安徽省合肥市第四十六中學2023-2024學年九年級上學期開學考試數學試題

安徽省合肥四十六中九年級（上）開學數學試卷

一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.下列各數中，與百是同類二次根式的是（）

A.V50B.V24C.V27

2.用配方法解下列方程時，配方錯誤的是(

人.%2+2%-99=0化為(％+1)2=1008.2%2-7%-4=0化為(％-1丫=應

I4)16

C.x?+8x+9=0化為(X+4)2=25D.3%2-4x-2=0化為1％—

3.某企業(yè)今年1月份產值為。萬元，2月份比1月份減少了10%,3月份又開始了回暖，已知3,4月份平均

月增長率為10%,則4月份的產值是（）

A.(a—10%)(a+20%)萬元B.a(l—10%)(1+10%)2萬元

C.a(l_10%)(l+20%)萬元D.q(l+10%)萬元

4.定義：如果一元二次方程依2+笈+c=o（aw0）滿足“+c=0,那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程.已

知水2+區(qū)+C=0（4/（））是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數根，則下列結論正確的是（）

A.。=CB.a=Z?C.h=cD.a=h=c

5.如圖，在△ABC中，點E,D,尸分別在邊A3、BC、CA上，且￡>E〃C4,。尸〃84.下列四個判斷中,

不正確的是（）

A.四邊形AEDF是平行四邊形

B.如果N6AC=9O。，那么四邊形AEDP是矩形

C.如果平分NA4C，那么四邊形AEDF是菱形

D.如果AD_LBC且AB=AC,那么四邊形4EQF是正方形

6.如圖，任意四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是A8,BC,CD,D4上的點，對于四邊形EFGH的形

狀，某班學生在一次數學活動課中，通過動手實踐，探索出如下結論，其中錯誤的是（）

A

H

D

A.當E,F,H是各邊中點，且AC=3￡>時，四邊形EFGH為菱形

B.當E,F,G,H是各邊中點，且時，四邊形EFGH為矩形

C.當E,F,G,“不是各邊中點時，四邊形EFGH可以為平行四邊形

D.當E,F,G,〃不是各邊中點時，四邊形EFGH不可能為菱形

7.如圖，在正方形ABC。中，對角線AC與8。相交于點O,E為BC上一點，CE=5,B為OE的中點.若

△CE尸的周長為18,則0尸的長為（）

57

A.3B.4C.-D.-

22

8.為了了解班上體育鍛煉情況，班主任從八（1）班45名同學中隨機抽取了8位同學開展“1分鐘跳繩”測試,

得分如下（滿分10分）：10,6,9,9,7,8,9,6,則以下判斷正確的是（）

A.這組數據的眾數是9,說明全班同學的平均成績達到9分

B.這組數據的方差是2,說明這組數據的波動很小

C.這組數據的中位數是8,說明8分以上的人數占大多數

D.這組數據的平均數是8,可以估計班上其他同學的平均成績大約也是8分

9.對于函數y=（x+2）2—9,下列結論錯誤的是（）

A.圖象頂點是（一2,—9）B.圖象開口向上

C.圖象關于直線x=—2對稱D.函數最大值為-9

10.如圖，在菱形A8CD中，AB=4,￡是AB邊上一點，且NA=NED戶=60。，有下列結論：

①△￡>￡：/是等邊三角形；

②ZADE=ZBEF；

③△BE尸周長的最小值為4+；

④ABE尸面積的最大值為由.

其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.）

11.有一組數據：5,2,a,5,2,6,它們的中位數是4.5,則這組數據的方差是.

12.若〃八〃是方程f+%—1=0的兩不同的根，則加+"+〃的值為.

13.某拋物線的頂點為（3,-4）,并且經過點（4,-2）,則此拋物線的解析式為.

14.如圖，直角邊分別為3,4的兩個直角三角形如圖擺放，M,N為斜邊的中點，則線段的長為

15.在某張三角形紙片上，取其一邊的中點，沿著過這點的兩條中位線分別剪去兩個三角形，剩下的部分就是

如圖所示的四邊形；經測量這個四邊形的相鄰兩邊長為10cm、6cm,一條對角線的長為8cm；則原三角形紙

片的周長是.

10

16.如圖，在邊長為2的菱形ABCO中，NA=60。，M是4。邊的中點，N是AB邊上的一動點，將

沿MN所在直線翻折得到AA'MN,連接A'C,則A'C長度的最小值是.

三、解答題

17.（6分）計算：V18-4V244-V3.

18.（6分）解方程：x（x-4）=5.

19.（10分）如圖，在中，NACB=90。，點。、E分別是邊AB、AC的中點，延長OE至凡使

得A廣〃8，連接BF、CF.

（1）求證：四邊形4FC。是菱形；

（2）當AC=4,3c=3時，求的長.

20.（10分）如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離X（單位：m）之間的關系是

125

y=-----X2+—x+—.

■1233

求：

（1）鉛球在行進中的最大高度；

（2）該男生將鉛球推出的距離是多少m?

21.（12分）某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元.為了擴大銷售，增加贏利，

盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施.經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出

2件.求：

（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？

（2）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設計方案.

22.（12分）己知正方形A8CO,點E在AB上，點G在40,點尸在射線BC上，點，在CO上.

（1）如圖1,/G，求證：BF=AE+AG-,

（2）如圖2,DEA.DF,P為EF中點，求證：BE=41PC；

（3）如圖3,EH交FG于O,Z.GOH=45°,若8=4,BF=DG=\,則線段E”的長為.

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.【分析】先把各項化簡，再根據被開方數相同的即為同類二次根式.

【解答】解：A、同=5血，與百不是同類二次根式，故錯誤；

B、后=2折，與也不是同類二次根式，故錯誤；

C、歷=34,與省是同類二次根式，故正確；

D、￡=母，與G不是同類二次根式，故錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了同類二次根式，解決本題的關鍵是熟記同類二次根式的定義.

2.【分析】根據配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式

兩邊同時加上一次項系數一半的平方分別進行配方，即可求出答案.

【解答】解：A、由原方程，得V+2x=99,

等式的兩邊同時加上一次項系數2的一半的平方1,得（x+l）2=100；

故本選項正確；

B、由原方程，得2丁一7%=4,

等式的兩邊同時加上一次項系數-7的一半的平方，得，,

I4j16

故本選項正確；

c、由原方程，得％?+8%=-9,

等式的兩邊同時加上一次項系數8的一半的平方16,得（x+4/=7；

故本選項錯誤：

D、由原方程，得3f-4x=2,

A7

化二次項系數為1,得d一2x=*

33

等式的兩邊同時加上一次項系數的一半的平方小，得(x—2);

39{3)9

故本選項正確.

故選：C.

【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用.選擇用配方法解一元二次方

程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.

3.【分析】根據3月份的產值是a萬元，用〃把4月份的產值表示出來(1-10%”，進而得出5月份產值列

出式子(1-10%)ax(l+15%)萬元，即可得出選項

【解答】解：1月份的產值是a萬元，

則：2月份的產值是(1—10%)。萬元，

?；3,4月份平均月增長率為10%,

，4月份的產值是(1-10%)(1+10%)2a萬元，

故選：B.

【點評】此題主要考查了列代數式，解此題的關鍵是能用a把3、4月份的產值表示出來.

4.【分析】因為方程有兩個相等的實數根，所以根的判別式△=從一4。。=0,又a+。+。=0，即

b=-a—c,代入/-4。。=0得(一a—，丫―4ac=0,化簡即可得到a與c的關系.

【解答】解：?.?一元二次方程打2+法+°.=0(4#0)有兩個相等的實數根，

△=b1-4QC=0,

又a+6+c=0,即Z?=—a—c?

代入〃-4。。=0得-4訛=0,

即(a+c)~-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=(tz-c)2=0,

/.a=c.

故選：A.

【點評】一元二次方程根的情況與判別式△的關系：

(1)△aOo方程有兩個不相等的實數根；

(2)△=()=＞方程有兩個相等的實數根；

(3)Av0o方程沒有實數根.

5.【分析】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，有一個角是90。的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相

等的平行四邊形是菱形，四個角都是直角，且四個邊都相等的是正方形.

【解答】解：A、因為DE〃G4所以四邊形AEC尸是平行四邊形.故A選項正確.

B、ABAC=90°,四邊形AE￡＞尸是平行四邊形，所以四邊形AE。尸是矩形.故B選項正確.

C、因為A。平分NR4C,所以AE=Z)E,又因為四邊形A￡Z)F是平行四邊形，所以是菱形.故C選項正確.

D、如果AD_L3C且AB=3C不能判定四邊形AED尸是正方形，故D選項錯誤.故選：D.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知

識點.

6.【分析】連接四邊形各邊中點所得的四邊形必為平行四邊形，根據中點四邊形的性質進行判斷即可.

【解答】解：A.當E,F,G,"是四邊形ABC。各邊中點，且=時，存在EF=FG=GH=HE,

故四邊形EFG”為菱形，故A正確；

B.當E,F,G,”是四邊形ABCO各邊中點，且ACJ_3E＞時，存在NEFG=NFGH=NGHE=90。，故

四邊形EFGH為矩形，故B正確；

C.如圖所示，若EF〃HG，E尸=〃G,則四邊形EFGH為平行四邊形，此時E,F,G,”不是四邊形

ABC。各邊中點，故C正確；

D.如圖所示，若EF=FG=GH=HE,則四邊形EFG”為菱形，此時E,F,G,，不是四邊形ABC。各

邊中點，故D錯誤；

故選：D.

【點評】本題主要考查了中點四邊形的運用，解題時注意：中點四邊形的形狀與原四邊形的對角線有關.

7.【分析】先根據直角三角形的性質求出OE的長，再由勾股定理得出CD的長，進而可得出8E的長，由三

角形中位線定理即可得出結論.

【解答】解：；CE=5，△€￡尸的周長為18,

/.。尸+￡F=18—5=13.

?.?尸為DE的中點，ADF=EF.

?/4c￡>=90。，；.CF=-DE,

2

:.EF=CF=LDE=6.5,：.DE=2EF=13,

2

/.CD=y/EP-CE2=A/132-52=12.

???四邊形ABC。是正方形，

BC=CD=12,。為8。的中點,

，OF是4BDE的中位線，

117

OF=1(fiC-CE)=1(12-5)=-.

故選：D.

【點評】本題考查的是正方形的性質，涉及到直角三角形的性質、三角形中位線定理等知識，難度適中.

8.【分析】根據眾數、平均數、方差以及中位數的定義，求得它們的值，進而得出結論.

【解答】解：A.這組數據的眾數是9,而全班同學的平均成績達到8分，故本選項錯誤；

B.這組數據的方差是2,說明這組數據的波動較大，故本選項錯誤；

C.這組數據的中位數是8.5,說明8分以上的人數占大多數，故本選項錯誤；

D.這組數據的平均數是8,可以估計班上其他同學的平均成績大約也是8分，故本選項正確；

故選：D.

【點評】本題主要考查了眾數、平均數、方差以及中位數，平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數

據的個數.它是反映數據集中趨勢的一項指標.眾數也是數據的一種代表數，反映了一組數據的集中程度，眾數

可作為描述一組數據集中趨勢的量.

9.【分析】根據函數解析式和二次函數的性質可以判斷各個選項中的說法是否正確，本題得以解決.

【解答】解：.??函數y=(x+2)2-9=x2+4x—5,

...該函數圖象的頂點坐標是(-2,-9),故選項A正確；

?=1>0,該函數圖象開口向上，故選項B正確；

該函數圖象關于直線x=-2對稱，故選項C正確；

當*=—2時，該函數取得最小值,=一9,故選項D錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解

答.

10.【分析】根據等邊三角形與菱形的性質解答即可.

【解答】解：連接BO,

C

B

:菱形ABCO中，ZA=60°.

，△ADB與△88是等邊三角形，

；?N￡>8￡=NC=60。，BD=DC，

,/4EDF=60°,/?NBDE=Z.CDF,

在ABDE和4CDF中

NDBE=NC,NBDE=NCDF,BD=CD,

^DBEgADCF，

DE=DF,NBDE=NCDF,BE=CF,

NEDF=ZBDC=60°，

??.△DE廣是等邊三角形，故①正確；

NDEF=60°,；?ZAED+乙BEF=120°.

■:ZAED+ZADF=180°=120°，

,ZAED+ZBEF=ZAED+ZADE,

即NAOE=4石尸，故②正確；

ABEF的周長=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

；?等邊三角形公DEF的邊長最小時，ABEF的周長最小，

當。時，DE最小=26

△3E尸周長的最小值為4+2百，故③正確；

,菱形A8CD邊長為4,ABAD=60°；

；?△ABD與△38為正三角形，

ABDF/△ADE,

/.AE=BF,

VAB=4,：.BE+BF=4,

設8E=x,貝lj8產=4-x,

11/Q

/.z\BEF的面積=5BE,B/7sinZ.EBF=—x-（4-x）sinl20°=--x2+y/3x

當x=2時，

BEF的面積最大值為2?+2\/3=

4

故④正確；

綜上正確的有①②③④共4個.

故選：D.

【點評】本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用

輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分分，共24分.）

H.I

3

【分析】先根據中位數的定義求出。的值，再求出這組數據的平均數，最后根據方差公式

21②+…+工

51=-%-X進行計算即可.

n

【解答】解：???數據：5,2,a,5,2,6,它們的中位數是4.5,

a=4,

，這組數據的平均數是(5+2+4+5+2+6)+6=4,

2227

...這組數據的方差是：-+（4-4）+（5-4）+

63

7

故答案為：-

3

【點評】本題考查方差和中位數：一般地設幾個數據，%,々,…%的平均數為X，則方差

222

-x)+(x2-x)+.?.+(%?-x)],中位數是將一組數據從小到大(或從大到小)重新排列后,

最中間的那個數(或最中間兩個數的平均數).

12.-1

【分析】由一元二次方程的解可得出陽2+加=1,進而可得出力加2=用①，由根與系數的關系可得出

m+n=-l@,將①②代入加+4+〃中即可求出結論.

【解答】解：???加是方程f+x-l=O的根，

加2+〃？=1,

等式兩邊同時乘用，得：m3+irr=m.

；〃?、"是方程%2+%—1=0的兩不同的根，

:?〃l+n=—1，

nr'+trr+n=m+n=-\

故答案為：-1.

【點評】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數的關系，利用一元二次方程的解及根與系數的關系，找

出川+"="2,〃=—1是解題的關鍵.

13.y=2(—)2-4

【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則可設頂點式y=a(x—3f—4,然后把(4,—2)代入求出。的值即

可.

【解答】解：設拋物線解析式為y=a（九一3）2—4,

把（4,—2）代入得a?（4—3）2-4=-2,解得a=2,

所以拋物線解析式為y=2（x-3）2-4,

故答案為y=2（%-3）2-4.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用

待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時.，常設其解析式為頂點式來求解；當

已知拋物線與％軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.本題的關鍵是利用對稱性確定拋物線與

X軸的交點坐標.

14.-y/2.

2

【分析】根據勾股定理求出斜邊長，根據直角三角形的性質得到CM=3,CN=-,ZMCB=ZB,

22

4NCD=ND,根據勾股定理計算即可.

【解答】解：連接CM、CN,

由勾股定理得，AB=DE=d3?+42=5,

V△ABC△C￡）石1是直角三角形，M,N為斜邊的中點，

/.CMCN=~,NMCB=4B,4NCD=ZD,

22

/.AMCN=90°.：.MN=-42,

2

故答案為：一.

2

【點評】本題考查的是直角三角形的性質、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

是解題的關鍵.

15.48或（32+8舊）團

【分析】首先補全三角形進而利用平行四邊形的性質得出各邊長進而得出答案.

【解答】解:如圖1：

10

周長為：2x(10+8+6)=48(cm);

如圖2：

,:BD=6,BC=8,C￡>=10,BD2+BC'-CD2,

，△38是直角三角形，

/.AC=12,AB=VAC2+BC2=4>/13,

周長為2x00+4713+6)=(32+89)(cm)；

綜上所述：原三角形紙片的周長是48或卜2+8屈卜01.

故答案為：48或卜2+8，15km.

【點評】此題主要考查了圖形的剪拼，利用勾股定理求出48的長是解題關鍵.

16.x/7-1

【分析】根據題意，在N的運動過程中A在以M為圓心、A。為直徑的圓上的弧AQ上運動，當4c取最小

值時，由兩點之間線段最短知此時例、A'、C三點共線，得出A'的位置，進而利用銳角三角函數關系求出

A'C的長即可.

【解答】解：如圖所示：是定值，4c長度取最小值時，即A在MC上時，過點M作M尸J_。。于

點F,

?.?在邊長為2的菱形ABCD中，4=60。，M為4。中點，

/.2MD=AD=CD=2,^FDM=60°，

/.AFMD=30°,FD=-MD=-,

22

__________

:.FM=DMxcos30°=^-,/.MC=y]FM2+CF2=V7,

AC=MC-=-1.

故答案為：y/l—I.

【點評】此題主要考查了菱形的性質以及銳角三角函數關系等知識，得出A點位置是解題關鍵.

三、解答題

17.【分析】先計算二次根式的除法運算，再化簡二次根式為最簡二次根式，最后合并同類二次根式即可.

【解答】解：V18-4^1+V24-A/3=3V2-2V2+2V2=3V2.

【點評】本題主要考查了二次根式的加減及除法運算，注意理解最簡二次根式的概念.

18.【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：方程整理得：X2-4X-5=0,

即(x-5)(x+l)=0.

解得：玉=5,x2=-1.

【點評】此題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解本題的關鍵.

19.【分析】（1）根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）如圖，作加，8C交BC的延長線于H.在&△6”中，根據勾股定理計算即可.

【解答】（1）證明：：AF//CD，,AEAF=NECD,

是AC中點，AE=EC,

在4AEF和ACED中，

ZEAF=ZECD

<AE=EC

ZAEF=NCED

：.△AEF/△CEO,/?AF=CD

...四邊形AFCD是平行四邊形，

,/ZACB=90°>AD=DB,:,CD=AD=BD,

，四邊形AFCD是菱形.

（2）解：如圖，作"7"L3C交BC的延長線于

?..四邊形AFCZ）是菱形，

13

**?AC_LDF,EF=DE=—BC=—，

22

???NH=ZECH=NCEF=90。，

???四邊形FHCE是矩形,

39

：?FH=EC=2,EF=CH=-,BH=CH+BC=一

22

V97

在RtABHF中,BF=F

【點評】本題考查菱形的判定和性質、三角形的中位線定理、直角三角形斜邊中線的性質、矩形的判定和性

質、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用

輔助線，構造直角三角形解決問題.

20.【分析】（1）將所給二次函數寫成頂點式，則頂點縱坐標即為所求的最大高度；

i9s

（2）令y。得：一上》2+*》+士=0,解方程，保留正值，即為該男生將鉛球推出的距離.

1233

1，251/人20

【解答】解:y=---x+—%+—=---（x-4）+3

123312'）

<0

12

y$的最大值為3

鉛球在行進中的最大高度為3m.

（2）令y=0得：--5-X2+2X+3=O

1233

解方程得，玉=10,x2=-2（負值舍去）,

該男生把鉛球推出的水平距離是10m.

【點評】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，可以用配方法寫成頂點式求得；同時本題還考查了二次

函數與一元二次方程的關系及解一元二次方程，本題屬于中檔題.

21.【分析】（1）總利潤=每件利潤x銷售量.設每天利潤為w元，每件襯衫應降價x元，據題意可得利潤表達

式，再求當卬=1200時x的值；

（2）根據函數關系式，運用函數的性質求最值.

【解答】解：設每天利潤為w元，每件襯衫降價x元，

根據題意得W=（40-JC）（20+2X）=-2^2+60x+800=-2（x-15）2+1250

（1）當卬=1200時,-2x2+60x4-800=1200,

解之得無1=10,X2=20.

根據題意要盡快減少庫存，所以應降價20元.

答：每件襯衫應降價20元.

（2）解：商場每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x—15『+1250.

所以當每件襯衫應降價15元時，商場盈利最多，共1250元.

答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天盈利最多.

【點評】本題重在考查根據題意寫出利潤的表達式是此題的關鍵.

22.【分析】（1）作GW_L3c于證四△GMF,得AE=EM,所以

BF=AE+AG.

（2）作E攵〃CP交BC于。.證EQ=2CP,EQ=eBE可得BE=8cp.

（3）作3"〃G廣交AQ于作■BN〃EH交.CD于N,得=GF,BF=MG=1.BN=EH,

延長。C到P,使CP=4"=2,證△3AA7/△8CP得NASA7=NC3P,BM