2023-2024學(xué)年河北省唐山市高三（上）摸底數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省唐山市高三(上)摸底數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x\x2-x-2<0},則MnN=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1)

2.已知z=罟，則z-

2-2iz=()

A.1B.0C.iD.-i

3.已知荏=(1,1),AC=(2,1)，則就.前=()

A.-1B.2C.-2D.1

4.已知曲線/(x)=2'cosx在x=0處的切線為則I的斜率為()

A.In2B.—Zn2C.1D.-1

5.己知直線八x-y+2=0,圓C：x2+y2=r2(r>0),若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線1的距離都等于C，

則r=()

A.2B.4C.D.8

6.設(shè)甲：｛的｝為等比數(shù)列;乙:｛an-o?+i｝為等比數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

7.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E(-1,5)是拋物線C：y2=2mx的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線/與拋物線C交于A,B兩

點(diǎn)，若04L0B,則△力。B的面積為()

A.B.8/3C.4HD.8AT5

8.設(shè)a,06(0,分，P=，~^sinacosS+cosas譏20.當(dāng)P取得最大值時(shí)，a,￡滿足()

A.tana=y/_2>tan0=V_3B.tana=tan。=3

C.tana=7_2>tan/?—早D.tana—?，tan/?=—

二、多選題(本大題共4小題，共20.()分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.有兩組樣本數(shù)據(jù)，分別為與，&…分和yi，丫2,、3,、4,且平均數(shù)￡=90與歹=80,標(biāo)準(zhǔn)差分別為6和4,

將兩組數(shù)據(jù)合并為Z「Z2Zio,重新計(jì)算平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，則()

A.平均數(shù)為85B,平均數(shù)為86C.標(biāo)準(zhǔn)差為10D.標(biāo)準(zhǔn)差為2，■正

10.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,/'(2%-1)是周期為2的奇函數(shù)，則()

A./(1)=0B./(2)=0c./■⑶=0D./(4)=0

11.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是％?？诳諝獾臏囟仁侨纭?那么tmin后物體的溫度。(單

位：久)可由公式。=f(t)=狐+-/比-上t求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常

數(shù).已知%>詼>0.()

A.若k=ln2,%=5。0，則經(jīng)過(guò)后，該物體的溫度降為原來(lái)的[

B.若d=58°，則存在t，使得經(jīng)過(guò)tmin后物體的溫度是經(jīng)過(guò)2tmin后物體溫度的的2倍

C.若。<h<12ct3,且G+t3=2t2,則/G)+/(t3)>2/(t2)

D.若0cti<12Vt3,且t]+t3=2t2,f'(t)是f(t)的導(dǎo)數(shù),則f'(ti)+f'<3)>2f(c2)

12.如圖，在三棱臺(tái)—中，下列說(shuō)法正確的是()C,

A.VB-AA^=S-BjCi

B.匕-BB1G，%1-ABC成等比數(shù)列/./

C.若該三棱臺(tái)存在內(nèi)切球，則A4==CG，乙二-----1

A

D.若該三棱臺(tái)存在外接球，則力&=BBi=CCi

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.為了解一個(gè)魚塘中養(yǎng)殖魚的生長(zhǎng)情況，從這個(gè)魚塘多個(gè)不同位置捕撈出100條魚，分別做上記號(hào)，再放

回魚塘，幾天后，再?gòu)聂~塘的多處不同位置捕撈出120條魚，發(fā)現(xiàn)其中帶有記號(hào)的魚有6條，請(qǐng)根據(jù)這一情

況來(lái)估計(jì)魚塘中的魚大概有條.

14.在圓錐P。中，0為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，且4B=「，若棱錐0—P4B為正三棱錐，則該

圓錐的側(cè)面積為.

15.已知A,B,C為/'(%)=sintox與g(x)=COS3X的交點(diǎn)，若△ABC為等邊三角形，則正數(shù)3的最小值為

16.已知F「F2是橢圓E：^+，=l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn),E上兩點(diǎn)4B滿足3布=2百,|A0|=2\AF2\,

則E的離心率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知｛冊(cè)｝和｛%｝是公差相等的等差數(shù)列,且公差d>0,｛aJ的首項(xiàng)由=1,記%為數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和,anbn=

2Sn.

(1)求的和%;

若=*；廬，的前幾項(xiàng)和為及，求證：款.

(2)cn｛7｝

18.(本小題12.0分)

在長(zhǎng)方體4BC0-&占。］。］中，AB=2AD=2,E是棱CO的中點(diǎn).

(1)求證：平面ZED11平面BE以；

(2)若異面直線EBi與DG所成角為30。，求EH】與平面NED1所成角的正弦值.

19.(本小題12.0分)

在△A8C中，AB=3,AC=2,。為BC邊上一點(diǎn)，且4D平分4B4C.

(1)若BC=3,求CD與AD；

(2)若乙4DC=60。，設(shè)=求tan。.

20.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/'(x)=X3—2x2,g(x)=32ex.

(1)討論/'(x)的單調(diào)性；

(2)若/(t)=g(s),求t—s的最小值.

21.(本小題12.0分)

甲、乙兩個(gè)袋子里各有1個(gè)白球和1個(gè)黑球，每次獨(dú)立地從兩個(gè)袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球相互交換后放回袋中,

若第次交換后，甲袋中兩個(gè)球顏色相同，記*?=否則，

n1,Xn=0.

⑴求Xi=。的概率；

(2)求Xn=1的概率；

(3)記］=￡%%,求E(Y).

22.(本小題12.0分)

已知4(3,1),B是雙曲線r：圣一5=19>0,匕>0)上的兩個(gè)點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.r的兩條漸近線互相垂

直.

(1)求「的方程；

(2)設(shè)P是雙曲線r上一點(diǎn)，直線P4PB分別與直線x=(交于M,N兩點(diǎn)，求+|BN|的最小值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：N={x\x2-%—2<0}={x|-1<%<2),

所以MCN={-1,0,1,2},

故選：C.

先解出N的范圍，進(jìn)而可得MnN.

本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由復(fù)數(shù)z=再=-"可得2=-)，

2—2i2(1—22

所以z-=

故選：C.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得z=5,得到2=一?，即可求得Z-W，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解:因?yàn)槟?(1,1),AC=(2,1).

所以元=AC-AB=(1,0)>

所以前?元=2xl+lx0=2.

故選：B.

由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解:由/'(x)=2xcosx,得/'(x)=2xln2-cosx—2xsinx,

???f'(0)=2°ln2-cosO—20sin0=ln2.

即1的斜率為)2.

故選:A.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值得答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：圓心C(0,0),則點(diǎn)C到直線/的距離&=標(biāo)鬻=

又因?yàn)閳AC上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為「，

所以圓心到直線I的距離d=r—V-2>即r=d+\T~2=2，9，

故選：C.

先求出圓心(1,0)到直線，的距離d=2,由圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離都為1,得到圓心(1,0)到直線，的距

離(1=-1,由此能出r的值.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：充分性：若｛an｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,則腎效=腎=勺2,所以｛。/即+1｝為等比數(shù)

列，公比為q2,滿足充分性.

必要性：若｛5+冊(cè)+力為等比數(shù)列，公比為一2,則箕*=-2,即箕=一2,

假設(shè)｛5｝為等比數(shù)列，此時(shí)吃=q?=-2無(wú)解，故不滿足必要性.所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.

故選:A.

根據(jù)等比數(shù)列的概念和充分必要條件的概念即可得到答案.

本題主要考查等比數(shù)列和充分必要條件，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：拋物線C：川=2皿的準(zhǔn)線方程為％=-三，由E在準(zhǔn)線上，可得一1=一三，可得血=2,

即拋物線的方程為y2=4%；

設(shè)直線，的方程為：x=7n(y-5)-l,設(shè)4(%,%),B(x2,y2),

聯(lián)立4"u?整理可得：y2—4my+20m+4=0.

(x=my—5m—1

2

J=16m—4(20m+4)>0,即—5m—1>0,

2

ViVi-20m+4,%1%2=瞽)-=(5m+1)?

因?yàn)?。?。8,所以市?而=0，

即久62+%%=°，即(5m+I)2+20m+4=0,整理可得：5m24-6m+1=0,解得：m=-1或m=-",

符合4>0,

當(dāng)m=-1時(shí)，yi+光=4m=-4,yty2=20m4-4=-16,

所以=V1+m2?J(%+迫)2-4yly2=V-2-716-4x(-16)=4<l0，

。到直線I：%+、-4=0的距離4=言，

所以S—oB=-d=1x4V10x言=8V-5；

當(dāng)根=一之時(shí)，%+丫2=4/71=yry2=20m+4=0,此時(shí)直線，過(guò)原點(diǎn)，(舍).

綜上所述：△AOB的面積為

故選：D.

由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程，再由E在準(zhǔn)線上，可得m的值，設(shè)直線[的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得

兩根之積，由。4_LOB,所以6??布=0，可得參數(shù)m的值，進(jìn)而求出|4B|的大小，求出。到直線I的距離d

的值，代入三角形的面積公式，可得AZOB的面積.

本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：令m=J(yT^cospy+sin22/?>而Hi?=(V_2cos￡)2+sin??。

=2cos20+sinz2^=1+cos20+1-cos22^=-cos22/3+cos2/3+2

=-(cos2/?-1)2+；,

???夕€(0K)，.?.當(dāng)cos20=：,即0=(時(shí),m取最大值.

則P=y/-2sinacosp+cosasin2p=msina+——-cosa)

=譏(a+9)(其中=淺備=鬻箸=Csin.=好

???a,夕6(O'])，，當(dāng)sin(a+6)=1時(shí)，P取得最大值,

此時(shí)位na=焉=「'

，當(dāng)tcma=tanp=時(shí)，P取得最大值.

故選：c.

根據(jù)題意，a,0是兩個(gè)無(wú)關(guān)的變量，可以把a(bǔ)看成未知量，0看成參數(shù)，利用輔助角公式求得P的最大值m的

最大值，進(jìn)而求出結(jié)果.

本題考查三角恒等變換，以及三角函數(shù)最值問(wèn)題，屬中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：數(shù)據(jù)Zi，Z2,…，Z10的平均數(shù)為：9*80X4=86,方差為：6_[62+(90_86)2]+白[42+(86_

80)2]=52,標(biāo)準(zhǔn)差為

故選：BD.

根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可得解.

本題考查了平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，f(2x—1)是周期為2的周期函數(shù)，

則/[2(x+2)—l]=/(2%-1),即/(2x+3)=f(2x—1),變形可得fQ+4)=f(%),

則函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

又由/(2x-1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(2x-1)=-/(-2x-1),

令x=0可得：/(-I)=-/(-I),變形可得/1)=0,

而f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則/'(3)=/(—1)=0,C正確；

同時(shí)，由于/(x)是周期為4的周期函數(shù)且入2%-1)=一/(一2%-1),則有f(2x+3)=/(2x-1)=

令％=-1可得：/(I)=-/(I),變形可得/(1)=0,A正確：

設(shè)f(x)=cosy,滿足f(2x-1)是周期為2的奇函數(shù)，

而/'(2)=cos?!=—1,/(4)=cos2n=1,則B、。錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)題意，先分析f(x)的周期性，利用奇函數(shù)的定義以及特殊值法可得/(3)、/(I)的值，可得4、C正確；

舉出反例，可得B、力錯(cuò)誤，綜合可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AC

kt

【解析】解:把k=ln2,%=58(),t=4代入。=f(t)=00+(%-60)e~,

得。=穌+(5。0-。o”e-4E2,所以。=|。0，所以含=；,故A正確；

根據(jù)題意，。0+4。0"-"=2(匹+4。0?6-2M)，化簡(jiǎn)，得8?e一履產(chǎn)一4?e七+1=0,

因?yàn)?=(-42)-4x8x1<0,所以方程無(wú)解，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?<G<t2<t3，G+13=2t2，所以e-S+e-kt3>27e-ktle-kt3=2e-ktz,

-fctl

所以/G)+/(t3)-2/(t2)=60+(%-0o)e+。0+(%-Oo)e-%-2[00+(%-/"叼=(%—

9o)(e-3+e-稔-2e-3)>0,即/(tj+/9)>2/9)，故C正確;

kt

因?yàn)?(t)=90+-拆)e七,所以尸(t)=-fc(0x-90)e-,

k

所以[G)+f(t3)-219)=一做％-?o)e-S_k?_0o)e-^+2k(%—60ye-

=_k(%-0())(e-3+e-3-2e-k^)<0,

即尸(幻+尸&3)<21(切，故。錯(cuò)誤?

故選：AC.

結(jié)合題意，代入公式，逐項(xiàng)判斷，即可得到本題答案.

本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)模型和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4,如圖1，「1cl=匕;L"IB，匕-BB[Q=，

又在梯形441BB1中，?:?:，%1-必8=匕-力叫，

A^B-AA^—匕-B&q，故A正確；

對(duì)于8,設(shè)三棱臺(tái)48C-48iCi上底面面積為S',下底面面積為S,高為心

11

則%Vc^ABC=§S/l，

又v=以認(rèn)8遙1+以-BBg+2一謝=*(S+ATSS7+S'),

以_附&=三7SSh,??(VA-BB^^2=匕Ti/Q.，C]_4BC，

%-A4]C]，匕-BB6,%L4BC成等比數(shù)列，故8正確；

對(duì)于C,如圖2,設(shè)PCJ■平面4BC,三棱錐P-4BC的內(nèi)切球?yàn)榍?,作截面4B1G與球0相切,

則球。也是三棱臺(tái)ABC-4B1G的內(nèi)切球，

由題意得44i，BBi，CG中，CG最小，即BBi，CC1不一定相等，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如圖3,若該三棱臺(tái)的外接球?yàn)榍騇,球M在上下底面的投影點(diǎn)為。1，02,

則01，。2分別為AABC,AAiBiG的外心，

:.01Al=01B1=OiQ,02A=02B=02C,

O。，平面ABC,。1。2J■平面4道傳1，

???。1&U平面4B1G，。1。21。1&,同理可證。1。21外人

???四邊形0送14。2是一個(gè)直角梯形，同理可得四邊形。1GCO2，R&B02也是直角梯形，

???三個(gè)直角梯形全等，則441=BB1=CG，故。正確.

故選：ABD.

對(duì)于4根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換進(jìn)行判斷；對(duì)于B,根據(jù)三棱臺(tái)可以拆3個(gè)三棱錐及其體積公式進(jìn)行判斷；對(duì)于C,

根據(jù)三棱錐有內(nèi)切球，作截面與內(nèi)切球相切，則此球也是三棱臺(tái)的內(nèi)切球進(jìn)行判斷；對(duì)于D,三棱臺(tái)的外接

球在一下底面的投影點(diǎn)01，。2為兩個(gè)底面三角形的外心，得出三個(gè)直角梯形全等，再進(jìn)行判斷.

本題考查多面體的外接球球心、投影、多邊形的外心、等體積法、三棱錐內(nèi)切球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，是中檔題.

13.【答案】2000

【解析】解：設(shè)魚塘中有x條魚，

???從魚塘的多處不同位置捕撈出120條魚，發(fā)現(xiàn)其中帶有記號(hào)的魚有6條，

?.曲題意得意=嚶，

解得x=2000,

???估計(jì)魚塘中的魚大概有2000條.

故答案為：2000.

由題意捕撈出的120條魚中有6條有記號(hào)，故可以算出標(biāo)記的比例，進(jìn)而估計(jì)魚塘中魚的總數(shù).

本題考查用樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體的數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.［答案】y/~2n

【解析】解：圓錐P。中，。為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，且48=，9，

若棱錐0-PAB為正三棱錐，則PA=PB=AB=，7，

又因?yàn)镻O1OA,PO1OB,所以。4_LOB,

所以。4=OB=OP=1,

所以該圓錐的側(cè)面積為d=V~2n.

故答案為：y/~27l.

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出圓錐的母線和底面圓的半徑，即可求出圓錐的側(cè)面積.

本題考查了圓錐與棱錐的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】導(dǎo)

【解析】解：??,/,B,C為/(%)=simo%與g(%)=Coss的交點(diǎn)，若△ABC為等邊三角形,

則當(dāng)3最小時(shí)，4,B,C為f(%)=simox與g(x)=cosco%個(gè)相鄰的3個(gè)交點(diǎn).

由于交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為土?，則等邊三角形的高為，

yT227-627r

故等邊三角形的邊長(zhǎng)為亙

*'?Ci)=TC-

故答案為：竽兀.

由題意，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，屬于中檔題.

16.【答案】￡5

【解析】解：如圖，

因?yàn)?麗=2豆瓦所以可設(shè)|4尸21=23尸2口|=33

又恒6|=2|4尸2],所以|AFi|=4t,

由橢圓定義，\AFr\+\AF2\=6t=2a,即t=1

又|B0|=2a-\BF2\=2a-a=a,即B點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，

所以在△力B0中，

0|B%『+M|2一|g|2

COSB~2gl.但川

_a2+g+第2T給2_3

__5'

2(l-b

又在△F2Ba中,

2222

_|BF「+\BF2\-\F1F2\_2a-4c

COSB

~2\BFr\■\BF2\~2a-a

=l-2e2=

解得6=?或6=-?(舍去).

故答案為：萼.

根據(jù)所給線段的長(zhǎng)度關(guān)系及橢圓的定義，求出AABFi的邊長(zhǎng)，利用余弦定理求cosB,在AEzBa中再由余弦

定理即可求出離心率.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】(1)解：由即勾=2Sn,得叫=2%,可得瓦=2；

a2b2=2(%+a2),即(1+d)(2+d)=2(1+1+d),解得d=l(d>0).

an=14-1x(n—1)=n,bn=24-lx(n—l)=n+l；

(2)證明：由(1)知，西=2(n+l)，

=1=]V]=lxl_1X

Cn—成+或—n2+(n+l)22n(n+l)~2計(jì)/

則及=J+C2+...+cn<|[(1+(?：)+???+(!—磊)】

=工門_上)=n=2

2vn+172(n+l)

2bn'

故7n4

【解析】(1)由已知可得瓦，進(jìn)一步求解d,即可得到an和“；

(2)把即和垢代入金=熊，放大后利用裂項(xiàng)相消法即可證明結(jié)論.

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.【答案】解：以。為原點(diǎn)，以DA,DC,DC1所在直線分別為％軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐

標(biāo)系，

設(shè)。1(0,0,九)(九>0).

⑴證明:依題意得4(1,0,0),F(0,l,0),B(l,2,0),當(dāng)(1,2,/1),

AE=(-1,1,0)，麗=(1,1,0)，西=(0,0,九).

因?yàn)檐?前=0，荏?兩=0，則4EJ.EB,AE1BBr,

又因?yàn)镋B,BBi在平面AE%內(nèi)，又BECBB、=B,則AEJ■平面

乂AEu平面AE],則平面AE。11平面

(2)依題意得G(0,2,h)，西=(1,1,/i),西=(0,2,向,

2+八2

則|cos〈函，。的＞|=?廠；=COS30。,解得八=2.

2+hxJ4+h

依題意得麗=(-1,0,2).

設(shè)平面AEDi的法向量為沅=(x,y,z),

可.竺】=T+2Z=°,取記=(2,2,1),

則

m?AE=—x+y=0

—*g,5*nt'EBi6、6

COS<771,EB]>=———==r=-f=—;===—z-,

1|麗x/6xV93

所以EH】與平面AE?所成角的正弦值為?.

【解析】(1)以。為原點(diǎn)，以。4DC,DO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

利用向量法可證4E1EB,AElBBi，可證4E_L平面BEB1，進(jìn)而可證結(jié)論;

(2)求得平面ZED1的一個(gè)法向量，利用向量法可求E%與平面AE。1所成角的正弦值.

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)如圖所示:

^-ABADsinZ.BADAB3

因?yàn)锳C平分NB4C,所以裁跡4____________—__一—

3△/1C0一^ACADsinZ-CAD~AC~2

又因?yàn)?。在BC上，所以鬻=^-BDhBD

1-CDh-CD，

因此器=,，又BC=3,所以CD

CA2+CB2-BA232+22-32

在△ABC中，AB=BC=3,AC=2,可得cosC=

2CACB2x3x23

22XX

在^ACD中，由余弦定理可得=AC2+CD2_2ACXCDXCOSC=2+(1)-2X2|1

故警

(2)因?yàn)?。平分4B4C,Z.DAC=Z.BAD=6,又N4OC=60。,

所以B=60°-0,C=120°-0,

在△力BC中，由正弦XE理可得后(120。-8)=sin(60°-。)，

又AB=3,AC=2,所以3s譏(60°-。)=2s譏(120°-。)，

展開并整理得曰且cos?—|sin0=V_3cos0+sin9>解得tan。=

【解析】⑴一方面由角平分線定理肝=塞=5,另一方面翳專，又BC=3,所以可以求出6=

接下來(lái)結(jié)合余弦定理即可求出AD；

(2)由已知條件可知，B=60。-。，C=120°-6,在△ABC中運(yùn)用正弦定理即可求解.

本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解:(1)己知/0)=爐一27,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得(x)=3%2—4x=x(3x—4),

當(dāng)%V0時(shí),/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)0V%<《時(shí)，/(X)<0,/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)￡>割寸，/(X)>0,/(X)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(X)在(一8,0),G，+8)上單調(diào)遞增，在(0,勺上單調(diào)遞減；

(2)若f(t)=g(s),

此時(shí)t3-2t2=32es,

所以32eST=(t3-2t

因?yàn)?2es-t>0,

所以戶-2t2>0,

即t>2,

不妨設(shè)/i(t)=(t3-2t2)e-t,函數(shù)定義域?yàn)?2,+8),

可得〃(t)=t(t-1)(4-

當(dāng)2<t<4時(shí)，九'(t)>0,做t)單調(diào)遞增；

當(dāng)t>4時(shí)，h'(t)<0,/i(t)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)t=4時(shí)，函數(shù)h(t)取得極大值也是最大值，最大值/t(4)=32e-4,

則es-t的最大值為e-t

故t-s的最小值為4.

【解析】(1)由題意，對(duì)函數(shù)/(x)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)即可得到函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

s32f32c

(2)易得產(chǎn)一2t2=32e,即32es-t=(t-2t)e-,構(gòu)造函數(shù)九(t)=(t-2t)e-,對(duì)函數(shù)九(，進(jìn)行求導(dǎo),

利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)h(t)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而即可求解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

21.【答案】解：(1)設(shè)4n:Xn=1,Bn：Xn=o,則P(4n)+P(Bn)=1.

由于第一次取球之前，兩個(gè)袋子中的兩球顏色各不相同，要使取球交換之后同一個(gè)袋子內(nèi)的兩球顏色仍然

保持不同，需要取出的兩球顏色相同，則=

(2)當(dāng)n>2時(shí)，由⑴得P(Bn|Bn_i)=則

很明顯，P(An|An-l)=0,依據(jù)全概率公式，得

P(An)=PQ4n-l)P(4nMn_l)+「島-1)「(4四_1)

==|P(Bn-l)=|[1-^(^n-1)]-

則PQ4n)—g=-4[P(A1T)一§,

由(1)得P(4)=1—P(Bi)=1則P(4n)_