《三角形的內(nèi)角和定理第2課時(shí)》公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)【北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)】

第七章平行線的證明7.5三角形的內(nèi)角和定理第2課時(shí)教材分析教材分析本節(jié)是北師大版教材八年級(jí)上冊(cè)第七章《平行線的證明》第五節(jié)的內(nèi)容.通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于平行線的判定定理和性質(zhì)定理以及與平行線相關(guān)的簡(jiǎn)單幾何證明是比較熟悉的，他們已經(jīng)具有初步的幾何意識(shí)，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力.本節(jié)課旨在利用平行線的相關(guān)知識(shí)來(lái)證明三角形的內(nèi)角和定理以及靈活運(yùn)用這個(gè)定理解決相關(guān)問(wèn)題，使學(xué)生突破原有的形象思維限制，引入幾何證明中的重要方法——添加輔助線法，從而為下一節(jié)三角形外角的學(xué)習(xí)作好鋪墊，同時(shí)也為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)幾何證明打下良好的基礎(chǔ).因此，本節(jié)課的內(nèi)容在教材編排上起著承上啟下的重要作用.教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)掌握三角形外角的兩條性質(zhì)；進(jìn)一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧．經(jīng)歷探索與證明的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生探索、歸納的能力，一題多解的能力、轉(zhuǎn)化知識(shí)并解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力.通過(guò)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行教學(xué)使學(xué)生能自主地“做數(shù)學(xué)”，特別是培養(yǎng)有條理的想象和探索能力，從而做到強(qiáng)化基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】1.了解并掌握三角形的外角的定義；(重點(diǎn))2．掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論，利用這兩個(gè)推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算．(難點(diǎn))【教學(xué)難點(diǎn)】掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論，利用這兩個(gè)推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算．(難點(diǎn))課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備課件，學(xué)生預(yù)習(xí)課本內(nèi)容.教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)回顧活動(dòng)內(nèi)容：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于1800，△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800∠A+∠B+∠C=1800的幾種變形:∠A=1800–(∠B+∠C)∠B=1800–(∠A+∠C)∠C=1800–(∠A+∠B)∠A+∠B=1800-∠C∠B+∠C=1800-∠A∠A+∠C=1800-∠B這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，用到了把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)得到∠ACD，這個(gè)角叫做什么角呢？下面我們就給這種角命名，并且來(lái)研究它的性質(zhì)．活動(dòng)目的：引出三角形外角的概念，并對(duì)其進(jìn)行研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.注意事項(xiàng)：教師應(yīng)在學(xué)生充分展示自己的意見(jiàn)之后，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從三角形的外角的角度進(jìn)行思考.合作交流，探究新知活動(dòng)內(nèi)容：1.三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角，叫做三角形的外角，結(jié)合圖形指明外角的特征有三：(1)頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上.(2)一條邊是三角形的一邊.(3)另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線.2．兩個(gè)推論及其應(yīng)用由學(xué)生探討三角形外角的性質(zhì)：?jiǎn)栴}1：如圖，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，能由∠A、∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A、∠B有什么關(guān)系？問(wèn)題2：任意一個(gè)△ABC的一個(gè)外角∠ACD與∠A、∠B的大小會(huì)有什么關(guān)系呢？

由學(xué)生歸納得出：推論1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.推論2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.運(yùn)用新知活動(dòng)內(nèi)容：1.已知，如圖，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求證：AD∥BC分析：要證明AD∥BC,只需證明“同位角相等”,即需證明∠DAE=∠B.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）BACDE∴∠B=BACDE∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）想一想，還有沒(méi)有其他的證明方法呢？這個(gè)題還可以用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”來(lái)證.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAC=∠C（等量代換）∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）還可以用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”來(lái)證.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代換）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）例2已知:如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),鏈接PB，PC.求證:∠BPC＞∠A.ABCDE1F2ABCDE1F2證明：∵∠1是△ABC的一個(gè)外角（已知）∴∠1>∠ACB（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）∵∠ACB是△CDE的一個(gè)外角（已知）∴∠ACB>∠2（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠1>∠2（不等式的性質(zhì)）四、鞏固新知1.已知：如圖所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°求：∠B和∠ACB的大小.2.如圖，求證：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.如果點(diǎn)D在線段BC的另一側(cè)，結(jié)論會(huì)怎樣？［分析］通過(guò)學(xué)生的探索活動(dòng)，使學(xué)生進(jìn)一步了解輔助線的作法及重要性，理解掌握三角形的內(nèi)角和定理及推論.證法一：（1）連接AD，并延長(zhǎng)AD，如圖，則∠1是△ABD的一個(gè)外角，∠2是△ACD的一個(gè)外角.∴∠1>∠3∠2>∠4（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性質(zhì)）即：∠BDC>∠BAC（2）連結(jié)AD，并延長(zhǎng)AD，如圖.則∠1是△ABD的一個(gè)外角，∠2是△ACD的一個(gè)外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性質(zhì)）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC證法二：（1）延長(zhǎng)BD交AC于E（或延長(zhǎng)CD交AB于E），如圖.則∠BDC是△CDE的一個(gè)外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）∵∠DEC是△ABE的一個(gè)外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠BDC>∠A（不等式的性質(zhì)）（2）延長(zhǎng)BD交AC于E，則∠BDC是△DCE的一個(gè)外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∵∠DEC是△ABE的一個(gè)外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代換）變式1如果點(diǎn)D在線段BC的另一側(cè),結(jié)論會(huì)怎樣呢?變式2如圖：在△ABC中，P是∠B、∠C角平分線的交點(diǎn)，∠BPC與∠A有怎樣的大小關(guān)系？（兩內(nèi)角角平分線）變式3如圖：在△ABC中，P是∠B、∠C外角的角平分線的交點(diǎn)，∠BPC與∠A有怎樣的大小關(guān)系？（兩外角角平分線）變式4如圖：在△ABC中，P是∠B的角平分線和∠C外角的角平分線的交點(diǎn)，∠BPC與∠A有怎樣的大小關(guān)系？（一內(nèi)角角平分線和一外角角平分線）活動(dòng)目的：讓學(xué)生接觸各種類型的幾何證明題，提高邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的證明思路，特別是不等關(guān)系的證明題，因?yàn)閷W(xué)生接觸較少，因此更需要加強(qiáng)練習(xí)．注意事項(xiàng)：學(xué)生對(duì)于幾何圖形中的不等關(guān)系的證明比較陌生，因此有必要在證明第2小題中，要引導(dǎo)學(xué)生找到一個(gè)過(guò)渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等關(guān)系的傳遞性得出∠1>∠2.3.我們知道：“在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，它們的和就是這個(gè)三角形的外角和”.（1）三角形的外角和是多少度？（2）如果將三角形三條邊都向兩邊延長(zhǎng)，并且在每條線上任取兩點(diǎn)連接起來(lái)，那么在原三角形外又得到三個(gè)新三角形，如圖所示，猜想：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？請(qǐng)用（1）的結(jié)論證明你的猜想.4.已知：國(guó)旗上的正五角星形如圖所示