2022年天津南開外國語高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

2022年天津南開外國語高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線x2﹣4y2=1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線離心率的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2﹣=1，則焦點在x軸上，且a=1，b2=，則c2=a2+b2=1+=，即c==，則離心率e==，故選：C2.已知|x|≤2，|y|≤2，點P的坐標(biāo)為(x，y)，則當(dāng)x，y∈Z時，P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率為(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略3.在ΔABC中，若,則=(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.正實數(shù)ab滿足+=1，則（a+2）（b+4）的最小值為（）A．16 B．24 C．32 D．40參考答案：C【考點】基本不等式．【分析】正實數(shù)a，b滿足+=1，利用基本不等式的性質(zhì)得ab≥8．把b+2a=ab代入（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8，即可得出．【解答】解：正實數(shù)a，b滿足+=1，∴1≥2，解得ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=4時取等號．b+2a=ab．∴（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8≥32．故選：C．【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5.某人向圓內(nèi)投鏢，如果他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中正方形區(qū)域的概率為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略6.下列各組關(guān)于最大公約數(shù)的說法中不正確的是（

）A．16和12的最大公約數(shù)是4

B.78和36的最大公約數(shù)是6C．85和357的最大公約數(shù)是34

D.105和315的最大公約數(shù)是105參考答案：C略7.設(shè)是正數(shù)，且a+b=4，則下列各式中正確的一個是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.曲線與曲線的(A)焦距相等

(B)離心率相等

(C)焦點相同

(D)以上答案均不對參考答案：A9.化簡的結(jié)果是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.“x2+2x﹣8＞0”是“x＞2”成立的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】解不等式，根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0，解得：x＞2或x＜﹣4，故“x2+2x﹣8＞0”是“x＞2”成立的必要不充分條件，故選：A．【點評】本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.=

。參考答案：略12.直線l與兩直線y=1，x﹣y﹣7=0分別交于A，B兩點，若直線AB的中點是M（1，﹣1），則直線l的斜率為

．參考答案：【考點】直線的斜率．【分析】設(shè)出直線l的斜率為k，又直線l過M點，寫出直線l的方程，然后分別聯(lián)立直線l與已知的兩方程，分別表示出A和B的坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式表示出M的橫坐標(biāo)，讓表示的橫坐標(biāo)等于1列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即為直線的斜率．【解答】解：設(shè)直線l的斜率為k，又直線l過M（1，﹣1），則直線l的方程為y+1=k（x﹣1），聯(lián)立直線l與y=1，得到，解得x=，∴A（，1）；聯(lián)立直線l與x﹣y﹣7=0，得到，解得x=，y=，∴B（，），又線段AB的中點M（1，﹣1），∴，解得k=﹣．故答案為：13.在數(shù)列{}中，已知其前n項和,則通項公式為__________參考答案：略14.從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個數(shù)能被3整除的概率為．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】先求出基本事件總數(shù)n==648，然后根據(jù)題意將10個數(shù)字分成三組：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：每組自己全排列，每組各選一個，求出3的倍數(shù)的三位數(shù)，由此能求出這個數(shù)能被3整除的概率．【解答】解：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，基本事件總數(shù)n==648，然后根據(jù)題意將10個數(shù)字分成三組：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：每組自己全排列，每組各選一個，所以3的倍數(shù)的三位數(shù)有：（A33+A33+A43﹣A32）+（C31C31C41A33﹣C31C31A22）=228個，∴這個數(shù)能被3整除的概率p==．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運用．15.已知經(jīng)過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B兩點，則直線AB的方程為

．參考答案：由切點弦方程得直線的方程為

16.已知集合A={1,3,5}，B={3,4}，則集合A∩B=_______________．參考答案：{3}【分析】根據(jù)集合交集的運算，即可求解?！驹斀狻坑深}意，因為集合，所以?！军c睛】本題主要考查了集合的交集的運算，其中解答中熟記集合的交集的運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題。17.在直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于原點對稱．點在拋物線上，且直線與的斜率之積等于－，則_____________參考答案：－1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線的參數(shù)方程為橢圓的參數(shù)方程為在以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為.（1）將點的坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，橢圓的參數(shù)方程化為普通方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，求|AP|·|AQ|的值.參考答案：（1）因為的極坐標(biāo)為，所以，，所以點直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為；由可得.（2）點作直線上，將代入化簡得；顯然，設(shè)此方程兩根為，，則，由參數(shù)的幾何意義得.19.為了研究“數(shù)學(xué)方式”對教學(xué)質(zhì)量的影響，某高中老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對入學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進(jìn)行教學(xué)（勤奮程度和自覺性都一樣）．以下為甲、乙兩班（每班均為20人）學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績．甲班：87、83、90、70、66、71、82、72、67、57、67、72、57、58、68、74、87、78、69、58乙班：71、80、81、82、90、65、57、73、85、86、91、95、86、67、68、75、96、88、89、69（Ⅰ）作出甲、乙兩班學(xué)生成績莖葉圖；并求甲班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)和乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；（Ⅱ）學(xué)校規(guī)定：成績不低于80分的為優(yōu)秀，請寫出下面的2×2聯(lián)列表，并判斷有多大把握認(rèn)為“成績游戲與教學(xué)方式有關(guān)”．

甲班乙班合計優(yōu)秀

不優(yōu)秀

合計

下面臨界值表供參考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：K2=）參考答案：【考點】獨立性檢驗的應(yīng)用．【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，作出甲、乙兩班學(xué)生成績莖葉圖，從而求出甲班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)和乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)莖葉圖分別求出甲、乙班優(yōu)秀的人數(shù)與不優(yōu)秀的人數(shù)，列出列聯(lián)表，利用相關(guān)指數(shù)公式計算K2的觀測值，比較與臨界值的大小，判斷成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)的可靠性程度．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙兩班學(xué)生成績莖葉圖如圖所示：甲班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)=70.5；乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)86（Ⅱ）2×2列聯(lián)表為：

甲班乙班合計優(yōu)秀61420不優(yōu)秀14620合計202040∴K2==6.4＞5.024，有97.5%以上的把握認(rèn)為成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)．【點評】本題考查了莖葉圖，考查列聯(lián)表、根據(jù)列聯(lián)表計算相關(guān)指數(shù)K2的觀測值，由公式計算相關(guān)指數(shù)K2的觀測值并由觀測值判斷成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)的可靠性程度是解題的關(guān)鍵．20.已知數(shù)列{an}滿足，且.（1）設(shè)，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和Tn.參考答案：（1）詳見解析（2）【分析】（1）由已知數(shù)列遞推式可得，又，得，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，得到數(shù)列的通項公式，進(jìn)一步得到，然后分類分組求數(shù)列的前項和．【詳解】（1）由已知得代入得又，所以數(shù)列是等比數(shù)列（2）由（1）得，，因為，，，且時，所以當(dāng)時，當(dāng)時，.所以【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬中檔題．

21.汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表（單位：輛）；

轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；（Ⅲ）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得=，∴n=2000，∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．（Ⅱ）設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意，得a=2．因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10個，事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7個，故P（E）=，即所求概率為．（Ⅲ）樣本平均數(shù)=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個，∴P（D）=，即所求概率為．考點：古典概型及其概率計算公式；分層抽樣方法．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（Ⅰ）根據(jù)用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛，得每個個體被抽到的概率，列出關(guān)系式，得到n的值（Ⅱ）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，可以通過列舉數(shù)出結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果．（Ⅲ）首先做出樣本的平均數(shù)，做出試驗發(fā)生包含的事件數(shù)，和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果．解答：解：（Ⅰ）設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得=，∴n=2000，∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．（Ⅱ）設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意，得a=2．因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10個，事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7個，故P（E）=，即所求概率為．（Ⅲ）樣本平均數(shù)=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個，∴P（D）=，即所求概率為．點評：本題考查古典概型，考查用列舉法來得到事件數(shù)，考查分層抽樣，是一個概率與統(tǒng)計的綜合題目，這種題目看起來比較麻煩，但是解題的原理并不復(fù)雜22.已知雙曲線的焦點在x軸上，|F1F2|=2，漸近線方程為，問：過點B（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于M，N兩點，并且點B為線段MN的中點？若存