人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題專題二次根式求值的常用方法(原卷版+解析)

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十六章二次根式》專題二次根式求值的常用方法題型一利用二次根式的性質(zhì)求值題型一利用二次根式的性質(zhì)求值【例題1】(2023春?黃岡期中）已知等式5?xx?3=5?xx?3成立，化簡(jiǎn)|【變式1-1】(2023秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)b2【變式1-2】(2023秋?農(nóng)安縣期中）已知，如圖所示，實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置．化簡(jiǎn)：a2【變式1-3】先化簡(jiǎn)，再求值：2n?mmn÷m【變式1-4】(2023秋?如東縣期末）x，y為實(shí)數(shù)，且y＜x?1+1?x【變式1-5】(20233x?2+2?3x【變式1-6】(2023春?睢縣期中）已知a、b滿足4a?b+1+13b?4a?3=【變式1-7】(2023秋?金牛區(qū)校級(jí)月考）若等式(3x+1)(2?x)=3x+1?試化簡(jiǎn)：|x﹣4|+9x2【變式1-8】(2023春?藁城區(qū)校級(jí)期中）求代數(shù)式a+1?2a+a2（1）的解法是錯(cuò)誤的；（2）求代數(shù)式a+2a2?6a+9的值，其中題型二化簡(jiǎn)后直接代入求值題型二化簡(jiǎn)后直接代入求值【例題2】(2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）先化簡(jiǎn)再求值：x?2xy+yx?y÷1x+2xy【變式2-1】(2023秋?長(zhǎng)泰縣期中）先化簡(jiǎn)，再求值：(a?3)(a+3【變式2-2】(2023春?谷城縣期末）已知x＝2?3，求代數(shù)式（7+43）x2+（22+6【變式2-3】(2023春?范縣期中）先化簡(jiǎn)，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4yx【變式2-4】(2023春?連山區(qū)期中）給出以下式子：（x2?4x2?4x+4【變式2-5】(2023秋?寶山區(qū)期中）已知a=12+3【變式2-6】(2023春?曹縣期中）先化簡(jiǎn)，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4y【變式2-7】(2023秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）先化簡(jiǎn)，再求值：4a?b+ab＝2．【變式2-8】(2023秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)x=1+20222時(shí)，多項(xiàng)式4x3A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1題型三利用整體思想代入求值題型三利用整體思想代入求值【例題3】(2023?嶧城區(qū)校級(jí)模擬）已知a=5?26，b=5+26，則a2+b2﹣3A．5 B．65 C．95 D．135【變式3-1】(2023秋?邵陽(yáng)縣期末）若a＝1+2，b＝1?2，則代數(shù)式A．3 B．±3 C．5 D．9【變式3-2】(2023春?藁城區(qū)校級(jí)月考）已知a=3+1，b=3A．?23 B．23 C．43【變式3-3】(2023秋?澧縣期末）已知x=13?22，y=13+22，【變式3-4】(2023春?渝中區(qū)校級(jí)期中）已知：x=2+1，y（1）x2+2xy+y2；（2）x2+y2．【變式3-5】計(jì)算求值a，b為實(shí)數(shù)，且a+b＝﹣8，ab＝8，求bba+a【變式3-7】已知x2﹣3x+1＝0，求x2【變式3-8】(2023秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）已知a(a+b)=3b(a【變式3-9】（1）已知39+x2?（2）已知29?x2?題型四利用二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分求值題型四利用二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分求值【例題4】已知a，b為實(shí)數(shù)，m，n分別表示5?7的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且am+bn＝0，求代數(shù)式a【變式4-1】(2023秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）如果5+5和5?2小數(shù)部分分別為a，b，那么ab+2＝【變式4-2】(2023秋?宛城區(qū)校級(jí)月考）已知x=12+3，（1）求x2+y2﹣xy的值；（2）若x的整數(shù)部分是a，y的小數(shù)部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．【變式4-3】(2023秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）（1）已知7+7的小數(shù)部分是a，7?7的小數(shù)部分是b，求a+（2）設(shè)5+3的整數(shù)部分用a表示，小數(shù)部分用b表示，3?3的整數(shù)部分用c表示，小數(shù)部分用d表示，求ab﹣【變式4-4】(2023秋?古田縣期中）已知a+b?33+|b+3|＝b+3，x為a+b的整數(shù)部分，y為a+b的小數(shù)部分．求2x﹣3y【變式4-5】(2023春?大觀區(qū)校級(jí)期末）閱讀下列材料：∵1＜3＜∴3的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為3?請(qǐng)根據(jù)材料提示，進(jìn)行解答：（1）14的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果6的小數(shù)部分為m，21的整數(shù)部分為n，求2m+n﹣26的值．（3）已知：10+32=a+b，其中a是整數(shù)，且0＜b＜1，請(qǐng)直接寫(xiě)出a，【變式4-6】(2023秋?西安月考）觀察：因?yàn)?＜5＜9，即2＜5請(qǐng)你觀察上述規(guī)律后解決下面的問(wèn)題：（1）規(guī)定用符號(hào)[m]表示實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[23]＝0，[6]＝2．按此規(guī)定，那么[10+1]的值為（2）若11的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，|c|=11，求c（a﹣b八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十六章二次根式》專題二次根式求值的常用方法題型一利用二次根式的性質(zhì)求值題型一利用二次根式的性質(zhì)求值【例題1】(2023春?黃岡期中）已知等式5?xx?3=5?xx?3成立，化簡(jiǎn)|【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，再將x代入化簡(jiǎn)即可求值．【解答】解：由題意得，5?x≥0x?3＞0∴3＜x≤5，∴|x﹣6|+＝6﹣x+x﹣2＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式有意義的條件，熟記二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】(2023秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)b2【分析】先根據(jù)數(shù)軸判斷b，b+c，c﹣a的正負(fù)性，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：由題意可知：∵a＜c，b＜0，c＞0，|b|＞|c|，∴b+c＜0，c﹣a＞0，∴b＝|b|﹣|b+c|﹣|c﹣a|＝﹣b+（b+c）﹣（c﹣a）＝﹣b+b+c﹣c+a＝a，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)軸和二次根式，理解題意掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】(2023秋?農(nóng)安縣期中）已知，如圖所示，實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置．化簡(jiǎn)：a2【分析】先根據(jù)數(shù)軸判斷a，b，c的正負(fù)數(shù)，再根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)求解．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：c＜b＜0＜a，∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，∴a＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c＝a﹣2c．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)與求值，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】先化簡(jiǎn)，再求值：2n?mmn÷m【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出m，n的值，再把m，n的值代入，再利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：2n?m=2n?m=2n?m=2n?m=?m+2n∵m+1+(n?3∴m+1＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣1，n＝3．∴原式=?=??1+2×3【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式1-4】(2023秋?如東縣期末）x，y為實(shí)數(shù)，且y＜x?1+1?x【分析】先根據(jù)x?1、1?x有意義的條件可得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解可求x＝1，再把x＝1代入y＜x?1y＜3，從而可對(duì)所求式子化簡(jiǎn)，并合并即可．【解答】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0，∴x≥1，x≤1，∴x＝1，又∵y＜x?1∴y＜3，∴|y﹣3|?y2?8y+16=3﹣故答案為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的化簡(jiǎn)求值．解題的關(guān)鍵是注意被開(kāi)方式是≥0的．【變式1-5】(20233x?2+2?3x【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零，以此即可得到結(jié)果．【解答】解：由y＞3x?23x?2≥02?3x≥0∴x=2∴y＞2，∴y=(y?2=y?2＝﹣1+5﹣2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零得出x=23，【變式1-6】(2023春?睢縣期中）已知a、b滿足4a?b+1+13b?4a?3=【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得關(guān)于a、b的方程組，求得a、b的值代入計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意，得：4a?b+1=01解得：a=?1b=?3故2a（ba＝2×（﹣1）×（?3?1＝﹣2×（3×＝﹣2×3＝﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的求值及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)列出方程組是解題的前提，代入求值是關(guān)鍵．【變式1-7】(2023秋?金牛區(qū)校級(jí)月考）若等式(3x+1)(2?x)=3x+1?2?x成立，試化簡(jiǎn)：|x﹣4|+9【分析】根據(jù)題意求出x的取值范圍，根據(jù)完全平方公式和a2=|【解答】解：根據(jù)題意得：3x+1≥0，2﹣x≥0，∴?13∴x﹣4＜0，x﹣2≤0，∴原式＝|x﹣4|+(3x+1)2＝|x﹣4|+|3x+1|+|x﹣2|＝4﹣x+3x+1+2﹣x＝x+7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法，掌握a2=|【變式1-8】(2023春?藁城區(qū)校級(jí)期中）求代數(shù)式a+1?2a+a2（1）的解法是錯(cuò)誤的；（2）求代數(shù)式a+2a2?6a+9的值，其中【分析】（1）先將被開(kāi)方式進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而作出判斷；（2）先將被開(kāi)方式進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后代入求值．【解答】解：（1）小亮的解法是錯(cuò)誤的，理由如下：原式＝a+(1?a∵a＝1011，∴1﹣a＜0，∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1＝2×1011﹣1＝2021，故答案為：小亮；（2）原式＝a+2(a?3)∵a＝﹣2022，∴a﹣3＜0，∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2022）＝6+2022＝2028．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，理解二次根式的性質(zhì)，掌握利用完全平方公式分解因式的技巧是解題關(guān)鍵．題型二化簡(jiǎn)后直接代入求值題型二化簡(jiǎn)后直接代入求值【例題2】(2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）先化簡(jiǎn)再求值：x?2xy+yx?y÷1x+2xy【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母變形，再根據(jù)約分法則化簡(jiǎn)，利用分母有理化法則把x、y化簡(jiǎn)，代入計(jì)算即可．【解答】解：原式=(x?y＝（x?y）?（＝x﹣y，當(dāng)x=13+22=3?22(3+22原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的乘法法則、平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】(2023秋?長(zhǎng)泰縣期中）先化簡(jiǎn)，再求值：(a?3)(a+3【分析】先算乘法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可．【解答】解：(a?＝a2﹣3﹣a2+4a＝4a﹣3，當(dāng)a=3+1時(shí)，原式＝4×（3+1）﹣3＝43【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【變式2-2】(2023春?谷城縣期末）已知x＝2?3，求代數(shù)式（7+43）x2+（22+6【分析】先求出x2的值，代入后先根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵x＝2?3∴x2＝（2?3）2＝4﹣43+3＝7﹣4∴（7+43）x2+（22+6）＝（7+43）×（7﹣43）+（22+6）×（2＝49﹣48+42?26+26?=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【變式2-3】(2023春?范縣期中）先化簡(jiǎn)，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4yx【分析】首先把二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再去括號(hào)合并同類二次根式，再代入xy的值即可．【解答】解：原式＝（6xy+3xy）﹣（4xy+6＝6xy+3xy?4xy?=?xy當(dāng)x=12?1，y=1則原式＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)二次根式．【變式2-4】(2023春?連山區(qū)期中）給出以下式子：（x2?4x2?4x+4【分析】先算括號(hào)里面的減法，再根據(jù)發(fā)送到除法法則把除法變成乘法，算乘法，根據(jù)分式有意義的條件求出x不能為2，﹣2，﹣1，取x＝2+23，再代入求出答案即可．【解答】解：（x2?4＝[(x+2)(x?2)(x?2)＝（x+2x?2?=x+2?1x?2?=x+1x?2?=x+2由題意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，則x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，∴當(dāng)x=2+23原式=2+2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式和二次根式的化簡(jiǎn)求值，能靈活運(yùn)用分式和二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．【變式2-5】(2023秋?寶山區(qū)期中）已知a=12+3【分析】先利用分母有理化可得a＝2?3【解答】解：∵a=12+3∴a﹣2＜0，∴1+2a+=(1+a＝a+1?＝a+1+＝2?3+1+（2＝2?3+＝5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】(2023春?曹縣期中）先化簡(jiǎn)，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4y【分析】先根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將x、y的值代入計(jì)算可得．【解答】解：原式＝（6x?xyx+3y?yxy）﹣（4y?＝6xy+3xy?4xy=?xy當(dāng)x=32、原式=?3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【變式2-7】(2023秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）先化簡(jiǎn)，再求值：4a?b+ab＝2．【分析】利用二次根式的相應(yīng)的法則對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【解答】解：4=4=4=4=?2=?2(∵a＝1，b＝2，∴原式=?2(【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)求值的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-8】(2023秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)x=1+20222時(shí)，多項(xiàng)式4x3A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【分析】求出2x＝1+2022，再變形得出4x3﹣2025x﹣2022＝（4x2﹣2025）x【解答】解：∵x=1+∴2x＝1+2022∴4x3﹣2025x﹣2022＝（4x2﹣2025）x﹣2022＝[（1+2022）2﹣2025]x＝（1+2022+22022?2025）x＝（﹣2+22022）x﹣2022＝2（﹣1+2022）×＝（﹣1+2022）×（1+＝2022﹣1﹣2022＝﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．題型三利用整體思想代入求值題型三利用整體思想代入求值【例題3】(2023?嶧城區(qū)校級(jí)模擬）已知a=5?26，b=5+26，則a2+b2﹣3A．5 B．65 C．95 D．135【分析】由已知可得a﹣b＝﹣46，ab＝1，因?yàn)樵剑剑╝﹣b）2﹣ab，再整體代入即可．【解答】解：∵a=5?26，b=5+2∴a﹣b＝﹣46，ab＝1，∴原式＝（a﹣b）2﹣ab＝96﹣1＝95．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算，熟練掌握計(jì)算法則是關(guān)鍵．【變式3-1】(2023秋?邵陽(yáng)縣期末）若a＝1+2，b＝1?2，則代數(shù)式A．3 B．±3 C．5 D．9【分析】首先把所求的式子化成(a?b)【解答】解：原式=(a?b故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確對(duì)所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．【變式3-2】(2023春?藁城區(qū)校級(jí)月考）已知a=3+1，b=3A．?23 B．23 C．43【分析】由題意可得ab＝2，a﹣b＝2，a+b＝23，再整理所求的式子，代入運(yùn)算即可．【解答】解：∵a=3+1，b∴ab＝（3+1）×（3a﹣b=3+1﹣（a+b=3+1+3∴b=b=?(a+b)(a?b)=?2=?23故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【變式3-3】(2023秋?澧縣期末）已知x=13?22，y=13+22，【分析】先分母有理化，進(jìn)一步得到xy，x+y，再將xy【解答】解：∵x=13?22=3+22，y∴x+y＝6，xy＝9﹣8＝1，∴xy+yx?4=故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，關(guān)鍵是求出xy，x+y的值．【變式3-4】(2023春?渝中區(qū)校級(jí)期中）已知：x=2+1，y（1）x2+2xy+y2；（2）x2+y2．【分析】先計(jì)算出x+y與xy的值，再把代數(shù)式變形得到（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2；（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，然后分別利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵x=2+1，y∴x+y＝22，xy＝2﹣1＝1，（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（22）2＝8；（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝8﹣2×1＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．【變式3-5】計(jì)算求值a，b為實(shí)數(shù)，且a+b＝﹣8，ab＝8，求bba+a【分析】首先由a+b＝﹣8，ab＝8，求得a2+b2＝48，然后化簡(jiǎn)二次根式，代入即可求得答案．【解答】解：∵a+b＝﹣8，ab＝8，∴a，b同號(hào)，且均為負(fù)數(shù)，∴a2+b2+2ab＝64，∵ab＝8，∴a2+b2＝48，∴原式＝﹣baba?aabb=（?ba?【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)．求得a2+b2＝48是解題的關(guān)鍵．【變式3-7】已知x2﹣3x+1＝0，求x2【分析】把已知等式兩邊除以x得到x+1x=【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣3+1x=0，即∴原式==3=5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．也考查了代數(shù)式的變形能力．【變式3-8】(2023秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）已知a(a+b)=3b(a【分析】根據(jù)已知可得（a?5b）（a+3b）＝0，從而可得a=5b，進(jìn)而可得a【解答】解：∵a(a+∴（a）2+ab=3ab+15（b∴（a）2﹣2ab?15（b）2∴（a?5b）（a+3∵a+3b∴a?5b∴a=5b∴a＝25b，∴2a+3b+=50b+3b+5b=58b＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3-9】（1）已知39+x2?（2）已知29?x2?【分析】（1）根據(jù)平方差公式可以解答本題；（2）根據(jù)題目中的式子，進(jìn)行變形建立與所求式子之間的關(guān)系，注意所求的式子的結(jié)果是正值．【解答】解：（1）∵39+x∴（39+x2?15+x∴39+x2﹣15﹣x2＝2（39+x∴24＝2（39+x∴39+x（2）∵29?x∴（29?x2?∴29?x∴29?x∴（29?x2+15+∴29?x【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡(jiǎn)求值的方法．題型四利用二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分求值題型四利用二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分求值【例題4】已知a，b為實(shí)數(shù)，m，n分別表示5?7的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且am+bn＝0，求代數(shù)式a【分析】根據(jù)已知首先求出m，n的值，進(jìn)而化簡(jiǎn)原式得出2a+3b＝0，b＝0，求出即可．【解答】解：∵m，n分別表示5?7∴m＝2，n＝5?7?2＝3∴am+bn＝a×2+（3?7）b＝2a+（3?7）∴a∴a2b【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，解決本題的根據(jù)是求出m，n的值．【變式4-1】(2023秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）如果5+5和5?2小數(shù)部分分別為a，b，那么ab+2＝【分析】先估算5，進(jìn)而求得a、b的值，再代值計(jì)算便可．【解答】解：∵2＜5∴7＜5+5＜8，0∵5+5和5?2小數(shù)部分分別為a，∴a＝5+5?7=5?∴ab+2故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，二次根式除法運(yùn)算，正確估算無(wú)理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】(2023秋?宛城區(qū)校級(jí)月考）已知x=12+3，（1）求x2+y2﹣xy的值；（2）若x的整數(shù)部分是a，y的小數(shù)部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．【分析】（1）利用分母有理化化簡(jiǎn)x和y，并將所求式變形后代入可答案；（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可知0＜2?3＜1，3＜2+3＜4，可得【解答】解：（1）∵x=12+3=2?3(2+3∴x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy＝（2?3+2+3）2﹣3（2?＝16﹣3＝13；（2）∵1＜3∴0＜2?3＜1，3＜2∴a＝0，b＝2+3?3∴5a2021+（x﹣b）2﹣y＝5×0+（2?3?3+1）＝（3﹣23）2﹣2?＝9﹣123+12﹣2＝19﹣133．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式和分母有理化是解本題的關(guān)鍵．【變式4-3】(2023秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）（1）已知7+7的小數(shù)部分是a，7?7的小數(shù)部分是b，求a+（2）設(shè)5+3的整數(shù)部分用a表示，小數(shù)部分用b表示，3?3的整數(shù)部分用c表示，小數(shù)部分用d表示，求ab﹣【分析】（1）由4＜7＜9，得出2＜7＜3，確定7+7的小數(shù)部分，可得a的值，然后確定用7?7的小數(shù)部分，可得b的值，把a(bǔ)、b值代入代數(shù)式（2）同理估算3的大小，確定a，b，c，d的值，代入所求式計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵4＜7＜9，∴2＜7∴9＜7+7＜10，4＜7∴7+7的整數(shù)部分是9，小數(shù)部分a=7+7﹣9=7?2，7?∴a=7?2，b＝3∴a+b=7?2+3（2）∵1＜3＜4，∴1＜3∴6＜5+3＜7，1＜3∴a＝6，b＝5+3?6=3?1，c＝1，d＝3∴ab﹣cd＝6（3?1）﹣1×（2?3）＝63?6﹣2+【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，應(yīng)從估算無(wú)理數(shù)7或3的范圍入手．【變式4-4】(2023秋?古田縣期中）已知a+b?33+|b+3|＝b+3，x為a+b的整數(shù)部分，y為a+b的小數(shù)部分．求2x﹣3y【分析】由a+b?33+|b+3|＝b+3，可得a+b＝33，再根據(jù)x為a+b的整數(shù)部分，y為a+b的小數(shù)部分，確定x、y【解答】解：由a+b?33+|b+3|＝b+3，可得a+b∵5＜33＜6，x為a+b的整數(shù)部分，y為∴x＝5，y=33∴2x﹣3y＝10﹣3（3