湖北省鄂東新領先協(xié)作體2023-2024學年高二下學期3月聯考試題數學

高二數學試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1.函數的單調遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.2.函數的圖象在點處的切線方程是（）A. B. C. D.3.若函數恰好有三個單調區(qū)間，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.4.已知函數，則最大值為（）A. B. C. D.5.已知函數的圖象如圖所示，是的導函數，則下列數值排序正確的是（）A.B.C.D.6.若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.7.若數列的前n項和滿足，則（）A.數列為等差數列B.數列為遞增數列C.，，不為等差數列D.的最小值為8.若關于的不等式恒成立，則實數的最大值為（）A.2 B. C.3 D.二、多選題9.下列函數的導數計算正確的是（）A.若函數，則B若函數（且），則C.若函數，則（e是自然對數的底數）D.若函數，則10.數列中，，，若，都有恒成立，則（）A.為等差數列 B.為等比數列C. D.實數的最小值為11.已知為函數的導函數，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C D.三、填空題12.函數在區(qū)間上的平均變化率為______．13.設橢圓的左右焦點為，，過點的直線與該橢圓交于，兩點，若線段的中垂線過點，則__________．14.設，定義為的導數，即，，若的內角A滿足，則______四、解答題15.已知點和圓．（1）過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）點在圓上運動，滿足，求點的軌跡方程．16如圖，直三棱柱中，，且．（1）證明：平面；（2），分別為棱，的中點，點在線段上，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．17.各項均不為0的數列對任意正整數滿足：．（1）若為等差數列，求；（2）若，求的前項和．18.歐幾里德生活的時期，人們就發(fā)現橢圓有如下的光學性質:從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓內壁反射后必經過該橢圓的另一焦點.現有橢圓，長軸長為，從的左焦點發(fā)出的一條光線，經內壁上一點反射后恰好與軸垂直，且.（1）求方程;（2）設點，若斜率不為0的直線與交于點均異于點，且在以MN為直徑的圓上，求到距離的最大值.19.函數.（1）若函數在上存在極值，求實數的取值范圍；（2）若對任意的，當時，恒有，求實數的取值范圍；（3）是否存在實數，當時，的值域為.若存在，請給出證明，若不存在，請說明理由.

高二數學試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1.函數的單調遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接求導，再令，解出不等式即可.【詳解】，令，解得，所以的單調遞減區(qū)間為，故選：A.2.函數的圖象在點處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導數的幾何意義求切線方程.【詳解】因為，所以，所以切點為，又，由導數的幾何意義知函數的圖象在點處的切線斜率，故得函數的圖象在點處的切線方程是，即為．故選：B3.若函數恰好有三個單調區(qū)間，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得有兩個不相等的零點，列出不等式組求解即可.【詳解】依題意知，有兩個不相等的零點，故，解得且.故選：D.4.已知函數，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數分析函數的單調性，求解最值即可.【詳解】，令，得，當，，為減函數，當，，增函數，又，則.故選：C5.已知函數的圖象如圖所示，是的導函數，則下列數值排序正確的是（）A.BC.D.【答案】B【解析】【分析】根據曲線的變化趨勢可判斷函數的單調性，結合函數的導數的幾何意義，數形結合，即可判斷出答案.【詳解】由函數的圖象可知為單調遞增函數，故函數在每一處的導數值，即得，設，則連線的斜率為，由于曲線是上升的，故，作出曲線在處的切線，設為，連線為，結合圖象可得的斜率滿足，即，故選：B6.若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由在上恒成立，再轉化為求函數的最值得參數范圍．【詳解】由題意，得，因為在上單調遞減，所以在上恒成立，即，令，則，令，得，當時，單調遞減；當時，單調遞增.所以的最小值為，所以，即的取值范圍為.故選：D.7.若數列的前n項和滿足，則（）A.數列為等差數列B.數列為遞增數列C.，，不為等差數列D.的最小值為【答案】D【解析】【分析】降次作差即可得到，根據等差數列的定義即可判斷A，根據數列單調性即可判B，求出相關值即可判斷C，利用對勾函數的性質即可判斷D.【詳解】當時，，當時，，∴，對于A：不滿足，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C：，，，三項可構成等差數列，且公差為8，,故C不正確；對于D：當時，，當時，，根據對勾函數的性質知在時單調遞增，則當時，有最小值，故的最小值為．故D正確.故選：D．8.若關于的不等式恒成立，則實數的最大值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】將題干不等式變形為，構造函數，利用函數的單調性將問題轉化為恒成立問題，令，利用導數研究函數最值即可求解.【詳解】由題意得，，即，令，因為，，所以函數在上單調遞增，則不等式轉化為，所以，則.令，則，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，有最小值，即，則的最大值為.故選：B二、多選題9.下列函數的導數計算正確的是（）A.若函數，則B.若函數（且），則C.若函數，則（e是自然對數的底數）D.若函數，則【答案】BCD【解析】【分析】根據復合函數的求導法則，結合基本初等函數求導公式以及求導法則即可逐一求解.【詳解】對于A，，所以，A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，C正確，對于D，，D正確，故選：BCD10.數列中，，，若，都有恒成立，則（）A.為等差數列 B.為等比數列C. D.實數的最小值為【答案】AC【解析】【分析】根據數列的遞推公式以及可證明是公差為2的等差數列，即可得，可判斷A正確，B錯誤，C正確；由不等式恒成立可得的最大值，再由數列的單調性即可判斷D錯誤.【詳解】對于AB，根據題意可得，即可得，所以是公差為2的等差數列，即A正確，B錯誤；對于C，易知，所以，此時可得，即，所以C正確；對于D，由不等式可得，即；不妨設數列，則，，所以當時，，可得；當時，，可得；即可得，，即第8項最大為，所以的最大值即可，即，即實數的最小值為，D錯誤；故選：AC11.已知為函數的導函數，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】構造函數，其中，利用導數分析函數在上的單調性，結合單調性逐項判斷即可.【詳解】構造函數，其中，則，所以，函數在上為減函數，對于AB選項，，即，可得，A錯B對；對于CD選項，，即，D對，C無法判斷.故選：BD.三、填空題12.函數在區(qū)間上的平均變化率為______．【答案】【解析】【分析】根據平均變化率公式及對數的運算法則計算可求解.【詳解】在區(qū)間上的平均變化率為.故答案為：.13.設橢圓的左右焦點為，，過點的直線與該橢圓交于，兩點，若線段的中垂線過點，則__________．【答案】【解析】【分析】由橢圓方程確定，，的值，結合已知條件及橢圓定義求出，在中，求出，由誘導公式求出，設，則，在中由余弦定理構造方程，解出值即可.【詳解】設線段的中垂線與相交于點，由橢圓方程可知，，，；由已知有：，點在橢圓上，根據橢圓定義有：，所以，，在中，，，，點在橢圓上，根據橢圓定義有：，設，則，，在中由余弦定理有：,解得，即.故答案為：14.設，定義為的導數，即，，若的內角A滿足，則______【答案】【解析】【分析】根據導數公式直接進行求導，得到函數具備周期性，然后根據周期性將條件進行化簡，即可得到結論．【詳解】因為，，所以，，，，，，所以具有周期性，且周期為，由，，得，因為，所以，所以，因為，所以，可得.故答案為：.四、解答題15.已知點和圓．（1）過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）點在圓上運動，滿足，求點的軌跡方程．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，對直線的斜率是否存在進行分類討論，利用點到直線的距離公式求出相應的參數值，綜合可得出直線的方程；（2）設點，利用中點坐標公式可得出點，將點的坐標代入圓的方程，化簡可得出點的軌跡方程.【小問1詳解】解：因為圓，所以，圓的圓心為，半徑，因為直線過點，且被圓截得的弦長為，所以，圓心到直線的距離為，①當直線的斜率存在時，設其方程為，即，則，解得，故直線的方程為，即；②當直線的斜率不存在時，因為直線過點，則直線的方程為，圓心到直線的距離為，符合題意.綜上所述，直線的方程為或．【小問2詳解】解：設點，因為，則點為線段的中點，設點，由中點坐標公式可得，可得，即點，因為點在圓上運動，則，可得，故點的軌跡方程為．16.如圖，直三棱柱中，，且．（1）證明：平面；（2），分別為棱，的中點，點在線段上，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．【答案】16.證明見解析17.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，用向量法證明可得平面.（2）設，求出平面與平面的法向量，根據條件求值.【小問1詳解】設，如圖，以為軸正半軸建立空間直角坐標系，則，所以所以又平面，所以平面.【小問2詳解】設，∴，，設平面的一個法向量為，，即，令，得，又平面的一個法向量為，解得或（舍），即.17.各項均不為0的數列對任意正整數滿足：．（1）若為等差數列，求；（2）若，求的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由遞推關系首先得，進一步結合已知為等差數列，并在已知式子中令，即可得解.（2）由（1）得時，數列是等差數列，故首先求得的值，進一步分類討論即可求解.【小問1詳解】由題意，當時，，兩式相減得，因為為等差數列，在式子：中令，得，所以，所以或，若，則，但這與矛盾，舍去，所以.【小問2詳解】因為，所以，而當時，，所以此時，所以此時，而也滿足上式，綜上所述，的前項和.18.歐幾里德生活的時期，人們就發(fā)現橢圓有如下的光學性質:從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓內壁反射后必經過該橢圓的另一焦點.現有橢圓，長軸長為，從的左焦點發(fā)出的一條光線，經內壁上一點反射后恰好與軸垂直，且.（1）求的方程;（2）設點，若斜率不為0的直線與交于點均異于點，且在以MN為直徑的圓上，求到距離的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先由題意，結合橢圓的性質，求得點的坐標，代入橢圓方程，即可求解；（2）首先設直線的方程為,與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示，即可求解直線的定點，并根據幾何關系，求點到直線距離的最大值.【小問1詳解】不妨設是的右焦點,則軸,又,,不妨設點,則,又,的方程為.【小問2詳解】設,直線的方程為,由，整理得,則故,點在以MN為直徑的圓上,，，,,即,整理得:,,或,當時,直線,過定點,易知點橢圓內,當時,直線,過定點,此時定點為點，兩點中的一個與點重合,所以舍去,直線方程:,且直線恒過定點點到距離最大值為.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是求得直線所過的定點.19.函數.（1）若函數在上存在極值，求實數的取值范圍；（2）若對任意的，當時，恒有，求實數的取值范圍；（3）是否存在實數，當時，的值域為.若存在，請給出證明，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得函數在區(qū)間上存在極值，即在上有實數解，利用導數解得即可；（2）由（1）可得在上單調遞減，故時，恒有，等價于，在上恒成立．令，則上述問題等價于函數在上單調遞減，利用導數解得即可；（3）由（1）知，在時，，．結合函數的圖象與直線的交點可知，存在實數m，n符合題意，其中n=1．故只要證明在內有一解，即在內有一解，令，利用判斷函數的單調性，證明函數在上有零點，即可得出結論．【小問1詳解】由得，當時，，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，，，解得，即實數的取值范圍是.【小問2詳解】由（1）知在上單調遞減，，由得，即，恒成立.令，則上述問題等價于函數在上單調遞減