專題04 K字型（一線三角）（解析版）（北師大版）

專題04K字型（一線三角）【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形【例題精講】例1．（基本模型）（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）5【分析】（1）由可得,即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）由可得,即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）證明,求出，再證,可求,進(jìn)而解答即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1，，，，又，；（2）結(jié)論仍成立；理由：如圖2，，又，，，，又，，；（3）,,,是等腰直角三角形

是等腰直角三角形又即解得．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似，正切值的求法，能夠通過(guò)構(gòu)造角將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．例2．（作輔助線）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝．【答案】3．【分析】過(guò)F作FG⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于G，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得出BE的長(zhǎng)．【詳解】如圖所示，過(guò)F作FG⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于G，則∠G＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，∵Rt△FDG中，F(xiàn)G2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．例3．（最值問(wèn)題）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接CF，在點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑=，△CEF面積的最小值是．【答案】215【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接MN，因?yàn)镚N為△ABE的中位線，故G的運(yùn)動(dòng)路徑為線段MN；過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則△FEH∽△EBA，設(shè)AE=x，可得出△CEF面積與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值．【詳解】解：連接BD，取BD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接MN，∵E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動(dòng)，G是BE的中點(diǎn)∴當(dāng)E在A點(diǎn)時(shí)，BE與AB重合，G與AB的中點(diǎn)N重合，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，BE與BD重合，G與BD的中點(diǎn)M重合，∴E在從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN為△ABE的中位線，∴．故G的運(yùn)動(dòng)路徑=2，過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴為的中點(diǎn)，∴設(shè)AE=x，∵AB∴HF

∴當(dāng)時(shí)，△CEF面積的最小值故答案為：2，15．【點(diǎn)睛】本題通過(guò)構(gòu)造K形圖，考查了三角形的中位線和相似三角形的判定與性質(zhì)，建立△CEF面積與AE長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．例4．（培優(yōu)綜合）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)E，已知，．設(shè)的長(zhǎng)為x．(1)___________；當(dāng)時(shí)，求的值；(2)試探究：是否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出的值．【答案】(1)4，(2)是，(3)或4【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：的值為定值．證明方法類似（1）；（3）連接交于，在中，，代入數(shù)據(jù)求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：作于交于．四邊形是矩形，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，故答案為4，．（2）結(jié)論：的值為定值．理由：由，可得．，，，，；（3）連接交于．，所以只能，，，，，垂直平分線段，在中，，，，，．綜上所述，的值為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題、考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．例5．（與函數(shù)綜合）如圖1和圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到AB．過(guò)B作x軸的垂線、過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于點(diǎn)E．設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．（1）求證：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；若m=﹣3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（3）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時(shí)，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析（2），，（3），，（4），，【分析】（1）利用三垂直模型或K字型相似.（2）首先由勾股定理求得線段的長(zhǎng)，然后利用求得線段、的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分時(shí)和時(shí)，利用，根據(jù)相似比表示出點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用面積為6求得值即可；（4）分、、、，根據(jù)和兩種情況得到比例式即可求得值．【詳解】解：（1）證明：由題意得：∠MAB=90°∴∠CAO+∠BAE=90°又∵∠CAO+∠ACO=90°∴∠BAE=∠ACO又∵∠COA=∠AEB=90°∴△AOC∽△BEA（2）的坐標(biāo)為，或，由勾股定理得：，且相似比為，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，，故答案為：，，；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖（1）且相似比為，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，解得

或4，②當(dāng)時(shí)，如圖（2），解得

或（舍去），，，（4）①當(dāng)時(shí)，如圖（1）若即：無(wú)解，若，同理，解得或（不合題意舍去），②當(dāng)時(shí)，如圖（2）若，即：，解得，取，若，同理，解得無(wú)解，③當(dāng)時(shí)，如圖（3），若，即：，解得（不合題意舍去）或，若，同理，解得無(wú)解，④當(dāng)時(shí)，如圖（4）若，，即：，則無(wú)解，若，同理，解得（不合題意舍去）或（不合題意舍去）；則，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似形的綜合題，比較繁瑣，難度很大，解答此題的關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)利用比例式列出方程解答．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用．【變式訓(xùn)練】1．如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則CD=3x，，根據(jù)求出x=6，得到CD=18，CF=8，=12，證明△∽△求得DM=9，，，AM=9，再根據(jù)求得AE=4，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，再根據(jù)勾股定理求出EF=.【詳解】設(shè)，則CD=3x，，由折疊得，∴CF=3x-10，∵∴100=，解得x=6或x=0（舍去），∴CD=18，CF=8，=12，∵∠C=∠D=∠,∴∠,∴△∽△,∴，∴，∴DM=9，，∴，AM=9，在Rt△中，，∴,解得EM=5，∴AE=4，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，∴FH=10-4=6，∴EF=,故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，解題中多次用到勾股定理求出直角三角形中的邊長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)的邊相等或角度相等是解題的關(guān)鍵.2．如圖，已知矩形的頂點(diǎn)分別落在軸軸上，，AB=2BC則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)C作CE⊥x軸于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB，∠ABC=90°，，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BCE=∠ABO，進(jìn)而得出△BCE∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)C作CE⊥x軸于E，

∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO，∵，∴△BCE∽△ABO，∴，∵∴AB=，∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵，∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)在上且，點(diǎn)在上，連接交于點(diǎn)，且，若點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，則的長(zhǎng)為．【答案】4或7．【分析】由是等邊三角形，得出，利用等式性質(zhì)可得，，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似有一組角相等，再添一組角即可，由M在射線BC上，有兩種可能，一種當(dāng)點(diǎn)在上，一種點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，過(guò)D作，則有DM∥AB易證是等邊三角形，，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作，可證△△和△∽△求出，進(jìn)而有，綜合即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，作，，，∴∥，，是等邊三角形，，，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作，，，，△，，，△，，，，，綜上所述：或7，故答案為：4或7．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)列出比例解決問(wèn)題是關(guān)鍵．4．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)D，使得．請(qǐng)求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，把線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2）發(fā)生變化，，證明見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合“一線三等角”推出，從而證得結(jié)論即可；（2）利用條件證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；（3）作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，結(jié)合“一線三垂直”證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)求出和，最后利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴．在和中，∴，∴．（2）發(fā)生變化，．證明：由（1）得，，，∴，∴，∴．（3）如圖所示，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，，由（1）同理可證，，∴，，∴，，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，準(zhǔn)確證明三角形全等或相似，并熟練運(yùn)用其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請(qǐng)直接寫出CE的長(zhǎng)．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（3）由的結(jié)論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計(jì)算出即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如圖3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如圖4圖5圖6，連接EF．在中，，，，如圖4，當(dāng)E在線段AC上時(shí)，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，或舍如圖5，當(dāng)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或舍，③如圖6，當(dāng)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或（舍），綜上：或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解決本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點(diǎn)．【課后訓(xùn)練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置邊長(zhǎng)分別為3，4，x的三個(gè)正方形，則x的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性質(zhì)把它們的直角邊用含x的表達(dá)式表示出來(lái)，列方程，解方程即可得到x的值．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置邊長(zhǎng)分別3，4，x的三個(gè)正方形，由正方形可得：同理：∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得：OE=x-3，PF=x-4，∴（x-3）：4=3：（x-4），∴（x-3）（x-4）=12，即，∴x=0（不符合題意，舍去）或x=7．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于找到相似三角形，用x的表達(dá)式表示出對(duì)應(yīng)邊．2．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是等邊三角形，＝＝＝60°，由沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝，由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證，利用性質(zhì)，即，解方程即可【詳解】解：∵是等邊三角形，∴＝＝＝60°，∵沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，∴，∴＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)＝x，＝DF＝，∵BE=2，BC＝，∴CE＝，∵＝，＝60°，∴＝120°，＝120°，∴＝，∵＝，∴，∴，即，解得：，使等式有意義，∴＝，故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．3．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過(guò)矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長(zhǎng)度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長(zhǎng)公式求得結(jié)果．【詳解】解：連接，四邊形是矩形，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，矩形是中心對(duì)稱圖形，過(guò)矩形的中心．過(guò)點(diǎn)，且，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，或4，或4，當(dāng)時(shí)，，則，，四邊形的周長(zhǎng)；同理，當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明四邊形是矩形．4．如圖，在中，，，，，求的長(zhǎng)．【答案】6【分析】首先在上取，，連接、，根據(jù)題意先證明，緊接著利用相似三角形性質(zhì)得出，由此通過(guò)勾股定理得出BE、CF的長(zhǎng)度，再設(shè)，從而得出方程，最后進(jìn)一步求解即可.【詳解】如圖，在上取，，連接、，∵，∴45°，45°，∵45°，∴，，∴，∴，在中，，在中，，∴設(shè)，則：，解得或（舍去），∴的長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與相似三角形性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.5．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，，的面積為2．(1)如圖1，求直線的解析式．(2)如圖2，線段上有一點(diǎn)C，直線為，軸，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（用含k的式子表示）(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，交直線于點(diǎn)E，若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用的面積為2，求出的長(zhǎng)度，得到B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求的解析式；（2）利用，過(guò)D作軸于H，證明，得到，，由直線析式，求得C的坐標(biāo)，從而得到長(zhǎng)度，再證明四邊形為矩形，得到D的坐標(biāo)；（3）利用，得到A，C，B，D四點(diǎn)共圓，則，，又，轉(zhuǎn)化得到，在上取一點(diǎn)M，使，構(gòu)造出，利用兩個(gè)角的正切值相等，列出關(guān)于參數(shù)的方程，求出參數(shù)k，再利用直線和直線相交，列出二元一次方程組，求得交點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線AB的解析式為：，代入點(diǎn)，得，∴，∴直線的解析式為：；（2）如圖1，過(guò)D作軸于H，∵軸，∴，∴四邊形為矩形，∴，由題可得，，∴，又∵，∴，在與中，，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，∴；（3）如圖2，連接，取中點(diǎn)N，連接，，則在中，，同理，，∴，∴A，C，B，D四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又，∴，在上取一點(diǎn)M，使，則，∴，∴，∴，，．∵，∴，∴，∴，解得，，∴直線解析式為：，，設(shè)直線解析式為：，把代入得，∴，則直線解析式為：，聯(lián)立，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法，一線三等角模型構(gòu)造全等，四點(diǎn)共圓，三角函數(shù)，交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，其中轉(zhuǎn)化角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．6．在中，，，．（1）如圖1，折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)D處，折痕交、分別于、，若，則＿＿＿．

（2）如圖2，折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交、分別于、．若，求證：四邊形是菱形．（3）如圖3，在（1）（2）的條件下，線段上是否存在點(diǎn)，使得和相似？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，滿足條件的值為或8或．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，設(shè)HQ＝x，根據(jù)SΔABC=9SΔDHQ，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）由翻折的性質(zhì)可得AE=EM，AF=FM，然后證明出AE=AF即可；（3）設(shè)AE＝EM＝FM＝AF＝4m，則BM＝3m，F(xiàn)B＝5m，構(gòu)建方程求出m的值，然后根據(jù)QH=4，AQ=，求出QC=，設(shè)PQ=x，分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）如圖，在中，∵，，，∴設(shè)，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴整理得：，解得：，（舍去），∴．（2）如圖由翻折的性質(zhì)可知：，，，∵，∴，∴，∴AE=AF，∴，∴四邊形是菱形；（3）如圖，連接MP、HP，設(shè)．則，，∴，解得∴∴，∴∵，∴設(shè)，①當(dāng)時(shí)，∴，解得：∴，②當(dāng)時(shí)，，解得：或．∴或．綜上所述，滿足條件的值為或8或．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了翻折變換、三角形的面積、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．7．問(wèn)題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在AB上，過(guò)點(diǎn)E作EGAB交FC于點(diǎn)G．若EG＝7．則S△EFC＝．問(wèn)題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P．使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)DP的長(zhǎng)度．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點(diǎn)C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)50元．請(qǐng)問(wèn)這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低是多少元？（≈1.73）【答案】（1）21；（2）存在，6或3；（3）802.75元【分析】（1）先由矩形的性質(zhì)得CD∥AB，BC＝AD＝6，再由三角形面積公式求解即可；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，再證△ADP∽△PCQ，得，解得DP＝6或DP＝3；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)C作MN∥AB，過(guò)點(diǎn)D作MN的垂