案.【詳解】因為，所以，則.故選：B.2.若集合，則集合可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中條件逐項驗證即可.【詳解】對于A,若,則，符合題意，故A正確；對于B，若,則，不符合題意，故B錯誤；對于C，若,則，不符合題意，故C錯誤；對于D，若,則，不符合題意，故D錯誤,故選：A.3.某校高三年級有男生600人，女生400人．為了獲得該校全體高三學生的身高信息，采用按比例分配的分層隨機抽樣抽取樣本，得到男生?女生的平均身高分別為和，估計該校高三年級全體學生的平均身高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結合平均數(shù)的計算公式運算求解.【詳解】由題意可得：估計該校高三年級全體學生的平均身高為.故選：C.4.柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴格對稱，結構等價的特點．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正八面體的幾何特點求得該幾何體的球心，再由球的體積計算公式求得球半徑，結合球半徑和棱的關系，以及三角形面積計算公式，即可求得結果.【詳解】根據(jù)題意，作正八面體如下所示，連接，設，根據(jù)其對稱性可知，過點，又該八面體為正八面體，則面，又面，故；顯然正八面體的外接球球心為，設其半徑為，，則，在直角三角形中，；由可得，則；故該八面體的表面積.故選：D.5.若，則（）A.事件與互斥 B.事件與相互獨立C. D.【答案】B【解析】【分析】對于A，由即可判斷，對于B，由對立事件概率公式以及獨立乘法公式驗證；對于C，由即可判斷；對于D，由即可判斷.【詳解】對于AB，，從而，故A錯誤B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：B.6.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上．若點在圓上，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】畫出圖形結合拋物線定義、三角形三邊關系以及圓上點到定值線距離的最值即可求解.【詳解】如圖所示：由題意拋物線的準線為，它與軸的交點為，焦點為，過點向拋物線的準線引垂線，垂足為點，設圓的圓心為，已知圓與軸的交點為點，，且成立的條件是重合且重合，綜上所述，的最小值為3.故選：C.7.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，把它的終邊繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角后經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系求得的值，再結合正弦兩角差公式即可得的值.【詳解】因為，所以，則，又，所以，由得，則，由題意可知角的終邊經(jīng)過點，則，所以.故選：B.8.對于函數(shù)和，及區(qū)間，若存在實數(shù)，使得對任意恒成立，則稱在區(qū)間上“優(yōu)于”．有以下四個結論：①在區(qū)間上“優(yōu)于”；②區(qū)間上“優(yōu)于”；③在區(qū)間上“優(yōu)于”；④若在區(qū)間上“優(yōu)于”，則．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】對于①②：根據(jù)題意結合函數(shù)圖象分析判斷；對于③：構建函數(shù)，，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可證；對于④：根據(jù)結合公切線可得，并檢驗.【詳解】對于①：若區(qū)間上恒成立，結合余弦函數(shù)的圖象可知：，若，此時與必有兩個交點，由圖象可知：不恒成立，即不存在實數(shù)，使得對任意恒成立，故①錯誤；對于②：對于，，結合正切函數(shù)圖象可知，不存在在實數(shù)，使得對任意恒成立，故②錯誤；對于③：構建，則，令，解得；，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；構建，則，令，解得；，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；綜上所述：，即存在實數(shù)，使得對任意恒成立，所以在區(qū)間上“優(yōu)于”，故③正確；對于④：因為，且，若在區(qū)間上“優(yōu)于”，可知符合條件的直線應為在處的公切線，則，可得，則切線方程為，構建在即內(nèi)恒成立，可得；由③可知：，可得;綜上所述：.所以符合題意，故D正確；故選：B【點睛】關鍵點點睛：對于③：通過構建函數(shù)證明；對于④：根據(jù)，結合題意分析可得，即可得，注意檢驗.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.B.的最大值為1C.在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后與的圖象重合【答案】AD【解析】【分析】由二倍角公式化簡函數(shù)表達式，可直接判斷AB，舉反例判斷C，由函數(shù)平移變換法則可判斷D.【詳解】對于AB，，，故A對B錯；當，故C錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后的圖象所對應的函數(shù)表達式為，故D正確.故選：AD.10.在正方體中，點在平面上（異于點），則（）A.直線與垂直．B.存在點，使得C.三棱錐的體積為定值D.滿足直線和所成的角為的點的軌跡是雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，可判斷A；采用反證的方法判斷B；根據(jù)三棱錐的體積公式判斷C；結合圓錐曲線的形成判斷D.【詳解】對于A，在正方體中，平面，平面，故，又,且平面，故平面，平面，故，同理可證,平面,故平面,平面,故，A正確；對于B，由于，假設存在點，使得，而平面，平面，則平面，則平面或平面ACD1，而直線與平面ACD1顯然相交，故B對于C，由于，故四邊形為平形四邊形，則，平面，平面，故平面，同理可證平面，平面，故平面平面，即平面和平面之間的距離為定值，而平面，故M點到平面的距離為定值，由于的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，則三棱錐的體積為定值，C正確；對于D，直線和所成的角為，則M軌跡為以為軸、以所在直線上的線段為母線的圓錐被平面所截得的曲線，由于平面，結合圓錐曲線的形成（淡藍色部分為雙曲線），可知滿足直線和所成的角為的點的軌跡是雙曲線，D正確故選：ACD11.已知定義在上的函數(shù)滿足：，則（）A.是奇函數(shù)B.若，則C.若，則為增函數(shù)D.若，則為增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用函數(shù)奇偶性的定義，單調(diào)性的定義和性質(zhì)，結合賦值法的使用，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：定義域為，關于原點對稱；對原式，令，可得，解得；對原式，令，可得，即，故是奇函數(shù)，A正確；對B：對原式，令，可得，又，則；由A可知，為奇函數(shù)，故，故B正確；對C：由A知，，又，對，當時，；當時，；故在時，不是單調(diào)增函數(shù)，故C錯誤；對D：在上任取，令，則，由題可知，又，故，即，，故在上單調(diào)遞增，也即在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：處理本題的關鍵，一是合理的使用賦值法，對已知條件賦值，求得需要的函數(shù)值；二是對函數(shù)奇偶性和單調(diào)性定義的熟練掌握；三是在D選項處理過程中，對合理變形為，進而根據(jù)抽象函數(shù)滿足的條件進行計算，屬綜合題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知，則__________，在上的投影向量的坐標為__________．【答案】①.②..【解析】【分析】根據(jù)向量的模長的坐標計算公式，代入數(shù)值即可求得；根據(jù)投影向量的計算公式，結合已知條件，即可求得投影向量的坐標.【詳解】因為，故；在上投影向量為，又，則；故在上的投影向量的坐標為.故答案為：；.13.已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值.【詳解】由余弦定理可得，所以，于是有.故答案為：.14.如圖，點是邊長為1的正六邊形的中心，是過點的任一直線，將此正六邊形沿著折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和對稱性，可將問題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問題，結合基本不等式求出最值即可.【詳解】如圖，由對稱性可知，折疊后的圖形與另外一半不完全重合時比完全重合時面積大，此時，折疊后面積為正六邊形面積的與面積的3倍的和.由正六邊形的性質(zhì)和對稱性知，，，在中，由余弦定理可得：，得，由基本不等式可知，則，故，因，，解得，當且僅當時等號成立，故，又正六邊形的面積，所以折疊后的面積最大值為：.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，分析得折疊后所成圖形的面積要取得最大值時的狀態(tài)，從而得解.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進而可得結果；（2）根據(jù)題意利用分組求和法結合等差、等比數(shù)列求和公式運算求解.【小問1詳解】由題意可得：，即，且，解得，所以數(shù)列的通項公式.小問2詳解】由（1）可得，可得，所以.16.如圖，在四棱柱中，底面為直角梯形，．（1）證明：平面；（2）若平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，中點，連接，通過線面平行、面面平行的判定定理首先得平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可得證；（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出兩平面的法向量，由向量夾角余弦的坐標公式結合三角函數(shù)平方關系即可得解.【小問1詳解】如圖：取中點，中點，連接，一方面：因為，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，從而，又因為面，面，所以面，另一方面：又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為面，面，所以面，結合以上兩方面，且注意到平面，所以平面平面，又平面，所以平面；【小問2詳解】若平面，又平面，所以，又，所以以為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個法向量為，設是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個法向量為，設二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.17.某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動，活動規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的股子．若3枚骰子的點數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．（1）據(jù)往年統(tǒng)計，顧客消費額（單位：元）服從正態(tài)分布．若某天該商場有20000位顧客，請估計該天消費額在內(nèi)的人數(shù)；附：若，則．（2）已知每張“刮刮樂”刮出甲獎品的概率為，刮出乙獎品的概率為．①求顧客獲得乙獎品的概率；②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率．【答案】（1）16372（2）①；②【解析】【分析】（1）由題意，由此結合題中數(shù)據(jù)以及對稱性即可求解相應的概率，進一步即可求解；（2）由題意有，進一步分3大種情況求得，對于①，由全概率公式即可求解；對于②，由條件概率公式即可求解.【小問1詳解】由題意，若某天該商場有20000位顧客，估計該天消費額在內(nèi)的人數(shù)為；【小問2詳解】設事件“顧客中龍騰獎”，事件“顧客中旺旺獎”，事件“顧客獲得乙獎品”，由題意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的點數(shù)之和為6”，“3枚骰子的點數(shù)之和為12”，“3枚骰子的點數(shù)之和為18”，則（i）若“3枚骰子的點數(shù)之和為6”，則有“1點，1點，4點”，“1點，2點，3點”，“2點，2點，2點”，三類情況，共有種；（ii）若“3枚骰子的點數(shù)之和為12”，則有“1點，5點，6點”，“2點，5點，5點”，“2點，4點，6點”，“3點，4點，5點”，“3點，3點，6點”，“4點，4點，4點”，六類情況，共有種；（iii）若“3枚骰子的點數(shù)之和為18”，則有“6點，6點，6點”，一類情況，共有1種；所有，①由全概率公式可得，即顧客獲得乙獎品的概率為；②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是，所以顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是.18.已知橢圓的離心率為，且上的點到右焦點的距離的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）已知為坐標原點，對于內(nèi)任一點，直線交于兩點，點在上，且滿足，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由離心率公式以及焦半徑的最值列出方程組，結合算出即可；（2）分直線是否垂直于軸進行討論即可，當直線不垂直于軸時，由弦長公式、點到直線的距離公式表示出四邊形的面積（含參數(shù)），進一步結合過點與直線平行的直線與橢圓至少有一個交點，由此，從而即可進一步求解.【小問1詳解】由題意可得，所以，所以橢圓的方程是；【小問2詳解】設點到直線的距離為，因為，所以點到直線的距離是點到直線的距離的2倍，所以四邊形的面積為，當直線垂直于軸時，，點到直線的距離的最大值為2，此時，當直線不垂直于軸時，可設直線的方程為，代入橢圓方程，整理并化簡得，即，所以，設過點與直線平行的直線的方程為，代入橢圓方程，整理并化簡得，由，所以，所以，等號成立當且僅當且，綜上所述，四邊形面積的最大值為3.【點睛】關鍵點點睛：第二問的關鍵是求出四邊形面積表達式，還有一個約束條件是過點與直線平行的直線與橢圓至少有一個交點，由此即可順利得解.19.已知函數(shù)．（1）證