2023-2024學年四川省高一年級下冊開學考試數(shù)學試題

2023-2024學年四J11省高一下冊開學考試數(shù)學試題

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合"=kcN'"},N={l,2,3},則集合MCN=（）

A.{1,2,3}B.{0,l,2,3}C.{-2,-1,0,1,2,3}D.{1,2}

【正確答案】D

【分析】通過解一元二次不等式，以及集合的交集運算計算求解.

【詳解】由題知，Λ1={X∈N∣X2≤4}={0,1,2},N={l,2,3},

所以"cN={1,2}.故A,B,C錯誤.

故選：D.

2.函數(shù)/（x）=∣x-l∣+l的部分圖象大致是（）

【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再根據(jù)特殊值判斷即可.

IXX≥1

【詳解】解：因為/(χ)=k-l∣+l=；一,且/(1)=∣1-1∣+1=1,

I2—X,X<1

/(0)=∣0-1∣+1=2,故符合題意的只有A.

故選：A

3.設(shè)α=2°',6=(；),c=log。，0.3,則α,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<h<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【正確答案】D

【分析】可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出α,Rc的范圍，然后即可得出α,b,c的

大小關(guān)系.

LWW：v(l)-=2θ?3>2->2θ=l,log0.20.3<log0.20.2=l,

.?.c<a<b.

故選：D

4

4.函數(shù)/(x)=InX——+1的零點所在區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)解析式判斷函數(shù)在定義域上的連續(xù)性，再根據(jù)零點存在性定理判斷零點所在區(qū)

間即可.

【詳解】由題設(shè)，/O)是定義域在(0,+∞)上連續(xù)不斷的遞增函數(shù)，

41

又/(2)=ln2-2+l=ln2-1<0,/(3)=ln3--+l=ln3-∣>0,

由零點存在定理可知,零點所在區(qū)間為(2,3).

故選:C.

5.中國茶文化博大精深.茶水口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃

的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.已知室內(nèi)的溫度為25℃,

設(shè)茶水溫度從85°C開始，經(jīng)過X分鐘后的溫度為歹℃.歹與X的函數(shù)關(guān)系式近似表示為

=60X0.923'+25,那么在25C室溫下，由此估計，剛泡好的茶水大約需要放置多少分

鐘才能達到最佳口感(參考數(shù)據(jù)：ln0.923≈-0.08,lnl2-ln7≈0.54)()

A.8B.7C.6D.5

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意帶入數(shù)據(jù)，列出等量關(guān)系式，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可求得.

【詳解】由題意降至60°C時口感最佳，即V=60,帶入函數(shù)關(guān)系式即得

60=60X0.923、+25,

7

即0.923)=—,兩邊同時取對數(shù),得XlnO.923=In7-In12,

In7-lnl20.54?

所以X=------------≈------≈7.

In0.9230.08

故選：B

CoS(7-x)sin(乃+x)2023萬

6.已知/(X)=，則/()

sin27Γ-Xy)~?6

C百D百

A.√3B.-√3

33

【正確答案】D

【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解.

“、COS(乃一X)Sin(乃+x)

【詳解】解：/(x)=?—

sin2萬一x)-1

CosxsinxCosxsinx

------；----=-tanX,

sin2x-lcosX

202342023乃π

則/=_tan-=------t-a-n[337τr+—=-tan—-

666

故選：D

7.己知孫=7,O<χ<y<LAl=IOglX?log∣y,則()

422

A.Λ∕≥lB.Λ∕>lC.M≤?D.M<\

【正確答案】D

【分析】利用基本不等式即可求解

[詳解]因為0<x<y<l,所以bgιX>°,l°gLN>°,

22

UOgIX+1OglyY

Ωog1xyY

所以Λ∕=log∕?log]y4——------------—=1，

5522

\/

當且僅當l°g∕=bgj即x=y=L時，取等號,

222

所以Λ∕<l.

故選：D

11-ax,X≥6

8.已知函數(shù)/(x)=<的值域為R,則實數(shù)”的取值范圍是()

log02(x-l),l<x<6

A.(0,+∞)B,(-∞,2)C,(0,2)D,(0,2]

【正確答案】D

【分析】判斷當l<x<6時，/(X尸Iogoz(X-I)的取值范圍，從而判斷xN6時,

/(x)=ll-ax的取值范圍應(yīng)包含(-8,1],由此列出不等式，求得答案.

【詳解】由題意知當l<x<6時，/(x)=log02(x-1)∈(-1,+∞),

/?f11—0x.x>6

由于函數(shù)/(x)=<Zn1/的值域為R,

Iog02(X-I),l<x<6

故x≥6時，/(x)=ll-αx的取值范圍應(yīng)包含(一雙—1],

故此時a〉0,且ll-64N-l,.?.α≤2,故0<4≤2,

即實數(shù)α的取值范圍是(0,2],

故選：D

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題列出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0

分.

9.下列說法正確的是()

A.命題“VxeR,/〉一]，，的否定是FX∈R,X2<-Γ,

B.“x=—1”是“(χ+I)(X-2)=0”的充分不必要條件

C./(x)=W與g(x)=J7為同一函數(shù)

jc

D.函數(shù)/(x)=2Iog4X與g(x)=2的圖象關(guān)于直線y=x對稱

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定可判斷A；根據(jù)“x=—1”和“。+1)(》-2)=0，，之

間的邏輯推理關(guān)系，可判斷B；根據(jù)函數(shù)的三要素可判斷C；利用％,V互換，可判斷D.

2

【詳解】對于A,命題“VxeR,/>_1，，的否定是“ICeR,x≤-Γ',A錯誤；

對于B,X=-I時，一定有(X+l)(x-2)=0,

但(工+1)(工-2)=0時，不一定是X二-1,也可能是％=2,

故“x=—1”是“。+1)。-2)=0”的充分不必要條件，B正確；

對于Cg(x)=7√=∣x∣,定義域為R，g(x)∈[O,+∞),

定義域和對應(yīng)關(guān)系以及值域與/(X)=W相同，

故/")=國與g(χ)=為同一函數(shù)，C正確；

對于D,/(x)=21og4X即y=IogzX,以X代換y,V代換X,

可得X=lo§2V,y=2,

v

即函數(shù)/'(X)=2Iog4X與g(χ)=2的圖象關(guān)于直線y=x對稱，D正確，

故選：BCD

10.已知6e(0,兀)，sin。+CoSe=則下列結(jié)論正確的是()

B.COSe=-3zι3

πC.tan。=——D.

?-r54

7

Sine-Cos。=一

5

【正確答案】ABD

124

【分析】由題意得(Sine+coSey=1+2SineCOSe=—可得2sin6cos6=---,根

25

據(jù)。的范圍，可得Sin6,CoSe的正負，即可判斷A的正誤；求得sin。—cos。的值，即

可判斷D的正誤，聯(lián)立可求得Sin。，cos。的值，即可判斷B的正誤；根據(jù)同角三角函數(shù)

的關(guān)系，可判斷C的正誤，即可得答案.

【詳解】因為sin9+COSe=",

24

所以(Sine+cos。)？=1+2SineCoS。二一則2sinOcosO=---

25

因為e∈(o㈤,所以Sine>o,COSe<o,

,故A正確;

249

所以(Sine-COSey=1-2SineCoSe=石

7

所以Sine-COS。=一,故D正確;

5

1

Sine+cos。=

^543

聯(lián)立■J,可得Sine=；,CoSe=-一，故B正確;

755

Sine-CoSe=

^5

所以tan。="Sir二lθ=—24,故C錯誤.

CoSe3

故選：ABD.

11.已知關(guān)于X的不等式2研(OX2+bx+4)>0的解集為(一2,1),貝IJ()

A.a<()

2

B.函數(shù)/(x)=Iog2(bx+4x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+。。)

C.ab=4

D.不等式bχ2+4x+α≤0的解集為R

【正確答案】ACD

【分析】2"〉O恒成立，故不等式2"(aχ2+bχ+4)>o,可化為+foχ+4>。，根據(jù)

不等式的解集為(-2,1),可解得｛臺——？，進而逐個選項進行判斷，可得答案.

【詳解】根據(jù)題意,2av>O恒成立,故不等式2αv(ax2+6x+4)>0,可化為ax2+bx+A>0,

而該不等式的解集為(-2,1),可得αvθ,不等式可化為-+生+±<0,設(shè)方程

aa

b

,bχ4%+々=-廠-1伍=_2

/+—+—=0的兩根為4和4,根據(jù)題意，可得j4,解得

'xx=-=-2[

L12a

對于A,。=一2,.?.Q<0,故A正確；

22

對于B,6=—2,則/(X)=Iog2(-2x+4x),根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對于y=-Ix+4x,

令—2χ2+4x>0,解得0<x<2,且該二次函數(shù)的對稱軸是x=l,

所以，/(χ)在Xe(O/)上單調(diào)遞增，在X∈(1,2)上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C,:ɑ=-2,6=—2,.?.αb=4成立，故C正確；

對于D,不等式法2+4x+α≤0,??.：——；，則轉(zhuǎn)化為一21+4X-2≤0,化簡得，

[0=-2

(x-l)2>0,此時XeR成立，故D正確；

故答案選：ACD

12.給出下列命題，其中正確的命題有()

A.若。為第二象限的角，則2。為第三、四象限的角

B.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≤0時/(x)=x(x+l),則/(x)的解析

式為/(x)=χ2-W

C.若10g3>l,則α的取值范圍是

D.若2一，一2,〉InX-In(-y)(x>O,y<O),則x+y<0

【正確答案】BCD

【分析】選項A,求出α的取值范圍，即可得到2a的取值范圍，即可判斷；

選項B,令x>0,則—x<0,可得/(x)=χ2-%,即可得出/(x)的解析式，即可判斷出

正誤；

選項C,分α>l或o<α<ι兩種情況討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解出即可得出；

選項D,令/(x)=2τ-lnX(X>0),則函數(shù)/(x)在(0,+刃)單調(diào)遞減即可判斷出.

【詳解】對于A：因為a為第二象限的角，所以90。360白人<α<180。360科,左eZ,

所以180。720白人<2a<360。720白4，kεZ,

則2α為第三、四象限的角或J軸負半軸上，故A錯誤；

對于B：若x>0,則一無<0,

則?(-?)--x(-x+1)zzX(X-I)=X2-X,

???∕(χ)是偶函數(shù)，

.?.∕(-x)=x2-X=/'(X),即f(x)=X2-X,

所以fɑ)=’:一""，即/(χ)的解析式為/(χ)=χ2TM,故B正確；

X+x9x≤0

對于C：若Iogf,；>1,則log"；>log"4，

若α>l,則^>α,此時“不成立，

2

若o<α<i,則,<α,此時L<α<l,

22

即α的取值范圍是(；」)，故C正確；

對于D：若2：—2>>lnX-In(一歹),則2一一lnx>2∣ln(-y),

令/(x)=2~x-lnx(x>0),

則函數(shù)/(x)在(0,+力)單調(diào)遞減，

則不等式2^x-lnx>2?,-ln(-j;)等價為/(x)>/(-?)(?<0),

則》<一ν，即x+y<0,故D正確.

故選：BCD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)y=bg“(X-1)+4的圖像恒過定點尸，點尸的坐標是

【正確答案】(2,4)

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，令x-l=l,求得y的值，即得答案.

【詳解】對于函數(shù)y=log,,(χ-l)+4,令x-l=l,即x=2,則丁=4,

即函數(shù)y=logi,(x—1)+4的圖像恒過定點(2,4),即尸的坐標是(2,4),

故(2,4)

14.折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，物紙或綾絹做扇面的能折疊的扇

子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形/08,其中4OB=120。，OZ=3OC=3,則扇面

(曲邊四邊形/8。C)的面積是—

【分析】根據(jù)題意和扇形的面積公式分別求出扇形/08、C。。的面積即可.

I2π

【詳解】由題意可得，扇形月。8的面積是一X—χ32=3兀，

23

1?1

扇形C。。的面積是一X」X『=-π?

233

?Qπ

則扇面(曲邊四邊形43。C)的面積是3兀一一兀=—.

33

8乃

、［2?x≥l“，、

,函數(shù)/3z=/+2),x<l'則/(T+W)=

【正確答案】2百

【分析】判斷T+bg43的范圍，代入分段函數(shù)相應(yīng)的解析式中，結(jié)合指數(shù)以及對數(shù)的運算

法則，即可求得答案.

3

【詳解】因為一l+log43=log4a<O,

??

i8j2

故/(-1+Iog43)=/(Iog4-+2)=/(Iog412)=2嘀“=4'°=26，

故2√J

16.定義域為R的函數(shù)/(x)=Fgk-2∣'X≠2,若關(guān)于X的方程/2(χ)+〃?⑴+C=O恰

[I,x=2

xxx+x

有5個不同的實數(shù)解玉，巧，?>4>?5>則}2+?+?+X5=-

【正確答案】10

【分析】作出函數(shù)/(X)的圖像，令/(x)=f,由圖像可知，則/+4+c=0有兩個不等

的實數(shù)根，且其中一個為1,畫出直線y=m(mwl),y=l,設(shè)其與函數(shù)/(x)相交的5

個點橫坐標分別為玉，巧，?-七，七，設(shè)七=2,根據(jù)函數(shù)V=IglX-2]的圖像關(guān)于直

線X=2對稱，可得%+/=%2+?x4=4,從而得X]+%2+X3+?x4+?x5=1°.

【詳解】作出函數(shù)/(x)的圖像如圖所示,

由于方程∕2(χ)+"(χ)+c=0恰有5個不同的實數(shù)解,

令/"）=，，則/+4+c=0有兩個不等的實數(shù)根，且其中一個為1,

畫出直線歹=加（優(yōu)H1）,V=I,與函數(shù)/（x）交于5個點，

其橫坐標分別為X1,巧，芻，x4>/，設(shè)?x3=2，

且X]<刀2<七<》4</，因為函數(shù)^=也,一2|的圖像關(guān)于直線％=2對稱,

則玉+/=%+%=4,所以X∣+》2+芻+/+/=1°.

故10

求解復(fù)合函數(shù)零點問題時，需要綜合考慮兩個函數(shù)的零點,根據(jù)函數(shù)取不同值時零點的個數(shù),

并結(jié)合函數(shù)的對稱性可求解零點的和.

四、解答題：本大題共6個小題，共70分.解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證

明過程或演算步驟.

17.已知集合∕={H2α-l≤x≤α+l},8={x∣0≤x≤3}.

（1）若a=l,求ZuB;

（2）在①ZD6=8,②Zn6=/中任選一個，補充到橫線上，并求解問題.

若，求實數(shù)α的取值范圍.

【正確答案】（1）ZUB={x∣0≤x43}

（2）條件選擇見解析，∣,+∞I

【分析】（1）當α=l時，集合Z={x∣l<x≤2},則可求出ZD8；

（2）任選一個條件都可得/?8,討論集合A是否為空集，即可求出實數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

當α=l時，集合Z={x∣14x≤2},

又8={x∣0≤x≤3},

所以∕u8={x∣0≤x43}；

【小問2詳解】

方案一選擇條件①.

由NUB=8,得4=B.

當2=0時，24-l>α+l,得。>2,此時/=8,符合題意;

2a-l≥0

當月≠0時，得Jα+1≤3,解得L<αV2.

2

2a-l≤a+l

綜上，實數(shù)。的取值范圍是g,+s)?

方案二選擇條件②.

由//∏8=/,得4=B.

當4=0時，2α-l>α+l,得a>2,此時N±8,符合題意.

'2a-l≥0

當N/0時，得'α+l≤3,解得1≤α≤2.

2

2a-l≤a+l

綜上，實數(shù)α的取值范圍是；，+8)

_2

18.(1)計算：f?>l?-2e0+lg2^2+lg5-2;

(2)若tana=2,求4sin?α-3sinacosα-5cos?α的值.

7

【正確答案】(1)一一；(2)1

4

【分析】（1）利用指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)進行計算求解.

（2）利用si∏2α+cos2a=l把原式轉(zhuǎn)化為齊次式，再對分子分母同時除以cos?α弦化切

進行求解.

2

022

【詳解】解：（I）-2e+lg2-+lg5-

-2-21g2-21g5

=自-2-2(lg2+lg5)

=—92c—2c=—7

44

⑵4sin*2(7-3sin(7cosa-Scos2a

4sin2?-3sin^cos^-5cos2a

一s?^in^2(7+cos2a

_4tan2σ-3tana-5

tan2α+l

又tanQ=2,

2

rtsκldtan?α—3tana-54×2-3×2-5

所以--------5----------=------∑--------

tarrα+l2+1

—-5—_—]1.

5

19.己知函數(shù)/(χ)=2(：；),(“>0且/#1)

(1)判斷了(X)的奇偶性，并證明你的結(jié)論.

(2)當x∈[T,l]時,函數(shù)/(x)的值域為[—1,1],求明

【正確答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；

(2)a=1或3

3

【分析】（1）利用奇偶函數(shù)的判定方法，首先定義域關(guān)于原點對稱，其次證明

/(f)=-/(x);

4(av'-ax^)

（2）利用定義法討論函數(shù)單調(diào)性，設(shè)玉<々，則/（占）一/（》2）=

ax'+l)(av2+l

分Q>l和0<α<l討論即可.

【小問1詳解】

奇函數(shù)，證明：由題意得/（X）的定義域為R,

2(α^jt-l)2(IjV)2(av-l)

且/(T)=-/(X)，

a-x+?~?+ax優(yōu)+1

/（χ）是奇函數(shù),

【小問2詳解】

2—1)2(ax2-1)4(√'-√2)

設(shè)*1<X2，貝U/(XJ-/(%)=

ax'+laxi+l-(av'+l)(a^+l)

當α＞1時,α國一＜o，得/（否）一/（々）＜0

即/（玉）＜/&），

這時/W在R上是增函數(shù);

?3=-ι

（）

則f伯∕-）l,=-即l＜a'+1,解得α=3.

2(1),

a+?

當0＜α＜l時,—4處＞0,

得/(X)-/(吃)>θ,BP∕(x1)>f(x2),

這時f(χ)在R上是減函數(shù).

2(a^'-1

=11

/(-1)=1a-'+l

則《即＜,解得a=—,

?(l)=-1'2("1)3

-1

綜上a=L或3.

3

20.在平面直角坐標系Xoy中，O是坐標原點，銳角a的終邊與單位圓的交點坐標為

^L,lj（∕M＞0）,射線OZ繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。渺度后交單位圓于點8,點8的縱

坐標y關(guān)于。的函數(shù)為y=/（。）.

（1）求函數(shù)N=∕（e）的解析式，并求/一方的值;

(2)若/(e)=第，求tan1—5)的值.

【正確答案】(1)/")=Sinje+F∣,

【分析】（I）根據(jù)特殊值對應(yīng)的特殊角及三角函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)值的定義即可求解;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及誘導(dǎo)公式，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可求解.

【小問1詳解】

因為銳角?的終邊與單位圓的交點坐標為《根,；）（加＞0）,

ITT

所以Sina=一，且機＞0,所以a=—

26

由此得/(。)=sin(9+a)=sin16+e

【小問2詳解】

由/⑻邛知sin(聿+e)=斗，

由于。e['74得"畀I'M

與此同時SinIe+e)>0,所以CoS[。+2卜。

21.某企業(yè)為了降低生產(chǎn)部門在產(chǎn)品生產(chǎn)過程中造成的損耗，特成立減少損耗技術(shù)攻關(guān)小組,

企業(yè)預(yù)期每年能減少損耗10萬元?IOOo萬元.為了激勵攻關(guān)小組，現(xiàn)準備制定一個獎勵方

案：獎金V(單位：萬元)隨減少損耗費用X(單位：萬元)的增加而增加，同時獎金不超

過減少損耗費用的50%.

(1)若建立函數(shù)/(x)模型獎勵方案，試用數(shù)學語言表述企業(yè)對獎勵函數(shù)/(x)模型的基本

要求；

3

(2)現(xiàn)有三個獎勵函數(shù)模型；①N=-x+l；②y=201gx—10；

4

③夕=VR(X2-Iox+10000).試分析這三個函數(shù)模型是否符合企業(yè)要求.

【正確答案】(1)當xe[10,1000]時，I、函數(shù)/(χ)為增函數(shù)，II、/(x)≤gx恒成立;

(2)函數(shù)模型③.

【分析】(1)隨減少損耗費用X(單位：萬元)的增加而增加，同時獎金不超過減少損耗費

用的50%,即是增函數(shù)與/(x)≤gx,翻譯成數(shù)學語言即可.

(2)分別驗證這三個模型是否滿足在定義域下為增函數(shù)且/(x)≤Jx.

【小問1詳解】

設(shè)獎勵函數(shù)模型為y=/(χ),則企業(yè)對函數(shù)模型的基本要求是:

當x∈［10,1000］時，I、函數(shù)/(x)為增函數(shù)，II、/(x)≤;X恒成立.

【小問2詳解】

31

I.對于①函數(shù)模型，由/(x)=1x+l>5X,該模型不符合企業(yè)獎勵方案;

II.對于②函數(shù)模型，由/(10)=201gl0-10=10>Jχl0,

故當X=IO時，/(x)≤;X不恒成立，該模型不符合企業(yè)獎勵方案；

111.對于③函數(shù)模型，

二次函數(shù)/,(X)的對稱軸為X=—二W=5<10,故函數(shù)/(x)在區(qū)間［10,1000］上單調(diào)遞增:

2x1

令g(x)=/(X)TX=嬴(x2-10x+10000)-→

=康(―°則=—?-(?-io)(?-iooo)

2000v八7

當10≤x≤1000時，x-10≥0,χ-1000≤0,

故一!一(x-10)(xT000)≤0.

2000v八'

得當x∈[10,1000]時，/(x)≤gx恒成立.

由上知，函數(shù)模型③歹=■歷(χ2-IOx+10000)符合企業(yè)獎勵方案.

22.已知函數(shù)/(x)=Or2_2辦+1+6(〃>0)∕'(X)=OX2_2"+]+6(。>0),在區(qū)間

［2,3］上有最大值4和最小