2024年湖南省湖南師大附中教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)三檢試卷

2024年湖南師大附中教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)三檢試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）如所示4個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）拋物線y＝（x﹣1）2+3的對(duì)稱軸是（）A．直線x＝1 B．直線x＝3 C．直線x＝﹣1 D．直線x＝﹣33．（3分）在雙曲線的任意一支上，y都隨x的增大而減小，則k的值可以是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣14．（3分）縣林業(yè)部門(mén)考察銀杏樹(shù)苗在一定條件下移植的成活率，所統(tǒng)計(jì)的銀杏樹(shù)苗移植成活的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：移植的棵數(shù)a1003006001000700015000成活的棵數(shù)b84279505847633713581成活的頻率0.840.930.8420.8470.9050.905根據(jù)表中的信息，估計(jì)銀杏樹(shù)苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.85．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)得到與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）6．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且，則的值為（）A． B． C． D．7．（3分）已知反比例函數(shù)的圖象上有點(diǎn)A（2，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3），則關(guān)于y1，y2，y3大小關(guān)系正確的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y28．（3分）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．18 B．17 C．16 D．159．（3分）元旦將至，九（1）班全體學(xué)生互贈(zèng)賀卡，共贈(zèng)賀卡1980張，問(wèn)九（1）班共有多少名學(xué)生？設(shè)九（1）班共有x名學(xué)生，那么所列方程為（）A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝198010．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，OA＝OB＝3，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC＝，連接AC，點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM：MA＝1：2．當(dāng)線段OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）已知點(diǎn)A（﹣2，b）與B（a，3）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a+b＝．12．（3分）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠C＝120°，求∠A的度數(shù)為度．13．（3分）已知扇形的半徑為2cm，圓心角為120°，則此扇形的弧長(zhǎng)是cm．14．（3分）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，若∠ADB＝20°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．15．（3分）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．16．（3分）如圖，平行于x軸的直線與函數(shù)y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△ABC的面積為4，則k1﹣k2的值為．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分）17．（6分）計(jì)算：．18．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A（m，6），B（4，﹣3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接OA，OB．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積．19．（6分）如圖，燈塔B位于港口A的北偏東58°方向，且A，B之間的距離為30km，燈塔C位于燈塔B的正東方向，且B，C之間的距離為10km．一艘輪船從港口A出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)D處，測(cè)得燈塔C在北偏東37°方向上，燈塔B到直線AD的距離為BE．（1）求BE的長(zhǎng)；（2）求DE的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）20．（8分）為了豐富學(xué)生們的課余生活，學(xué)校準(zhǔn)備開(kāi)展第二課堂，有四類課程可供選擇，分別是“A．書(shū)畫(huà)類、B．文藝類、C．社會(huì)實(shí)踐類、D．體育類”．現(xiàn)隨機(jī)抽取了七年級(jí)部分學(xué)生對(duì)報(bào)名意向進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)圖表信息回答下列問(wèn)題：（1）本次被抽查的學(xué)生共有名，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“A．書(shū)畫(huà)類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為度；（2）請(qǐng)你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全；（3）若該校七年級(jí)共有600名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生選擇“C．社會(huì)實(shí)踐類”的學(xué)生共有多少名？（4）本次調(diào)查中抽中了七（1）班王芳和小穎兩名學(xué)生，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求她們選擇同一個(gè)項(xiàng)目的概率．21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．（1）求證：△ADC∽△CDB；（2）若AD＝2，BD＝8，求CD．22．（9分）如圖，AB，CD為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，∠ABC＝2∠BCP，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，弦CE，BD相交于點(diǎn)F．（1）求∠OCB的度數(shù)；（2）若EF＝3，求⊙O直徑的長(zhǎng)．23．（9分）為紀(jì)念愛(ài)國(guó)詩(shī)人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗．下表列出了小歡媽媽、小樂(lè)媽媽端午節(jié)前在超市購(gòu)買粽子的數(shù)量（單位：個(gè)）和付款金額（單位：元）．豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額小歡媽媽2030270小樂(lè)媽媽3020230（1）求豆沙粽和肉粽的單價(jià)；（2）為進(jìn)一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個(gè)粽子（包裝成本忽略不計(jì)），每包的銷售價(jià)格按其中每個(gè)粽子的單價(jià)合計(jì)．A，B兩種包裝中分別有m個(gè)豆沙粽，m個(gè)肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過(guò)肉粽的一半．端午節(jié)當(dāng)天統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷量分別為（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B兩種包裝的銷售總額為17280元，求m的值．25．（10分）若兩條拋物線相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，并滿足y1﹣kx1＝y(tǒng)2﹣kx2，其中k為常數(shù)，我們不妨把k叫做這兩條拋物線的“依賴系數(shù)”．（1）若兩條拋物線相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）兩點(diǎn)，求這兩條拋物線的“依賴系數(shù)”；（2）若拋物線1：y＝2ax2+x+m與拋物線2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，其中a＞0，求拋物線1與拋物線2的“依賴系數(shù)”；（3）如圖，在（2）的條件下，設(shè)拋物線1和2分別與y軸交于C，D兩點(diǎn)，AB所在的直線與y軸交于E點(diǎn)，若點(diǎn)A在x軸上，m≠0，DA＝DC，拋物線2與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)F，以D為圓心，CD為半徑畫(huà)圓，連接EF，與圓相交于G點(diǎn)，求tan∠ECG．參考答案與解析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）如所示4個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)合題意；C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．2．（3分）拋物線y＝（x﹣1）2+3的對(duì)稱軸是（）A．直線x＝1 B．直線x＝3 C．直線x＝﹣1 D．直線x＝﹣3【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+3的對(duì)稱軸是直線x＝1．故選：A．3．（3分）在雙曲線的任意一支上，y都隨x的增大而減小，則k的值可以是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣1【解答】解：∵雙曲線的每個(gè)分支上，y都隨x的增大而減小，∴k＞0，選項(xiàng)中為正數(shù)的只有k＝2，故選：C．4．（3分）縣林業(yè)部門(mén)考察銀杏樹(shù)苗在一定條件下移植的成活率，所統(tǒng)計(jì)的銀杏樹(shù)苗移植成活的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：移植的棵數(shù)a1003006001000700015000成活的棵數(shù)b84279505847633713581成活的頻率0.840.930.8420.8470.9050.905根據(jù)表中的信息，估計(jì)銀杏樹(shù)苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，隨著樣本數(shù)量不斷增加，這種樹(shù)苗移植成活的頻率穩(wěn)定在0.9左右，故估計(jì)銀杏樹(shù)苗在一定條件下移植成活的概率為0.9．故選：C．5．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)得到與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）【解答】解：作AH⊥x軸于H，CG⊥x軸于G，∴△OCG∽△OAH，∴，∵A（4，3），∴OH＝4，AH＝3，∵△BOA∽△DOC，且OA：OC＝3，∴OG＝，CG＝1，∴C（﹣，﹣1），故選：B．6．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故選：A．7．（3分）已知反比例函數(shù)的圖象上有點(diǎn)A（2，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3），則關(guān)于y1，y2，y3大小關(guān)系正確的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2【解答】解：函數(shù)圖象如下：點(diǎn)A、B在y軸右側(cè)且y隨x的增大而增大，故y1＞y2；點(diǎn)C在y軸的左側(cè)，函數(shù)值y為正，故y3＞y1＞y2，故選：D．8．（3分）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，∵AD＝3，BE＝2，CF＝4，∴AF＝3，BD＝2，CE＝4，∴BC＝BE+EC＝6，AB＝AD+BD＝5，AC＝AF+FC＝7，∴△ABC的周長(zhǎng)＝BC+AB+AC＝18．故選：A．9．（3分）元旦將至，九（1）班全體學(xué)生互贈(zèng)賀卡，共贈(zèng)賀卡1980張，問(wèn)九（1）班共有多少名學(xué)生？設(shè)九（1）班共有x名學(xué)生，那么所列方程為（）A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980【解答】解：根據(jù)題意得：每人要贈(zèng)送（x﹣1）張賀卡，有x個(gè)人，∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，故選：D．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，OA＝OB＝3，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC＝，連接AC，點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM：MA＝1：2．當(dāng)線段OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【解答】解：∵點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BD＝，∴點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的OB上，在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)D（﹣，0），連接BD，分別過(guò)C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足為F、E，∵OA＝OB＝，∴AD＝OD+OA＝，∴＝，∵CM：MA＝1：2，∴＝＝，∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴＝＝，∴當(dāng)CD取得最大值時(shí)，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)D，B，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段DC上時(shí)，CD取得最大值，∵OA＝OB＝，OD＝，∴BD＝＝，∴CD＝BC+BD＝9，∵＝，∴OM＝6，∵y軸⊥x軸，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴＝，即＝，解得CF＝，同理可得，△AEM∽△AFC，∴＝＝，即＝，解得ME＝，∴OE＝＝，∴當(dāng)線段OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，），故選D．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）已知點(diǎn)A（﹣2，b）與B（a，3）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a+b＝﹣1．【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣2，b）與B（a，3）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴a＝2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1．故答案為：﹣1．12．（3分）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠C＝120°，求∠A的度數(shù)為60度．【解答】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝120°，∴∠A＝180°﹣120°＝60°，故答案為：60．13．（3分）已知扇形的半徑為2cm，圓心角為120°，則此扇形的弧長(zhǎng)是πcm．【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)＝＝πcm．故答案為．14．（3分）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，若∠ADB＝20°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為九．【解答】解：如圖，設(shè)正多邊形的外接圓為⊙O，連接OA，OB，∵∠ADB＝20°，∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，而360°÷40°＝9，∴這個(gè)正多邊形為正九邊形，故答案為：九．15．（3分）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．【解答】解：如圖，連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．16．（3分）如圖，平行于x軸的直線與函數(shù)y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△ABC的面積為4，則k1﹣k2的值為8．【解答】解：設(shè)：A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（，m）、B（，m），則：△ABC的面積＝?AB?yA＝?（﹣）?m＝4，則k1﹣k2＝8．故答案為8．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分）17．（6分）計(jì)算：．【解答】解：原式＝×+4+﹣1﹣4＝．18．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A（m，6），B（4，﹣3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接OA，OB．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B（4，﹣3）在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，∴．解得k＝﹣12，b＝3，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的表達(dá)式為．答：反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∵點(diǎn)A（m，6）在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得m＝﹣2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，6），把x＝0代入得y＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴OC＝3，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC'；＝＝9．19．（6分）如圖，燈塔B位于港口A的北偏東58°方向，且A，B之間的距離為30km，燈塔C位于燈塔B的正東方向，且B，C之間的距離為10km．一艘輪船從港口A出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)D處，測(cè)得燈塔C在北偏東37°方向上，燈塔B到直線AD的距離為BE．（1）求BE的長(zhǎng)；（2）求DE的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：（1）由題意得，∠E＝90°，∵AB＝30km，∠BAE＝58°，∴BE＝AB?sin58°≈30×0.85＝25.5（km）．（2）∵BC＝10km，∴CE＝BC+BE＝35.5（km），∴DE＝CE÷tan37°≈35.5÷0.75≈47.3（km）．答：BE的長(zhǎng)為25.5km，DE的長(zhǎng)為47.3km．20．（8分）為了豐富學(xué)生們的課余生活，學(xué)校準(zhǔn)備開(kāi)展第二課堂，有四類課程可供選擇，分別是“A．書(shū)畫(huà)類、B．文藝類、C．社會(huì)實(shí)踐類、D．體育類”．現(xiàn)隨機(jī)抽取了七年級(jí)部分學(xué)生對(duì)報(bào)名意向進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)圖表信息回答下列問(wèn)題：（1）本次被抽查的學(xué)生共有50名，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“A．書(shū)畫(huà)類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為72度；（2）請(qǐng)你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全；（3）若該校七年級(jí)共有600名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生選擇“C．社會(huì)實(shí)踐類”的學(xué)生共有多少名？（4）本次調(diào)查中抽中了七（1）班王芳和小穎兩名學(xué)生，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求她們選擇同一個(gè)項(xiàng)目的概率．【解答】解：（1）本次被抽查的學(xué)生共有：20÷40%＝50（名），扇形統(tǒng)計(jì)圖中“A．書(shū)畫(huà)類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為；故答案為：50，72；（2）B類人數(shù)是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）名，答：估計(jì)該校學(xué)生選擇“C．社會(huì)實(shí)踐類”的學(xué)生共有96名；（4）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16種等可能的結(jié)果，其中王芳和小穎兩名學(xué)生選擇同一個(gè)項(xiàng)目的結(jié)果有4種，∴王芳和小穎兩名學(xué)生選擇同一個(gè)項(xiàng)目的概率＝．21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．（1）求證：△ADC∽△CDB；（2）若AD＝2，BD＝8，求CD．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∠ACB＝90°，∴∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB．（2）∵△ADC∽△CDB，，∴CD2＝AD?BD，又∵AD＝2，BD＝8，∴CD＝16，則CD＝4．22．（9分）如圖，AB，CD為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，∠ABC＝2∠BCP，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，弦CE，BD相交于點(diǎn)F．（1）求∠OCB的度數(shù)；（2）若EF＝3，求⊙O直徑的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵PC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥PC，∴∠OCB+∠BCP＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠OCB＝2∠BCP，∴3∠BCP＝90°，∴∠BCP＝30°，∴∠OCB＝60°．（2）連接DE，∵CD是直徑，∴∠DEC＝90°，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB＝∠DCB＝30°，∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°，∴DE＝FE＝3，∵∠E＝90°，∠DCE＝30°，∴，∴⊙O的直徑的長(zhǎng)為．23．（9分）為紀(jì)念愛(ài)國(guó)詩(shī)人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗．下表列出了小歡媽媽、小樂(lè)媽媽端午節(jié)前在超市購(gòu)買粽子的數(shù)量（單位：個(gè)）和付款金額（單位：元）．豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額小歡媽媽2030270小樂(lè)媽媽3020230（1）求豆沙粽和肉粽的單價(jià)；（2）為進(jìn)一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個(gè)粽子（包裝成本忽略不計(jì)），每包的銷售價(jià)格按其中每個(gè)粽子的單價(jià)合計(jì)．A，B兩種包裝中分別有m個(gè)豆沙粽，m個(gè)肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過(guò)肉粽的一半．端午節(jié)當(dāng)天統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷量分別為（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B兩種包裝的銷售總額為17280元，求m的值．【解答】解：（1）設(shè)豆沙棕的單價(jià)為a元，肉粽的單價(jià)為b元，由題意可得，，解得：答：豆沙粽的單價(jià)為3元，肉粽的單價(jià)為7元；（2）由題意可得，[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3（40﹣m）+7m]×（4m+8）