控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

關(guān)于控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

如果系統(tǒng)受到擾動后，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動取消后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性的。否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以這樣定義：若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復原來平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定；否則，稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定。

必須指出：穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入無關(guān)。第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天5.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件

若系統(tǒng)初始條件為零，對系統(tǒng)加上理想單位脈沖信號，系統(tǒng)的輸出就是線性系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù)，就相當于擾動信號作用下輸出偏離原平衡狀態(tài)的情況。如果當時，脈沖過渡函數(shù)收斂于系統(tǒng)原平衡工作點，即下式成立：則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為:

設(shè)特征根互不相等，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可改寫如下：閉環(huán)特征根為:

則系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換為：第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天得系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù)為（響應(yīng)）(1)若為實數(shù)若系統(tǒng)穩(wěn)定(2)若為復數(shù)發(fā)散第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根都具有負實部或都位于S平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)若特征根為k個實根，r個復數(shù)根，第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天★★

控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部。系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)極點，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件也可以表示為：閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部具有負實部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部位于平面的S左半面內(nèi)。第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例

一個單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試說明系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)穩(wěn)定第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別（必要條件）設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為如下標準形式：2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)5.2代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天Routh穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)特征方程的各項系數(shù)排列成Routh判據(jù)表(n=5為例)：Routh穩(wěn)定判據(jù)：Routh表第一列元素符號一致且不等于0。第一列元素符號變化的次數(shù)就是正實部根的數(shù)目。第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)

二階系統(tǒng)勞斯陣列為：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2a0>0，a1>0，a2>0從而，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

三階系統(tǒng)勞斯陣列為：s3

a0

a2s2

a1

a3s1 0s0

a3從而，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的各項系數(shù)大于零，且：

a1a2-a0a3>0第13頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)列寫勞斯陣列表如下:解：(1)特征方程的所有系數(shù)均為正實數(shù)第一列的系數(shù)都為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根的分布情況。(2)列寫勞斯陣列表如下:解：(1)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。有兩個根位于s平面的右半平面第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，則確定具有正實部根的個數(shù)。答案：系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個根具有正實部,即有兩個根位于s平面的右半平面第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天勞斯判據(jù)的特殊情況１、勞斯表中某一行第一列元素為零，其余不為零或不全為零，這時可用一個很小的正數(shù)來代替這個零，然后繼續(xù)勞斯陣列表的運算。若第一列元素不改變符號，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解：(1)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。例系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第一列為零(2)列寫勞斯陣列表如下:系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個根具有正實部第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個根具有正實部第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

若勞斯陣列表中某一行（設(shè)為第k行）的所有系數(shù)均為零，則說明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點對稱的根。(3)解輔助方程，得到所有數(shù)值相同、符號相異的根。(1)用(k-1)行元素構(gòu)成輔助方程，輔助方程的最高階次為(n-k+2)，然后s的次數(shù)遞降2。(2)將輔助方程對s求導，其系數(shù)作為全零行的元素，繼續(xù)完成勞斯表。第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天(2)列寫勞斯陣列表如下:解：(1)特征方程的所有系數(shù)均為正實數(shù)例系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解輔助方程得:第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若不穩(wěn)定，則確定具有正實部根的個數(shù)。第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

練習系統(tǒng)特征方程為第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k的范圍解(1)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：特征方程為：(2)列勞斯陣列表系數(shù)都為正實數(shù)第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天(2)列勞斯陣列表

0<K<30,

其穩(wěn)定的臨界值為30。若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其充要條件是勞斯陣列表的第一列均為正數(shù)，即K>0，30-K>0

第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天按穩(wěn)定要求確定T的臨界值。解勞斯陣列表為即必須T>25系統(tǒng)才能穩(wěn)定。例11系統(tǒng)特征方程式為第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1.輔助函數(shù)控制系統(tǒng)的方框圖開環(huán)頻率特性閉環(huán)特征方程一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為取輔助函數(shù)：第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天(3)F(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)只相差常量1，的幾何意義為：平面的坐標原點就是平面上的點。輔助函數(shù)F(s)的特點：(1)F(s)的零點和極點分別為閉環(huán)極點、開環(huán)極點。(2)F(s)的零點、極點個數(shù)相同（n個)。第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

假設(shè)復變函數(shù)為單值，且除了S平面上有限的奇點外，處處都連續(xù),也就是說在S平面上除奇點外處處解析，那么，對于S平面上的每一個解析點，在平面上必有一點（稱為映射點）與之對應(yīng)。映射的概念：例如，當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天S平面上的點在F(S）平面上的映射第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天設(shè)在S平面上，除有限個奇點外，為單值的連續(xù)函數(shù)，若在S平面上任選一封閉曲線，并使不通過的奇點，則S平面上的封閉曲線

映射到F(s)平面上也是一條封閉曲線。當解析點s按順時針方向沿變化一周時，則在平面上，曲線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的周數(shù)N（每旋轉(zhuǎn)2

弧度為一周），或按逆時針方向包圍F(s)平面原點的次數(shù)，等于封閉曲線內(nèi)包含F(xiàn)(s)的極點數(shù)P與零點數(shù)Z之差。即 若N>0，則按逆時針方向繞F(s)平面坐標原點N周；若N<0，則按順時針方向繞F(s)平面坐標原點N周；若N=0，則不包圍F(s)平面坐標原點。順包次數(shù)N=Z-P第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天5.映射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用⒈開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程當時，。因而，研究對原點的包圍情況，與研究對點的包圍情況相同。這樣，對閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究，就轉(zhuǎn)化為開環(huán)傳遞函數(shù)對點的包圍情況的研究。第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天封閉曲線的選擇研究閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也可以歸結(jié)為研究在S平面右半平面內(nèi)有無零點。根據(jù)映射定理，如果選擇一條封閉曲線L能包圍在S平面右半平面內(nèi)的所有可能的零點和極點，根據(jù)對原點的包圍情況即G(S)H(S)對點（-1，j0）的包圍情況，便可推斷F(S)在右半平面有無零點和極點或它們的差值情況，進而可推斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。G(s)H(s)在虛軸上無極點的封閉曲線在虛軸上有極點的封閉曲線0S平面S平面0第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，GH平面上的奈奎斯特曲線當時，按逆時針方向包圍點P周。（P為右半平面極點個數(shù)）三、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時，可能會遇到下列三種情況：1.當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點都位于S平面左半部時(P=0）,如果系統(tǒng)的奈氏曲線

不包圍GH平面的點（N=0），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的(z=p-N=0），否則是不穩(wěn)定的；

第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2.當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有p個位于S平面右半部的極點時，如果系統(tǒng)的奈氏曲線逆時針包圍點的周數(shù)等于位于S平面右半部的開環(huán)極點數(shù)(N=P)，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的(Z=P-N=0),否則是不穩(wěn)定的；

4.在有些情況下，

曲線恰好通過GH平面的點（注意不是包圍），此時如果系統(tǒng)無位于S平面右半部的開環(huán)極點，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.如果系統(tǒng)的奈氏曲線順時針包圍點（N<0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(Z=P-N>0）。第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天5.6.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例例5-9設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:當或時，用奈奎斯特判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為:

第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天G(s)平面圖5-35例5-9的奈奎斯特圖00<K<1-K-1ReImK>1第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天當或時作出的的,()曲線如圖5-35所示。由于()在右半平面有一個極點()即，屬于開環(huán)不穩(wěn)定情況。當時，曲線①按逆時針方向包圍一周(圖中為半周；)，按奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，可判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定而曲線②未對包圍，可知這時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。另外，由勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為，這也進一步證明了如上分析的正確性。第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天如圖5-41所開環(huán)頻率特性曲線穿過左邊的實軸時稱“穿越”。當增大時，奈奎斯特曲線從上向下穿越負實軸上的區(qū)段(曲線上升，增大)時稱“正穿越”，反之，奈奎斯特曲線從下向上穿越負實軸上的區(qū)段（曲線下降，減小）時稱“