2024屆湖南省益陽市高三三?？荚嚁?shù)學試題

益陽市2024屆高三4月教學質(zhì)量檢測數(shù)學（時量：120分鐘 滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知為虛數(shù)單位，若，則（）A． B． C． D．2．已知，則是方程的解的充要條件是（）A． B．C． D．3．頂角為36°的等腰三角形，常稱為“最美三角形”．已知，則“最美三角形”的底邊長與腰長的比為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足且，則（）A．128 B．64 C．32 D．165．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．96．2023年的某一天某紅酒廠商為了在線出售其紅酒產(chǎn)品，聯(lián)合小Y哥直播間，邀請某“網(wǎng)紅”來現(xiàn)場帶貨．在帶貨期間，為吸引顧客光臨直播間、增加客流量，發(fā)起了這樣一個活動：如果在直播間進來的顧客中，出現(xiàn)生日相同的顧客，則獎勵生日相同的顧客紅酒1瓶．假設每個隨機來訪的顧客的出生日期都是相互獨立的，并且每個人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在遠小于365時，近似地，，其中．如果要保證直播間至少兩個人的生日在同一天的概率不小于，那么來到直播間的人數(shù)最少應該為（）A．21 B．22 C．23 D．247．如圖所示，4個球兩兩外切形成的幾何體，稱為一個“最密堆壘”．顯然，即使是“最密堆壘”，4個球之間依然存在著空隙．材料學研究發(fā)現(xiàn)，某種金屬晶體中4個原子的“最密堆壘”的空隙中如果再嵌入一個另一種金屬原子并和原來的4個原子均外切，則材料的性能會有顯著性變化．記原金屬晶體的原子半徑為，另一種金屬晶體的原子半徑為，則和的關(guān)系是（）A． B． C． D．8．已知的定義域為是的導函數(shù)，且，，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9．下列命題中，正確的是（）A．函數(shù)與表示同一函數(shù)B．函數(shù)與是同一函數(shù)C．函數(shù)的圖象與直線的圖象至多有一個交點D．函數(shù)，則010．如圖1所示，為曲桿道閘車庫出入口對出人車輛作“放行”或“阻攔”管制的工具．它由轉(zhuǎn)動桿與橫桿組成，為橫桿的兩個端點．在道閘抬起的過程中，橫桿始終保持水平．如圖2所示，以點為原點，水平方向為軸正方向建立平面直角坐標系．若點距水平地面的高度為1米，轉(zhuǎn)動桿的長度為1.6米，橫桿的長度為2米，繞點在與水平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，與水平方向所成的角（）圖1圖2A．則點運動的軌跡方程為（其中）B．則點運動的軌跡方程為（其中）C．若繞點從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則橫桿距水平地面的高度為米D．若繞點從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則點運動軌跡的長度為米11．在中，角所對的邊依次為，已知，則下列結(jié)論中正確的是（）A．：B．為鈍角三角形C．若．則的面積是D．若的外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在平面直角坐標系中，已知點，若為平面上的一個動點且，則點運動所形成的曲線的方程為______．13．已知，且，則滿足且的的最大值為______．14．已知函數(shù)的定義域為．對任意的恒有，且．則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知為正實數(shù)，構(gòu)造函數(shù)．若曲線在點處的切線方程為．（1）求的值；（2）求證：．16．（本小題滿分15分）新鮮是水果品質(zhì)的一個重要指標。某品牌水果銷售店，為保障所銷售的某種水果的新鮮度，當天所進的水果如果當天沒有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄．水果銷售店以每箱進貨價50元、售價100元銷售該種水果，如果當天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價的基礎上打五折特價銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費用30元．這樣才能保障第二天特價水果售罄，并且不影響正價水果銷售，水果銷售店經(jīng)理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量x（單位：箱）和天數(shù)y（單位：天）如下表所示：日銷售量x（單位：箱）2223242526天數(shù)y（單位：天）10101596（1）為能減少打折銷售份額，決定70%地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）．請根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進貨量t的值。（以箱為單位，結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量的概率，設（1）中所求的值滿足，請以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經(jīng)理判斷每天購進此種水果是箱劃算還是箱劃算？17．（本小題滿分15分）如圖所示，四邊形為梯形，，以為一條邊作矩形，且，平面平面．（1）求證：；（2）甲同學研究發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個結(jié)論：如果兩個平面所成的二面角為，其中一個平面內(nèi)的圖形在另一個平面上的正投影為，它們的面積分別記為和，則．乙同學利用甲的這個結(jié)論，發(fā)現(xiàn)在線段上存在點，使得．請你對乙同學發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進行證明．18．（本小題滿分17分）已知直線與橢圓相交于點，點在第一象限內(nèi)，分別為橢圓的左、右焦點．（1）設點到直線的距離分別為，求的取值范圍；（2）已知橢圓在點處的切線為．（1）求證：切線的方程為；（2）設射線交于點，求證：為等腰三角形．19．（本小題滿分17分）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組表示；三維空間向盤可用三元有序數(shù)組表示．一般地，維空間