32湖北省武漢市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年湖北省武漢市部分學(xué)校九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列標(biāo)志圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故A錯誤；B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故B正確；C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C錯誤；D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故D錯誤．故選：B．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．2.從左面觀察如圖所示的幾何體，看到的平面圖形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)從該幾何體的左面看到的圖形，即可得到左視圖．【詳解】解：由圖可得，幾何體的左視圖是：故選：B．【點睛】本題主要考查了三視圖，解題時注意：視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上．3.一元二次方程的根的情況為（）A.有兩個相等的實數(shù)拫根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法確定【答案】B【解析】【分析】求出判別式的值，進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選B．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式．熟練掌握判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．4.下列圖形中，一定相似的是（）A.一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形B.有一個內(nèi)角為80°的兩個等腰三角形C.兩個長方形D.有一個內(nèi)角為80°的兩個菱形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似多邊形的判定方法分別判斷即可．【詳解】解：A．平行于三角形一邊的一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形各邊對應(yīng)成比例，即相似，故選項不符合題意；B．有一個內(nèi)角為80°的兩個等腰三角形不一定相似，故選項不符合題意；C．兩個長方形不一定相似，故選項不符合題意；D．有一個內(nèi)角為80°的兩個菱形一定相似，故選項符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了相似多邊形，熟練掌握相似多邊形的定義是解題的關(guān)鍵．5.下列四個命題中不正確的是（）A.直徑是弦 B.三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等C.頂點在圓周上的角是圓周角 D.半徑相等的兩個半圓是等弧【答案】C【解析】【分析】用弦的定義、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角的定義及等圓的概念分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】A、直徑是圓內(nèi)最長的弦，正確；B、三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等，正確；C、頂點在圓周角上且兩邊都與圓相交的角是圓周角，故錯誤；D、半徑相等的兩個半圓是等弧，正確；故選：C．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解弦的定義、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角的定義及等圓的概念等知識．6.下表中所列的x，y的6對值是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象上的點所對應(yīng)的坐標(biāo)：x…﹣2﹣1034…y…1163611…若(x1，y1)，(x2，y2)是該函數(shù)圖象上的兩點，根據(jù)表中信息，以下論斷正確的是（）A.當(dāng)x1＜x2時，y1＜y2B.當(dāng)y1＞y2時，x1＜x2C.該函數(shù)的最小值為3D.當(dāng)x1＝1+n，x2＝1﹣n時（n為常數(shù)），y1＝y(tǒng)2【答案】D【解析】【分析】由拋物線的開口方向、對稱軸來確定增減性，并進行判斷即可．【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得：拋物線開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大，故A，B選項錯誤，不符合題意；根據(jù)表格可知，拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的值為最小值，最小值不是3，故C選項錯誤，不合題意；∵＝1，∴y1＝y(tǒng)2，故D選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握知識是解題的關(guān)鍵．7.如圖所示，某幼兒園有一道長為16米的墻，計劃用32米長的圍欄靠墻圍成一個面積為120平方米的矩形草坪ABCD．則該矩形草坪BC邊的長是（）A.12 B.18 C.20 D.12或20【答案】A【解析】【分析】設(shè)草坪BC長為x米，則寬為，根據(jù)面積為120平方米，列方程求解．【詳解】設(shè)草坪BC的長為x米,則寬為，由題意得,，解得：，∵墻為16米，∴x=20不合題意故x=12.故選A.【點睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列一元二次方程.8.如圖，滑雪場有一坡角為20°的滑雪道，滑雪道的長AC為100米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長為（）A. B. C.1OOcos20° D.100sin20°【答案】D【解析】【詳解】∵sin∠C=，∴AB=AC?sin∠C=100sin20°，故選D．9.如圖，弧長為半圓的弓形在坐標(biāo)系中，圓心在．將弓形沿x軸正方向無滑動滾動，當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為時，圓心的橫坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出一個周期圓心走的路程，即可求出圓心經(jīng)過的路徑長為時圓心的位置，故可求解．【詳解】如圖，圓心在，可得r=2∴OA=，AB=2r=4，BC=，==∴一個周期圓心經(jīng)過的路徑長為OA++BC=4，∴C（4+2，0），故當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為時，÷4=505…1∴圓心的橫坐標(biāo)是505×（4+2）+=故選D．

【點睛】此題主要考查弧與坐標(biāo)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出一個周期圓心經(jīng)過的路徑長．10.如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，CF平分∠BCD，交EA的延長線于點F，且BC＝4，CD＝2，給出下列結(jié)論：①∠BAE＝∠CAD；②∠DBC＝30°；③AE＝；④AF＝，其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【詳解】在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ADB，∵∠CAD＝∠ADB，∴∠BAE＝∠CAD，故①正確；∵BC＝4，CD＝2，∴tan∠DBC＝＝，∴∠DBC≠30°，故②錯誤；∵BD＝，∵AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE＝；故③正確；∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝45°，∴∠ACF＝45°﹣∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BAE＝∠ACB，∴∠EAC＝90°﹣2∠ACB，∴∠EAC＝2∠ACF，∵∠EAC＝∠ACF＋∠F，∴∠ACF＝∠F，∴AF＝AC，∵AC＝BD＝，∴AF＝，故④正確；故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11.若是關(guān)于x的一元二次方程的一個解，則m的值是______．【答案】6【解析】【分析】把代入一元二次方程中即可解得m的值．【詳解】解：把代入一元二次方程中得：，解得．故答案為：6．【點睛】本題考查一元二次方程的解的定，掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．12.已知與相似，并且點與點、點與點、點與點是對應(yīng)頂點，其中，，則______度.【答案】40【解析】【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等求出∠B＝∠B′，再利用三角形內(nèi)角和等于180°列式進行計算即可得解．【詳解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，

∴∠B＝∠B′＝60°，

∴∠C＝180°?∠A?∠B＝180°?80°?60°＝40°．

故答案為：40．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確找出對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．13.如圖，，是的兩條弦，且，點D，P分別在，上，若，則的度數(shù)為______．【答案】##110度【解析】【分析】連接，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：連接，∵，四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，又，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，明確題意，添加輔助線，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．14.如圖，半圓O中，C為半圓O上一點，AB為直徑，∠ABC=60°，以O(shè)A為直徑作半圓D，若AB=4，則圖中陰影部分面積為_____．【答案】【解析】【分析】求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．【詳解】如圖，連接OC．∵AB=4，∴OA=OB=2，OD=AD=1．∵∠ABC=60°，OB=OC，∴∠BOC=60°，∴S弓形BC=S扇形OBC﹣S△OBC．∵S半圓AOD，S半圓ABO2π∴S陰影=S半圓ABO﹣S半圓AOD﹣S弓形BC=2π（）．故答案．【點睛】本題考查了扇形的面積的相關(guān)計算，熟練運用割補法和扇形面積計算公式是解題的關(guān)鍵．15.二次函數(shù)y=x2+bx的圖像如圖所示，對稱軸為x=2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t為實數(shù))在-1＜x＜6的范圍內(nèi)無解，則的取值范圍是___.【答案】t＜-4或t≥12.【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)解析式，求出交點坐標(biāo)，仔細觀查圖象，最后根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系得到結(jié)果.【詳解】對稱軸為x=-解得b=-4，

所以，二次函數(shù)解析式為y=x2-4x一元二次方程x2-4x-t=0(t為實數(shù))

x=-1時，y=5x=6時，y=12x=2時，y=-4

∵x2+bx-t=0相當(dāng)于y=x2+bx與直線y=t的交點的橫坐標(biāo)，

∴當(dāng)--4≤t＜12時，在-1≤x＜6的范圍內(nèi)有解則當(dāng)t＜-4或t≥12時，在-1≤x＜6的范圍內(nèi)無解故答案為t＜-4或t≥12【點睛】此題重點考查學(xué)生對函數(shù)與方程的解的綜合應(yīng)用能力，把握在一定范圍內(nèi)有解和無解的解法是解題的關(guān)鍵.16.在平行四邊形ABCD的邊AB和AD上分別取點E和F，使，，連接EF交對角線AC于G，則的值是_____________．【答案】【解析】【詳解】解：如圖，在AD上取點H，使，連接BH交AC于O，則，即，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，∴△AOH∽△COB，∴，，所以.故答案為：．考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.平行四邊形的性質(zhì)．三、計算題：本大題共1小題，共8分．17.為弘揚中華傳統(tǒng)文化，黔南州近期舉辦了中小學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”．比賽項目為：A．唐詩；B．宋詞；C．論語；D．三字經(jīng)．比賽形式分“單人組”和“雙人組”．（1）小麗參加“單人組”，她從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“三字經(jīng)”的概率是多少？（2）小紅和小明組成一個小組參加“雙人組”比賽，比賽規(guī)則是：同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同，且每人只能隨機抽取一次，則恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．【答案】(1)；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）她從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“三字經(jīng)”的概率=；（2）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的結(jié)果數(shù)為1，所以恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的概率=．四、解答題：本題共7小題，共64分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．18.計算：（1）；（2）解方程：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）原式第一項利用零指數(shù)冪法則計算，第二項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，第三項利用乘方的意義計算，最后一項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果；（2）方程移項后，利用因式分解法求出解即可．【小問1詳解】原式；【小問2詳解】方程移項得：，分解因式得：，解得：．【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的意義，解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．19.如圖，為的直徑，弦于點，，．求的半徑；求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）的半徑為；（2）．【解析】【分析】（1）連接OC，OD，利用垂徑定理得CP=2，AP=3x，PB=x，則AB=4x，OC=2x，OP=x，利用勾股定理可得結(jié)果；

（2）根據(jù)OP=2，OC=4，利用直角三角形的性質(zhì)易得∠COD=120°，利用扇形和三角形的面積公式，求得陰影部分面積．【詳解】連接，，如圖所示：設(shè)，，則，，，∵，∴，∴，解得：或（舍去），∴，∴的半徑為；∵，，∴在中，，，∴，∵，∴陰影部分的面積為：．【點睛】考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)和扇形面積公式，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．20.如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，直線經(jīng)過點A，且與l關(guān)于直線對稱．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求圖中陰影部分的面積．（3）已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點另一點B，P在在平面內(nèi)，若以點A，B，P，O為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件點P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）7（3）所有符合條件點P的坐標(biāo)為，，．【解析】【分析】（1）根據(jù)，，算出點A坐標(biāo)，再將點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，即可解答．

（2）根據(jù)題意求出直線的解析式，結(jié)合圖形陰影部分面積直線、直線與x軸圍成的三角形面積直線與x軸、y軸圍成的三角形面積，算出直線、直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)即可解答．（3）分三種情況討論，即以、、為對角線三種情況，再根據(jù)中點公式即可解答．【小問1詳解】解：直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，把代入，得：，，將代入反比例函數(shù)，得：，，反比例函數(shù)的解析式為．【小問2詳解】解：根據(jù)直線，可得直線與x軸的交點為，直線經(jīng)過點A，且與l關(guān)于直線對稱，直線與x軸的交點為，設(shè)直線，將，代入解析式得：，解得，直線，直線與y軸的交點坐標(biāo)為，結(jié)合圖形陰影部分面積直線、直線與x軸圍成的三角形面積直線與x軸、y軸圍成的三角形面積，．【小問3詳解】解：直線與反比例函數(shù)的圖象交于點另一點B，可列方程，解得：或，，設(shè)，①當(dāng)以點A，B，P，O為頂點的四邊形是平行四邊形以為對角線時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知的中點與的中點相同，根據(jù)中點公式，可得方程，解得，；②當(dāng)以點A，B，P，O為頂點的四邊形是平行四邊形以為對角線時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知的中點與的中點相同，根據(jù)中點公式，可得方程，解得，；③當(dāng)以點A，B，P，O為頂點的四邊形是平行四邊形以為對角線時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知的中點與的中點相同，根據(jù)中點公式，可得方程，解得，；綜上所述，所有符合條件點P的坐標(biāo)為，，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合的綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，經(jīng)過四個格點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過程中起輔助作用的用虛線表示，畫圖．結(jié)果用實線表示，并用黑色水筆描黑）（1）如圖1，判斷圓心______（填“是”或“不是”）在格點上，并在圖1中標(biāo)出格點；（2）在圖1中畫出的切線（為格點）；（3）在圖2中畫出中點；【答案】（1）是，圖見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖，涉及垂徑定理，切線的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．（1）畫出弦，垂直平分線可得答案；（2）連接，取格點，使即可；（3）由方格的特征，取的中點，連接并延長交于點，即得的中點．【小問1詳解】解：如圖，，圓心在弦，的垂直平分線上，由圖可知，是在格點上，故答案為：是；【小問2詳解】解：如圖：即為所求，；【小問3詳解】解：如圖，，由方格的特征，取的中點，連接并延長交于點，則點即為所求．22.如圖，在中，D，E分別是上的點，的平分線交于點G，交于點F．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知和角平分線的定義即可證明；（2）利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例即可列式求解．【小問1詳解】證明：平分，，又，；【小問2詳解】解：，，，，又，，．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．23.用一條直線截三角形的兩邊，若所截得的四邊形對角互補，則稱該直線為三角形第三條邊上的逆平行線．如圖，為的截線，截得四邊形，若，則稱為邊的逆平行線；如圖，已知中，，過邊上的點作交于點，過點作邊的逆平行線，交邊于點．（1）求證：是邊的逆平行線．（2）點是的外心，連接，求證：．（3）已知，，過點作邊的逆平行線，交邊于點．①試探索為何值時，四邊形的面積最大，并求出最大值；②在①的條件下，比較大小關(guān)系．（“或”）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①，最大值；②=【解析】【分析】（1）由條件可證得∠B＝∠ACB，則∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，結(jié)論得證；（2）連接AO，BO,證得∠FEC＝∠B，由OA＝OC可得∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，證出，即CO⊥FE，（3）①設(shè)FC＝x，則BF＝6?x，證△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四邊形AGFE的面積可表示為S△ABC?S△EFC?S△BFG，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最大值，得到點F為BC的中點，連接DF，根據(jù)EF為AB邊的逆平行線，可證得DF為AC邊的逆平行線，得到G點與D點重合，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出AD的長；②由①知G點與D點重合，故可得到AD＋BG＝AB．【詳解】（1）證明理由如下：邊是的逆平行線；（2）如圖1，連接，BO是邊的逆平行線點是的外心=BO，，AO=AO∴△ABO≌△ACO，；（3）如圖2，作AQ⊥BC∵AB=AC，∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3∴AQ=S△ABC===12,①設(shè)，，∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，∴△FEC∽△ABC．，同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC∴△FBG∽△ABC∴＝?(x?3)2＋，當(dāng)