專題07 一元二次方程解法與應(yīng)用（學(xué)生版）

知識(shí)點(diǎn)01：解一元二次方程【高頻考點(diǎn)精講】1．用“配方法”解一元二次方程（1）把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；（2）方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；（5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，可以通過直接開平方法求解；如果右邊是負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解。2．用“因式分解法”解一元二次方程（1）移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；（2）將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；（3）令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。3．用“換元法”解一元二次方程（1）把方程中某個(gè)含有未知數(shù)的式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)未知數(shù)去替換它，從而將原方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于新未知數(shù)的方程，這種方法叫做“換元法”。（2）“換元法”關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，目的是變換研究對(duì)象，將問題轉(zhuǎn)移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。知識(shí)點(diǎn)02：高次方程和無理方程【高頻考點(diǎn)精講】1．高次方程（1）一般地，最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2次的方程，叫做高次方程。（2）高次方程的解法通過適當(dāng)方法把高次方程轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的方程求解。所以，解高次方程一般要降次，將高次方程轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程。2．無理方程（1）方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程。（2）解無理方程關(guān)鍵是去根號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為整式方程。（3）常用方法：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法。注意：用乘方法解無理方程，通常會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)當(dāng)注意驗(yàn)根。知識(shí)點(diǎn)03：根的判別式及根與次數(shù)關(guān)系【高頻考點(diǎn)精講】1．根的判別式一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與根的判別式（△＝b2﹣4ac）有如下關(guān)系：（1）當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；反過來，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，△＞0。（2）當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；反過來，當(dāng)方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，△＝0。（3）當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根；反過來，當(dāng)方程無實(shí)數(shù)根時(shí)，△＜0。2．根與系數(shù)的關(guān)系（1）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，那么x1+x2＝，x1x2＝（2）根與系數(shù)的關(guān)系可以解決以下問題①已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)。②求關(guān)于根的式子的值，例如求x12+x22。③判斷兩根的符號(hào)；④由兩根滿足的條件，確定字母的取值。知識(shí)點(diǎn)04：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程【高頻考點(diǎn)精講】在解決實(shí)際問題時(shí)，要明確已知和未知，找出相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.57一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?錦州）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜ B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≤且k≠02．（2分）（2023?西藏）已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩個(gè)根為x1、x2，則的值為（）A．﹣3 B． C．1 D．3．（2分）（2023?聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠04．（2分）（2023?阜新）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛開展降價(jià)促銷活動(dòng)．某款燃油汽車今年3月份售價(jià)為23萬元，5月份售價(jià)為16萬元．設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x，則所列方程正確的是（）A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16 C．23﹣23（1﹣x）2＝16 D．23（1﹣2x）＝165．（2分）（2023?河南）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根6．（2分）（2023?赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝177．（2分）（2023?廣西）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國(guó)居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為（）A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7 C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.28．（2分）（2023?福建）根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．43903.89（1+x）＝53109.85 B．43903.89（1+x）2＝53109.85 C．43903.89x2＝53109.85 D．43903.89（1+x2）＝53109.859．（2分）（2023?瀘州）關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)a的取值有關(guān)10．（2分）（2023?衢州）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（）A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?隨州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，則x1+x2﹣x1x2的值為．12．（2分）（2023?牡丹江）張師傅去年開了一家超市，今年2月份開始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利達(dá)到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相同，則每月盈利的平均增長(zhǎng)率是．13．（2分）（2023?濟(jì)南）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有實(shí)數(shù)根，則a的值可以是（寫出一個(gè)即可）．14．（2分）（2023?內(nèi)江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的兩根，則a2+4a+b﹣3＝．15．（2分）（2023?德州）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且（x1+1）（x2+1）＝8，則m的值為．16．（2分）（2023?重慶）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位1815個(gè)，設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列方程為．17．（2分）（2023?雅安）已知關(guān)于x的方程x2+mx﹣4＝0的一個(gè)根為1，則該方程的另一個(gè)根為．18．（2分）（2023?金昌）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c＝（寫出一個(gè)滿足條件的值）．19．（2分）（2023?婁底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，則m2+＝．20．（2分）（2023?宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的兩根，則代數(shù)式的值為．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?齊齊哈爾）解方程：x2﹣3x+2＝0．22．（8分）（2023?襄陽）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)根為α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．23．（8分）（2023?通遼）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝，x1x2＝．（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．24．（8分）（2023?遂寧）我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運(yùn)算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知關(guān)于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．25．（8分）（2023?東營(yíng)）如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈？（2）羊圈的面積能達(dá)到650m2嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說明理由．26．（8分）（2023?淮安）為了便于勞動(dòng)課程的開展，學(xué)校打算建一個(gè)矩形生態(tài)園ABCD（如圖），生態(tài)園一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三面用18m的籬笆圍成．生態(tài)園的面積能否為40m2？如果能，請(qǐng)求出AB的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說明理由．27．（8分）（2023?南充）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．（1）求證：無論m為何