第三章 圓單元測試卷（解析版）

第三章圓單元測試卷一．選擇題（共10小題）1．（2022?平泉市二模）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上（不與，重合），點(diǎn)為的內(nèi)心，則不可能是A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，由為的內(nèi)心，可得，，所以，由點(diǎn)在線段上（不與、重合），可得，進(jìn)而可得．【解答】解：在中，，，，為的內(nèi)心，，，，點(diǎn)在線段上（不與、重合），，，，不可能是．故選：．2．（2022?江岸區(qū)校級(jí)模擬）如圖，是的外接圓，點(diǎn)是內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)，若，，，則的值是A． B． C． D．【分析】作交延長線于點(diǎn)，連接，，可得，，由點(diǎn)是內(nèi)心，可得，，從而得到，進(jìn)而得到，再證得，即可求解．【解答】解：如圖，作交延長線于點(diǎn)，連接，，，，點(diǎn)是內(nèi)心，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故選：．3．（2023秋?青山區(qū)期末）如圖，已知是的內(nèi)接三角形，的半徑為，將劣弧沿折疊后剛好經(jīng)過弦的中點(diǎn)．若，則弦的長為A． B． C．9 D．【分析】取折疊后的弧所在圓圓心為，則與設(shè)等圓，是公共的圓周角，所以可以證得，過作于，則為的中點(diǎn)，在中，利用勾股定理，可以求出和的長度，由于是中點(diǎn)，可以證明，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖1，設(shè)折疊后的所在圓的圓心為，連接，，，連接，，同理，，，與是等圓，，設(shè)的半徑為，過作于，，，，，，，，如圖2，過作于，，可設(shè)，則，為的中點(diǎn)，，，，，，在中，，，，（負(fù)值舍去），．故選：．4．如圖，在中，，，，以邊的中點(diǎn)為圓心作半圓，使與半圓相切，點(diǎn)，分別是邊和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則長的最大值與最小值的和是A．8 B．9 C．10 D．12【分析】如圖，設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，作垂足為交于，此時(shí)垂線段最短，最小值為，求出，如圖當(dāng)在邊上時(shí)，與重合時(shí)，最大值，由此不難解決問題．【解答】解：如圖，設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，作垂足為交于，此時(shí)垂線段最短，最小值為，，，，，，，，，，，，最小值為，當(dāng)、重合時(shí)，最小值為0，如圖，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到邊上時(shí)，與重合時(shí)，經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，最大值，長的最大值與最小值的和是9．故選：．5．（2022?安徽模擬）如圖，邊長為的正方形的中心與半徑為的的圓心重合，，分別是，的延長線與的交點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】延長，交于，，根據(jù)圓和正方形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：延長，交于，，連接，過點(diǎn)作于．在中，，，，，則圖中陰影部分的面積，故選：．6．（2021秋?諸暨市期中）如圖，是半的直徑，點(diǎn)在半上，，．是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接．在點(diǎn)移動(dòng)的過程中，的最小值為A． B． C． D．【分析】如圖，連接、．在點(diǎn)移動(dòng)的過程中，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為，利用勾股定理求出即可解決問題．【解答】解：如圖，連接、．，，在點(diǎn)移動(dòng)的過程中，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，是直徑，，在中，，，，，在中，，，當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為，故選：．7．（2021?廣東模擬）如圖，是等邊三角形的內(nèi)切圓，分別與、、切于點(diǎn)，，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且過圓心，求陰影部分的面積A． B． C． D．【分析】連接，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，利用扇形面積公式即可解決問題．【解答】解：如圖，連接，，是等邊三角形的內(nèi)切圓，，，，，，，，陰影部分的面積．故選：．8．（2021?漢陽區(qū)校級(jí)模擬）如圖，是半圓的直徑，將半圓沿弦折疊，折疊后的圓弧與交于點(diǎn)，再將弧沿對(duì)折后交弦于，若恰好是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，延長交于，連接、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由圓周角定理得出，得出，證出，延長，證出，推出，設(shè)，則，得出，由三角函數(shù)得出，因此，求出，由勾股定理和三角函數(shù)得出，即可得出結(jié)果．【解答】解：過點(diǎn)作的垂線，垂足為，延長交于，連接、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：由等圓中圓周角相等所對(duì)的弧相等得：，，，是的中點(diǎn)，，是半圓的直徑，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，即，，，，；故選：．9．（2022?防城港模擬）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)，使得，則線段的最小值為A． B． C．4 D．【分析】如圖，在的上方，作，使得，，連接，過點(diǎn)作于，于．證明點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的，推出當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，的值最小，想辦法求出，，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，在的上方，作，使得，，連接，過點(diǎn)作于，于．，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，的值最小，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，的最小值，故選：．10．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）已知是半徑為2的圓形紙板，現(xiàn)要在其內(nèi)部設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)接正三角形的圖案，則內(nèi)接三角形的邊長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，欲求的邊長，把中邊當(dāng)弦，作的垂線，在中，求的長；根據(jù)垂徑定理知：，從而求正三角形的邊長即可．【解答】解：如圖所示：是等邊三角形，的半徑為2，在中，，，，，，即它的內(nèi)接正三角形的邊長為，故選：．二．填空題（共6小題）11．（2023春?雙流區(qū)期末）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針方旋轉(zhuǎn)后得到，連接．則點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段所掃過的圖形面積為．【分析】根據(jù)題意畫出點(diǎn)在上移動(dòng)的過程，線段所掃過的面積就是的面積，根據(jù)正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，得出線段所掃過的圖形面積，再根據(jù)等邊三角形，等腰直角三角形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)落在點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)，掃過的面積就是的面積，由題意可知，、都是等邊三角形，，，四邊形是正方形，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，即是等腰直角三角形，線段所掃過的圖形面積，故答案為：．12．（2022?柘城縣校級(jí)四模）如圖，是的外接圓，是的直徑，過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，．則圖中陰影部分的面積為．【分析】在中求出的長度，從而求出的長度，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，進(jìn)而可得，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)已知易證，從而證明，進(jìn)而可得，然后求出，在中求出，最后求出的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：，，，，，，是的直徑，，，過點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，，，，的面積，圖中陰影部分的面積為．故答案為：．13．（2023?河北）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線上．兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中：（1）度；（2）中間正六邊形的中心到直線的距離為（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可得到結(jié)論；（2）把問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，首先作出圖形，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線的距離轉(zhuǎn)化為求，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義，分別求出，即可．【解答】解：（1）作圖如圖所示，多邊形是正六邊形，，直線，，；故答案為：；（2）取中間正六邊形的中心為，作圖如圖所示，由題意得，，，，四邊形為矩形，，，，，，在中，，，由圖1知，，，，，，，．中間正六邊形的中心到直線的距離為，故答案為：．14．（2022?邢臺(tái)模擬）如圖，內(nèi)接于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長交延長線于點(diǎn)，，連接、．與相交于點(diǎn)，，，將圓心繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，若點(diǎn)恰好落某一邊上時(shí)，則的長度為．【分析】延長交于，連接，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出垂直平分，根據(jù)平行線分線段成比例得到，根據(jù)勾股定理得到，過作于交于，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：延長交于，連接，，，，，，，，在與中，，，，垂直平分，，，，令，則，，，，當(dāng)在上時(shí)，，，過作于交于，則四邊形是菱形，，，，．故答案為：或．15．（2023?合肥模擬）如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段的最小值是；當(dāng)取最小值時(shí)，延長線交線段于，則的長為．【分析】通過輔助圓找到點(diǎn)的位置，即可解決問題．【解答】解：（1）四邊形矩形，，，，，，以為直徑作，經(jīng)過點(diǎn)，連接，交于，此時(shí)長最?。?，，，（2）作交于，，，，，，．故答案為：2；3．16．如圖，正六邊形中，，分別是邊和上的點(diǎn)，，，則線段長．【分析】作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)六邊形是正六邊形，可得是等邊三角形，然后證明，對(duì)應(yīng)邊成比例即可解決問題．【解答】解：如圖，作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，六邊形是正六邊形，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．三．解答題（共8小題）17．（2023?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，內(nèi)接于，連接，，記，，．（1）證明：；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，半徑為2，①若，，求由線段，，弧圍成的圖形面積；②若，設(shè)，用含的代數(shù)式表示線段的長．【分析】（1）連接，利用圓周角定理可得，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）①利用（1）的結(jié)論與已知條件可得，則為等腰直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理可得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理可求線段的長，利用的面積減去扇形的面積即可求得結(jié)論；②延長，交圓于點(diǎn)，連接，利用圓周角定理可得，利于等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到；過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理可求，則，利用平行線的性質(zhì)可得，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，設(shè)，則，代入比例式，解方程即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接，如圖，，，．，．，．；（2）解：①，，．．，，．，．．，．．．．，．，．過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，則．，．．．，．②，，．延長，交圓于點(diǎn)，連接，如圖，，．，．．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，．，，，．設(shè)，則，，．．．解得：．．18．（2023?廣西模擬）如圖，為的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在的延長線上，且．（1）求證：是的切線；（2）連接，若，，求的長．【分析】（1）連接，，可證明，，根據(jù)，進(jìn)而證明，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）連接，作于，設(shè)，，，，在中列出，從而，進(jìn)而，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解答】（1）證明：如圖1，連接，，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)在上，是的切線；（2）解：如圖2，連接，作于，，，設(shè)，，，，在中，，，，，，在中，，，，．19．（2023?鐵東區(qū)一模）如圖，在中，為直徑，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，點(diǎn)為線段延長線上一點(diǎn)，連接，若．（1）求證：為切線；（2）若為中點(diǎn)，，，，求的半徑長．【分析】（1）連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）連接，設(shè)，．推出，求得．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，，．，，，，，，為半徑，為切線；（2）解：連接，設(shè)，．為中點(diǎn)，，，，，．，，，為直徑，，，，，，，，，，，，，．，在中，，．即的半徑長為．20．（2023?禹會(huì)區(qū)二模）如圖，內(nèi)接于半圓，已知是半圓的直徑．，平分，分別交半圓和于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接交于點(diǎn)，若，求的長．【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于得到，再根據(jù)垂直定義得到及角平分線即可得到即可解答；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及等邊對(duì)等角即可得到，再利用垂直平分線的定義及等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形，最后利用弧長公式即可解答．【解答】（1）證明：是半圓的直徑，，，平分，，，，，，，，；（2）解：連接，，，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂直平分，，，是等邊三角形，，，平分，，，，，的長：，21．（2023秋?哈爾濱期中）如圖，內(nèi)接于，．（1）求證：；（2）點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，若，，求證：；（3）在（2）的條件下，延長交于點(diǎn)，連接，若，，求的長．【分析】（1）連接，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，從而可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)等量代換可得，然后利用等式的性質(zhì)可得，從而利用等角對(duì)等邊可得，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論和三角形內(nèi)角和定理可得，從而利用角的和差關(guān)系以及等量代換可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可解答；（3）連接，延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用（1）的結(jié)論可得是的垂直平分線，從而可得，，進(jìn)而可得，再利用對(duì)頂角相等可得，從而可得和都是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，然后設(shè)，則，則，再證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而在中，利用勾股定理可得，最后根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，再證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】（1）證明：連接，，，，，，，，，，，，，，；（2）證明：，，，，，，；（3）解：連接，延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，是的垂直平分線，，，，，，和都是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，，，，解得：，，，是的直徑，，，，，，，，，．22．（2023?懷遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）是的外接圓的直徑，是半徑上一點(diǎn)，交于，交的延長線于，是的中點(diǎn)，連接；（1）求證：是的切線；（2）連交于，若為的中點(diǎn)，，求的長．【分析】（1）連接，欲證明是的切線只要證明即可．（2）想