2024年九年級數(shù)學(xué)下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系單元測試北師大版

Page5直角三角形的邊角關(guān)系(時間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．2cos45°的值等于(B)A．eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),4)D．2eq\r(2)2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，則sinA的值為(C)A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,3)3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴(kuò)大2倍，則∠A的銳角三角函數(shù)值(C)A．?dāng)U大2倍B．縮小eq\f(1,2)C．不變D．無法確定4．(2023·威海)如圖，某商場有一自動扶梯，其傾斜角為28°，高為7米．用計算器求AB的長，下列按鍵順序正確的是(B)A．eq\x(7)eq\x(×)eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(8)eq\x(＝)B．eq\x(7)eq\x(÷)eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(8)eq\x(＝)C．eq\x(7)eq\x(×)eq\x(tan)eq\x(2)eq\x(8)eq\x(＝)D．eq\x(7)eq\x(÷)eq\x(tan)eq\x(2)eq\x(8)eq\x(＝)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))5．在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,2)))＋(eq\f(\r(3),3)－tanB)2＝0，則∠C的度數(shù)為(A)A．120°B．90°C．60°D．30°6．(2023·南充)如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距(B)A．eq\f(x,sinα)米B．eq\f(x,cosα)米C．x·sinα米D．x·cosα米7．在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cosB的值為(B)A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),3)8．如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地面所成角為α?xí)r，梯子頂端靠在墻面上的點(diǎn)A處，底端落在水平地面的點(diǎn)B處，現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為β，已知sinα＝cosβ＝eq\f(3,5)，則梯子頂端上升了(C)A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))9．如圖，小島在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A處，貨船從港口P出發(fā)，沿北偏東45°方向勻速駛離港口P，4小時后貨船在小島的正東方向，則貨船的航行速度是(A)A．7eq\r(2)海里/時B．7eq\r(3)海里/時C．7eq\r(6)海里/時D．28eq\r(2)海里/時10．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝eq\f(1,4)，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，連接CE，則eq\f(CE,AD)的值為(D)A．eq\f(3,2)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(15),2)D．2二、填空題(每小題3分，共15分)11．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，則sinB的值是__eq\f(1,2)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))12．已知，在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝eq\r(3)AC，則tanA＝__eq\f(\r(3),3)__，∠B＝__60°__．13．如圖，在△ABC中，cosB＝eq\f(\r(2),2)，sinC＝eq\f(3,5)，AC＝10，則△ABC的面積為__42__．14．(2023·濟(jì)寧)某數(shù)學(xué)活動小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們在建筑物前的平地上選擇一點(diǎn)A，在點(diǎn)A和建筑物之間選擇一點(diǎn)B，測得AB＝30m，用高1m(AC＝1m)的測角儀在A處測得建筑物頂部E的仰角為30°，在B處測得仰角為60°，則該建筑物的高是__(15eq\r(3)＋1)_m__．(結(jié)果保留根號)15．(2023·廣元)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(0，－3)，點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝eq\f(1,3)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為__(eq\f(9,4)，0)__.三、解答題(共75分)16．(8分)計算：2cos230°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(eq\f(\r(3),2))2－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,2)－eq\f(\r(6),2)＝eq\f(3－\r(6),2)17．(9分)已知，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq\f(3\r(3),2)，AB＝3，利用三角函數(shù)知識，求∠A，∠B的度數(shù)．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝eq\f(3\r(3),2)，AB＝3，∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(3),2).∴∠B＝60°.∴∠A＝90°－∠B＝30°.∴∠A，∠B的度數(shù)分別為30°，60°18．(9分)如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝eq\f(3,2)，求sinA＋cosB的值．解：在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(3,2)，∴AD＝4.∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BCD中，BC＝eq\r(82＋62)＝10.∴cosB＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(4,5).在Rt△ADC中，AC＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13).∴sinA＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(6,2\r(13))＝eq\f(3,13)eq\r(13).∴sinA＋cosB＝eq\f(3,13)eq\r(13)＋eq\f(4,5)19．(9分)(2023·通遼)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東40°方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？(結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)解：由題意得PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°，在Rt△APC中，AP＝100海里，∴PC＝AP·sin72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP中，BP＝eq\f(PC,sin40°)≈eq\f(95,0.64)≈148(海里)，∴B處距離燈塔P約有148海里20．(9分)(2023·湖北)為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，∠C＝18°，求斜坡AB的長．(結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，由題意得AF⊥BC，DE＝AF，∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,4)，∴設(shè)AF＝3x米，則BF＝4x米，在Rt△ABF中，AB＝eq\r(AF2＋BF2)＝eq\r(（3x）2＋（4x）2)＝5x(米)，在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，∴DE＝CD·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF＝DE＝6.2米，∴3x＝6.2，解得x＝eq\f(31,15)，∴AB＝5x≈10.3(米)，∴斜坡AB的長約為10.3米21．(10分)(永州中考)已知銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).(1)如圖1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；(2)某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋CD(如圖2所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝eq\f(5\r(3),14)，求景觀橋CD的長度．解：(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴eq\f(6,sin60°)＝eq\f(b,sin45°)，∴b＝2eq\r(6)(2)∵eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴eq\f(10,\f(5\r(3),14))＝eq\f(14,sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠B＝60°，∴tanB＝eq\f(CD,BD)＝eq\r(3)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)CD，∵AC2＝CD2＋AD2，∴196＝CD2＋(10－eq\f(\r(3),3)CD)2，∴CD＝8eq\r(3)或CD＝－3eq\r(3)(舍去)，∴CD的長度為8eq\r(3)米22．(10分)(2023·衡陽)隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度，圓圓要測量教學(xué)樓AB的高度，借助無人機(jī)設(shè)計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24eq\r(3)米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測得教學(xué)樓AB的頂部B處的俯角為30°，CD長為49.6米．已知目高CE為1.6米．(1)求教學(xué)樓AB的高度；(2)若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于CA的方向，以4eq\r(3)米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．求經(jīng)過多少秒時，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線EB.解：(1)過點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，則∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，BM＝AC＝24eq\r(3)米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM·tan∠DBM＝24eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝24(米)，∴AB＝CM＝CD－DM＝49.6－24＝25.6(米).答：教學(xué)樓AB的高度為25.6米(2)連接EB并延長交DN于點(diǎn)G，則∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝24eq\r(3)米，EM＝CM－CE＝24米，∴tan∠MBE＝eq\f(EM,BM)＝eq\f(24,24\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CD－CE＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG＝ED·tan60°＝48eq\r(3)(米)，∴48eq\r(3)÷4eq\r(3)＝12(秒)，∴經(jīng)過12秒時，無人機(jī)剛好離開了圓圓的視線23．(11分)如圖，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，計劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點(diǎn)A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點(diǎn)F，E為DF與AB的交點(diǎn)．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°.銳角A三角函數(shù)13°28°32°sinA0.220.470.53cosA0.970.880.85tanA0.230.530.62(1)求AE的長(結(jié)果取整數(shù))；(2)冬至日正午，經(jīng)過點(diǎn)D的太陽光線與AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此時，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少？(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：e